René DescartesDescartes et les Mathématiques

Géométrie du triangle III - Cercles remarquables

Théorème de Feuerbach, cercle et point d'Apollonius.

Sommaire

1. Théorème de Feuerbach
    Le cercle d'Euler est tangent aux cercles inscrit et exinscrits
    Points et triangle de Feuerbach
2. Milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits

3. Cercle et point d'Apollonius

4. Cercles de Tücker

5. Cercles de Lemoine

 

Droite et cercle d'Euler

 

GeoGebra GeoGebraBook : Géométrie du triangle

Autres cercles remarquables du triangle

Cercle circonscrit

Cercles exinscrits

Cercle inscrit

Cercle pédal

Cercle podaire

Cercle de Miquel

Cercle de Taylor

Cercles de Torricelli

Cercle de Thalès du triangle rectangle : le demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse.

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables

II. Points caractéristiques

IV. Lieux géométriques

V. Relations métriques

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De jolies « babioles » des mathématiques de grand-papa, qui font le bonheur des amateurs de la géométrie du triangle.
Pour GéoPlan ce ne sont que des calculs, assez complexes, que l'on pourra bientôt écrire de façon automatique.
Bien que naguère négligée, la géométrie du triangle permet aux mathématiciens professionnels de faire le trait d'union entre le discret et le continu.

Ces géométries riches, enseignées en terminale jusqu'en 1960, ont été sacrifiée au profit de l'algèbre linéaire et des mathématiques discrètes, bien moins « s e x  y ».
Mais quoi de plus formateur que de s'approprier une figure géométrique et quelle joie lorsque l'on a fini de sécher sur un problème !

Inspiré de : quelques réflexions sur la géométrie et son enseignement – Daniel Perrin - Bulletin APMEP no 480 janvier-février 2009,

Pourquoi la géométrie – Jean-Pierre Kahane – Bulletin APMEP no 493 mars-avril 2011.

Voir aussi : quels contenus pour l'enseignement

1. Théorème de Feuerbach

Géométrie du triangle - le cercle d'Euler est tangent aux cercles inscrit et exinscrits - copyright Patrice Debart 2002

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Comme son nom l'indique, ce théorème a été découvert en 1822 par Feuerbach (1800-1834), puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Les quatre points Fe, F1, F2 et F3 de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach du triangle.

Fe est le point X(11) dans ETC.

Les trois points F1, F2 et F3 de tangence aux cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle donné.

Le centre I du cercle inscrit dans le triangle ABC est l'orthocentre du triangle I1I2I3 (acutangle : dont les trois angles sont aigus) formé par les points d'intersection des trois bissectrices extérieures. Ce triangle I1I2I3, formé par les bissectrices extérieures, de sommets les centres des trois cercles exinscrits, s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : théorème de Feuerbach

1.2. Alignement du point de Feuerbach avec les centres

Géométrie du triangle - le point de Feuerbach est sur la droite des centres - copyright Patrice Debart 2002

Le point de Feuerbach Fe, point de contact du cercle d'Euler et du cercle inscrit, est situé sur la droite des centres (IJ) ; I et J centres des cercles inscrit et d'Euler.

Preuve : la tangente commune aux deux cercles en Fe est perpendiculaire aux rayons IFe et JFe.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point de Feuerbach - Alignement avec les centres

Figure exportée dans WikiPédia : Points de Feuerbach

Un quatrième point sur la droite des centres (IJ)

Géométrie du triangle - le point de Feuerbach est aligné avec 3 points sur la droite des centres - copyright Patrice Debart 2002

Soit S le point de concours des céviennes AF1, BF2 et CF3. Alors le point S,  le centre I du cercle inscrit, le centre J du cercle d'Euler et le point de Feuerbach Fe sont alignés et en division harmonique.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point de Feuerbach - Alignement de 4 points

Trois autres droites concourantes au point de Feuerbach

Géométrie du triangle - droites concourantes au point de Feuerbach - copyright Patrice Debart 2016

Soit O le centre du cercle circonscrit.
Les points de contact iA, iB, iC du cercle inscrit avec les côtés du triangle ABC forme le triangle de contact iAiBiC.

Les trois droites symétriques de la droite (IO), par rapport aux côtés du triangle de contact, passent par le point de Feuerbach Fe.

Pour tracer la droite symétrique, placer le point double Mi intersection de la droite (IO) et du côté, puis trouver le symétrique d'un autre point, par exemple I.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : droites concourantes au point de Feuerbach

1.3. Le point de Feuerbach et les pieds des bissectrices sont cocycliques

Géométrie du triangle - le point de Feuerbach est sur le cercle passant par les pieds des bissectrices - copyright Patrice Debart 2002

Les pieds A1, B1 et C1 des bissectrices intérieures du triangle ABC forment le triangle pédal A1B1C1 du centre I du cercle inscrit.

