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1. ABCD est un carré, I le milieu de [CD]. Tracer le cercle (c₁) de diamètre [CD] et le segment [IA].
Soit T le symétrique de D par rapport à la droite (IA).

Que dire des triangles ADI et ATI ?
T est-il sur le cercle ? Justifier la réponse.
Que dire de la droite (AT) ?

2. La droite (IT) coupe (BC) en K.
Que dire des triangles ATK et ABK ?
Calculer l'angle IÂK.

Exercices de géométrie

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Classe de 3^e

3. Les points A, T, I et D sont cocycliques et appartiennent au cercle (c₂) de diamètre [AI]. Soit O milieu de [AI] son centre.
Soit M le deuxième point d'intersection de ce cercle et de la droite (AK).
Sur le cercle (c₂) l'angle inscrit IÂM et l'angle au centre IÔM interceptent l'arc IM.
En déduire que l'angle IÔM est droit et que (MO) // (TD).

4. La droite (AT) coupe (BC) en E. Montrer que ET = EC.

5. Montrer que le quadrilatère OMEI est un carré.

Carré, cercles et tangente

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Indications

Soit 2a la longueur du côté du carré. Le cercle (c₁) de centre I et diamètre [CD] a pour rayon a.

1. D a pour image T par la symétrie d'axe (IA). (IA) est la médiatrice de [DT], les droites sont perpendiculaires.
Par la symétrie d'axe (IA) les points I et A sont fixes et D a pour image T, [ID] a pour image [IT] donc IT = ID = a rayon du cercle (c₁), le point T est sur le cercle. La symétrie transforme le triangle rectangle ADI en ATI. (AT) est perpendiculaire à (IT). La droite (AT) perpendiculaire au rayon [IT] est tangente au cercle (c₁) en T.
(IA) est l'axe de symétrie du cerf-volant IDAT. Les angles DÂI et IÂT ont même mesure, IÂT = DÂT.
De même, les angles DÎA et AÎT sont égaux, (IA) est la bissectrice de DÎT.
Les côtés [AD] et [AT] des triangles rectangles ADI et ATI sont égaux au côté du carré : AD = AT = 2a.
D'après la propriété de Pythagore, l'hypoténuse AI² = AD² + DI² = (2a)² + a² = 5a². D'où AI = a.

2. Les triangles rectangles ATK et ABK ont même hypoténuse [AK], les côtés AT et AB sont égaux à 2a.
Les deux triangles sont isométriques, d'où TK = BK et TÂK = KÂT.
(AK) est l'axe de symétrie du cerf-volant ATKB. TÂK = TÂB.
On a donc IÂT = DÂT et TÂK = TÂB, soit IÂK = IÂT + TÂK = (DÂT + TÂB) = DÂB = 90° = 45°.

3. Les triangles rectangles ADI et ATI sont inscrits dans le cercle de diamètre [AI]. Les points A, T, I et D sont cocycliques.
Pour l'arc IM du cercle (c₂), l'angle inscrit IÂM = 45° est égal à la moitié l'angle au centre IÔM. L'angle IÔM = 2 × 45° est droit. Les droites (MO) et (DT), perpendiculaires à (IA), sont parallèles.

4. Les triangles rectangles ECI et ETI ont même hypoténuse [EI], les côtés CI et TI sont égaux à a. Les deux triangles sont isométriques, d'où EC = ET et CÎE = EÎT. (IE) est la bissectrice de CÎT.

5. (IE) et (IA) sont les bissectrices des angles supplémentaires CÎT et TÎD. Elles sont donc perpendiculaires. EÎO = 90°.
Les triangles rectangles ADI et IEC ont leurs côtés perpendiculaires, ils ont les mêmes angles : DÂI = CÎE.
cos(DÂI) = = = . CI = a et EI = = a.
IO et OM sont deux rayons perpendiculaires du cercle (c₂) égaux à a. Les côtés EI et OM de OMEI, perpendiculaires à IO sont parallèles et égaux. OMEI est un parallélogramme ayant un angle droit, soit un rectangle. La longueur est égale à la largeur a, c'est un carré.

2. Angle inconnu

Angle inconnu

Dans cette figure, BAC = 30°, BD = CD et ED = EC.

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Quelle est la mesure de l'angle ABC ?

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3. Prenons de la hauteur

L@ feuille à problèmes

Prenons de la hauteur

ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé.

Les points A et C sont situés sur deux droites (d) et (d’) parallèles, distantes de 4 cm.
B et D, distants de 7 cm, sont sur une troisième droite parallèle à (d) et (d’), située à une distance l de (d’).

Quelle est l'aire du quadrilatère ?

Calcul

L'aire du quadrilatère est de 14 cm², égale à la différence des aires des triangles ABD et CBD :

Aire(ABD) = × 7 × (4 + l) ; Aire(CBD) = × 7 × l.

Aire(ABCD) = × 7 × [(4 + l) - l] = × 7 × 4 = 14.

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Méthode des aires

Prenons de la hauteur - Solution

Soit I et J les points d'intersection de (AB) et (AD) avec (d’),
d'après la propriété du trapèze, on a : Aire(BCD) = Aire(BJD).

L'aire du quadrilatère est :
Aire(ABCD) = Aire(BAD) - Aire(BCD) = Aire(BAD) - Aire(BJD) = Aire(BAJ).

Soit E le point d'intersection de (d’) avec la parallèle à (AD) passant par B. BDJE est un parallélogramme et EJ = BD = 7 cm.

D'après le théorème du papillon, Aire(IJB) = Aire(IAE).
Donc, Aire(ABJ) = Aire(AIJ) + Aire(IJB) = Aire(AIJ) + Aire(IAE) = Aire(AEJ).

L'aire du quadrilatère est égale à l'aire du triangle AEJ,
soit × EJ × HK = × 7 × h = 14 cm².

Généralisation

ABCD est un quadrilatère non convexe, non croisé, de diagonale extérieure [BD], si l est distance C à (BD) et l’ la distance de A à (BD),
alors avec h = | l - l’ |, l'aire de ABCD est égale à × BD × h.

4. Hauteurs et médianes dans un triangle

trapèze isocèle Classes de troisième - seconde

a. Dans un triangle ABC, P est le pied de la hauteur issue de A. Les points I, J et K sont les milieux des côtés.
Montrer que le quadrilatère KPJI est un trapèze isocèle.

Indications avec des transformations

Les points A et P sont symétriques par rapport la droite des milieux (KJ).
[KP] et [KA] sont symétriques par rapport à (KJ).

Les segments [AI] et [KJ] se coupent en leur milieu M. Les points A et I d'une part, K et J d'autre part, sont symétriques part rapport à M. La symétrie de centre M transforme [KA] en [JI].

La composée des symétries par rapport à (KJ) et à M transforme [KP] en [JI] (par l'intermédiaire de [KJ]). Le résultat de la composition est la symétrie par rapport à la médiatrice de [KJ]. Cette médiatrice est l'axe de symétrie du quadrilatère KPJI qui bien un trapèze isocèle.

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b. Dans un triangle ABC, PQR est le triangle orthique. I, J et K sont les milieux des côtés. Médiatrice du triangle orthique.
Montrer que I est un point de la médiatrice de [RQ].

Indication

Les triangles rectangles BRC et BAC sont inscrits dans le cercle de diamètre [BC] de centre I. [RQ] est une corde de ce cercle, sa médiatrice passe par le milieu I de [BC].

Remarque : Le centre O du cercle circonscrit au triangle orthique PQR est aussi situé sur cette médiatrice.Les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle ABC.

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