René DescartesDescartes et les Mathématiques

Exercices de géométrie au collège

Treize constructions avec GéoPlan ou GeoGebra : triangle, triangle rectangle, cercle et carré.

Sommaire

1. Triangles rectangles

2. Points cocycliques dans un triangle

3. Triangle isocèle

4. Carré, cercles et tangente

5. Angle inconnu

6. Prenons de la hauteur

7. Hauteurs et médianes

8. Triangle et trapèze

 

Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Dans d'autres pages du site

Comparer deux longueurs

Tangentes communes à deux cercles

Carré et deux triangles équilatéraux

Constructions avec contraintes : recopier une figure

La géométrie du triangle

Droites remarquables :

  – Constructions à partir de trois droites remarquables

  – Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

Points caractéristiques

Droite et cercle d'Euler

Cercles - Feuerbach

Problèmes sur les triangles permettant d'observer, d'analyser, pour le réinvestissement des connaissances sur les propriétés des figures de base.

1. Triangles rectangles

Un triangle inscrit dans un demi-cercle est un triangle rectangle.

1.a. Triangle de l'écolier

Géométrie du triangle rectangle - triangle de l'écolier - copyright Patrice Debart 2004

Triangle rectangle d'angles aigus de 30° et 60°.

ABC est un triangle équilatéral.
D est le symétrique de C par rapport à A.
  – Montrer que BCD est un triangle rectangle.

Indications

Dans le triangle équilatéral ABC, l'angle en C est de 60° et AB = AC.
Par symétrie AD = AC.

D'où AB = AD = AC = 1/2 DC. Le triangle BCD est rectangle en B.

ABD est un triangle isocèle d'angle au sommet BAD = 120°. Les angles aigus sont de 30°, donc BDC = 30°.

Réciproque

  – Montrer que la médiane issue de l'angle droit d'un triangle de l'écolier le partage en un triangle équilatéral et un triangle isocèle.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle de l'écolier

Une autre construction comme moitié d'un triangle équilatéral, voir : construction avec une équerre

1.b. Bissectrice et triangle rectangle

Géométrie du triangle - bissectrice et triangle rectangle - copyright Patrice Debart 2004

Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle B et la parallèle au côté (BC), passant par le milieu C’ de [AB], sont concourantes en D.
  – Montrer que les droites (BD) et (AD) sont perpendiculaires.

Indications

La bissectrice (BD) détermine les angles égaux CBD = DBA.
CBD = C’DB comme angles alternes-internes par rapport à la sécante (BD) et aux parallèles (BC) et (C’D).

C’BD est isocèle en C’ et C’D = C’B.
C’A = C’B car C’ est le milieu de [AB].

D'où C’D = C’B = C’A = 1/2 AB. Le triangle ABD est rectangle en D. ADB est droit.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle rectangle et bissectrice

2. Points cocycliques dans un triangle

Propriété réciproque : un angle droit est inscrit dans un demi-cercle.

Construction au compas seul

Ci-dessous une construction au compas avec des cercles définis par des points cocycliques.

Nous avons déjà rencontré ces figures dans le chapitre hauteur de la géométrie du triangle et elles permettent de démontrer les propriétés du triangle orthique ou avec le théorème de Clifford.

Projections du centre du cercle inscrit sur les côtés

Géométrie du triangle - pieds des bissectrices et centre du cercle inscrit

ABC est un triangle, les points iA, iB, iC sont les pieds des perpendiculaires issues du centre I du cercle inscrit sur les côtés [BC], [AC], [AB] du triangle.

– Le triangle iAiBiC s'appelle le triangle de Gergonne ou triangle de contact du triangle ABC.

  – Les points I, A, iB, iC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [IA],
      (IA) est la médiatrice de [iB iC],
      Les angles BAC et iCIiB sont supplémentaires.

  – De même I, B, iA, iC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [IB]
       et les points I, C, iB, iC sont sur un même cercle de diamètre [IC].

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : projections du centre du cercle inscrit

3. Triangles isocèles

3.a. Bissectrice d'un triangle et triangle isocèle

Géométrie du triangle - bissectrice d'un triangle et triangle isocèle - copyright Patrice Debart 2004

Dans un triangle ABC, la bissectrice de l'angle C et la parallèle au côté [BC], passant par le sommet A, sont concourantes en D.

  – Montrer que le triangle ACD est isocèle.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : bissectrice et triangle isocèle

3.b. Carré et triangle équilatéral

Géométrie du triangle - carré et triangle équilatéral - copyright Patrice Debart 2004

On reprend la figure d'un calcul d'angles.

ABCD est un carré.
CDE un triangle équilatéral tracé à l'extérieur du carré.

  – quel est l'angle AEB ?

Indications

Montrer que le triangle DAE est isocèle.

Dire quel est l'angle obtus ADE.
En déduire la mesure des angles aigus DAE et DEA.

Conclure que l'angle AEB = 30° et que les angles à la base du triangle isocèle AEB mesurent 75°.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré et triangle équilatéral

3.c. Triangles isocèles, rectangle, équilatéral

On reprend la figure de l'alignement avec un carré et un triangle équilatéral.

montrer un alignement - copyright Patrice Debart 2004

ABC est un triangle rectangle isocèle et BCD un triangle équilatéral.