Le cercle pédal, circonscrit au triangle pédal A1B1C1, passe par le point de Feuerbach.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : point de Feuerbach et bissectrices

Publimath Glossaire Publimath
Bissectrices

GeoGebra Cercles inscrits et théorème de Feuerbach dans le triangle rectangle

2. Milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits

Géométrie du triangle - milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits - copyright Patrice Debart 2002

logo APMEP D'après Michel Fréchet – Problème d'antan 4
Bulletin APMEP no 481, mars-avril 2009 

Les milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits sont sur le cercle circonscrit.

Application : construire un triangle connaissant ses trois bissectrices avec les centres de cercles exinscrits

Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures.
Leurs points d'intersection sont les centres I, I1, I2, I3 des cercles inscrit et exinscrits, tangents aux trois côtés du triangle.

On note O1 le milieu de [II1], situé sur la bissectrice intérieure (AI), et les angles BAC = 2a, ABC = 2b et BCA = 2c.

I, centre du cercle inscrit, est à l'intersection des bissectrices intérieures (BI) et (CI).
I1, centre d'un cercle exinscrit, est à l'intersection des bissectrices extérieures (BI1) et (CI1).
Les bissectrices intérieures et extérieures sont perpendiculaires, d'où les angles IBI1 et ICI1 sont droits. Le quadrilatère BICI1 est inscriptible dans le cercle de diamètre [II1] de centre O1 passant par B et C.

Dans ce cercle, le double de l'angle inscrit II1C est égal à l'angle au centre IO1C, angle égal à AO1C.
Le supplémentaire de la somme des angles aigus de IAC est l'angle :
I1IC = a + c.
Dans le triangle rectangle I1IC, l'angle II1C est le complémentaire de I1IC, d'où II1C = pi/2 – (a + c).

AO1C = IO1C = 2 II1C = 2 { pi/2 – (a + c)} = 2b car la somme 2(a + b + c) des angles du triangle ABC est égal à π. On a donc AO1C = ABC, le point O1 est situé sur le cercle circonscrit.

g2w Télécharger la figure GéoPlan milieu_centre.g2w

Le milieu d'un segment joignant les centres de deux cercles exinscrits est situé sur le cercle circonscrit.

On note O6 le milieu de [I1I2], situé sur la bissectrice extérieure passant par C. Les points C, I1, I2 et O2 sont alignés sur cette bissectrice.

Comme précédemment, les angles I1AI2 et I1BI2 des bissectrices sont droits. Le quadrilatère I1BAI2 est inscriptible dans le cercle de diamètre [I1I2] de centre O6 passant par A et B.

Dans ce cercle, en considérant l'angle inscrit AI1I2 et son angle au centre AO6I2, on a AO6C = 2 AI1I2 = 2 {pi/2 – (a + c)} = 2b.
On a donc AO6C = ABC, le point O6 est situé sur le cercle circonscrit.

3. Cercle et point d'Apollonius

Géométrie du triangle - cercle et point d'Apollonius - copyright Patrice Debart 2002

Dans un triangle, les droites joignant respectivement les sommets aux trois points de contact du cercle d'Apollonius, tangent intérieurement aux cercles exinscrits, sont concourantes.
Le point de concours est le point d'Apollonius
(point X(181) dans ETC).

Construction

Dans un triangle ABC, tracer les bissectrices intérieures et extérieures. Leurs points d'intersection extérieurs au triangle, situés à égale distance des trois côtés du triangle, sont les centres I1, I2, I3 des cercles exinscrits (c1), (c2), (c3), tangents aux trois côtés du triangle.

La construction des cercles tangents à trois cercles, du problème d'Apollonius, permet de construire le cercle d'Apollonius (c) :

Soit S1, S2 et S3 les centres des homothéties positives échangeant les trois cercles : S1 est l'intersection de (BC) et (I2I3), S2 intersection de (AC) et (I1I3) et S3 intersection de (AB) et (I1I2).

Étant donné un point M variable sur le cercle (c3) construisons les points P intersection bien choisie de (c1) avec (S2M) et Q intersection de (c2) avec (S1M).

Le cercle circonscrit au triangle MPQ recoupe (c3) en N. La droite (MN) est l'axe radical de MPQ et de (c3). Elle coupe la ligne (S1S2) des centres d'homothétie en H.
Le point H est indépendant du point M ; la puissance du point H par rapport à (c3) est aussi celle par rapport au cercle cherché (c).
La tangente commune à (c) et (c3) passe par H.

Il suffit de trouver les points de tangence T et T’, intersection de (c3) avec le cercle de diamètre [I3H].

