René DescartesDescartes et les Mathématiques

Euclide et GéoPlan

Huit figures pour l'enseignement secondaire. Démonstration des théorèmes de Thalès et Pythagore par la méthode des aires.

Sommaire

La géométrie euclidienne
Les Éléments d'Euclide

I. Définitions

I 31. Parallèle à une droite passant par un point

I 1.   Triangle équilatéral

I 43. Partage d'un rectangle en quatre

II 4. Carré d'une somme

II 5. Gnomon

II 11. Carré et rectangle de même aire

VI 30. Construction de la section dorée : couper une ligne droite selon la moyenne raison

D'autres figures d'Euclide dans les pages du site

I 15.Construction du pentagone régulier

I 17. Mener une ligne droite qui touche un cercle

I 23. Reproduire un angle à la règle et au compas

I 32. Somme des angles d'un triangle

I 35. Théorème de la tringle - Méthode du cisaillement

I 41. Parallélogramme et triangle de même base

I 43. Partage d'un parallélogramme en quatre

I 46. Construction du carré à partir d'un côté

I 47. Démonstration géométrique de Pythagore

         Premier théorème d'Euclide dans le triangle rectangle

II 14. Quadrature du rectangle

III  1.  Retrouver le centre d'un cercle

III 22. Angle au centre et angles inscrits

III 35. Puissance d'un point par rapport à un cercle : théorème d'Euclide

III.    Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

IV 1. Triangle et cercle inscrits dans un triangle équilatéral

IV 10. Le triangle d'or

IV 11 Construction du pentagone avec un triangle d'or

IV 16. Construction du pentadécagone

VI  2. Thalès : démonstration par la méthode des aires

VI 13. Moyenne proportionnelle

VI Arithmétique : algorithme d'Euclide

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Mathématiques et sciences

Euclide et GéoPlan
Ce site, très riche et fréquemment actualisé par un enseignant en retraite, , concerne les niveaux mathématiques de la 6e à la terminale. Les thèmes et les modes opératoires étant passionnants, nous avons choisi de vous orienter sur l'article concernant Euclide, Thalès et Pythagore qui mêlent histoire et mathématiques, avec une pointe d'humour parfois… Il vous reste à intégrer ce site dans vos favoris, pour enrichir en permanence vos ressources !

Info bulle no 85 Cafoc de Nantes

La géométrie euclidienne

Euclide avec un compas

Avant Euclide, les mathématiques grecques se sont développées sans règle de déduction explicite.
La logique d'Aristote était trop fruste pour fonder les raisonnements.
Le « si… alors… » est une conception trop pauvre du langage et jusqu'au XIXe siècle les règles de déduction resteront implicites.

Connaître cet ouvrage fondamental des mathématiques permet de :
    • rencontrer le vocabulaire « théorème », « axiome », …
    • mettre en oeuvre des démonstrations et raisonnements,
    • traduire en langage moderne et rédiger avec rigueur et précision.

Les axiomes comme l'« unicité d'une parallèle » ou les « cas d'égalité des triangles » ont été explicités par Euclide et fournissent un fondement de la géométrie, imparfait certes, mais sur lesquels les autres résultats reposent solidement.

Avec la méthode synthétique, Euclide a organisé la géométrie de manière déductive en donnant, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, un raisonnement pour déduire chaque propriété cherchée.

Euclide avec un compas
L'école d'Athènes, selon Raphaël (Détail - chambre de la Signature, Vatican)

Les Éléments d'Euclide

Euclide par Juste de Gand

Alexandrie, vers 300 avant Jésus-Christ

Le texte original des Éléments n'existe pas et nous est connu que de façon apocryphe.

Dans la bibliothèque du Vatican, joint au manuscrit découvert par Peyrard, on aurait découvert un CD, encore plus apocryphe, contenant des figures GéoPlan que nous livrons en exclusivité ci-dessous.

Les treize livres d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques.

Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la « règle et au compas ».

Euclide par Juste de Gand (15e siècle)

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Page 16

 

les éléments d'Euclide - definitions

I. Définitions - Postulats ou demandes

1. Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point.

2. Prolonger continûment une ligne droite limitée en ligne droite.

3. Décrire un cercle de tout centre et au moyen de tout intervalle.

4. Tous les angles droits soient égaux entre eux.

Les Éléments d'Euclide -Livre I - Page 17

les éléments d'Euclide - axiomes ou notions communes

Axiomes ou notions communes

1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles.

2. Si, à des choses égales, on ajoute des choses égales, les touts sont égaux.

5. Les doubles du même sont égaux entre eux.

7. Les choses qui s’ajustent les unes aux autres sont égales entre elles.

8. Le tout est plus grand que la partie.

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 31

Les éléments d'Euclide - parallèle à une droite

I 31. Parallèle à une droite passant par un point donné

Proposition 31 du livre I des Éléments : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.

L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.

Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».

Proposition 1 du Ier livre des Éléments d'Euclide

Les éléments d'Euclide - construction du triangle équilatéral

I 1. Triangle équilatéral

Construire un triangle équilatéral sur une ligne droite donnée et finie.

Géométrie du triangle équilatéral - construction d'Euclide - copyright Patrice Debart 2003

EXPOSITION. Soit AB une droite donnée et finie (on dirait maintenant un segment [AB]).

DÉTERMINATION. Il faut construire sur la droite finie AB un triangle équilatéral.

CONSTRUCTION. Du centre A et de l'intervalle AB, décrivons la circonférence ACD (demande 3) ; et de plus, du centre B et de l'intervalle BA, décrivons la circonférence BCE ; et du point C, où les circonférences se coupent mutuellement, conduisons aux points A, B les droites CA, CB (demande 1).

DÉMONSTRATION. Car, puisque le point A est le centre du cercle ACD, la droite AC est égale à la droite AB (définition 15); de plus, puisque le point B est le centre du cercle BCE, la droite BC est égale à la droite BA ; mais on a démontré que la droite CA était égale à la droite AB ; donc chacune des droites CA, CB est égale à la droite AB ; or, les grandeurs qui sont égales à une même grandeur, sont égales entre elles (notion 1) ; donc la droite CA est égale à la droite CB ; donc les trois droites CA, AB, BC sont égales entre elles.

CONCLUSION. Donc, le triangle ABC (définition 24) est équilatéral, et il est construit sur la droite donnée et finie AB. Ce qu'il fallait faire.

Rappels

Demande 3. D'un point quelconque, et avec un intervalle quelconque, décrire une circonférence de cercle.

Définition 15. Un cercle est une figure plane, comprise par une seule ligne qu'on nomme circonférence ; toutes les droites, menées à la circonférence d'un des points placés dans cette figure, étant égales entre elles.

Un triangle est une figure trilatère
Définition 24
. Parmi les figures trilatères, le triangle équilatéral est celle qui a ses trois côtés égaux.

Construction avec un logiciel de géométrie :
Placer deux points A et B et dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centre A et B et de rayon AB (cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A),
tracer C, un des points d'intersection des deux cercles,
tracer les segments [BC] et [AC].

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle équilatéral

Construction à la « règle et au compas » : le triangle équilatéral

Les Éléments d'Euclide - Livre I - Proposition 43

les éléments d'Euclide - partage d'un rectangle en quatre

I 43. Partage d'un rectangle en quatre

Euclide et GéoPlan - partage d'un rectangle en 4 - copyright Patrice Debart 2003

Dans tout parallélogramme, les compléments des parallélogrammes autour de la diagonale sont égaux entre eux.

Classe de quatrième

I est un point variable sur la diagonale [BC] d'un rectangle ABDC.