La parallèle à (AD) passant par B coupe la droite (CD) en E.
Quelle est la nature du triangle BDE ? Du triangle BCE ?

Avec l'intersection F de (BD) avec la parallèle à (AD) passant par C, étudier de même les triangles CDF et CBF.

Montre que DEF est un triangle équilatéral et BEFC un rectangle.

On complète le parallélogramme EDFG. Montrer que c'est un losange et que les points A, O, D, I et G sont alignés.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangles et alignement

4. Carré, cercles et tangente

logo APMEP  D'après « Activités significatives » – groupe collège de l'IREM de Toulouse – Bulletin no 392, février 1994.
  Article exporté dans le wiki du MIAM : carré, cercles et tangente.

Classe de 4e

Géoplan dans Descartes et les mathématiques - carré, cercle et tangente - copyright Patrice Debart 2004

Tangente, bissectrice et angle de 45°.

1. ABCD est un carré, I le milieu de [CD]. Tracer le cercle (c1) de diamètre [CD] et le segment [IA].
Soit T le point symétrique de D par rapport à la droite (IA).

Que dire des triangles ADI et ATI ?
T est-il sur le cercle ? Justifier la réponse.
Que dire de la droite (AT) ?

2. La droite (IT) coupe (BC) en K.
Que dire des triangles ATK et ABK ?
Calculer l'angle IÂK.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_ce.g2w

Classe de 3e

Géoplan dans Descartes et les mathématiques - carré, cercles et tangente - copyright Patrice Debart 2004

3. Les points A, T, I et D sont cocycliques et appartiennent au cercle (c2) de diamètre [AI]. Soit O milieu de [AI] son centre.
Soit M le deuxième point d'intersection de ce cercle et de la droite (AK).
Sur le cercle (c2) l'angle inscrit IÂM et l'angle au centre IÔM interceptent l'arc IM.
En déduire que l'angle IÔM est droit et que (MO) // (TD).

4. La droite (AT) coupe (BC) en E. Montrer que ET = EC.

5. Montrer que le quadrilatère OMEI est un carré.

GeoGebra Figure dans GeoGebra Tube : carré, cercles et tangente

Indications

Soit 2a la longueur du côté du carré. Le cercle (c1) de centre I et diamètre [CD] a pour rayon a.

1. D a pour image T par la symétrie d'axe (IA). (IA) est la médiatrice de [DT], les droites sont perpendiculaires.
Par la symétrie d'axe (IA) les points I et A sont fixes et D a pour image T, [ID] a pour image [IT] donc IT = ID = a rayon du cercle (c1), le point T est sur le cercle. La symétrie transforme le triangle rectangle ADI en ATI. (AT) est perpendiculaire à (IT). La droite (AT) perpendiculaire au rayon [IT] est tangente au cercle (c1) en T.
(IA) est l'axe de symétrie du cerf-volant IDAT. Les angles DÂI et IÂT ont même mesure, IÂT = 1/2 DÂT.
De même, les angles DÎA et AÎT sont égaux, (IA) est la bissectrice de DÎT.
Les côtés [AD] et [AT] des triangles rectangles ADI et ATI sont égaux au côté du carré : AD = AT = 2a.
D'après la propriété de Pythagore, l'hypoténuse AI2 = AD2 + DI2 = (2a)2 + a2 = 5a2. D'où AI = arac(5).

2. Les triangles rectangles ATK et ABK ont même hypoténuse [AK], les côtés AT et AB sont égaux à 2a.
Les deux triangles sont isométriques, d'où TK = BK et TÂK = KÂT.
(AK) est l'axe de symétrie du cerf-volant ATKB. TÂK = 1/2TÂB.
On a donc IÂT = 1/2 DÂT et TÂK = 1/2 TÂB, soit IÂK = IÂT + TÂK = 1/2 (DÂT + TÂB) = 1/2 DÂB = 1/2 90° = 45°.

3. Les triangles rectangles ADI et ATI sont inscrits dans le cercle de diamètre [AI]. Les points A, T, I et D sont cocycliques.
Pour l'arc IM du cercle (c2), l'angle inscrit IÂM = 45° est égal à la moitié l'angle au centre IÔM. L'angle IÔM = 2 × 45° est droit. Les droites (MO) et (DT), perpendiculaires à (IA), sont parallèles.

4. Les triangles rectangles ECI et ETI ont même hypoténuse [EI], les côtés CI et TI sont égaux à a. Les deux triangles sont isométriques, d'où EC = ET et CÎE = EÎT. (IE) est la bissectrice de CÎT.

5. (IE) et (IA) sont les bissectrices des angles supplémentaires CÎT et TÎD. Elles sont donc perpendiculaires. EÎO = 90°.
Les triangles rectangles ADI et IEC ont leurs côtés perpendiculaires, ils ont les mêmes angles : DÂI = CÎE.
cos(DÂI) = AD/AI = 2a/(a.rac(5)) = 2/rac(5). CI = a et EI = CI/sin(CÎE) = arac(5)/2.
IO et OM sont deux rayons perpendiculaires du cercle (c2) égaux à arac(5)/2. Les côtés EI et OM de OMEI, perpendiculaires à IO sont parallèles et égaux. OMEI est un parallélogramme ayant un angle droit, soit un rectangle. La longueur est égale à la largeur arac(5)/2, c'est un carré.