En traçant le point U intersection de (c1) avec (S2T) et le point S intersection de (c2) avec (S1T), on trouve le cercle (c) circonscrit à TUS.

De même, on trace U’ intersection de (c1) avec (S2T’), et S’ intersection de (c2) avec (S1T’).
T’, U’ et S’ sont les points de Feuerbach du triangle. T’U’S’ est le triangle de Feuerbach du triangle ABC.
Le cercle (c’) circonscrit à T’U’S’ n'est autre que le cercle d'Euler tangent aux trois cercles exinscrits. Ce résultat constitue le théorème de Feuerbach.

Les droites (AS), (BU) et (CT) sont concourantes au point d'Apollonius F.

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, I le centre du cercle inscrit dans ABC, Ω’ le centre du cercle (c’) d'Euler et Ω le centre du cercle (c).
Les droites (OI) et (ΩΩ’) sont parallèles et perpendiculaires à la ligne des centres d'homothétie (S1S2). Les points O, I et F sont alignés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan pt_feuerbach.g2w

À ne pas confondre avec le faisceau des cercles d'Apollonius d'un triangle

Wikipédia : Problème des contacts

4. Cercles de Tücker

Définition 1 : homothétie

Géométrie du triangle - cercle de Tucker - copyright Patrice Debart 2002

Dans une homothétie de centre L, le point de Lemoine, de rapport k (k ≠ 1 et k ≠ 0), le triangle ABC a pour image A’B’C’.
Les côtés du triangle A’B’C’ rencontrent ceux du triangle ABC en six points.
Ces points cocycliques sont situés sur un cercle (T) dit de Tücker du triangle ABC.

Propriétés

Les milieux U, V, W des segments [MN], [PQ], [RS] sont situés sur les symédianes et forment un triangle UVW homothétique de ABC dans une homothétie de centre L.

Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Le centre Ω du cercle (T) est le milieu du segment [OO2] formé par les centres des cercles circonscrits aux triangles ABC et A’B’C’.

Indications

Les milieux U, V, W des segments [MN], [PQ], [RS] sont situés sur les symédianes, les segments sont antiparallèles aux côtés opposés.
Voir : milieu d'une antiparallèle

Les droites (MN, CB) sont antiparallèles aux droites (AB, CA) :
(AB, MN) = (CB, CA).
Les droites (SR, CA) sont aussi antiparallèles aux droites (BC, BA) :
(BA, SR) = (CA, CB).
On en déduit que (BA, SR) = − (AB, MN).
Comme (AB) //(NR) on a : (BA, SR) = − (NR, MN).
Avec les points de l'hexagone MNPQRS on a (SM, SR) = (NM, NR).
Les points S, M, N, R n'étant pas alignés, cette égalité d'angles montre qu'ils sont cocycliques, situés sur un cercle (T).

Indications

De (BC)//(PS) et (MN) antiparallèle à (BC) on en déduit que (PS) est antiparallèle à (MN) par rapport à (MS) et (PN). (PS, PN) = (MS, MN).
P, S, M, N sont cocycliques, P appartient au cercle circonscrit à S, M, N : le cercle (T). On montre de même que (T) contient le point Q.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker.g2w

Démonstrations : Sortais Yvonne et René
La géométrie du triangle – Hermann 1997

Construction d'une antiparallèle

ABC est un triangle de cercle circonscrit (Γ) de centre O.

Définition 2 : À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la droite antiparallèle de (BC) par rapport à (AB, AC). C'est la parallèle à la tangente en A à (Γ), donc perpendiculaire à (AO). Elle coupe (AC) en N. La parallèle à (AB) passant par N coupe (BC) en R. Le cercle circonscrit au triangle MNR recoupe les côtés du triangle ABC en P, Q et S.

Nous obtenons une configuration de six points, situés sur un cercle de Tücker.

Propriétés

Géométrie du triangle - cercle de Tucker et antiparallele - copyright Patrice Debart 2002

Les droites parallèles (AB) et (NR) coupent le cercle suivant deux cordes égales, d'où MN = SR.

(RS) antiparallèle à (AC) par rapport à (BA, BC) :

(RS, BA) = (RS, RN) car (BA)//(RN)
(RS, RN) = (MS, MN) = (AB, MN), angles inscrits de droites
(AB, MN) = (BC, AC) car les droites (MN), (BC) sont antiparallèles aux droites (AB), (AC).

On a donc (RS, BA) = (BC, AC) : les droites (RS), (AC) sont antiparallèles aux droites (BA), (BC).

(MQ) parallèle à (AC) :

(MQ, AC) = (MQ, MN) + (MN, AC)
(MQ, MN) = (RQ, RN) = (RQ, AB), angles inscrits de droites
(MN, AC) = (AB, BC) car les droites (MN), (BC) sont antiparallèles aux droites (AB), (AC)
(MQ, AC) = (RQ, AB) + (AB, BC) = (RQ, BC) = 0.