On forme deux rectangles. en menant, par I, les parallèles aux côtés du rectangle

Démontrer que les aires des deux rectangles hachurés sont égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_rect.g2w

Vérification assez facile avec GéoPlan : le logiciel ne sait pas calculer l'aire d'un rectangle, mais il sait trouver la moitié de cette aire : l'aire d'un triangle formé par deux côtés et une diagonale.

Indication : (AB) étant parallèle à (CD), la propriété de Thalès dans les triangles rectangles BIF et CIE permet d'écrire : IF/IE = IB/IC.

De même (BD) étant parallèle à (AC), la propriété de Thalès dans les triangles BIH et CIG permet d'écrire : IH/IG = IB/IC.

Par transitivité IF/IE = IH/IG.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » : IF × IG = IE × IH.
Aire(IHDE) = Aire(AFIG).

Voir cas de parallélogrammes : calcul d'aires

Voir aussi : GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Aire minimale de deux carrés dans un carré

    Aire minimale de deux carrés dans un carré

Les Éléments d'Euclide - Live II - Proposition 4

les éléments d'Euclide - carré d'une somme

II 4. Identité remarquable : carré d'une somme

Carré d'une somme

Si une ligne droite est coupée comme on voudra, le carré de la droite entière est égal aux carrés des segments et à deux fois le rectangle contenu sous les deux segments.

Dans le carré ABDC, on a la démonstration, par les aires, de l'identité remarquable :

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_rect2.g2w

II 5. Gnomon

Euclide et GéoPlan - gnomon d'un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2003

Le gnomon est un mot latin, d'origine grecque, qui désigne l'aiguille de cadran solaire, et par extension le cadran solaire.

En Géométrie, avec Euclide, dans un parallélogramme, l'un quelconque des parallélogrammes décrit autour du diamètre avec ses deux compléments est appelé gnomon.

Le gnomon d'un parallélogramme est donc la figure à ajouter pour obtenir un nouveau parallélogramme semblable au précédent.
Lorsque le parallélogramme est un rectangle, le gnomon est alors une sorte d'équerre.

Pour un point I du diamètre [BC] d'un parallélogramme ABDC, le parallélogramme AFIG est dit décrit autour de ce diamètre.
Ses compléments sont les parallélogrammes FBHI et GIEC (de même aire).
Ces deux figures, avec le parallélogramme IHDE forment, dans leur ensemble, le gnomon (hachuré) FBDCGI du parallélogramme AFIG.

g2w Télécharger la figure GéoPlan Gnomon.g2w

Voir extension aux figures semblables : nombre d'or

Papyrus trouvé à Oxyrhynque

Les éléments d'Euclide - papyrus d'Oxyrhynque

Extrait d'Euclide le Stoichéiôtês de Bernard Vitrac

Oxyrhynque est une cité située au bord du Nil à une soixantaine de kilomètres en amont du Caire. On y a trouvé de nombreux papyri grecs, dont ce fragment des Éléments d'Euclide.

Le diagramme est tracé à main levée et sans lettrage

Remarquer l' écriture “continue” : les mots ne sont pas séparés et il n’y a ni ponctuation, ni accentuation.

Les Éléments d'Euclide - Livre II - Proposition 11

les éléments d'Euclide - bas de la page 97

II 11. Carré et rectangle de même aire - Section dorée

Voir aussi : II 14. quadrature du rectangle

Couper une ligne droite telle le rectangle de la toute et de l'une des parties, soit égal au carré de l'autre partie.

Euclide et GéoPlan - carré et rectangle de meme aire - copyright Patrice Debart 2003

Sur un segment [AB] de longueur a, trouver un point G tel que le carré de côté AG ait même aire que le rectangle de longueur a et de largeur BG.

Construction

Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD].
Le cercle (c2) de centre E et de rayon EB coupe (AD) en F du côté de A.
Le cercle (c3) de centre A et de rayon AF coupe [AB] en G.

On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG].
La droite (GH) coupe (DC) en I.

