Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesNeuf figures pour l'enseignement secondaire. Démonstration des théorèmes de Thalès et Pythagore par la méthode des aires.
Euclide et GéoPlan
Ce site, très riche et fréquemment actualisé par un enseignant en retraite, Patrice Debart, concerne les niveaux mathématiques de la 6e à la Terminale. Les thèmes et les modes opératoires étant passionnants, nous avons choisi de vous orienter sur l'article concernant Euclide, Thalès et Pythagore qui mêlent histoire et mathématiques, avec une pointe d'humour parfois… Il vous reste à intégrer ce site dans vos favoris, pour enrichir en permanence vos ressources !
Info bulle no 85 Cafoc de Nantes
Euclide avec un compas | Avant Euclide, les mathématiques grecques se sont développées sans règle de déduction explicite. La logique d'Aristote était trop fruste pour fonder les raisonnements. Le « si… alors… » est une conception trop pauvre du langage et jusqu'au XIXe siècle les règles de déduction resteront implicites. Les axiomes comme l'« unicité d'une parallèle » ou les « cas d'égalité des triangles » ont été explicités par Euclide et fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes, mais sur lesquels les autres résultats reposent solidement. Avec la méthode synthétique, Euclide a organisé la géométrie de manière déductive en donnant, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, un raisonnement pour déduire chaque propriété cherchée. |
| Les Éléments d'Euclide | Alexandrie, vers 300 avant Jésus-Christ |
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Euclide par Juste de Gand (15e siècle) |
Le texte original des Éléments n'existe pas et nous est connu que de façon apocryphe. Dans la bibliothèque du Vatican, joint au manuscrit découvert par Peyrard, on aurait découvert un CD, encore plus apocryphe, contenant des figures GéoPlan que nous livrons en exclusivité ci-dessous. Les treize livres d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques. Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la « règle et au compas ». |
Proposition 31 du livre I des Éléments : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.
L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».
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Proposition 1 du I er livre des Éléments :
EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]). DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral. CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE ; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1). DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles. CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire. |
Rappels
Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.
Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.
Définition 24. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.
Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
tracer C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].
Télécharger la figure GéoPlan triangle_equilateral.g2w
Télécharger la figure GeoGebra triangle_equilatera.ggb
Construction à la « règle et au compas » : le triangle équilatéral
Sommaire
Paragraphe déplacé dans l'article : cercle au collège
Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes autour de la diagonale sont égaux entre eux.
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Livre I, proposition 43  |
I est un point libre sur la diagonale [BC] d'un rectangle ABDC. Démontrer que les aires des deux rectangles hachurés sont égales.
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Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un rectangle, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.
Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles BIF et CIE permet d'écrire : IF/IE = IB/IC.
De même (BD) étant parallèle à (AC), la propriété de Thalès dans les triangles BIH et CIG permet d'écrire : IH/IG = IB/IC.
Par transitivité IF/IE = IH/IG.
Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : IF × IG = IE × IH.
Aire(IHDE) = Aire(AFIG).
Voir cas de parallélogrammes : calcul d'aires
Voir aussi : aire minimale de deux carrés dans un carré
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Si une ligne droite est coupée comme on voudra, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.
Dans le carré ABDC, on a la démonstration, par les aires, de l'identité remarquable : (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.
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Le gnomon est un mot latin, d'origine grecque, qui désigne l'aiguille de cadran solaire, et par extension le cadran solaire. En Géométrie, avec Euclide, dans un parallélogramme, l'un quelconque des parallélogrammes décrit autour du diamètre avec ses deux compléments est appelé gnomon. Le gnomon d'un parallélogramme est donc la figure à ajouter pour obtenir un nouveau parallélogramme semblable au précédent.
Pour un point I du diamètre [BC] d'un parallélogramme ABDC, le parallélogramme AFIG est dit décrit autour de ce diamètre. Ses compléments sont les parallélogrammes FBHI et GIEC (de même aire). Ces deux figures, avec le parallélogramme IHDE forment, dans leur ensemble, le gnomon (hachuré) FBDCGI du parallélogramme AFIG.
Voir extension aux figures semblables : nombre d'or |
Papyrus trouvé à Oxyrhynque Extrait d'Euclide le Stoichéiôtês de Bernard Vitrac Oxyrhynque est une cité située au bord du Nil à une soixantaine de kilomètres en amont du Caire. On y a trouvé de nombreux papyri grecs, dont ce fragment des Éléments d'Euclide.
Le diagramme est tracé à main levée et sans lettrage Remarquer l' écriture “continue” : les mots ne sont pas séparés et il n’y a ni ponctuation, ni accentuation. |
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Livre II proposition 11
Voir aussi : II 14. Quadrature du rectangle |
Couper une ligne droite telle le rectangle de la toute et de l'une des parties, soit égal au carré de l'autre Sur un segment [AB] de longueur a, trouver un point G tel que le carré de côté AG ait même aire que le rectangle de longueur a et de largeur BG.
Construction Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD]. On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG]. La carré AGHF a même aire que le rectangle GBCI.
Solution algébrique
Avec AB = BC = a, posons AG = x, alors GB = a - x.
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Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.
Construction
On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.
On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c2) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A. Le cercle (c3) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.
Preuve par le calcul
On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que les résultats font intervenir le nombre d'or :
AI = 
; CA = AB = 1 ; DI = IC = 
;
AM = DA = DI - AI = - = 
= 
= Φ - 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB - AM = 1 - = 2 - Φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB = + = Φ ≈ 1,618.
MA = ; 
= Φ ; 
= MB × = (1 - ) × Φ = Φ - 1 = = .
= d'où 
= Φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].
Remarque : le cercle (c3) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.
Télécharger la figure GéoPlan section_doree.g2w
c. Couper une ligne droite selon la moyenne raisonLivre VI, proposition 30
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d. Numérisation de la géométrie
Construction avec deux carrés Placer deux points A et B, tels que AB = 1. Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD]. On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG]. Le point G partage le segment [AB] en moyenne raison. Calculs algébriques Le carré AGHF a pour côté AG = Le rectangle GBCI a pour longueur CB = 1 Son aire est 2 - Φ. Il a été démontré dans la page suites que AB/AG = AG/GB : on a bien une section dorée du segment [AB].
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La construction avec « corde et tangente égales » a été déplacée dans la page : le nombre d'or.
Les extraits contenus dans ces pages sont ceux des 15 livres des Éléments géométriques d'Euclide, traduits par D. Henrion en 1632, publiée par la Bibliothèque Nationale de France.
On trouve aussi la première édition de F. Peyrard, publiée en 1804, lorsqu'il était bibliothécaire de l'école polytechnique.
D. Henrion |
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F.Peyrard |
La Géométrie de Descartes |
Cercles |
Médiatrice |
Grands problèmes de la géométrie grecque | ||
SommaireI 31. Parallèle à une droite passant par un point |
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