5. Angle inconnu

Géométrie du triangle - angle inconnu - copyright Patrice Debart 2004

Angles dans un triangle

Dans cette figure, BAC = 30°, BD = CD et ED = EC.
Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

  – Quelle est la mesure de l'angle ABC ?

g2w Télécharger la figure GéoPlan angle_inconnu.g2w

Bissectrices d'un parallélogramme

parallélogramme - bissectrices - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un parallélogramme d'angle DAB = α.
Les bissectrices de l'angle A et de l'angle B sont concourantes en I.

  – Quelle est la nature du triangle ABI.

Indications

L'angle BAI = α/2.
Le deuxième angle du parallélogramme est 180° − α,
donc ABI = 90° − α/2.

Dans le triangle ABI,
AIB = 180° − BAI − ABI = 180° − α/2 − (90° − α/2) = 90°.

L'angle est droit, le triangle ABI est rectangle en I, les bissectrices sont perpendiculaires.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : bissectrices d'un parallélogramme

Tâche impossible

Trouver un parallélogramme tel que les bissectrices de deux angles consécutifs ne soient pas perpendiculaires.

6. Prenons de la hauteur

L@ feuille à problèmes

hauteur d'un quadrilatère concave - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé.

Les points A et C sont situés sur deux droites (d) et (d’) parallèles, distantes de 4 cm.
B et D, distants de 7 cm, sont sur une troisième droite parallèle à (d) et (d’), située à une distance l de (d’).

– Quelle est l'aire du quadrilatère ?

Calcul

L'aire du quadrilatère est de 14 cm2, égale à la différence des aires des triangles ABD et CBD :

Aire(ABD) = 1/2 × 7 × (4 + l) ; Aire(CBD) = 1/2 × 7 × l.

Aire(ABCD) = 1/2 × 7 × [(4 + l) − l] = 1/2 × 7 × 4 = 14.

g2w Télécharger la figure GéoPlan prenons_hauteur.g2w

Solution par la méthode des aires

hauteur d'un quadrilatère concave

Soit I et J les points d'intersection de (AB) et (AD) avec (d’),
d'après la propriété du trapèze, on a : Aire(BCD) = Aire(BJD).

L'aire du quadrilatère est :
Aire(ABCD) = Aire(BAD) − Aire(BCD) = Aire(BAD) − Aire(BJD) = Aire(BAJ).

Soit E le point d'intersection de (d’) avec la parallèle à (AD) passant par B. BDJE est un parallélogramme et EJ = BD = 7 cm.

D'après le théorème du papillon, Aire(IJB) = Aire(IAE).
Donc, Aire(ABJ) = Aire(AIJ) + Aire(IJB) = Aire(AIJ) + Aire(IAE) = Aire(AEJ).

L'aire du quadrilatère est égale à l'aire du triangle AEJ,
soit 1/2 × EJ × HK = 1/2 × 7 × h = 14 cm2.

Généralisation

ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé, de diagonale extérieure [BD], si l est distance C à (BD) et l' la distance de A à (BD),
alors avec h = | l − l’ |, l'aire de ABCD est égale à 1/2 × BD × h.

7. Hauteurs et médianes dans un triangle

Classes de quatrième - seconde

Géométrie du triangle - hauteurs et médianes - copyright Patrice Debart 2006

Trapèze isocèle inscrit dans un triangle

Dans un triangle ABC, P est le pied de la hauteur issue de A. Les points I, J et K sont les milieux des côtés.
  – Montrer que le quadrilatère KPJI est un trapèze isocèle.

Indications avec des transformations

Les points A et P sont symétriques par rapport la droite des milieux (KJ).
[KP] et [KA] sont symétriques par rapport à (KJ).

Les segments [AI] et [KJ] se coupent en leur milieu M. Les points A et I d'une part, K et J d'autre part, sont symétriques part rapport à M. La symétrie de centre M transforme [KA] en [JI].

La composée des symétries par rapport à (KJ) et à M transforme [KP] en [JI] (par l'intermédiaire de [KJ]). Le résultat de la composition est la symétrie par rapport à la médiatrice de [KJ]. Cette médiatrice est l'axe de symétrie du quadrilatère KPJI qui bien un trapèze isocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hauteur_mediane.g2w

8. Triangle et trapèze

triangle et trapèze - copyright Patrice Debart 2004

Soit ABC un triangle non isocèle en A, tel que AC > AB.

A’ est le milieu de [BC].

D est le symétrique de A par rapport à A’ et E le symétrique de A par rapport à (BC).

Trapèze isocèle

  – Droite des milieux du triangle ADE : montrer que (DE) est parallèle à (BC).

  – Symétries : montrer que CD et BE sont égaux à AB.

  – En déduire que BCDE est un trapèze isocèle.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle et trapèze

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