La carré AGHF a même aire que le rectangle GBCI.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle_egal_carre.g2w

Solution algébrique : une équation du second degré

Carré de même aire qu'un rectangle

Avec AB = BC = a, posons AG = x, alors GB = a - x.
L'égalité des aires donne x2 = a(a - x),
soit l'équation x2 + ax - a2 = 0 qui a pour solution positive :

x = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 a.

IF = nombre d'or (1+rac(5))/2 a, on trouve le nombre d'or.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle_egal_carre2.g2w

Les Éléments d'Euclide - Livre II - Page 98

les éléments d'Euclide - carré et rectangle de meme aire

VI 30. Construction de la section dorée

VI 30.a. Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »

Euclide et GéoPlan - partage d'un segment en extreme et moyenne raison - copyright Patrice Debart 2003

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

Construction

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c2) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A. Le cercle (c3) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

Preuve par le calcul

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que les résultats font intervenir le nombre d'or :
AI = 1/2 ; CA = AB = 1 ; DI = IC = rac(5)/2 ;
AM = DA = DI - AI = rac(5)/2 - 1/2 = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 = 1/φ = φ - 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB - AM = 1 - 1/φ = 2 - φ ≈ 0,382 ;
Nombre d'or : DB = DI + IB = rac(5)/2 + 1/2 = φ ≈ 1,618.

Inverse du nombre d'or : MA = 1/φ ; 1/MA = φ ; MB/MA = MB × 1/MA = (1 - 1/φ) × φ = φ - 1 = 1/φ = (rac(5)-1)/2.
MB/MA = 1/φ d'où MA/MA = φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c3) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.

g2w Télécharger la figure GéoPlan section_doree.g2w

Les Éléments d'Euclide - Livre VI - Proposition 30

les éléments d'Euclide - couper une ligne droite selon la moyenne raison

VI 30.b. Couper une ligne droite selon la moyenne raison

VI 30.c. Numérisation de la géométrie

Euclide et GéoPlan - couper une ligne droite selon la moyenne raison - copyright Patrice Debart 2003

Construction avec deux carrés

Placer deux points A et B, tels que AB = 1.

Après avoir construit le carré ABCD de côté [AB], on note E le milieu de [AD].
Le cercle (c2) de centre E et de rayon EB coupe (AD) en F du côté de A.
Le cercle (c3) de centre A et de rayon AF coupe [AB] en G.

On complète avec le point H le carré de côtés [AF] et [AG].
La droite (GH) coupe (DC) en I.

Le point G partage le segment [AB] en moyenne raison.
Remarque : les points M et F partagent le segment [AD] en moyenne et extrême raison.

Calculs algébriques

Le carré AGHF a pour côté AG = 1/φ, son aire est AG2 = 1/φ^2.

Le rectangle GBCI a pour longueur CB = 1
et pour largeur GB = AB - GA =1 - 1/φ = 2 - φ.

Son aire est 2 - φ.

Il a été démontré dans la page suites que 1/φ^2 = 2 - φ.
Le rectangle GBCI et le carré AGHF ont la même aire : GB × AB = AG × AG.

AB/AG = AG/GB : on a bien une section dorée du segment [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan construc_euclide2.g2w

Les Éléments d'Euclide en ligne sur le site Gallica de la BNF

couverture des éléments d'Euclide

Les extraits contenus dans ces pages sont trirés des 15 livres des Éléments géométriques d'Euclide, traduits par D. Henrion en 1632, publiée par la Bibliothèque Nationale de France.
On les trouve aussi dans la première édition de F. Peyrard, publiée en 1804, lorsqu'il était bibliothécaire de l'école polytechnique.

D. Henrion

Livre I

Livre II

Livre III

Livre IV

Livre V

Livre VI

Livre VII

Livre VIII

Livre IX

Livre X

Livre XI

Livre XII

Livre XIII

 

F.Peyrard

Livre I

Livre II

Livre III

Livre IV

Livre VI

Livre XI

Livre XII

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