(MQ) // (AC). Ces parallèles coupent le cercle suivant deux cordes égales, d'où MN = PQ et MN = PQ = SR.

De l'égalité PQ = SR il résulte le parallélisme de (BC) et (SP).

Un calcul d'angles analogue au premier calcul permet de déduire que (PQ) est antiparallèle à (AC) par rapport à (BA, BC).

Conclusions

Les six points jouent des rôles analogues. Par chaque point on mène deux droites : l'une parallèle à la tangente à (Γ) en l'un des sommets du côté qui le porte, et l'autre parallèle à l'autre côté issu de ce sommet.

Par tout point d'un côté distinct des sommets passe deux cercles de Tücker obtenus en considérant les deux tangentes à (Γ) aux deux sommets des côtés qui le porte.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker3.g2w

Triangle tangentiel à UVW

Géométrie du triangle - triangle tangentiel - copyright Patrice Debart 2002

Les points U1, U2 et U3, intersections des droites (PQ), (RS) et (MN), sont situés sur les symédianes.

Le triangle U1U2U3 est le triangle tangentiel de UVW, il est homothétique du triangle tangentiel T1T2T3 de ABC, dans une homothétie de centre L.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker2.g2w

Voir : Symédianes

Autre construction du cercle à partir de M et N

À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la parallèle à la tangente en A à (Γ). Elle coupe (AC) en N.
Construire les points U2 et U3, intersection de (MN) avec les symédianes (CL) et (BL). Tracer les droites (RS) et (PQ) parallèles aux tangentes à (Γ) en B et C et trouver les quatre autres points du cercle.

Construction de trois antiparallèles de longueur égale

Géométrie du triangle - trois antiparallèles de meme longueur - copyright Patrice Debart 2002

Définition 3 : Les droites (MN), (PQ) et (RS) sont antiparallèles aux côtés du triangle et les segments qu'elles déterminent sont de même longueur.

Cette propriété peut être prise comme définition en déterminant trois segments [MN], [PQ], [RS] de longueur égale et parallèles aux tangentes en A, B, C au cercle circonscrit.

Construction

À partir d'un point M de (AB) distinct de A, mener la parallèle à la tangente en A à (Γ), donc perpendiculaire à (AO). Elle coupe (AC) en N. Reporter la longueur MN sur la tangente en B à (Γ) en R1 et R2, sur la tangente en C en Q1 et Q2. La parallèle à (AB) passant par R1 coupe (BC) en R, la parallèle à (BC) passant par R2 coupe (AB) en S. La parallèle à (AC) passant par Q1 coupe (BC) en Q et la parallèle à (BC) passant par Q2 coupe (AC) en P.

Nous obtenons une configuration de six points, ces points sont cocycliques et situés sur un cercle de Tücker.

Justification

La parallèle à (AB) passant par N coupe la tangente en B à (Γ) en R1 et (BC) en R. Par parallélisme, le cercle circonscrit au triangle MNR recoupe les côtés du triangle ABC en P, Q et S. Comme on l'a vu dans la définition 2, c'est un cercle de Tücker.

[MN] étant construit, il peut être délicat de choisir, à partir de B, la direction vers R1 ou R2 pour placer R.
Ce n'est pas un problème pour GéoPlan.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker4.g2w

Milieux des cordes, construction à partir d'un centre donné

Géométrie du triangle - construction des milieux des cordes à partir d'un centre - copyright Patrice Debart 2002

Les milieux forment un triangle UVW se déduisant de ABC dans une homothétie de centre L de rapport t avec |t| = LU/LA. Dans cette homothétie, le point O a pour image Ω avec LΩ/LO = |t|. Ce point Ω est le centre du cercle circonscrit à UVW. La droite (UΩ) parallèle à (OA) est perpendiculaire à (MN), c'est la médiatrice de [MN]. De même, la droite (VΩ) est la médiatrice de [PQ]. Le point Ω est bien le centre du cercle de Tücker (T).

Un cercle de Tücker est caractérisé par son centre Ω situé sur (OL), distinct de O et de L.

Construction

La parallèle à (OA) passant par Ω coupe (LA) en U.

M et N sont situés sur la perpendiculaire en U à (OA) et on complète R par parallélisme pour tracer le cercle circonscrit à MNR.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker5.g2w

Deux cercles de Tücker

Géométrie du triangle - deux cercles de Tücker - copyright Patrice Debart 2002

|t| = LU/LA.

En prolongeant les côtés du triangle U’V’W’ jusqu'à ceux du triangle ABC, nous obtenons un deuxième cercle de Tücker passant par M’N’P’Q’R’S’.

En prenant les milieux des cordes [M’N’], [P’Q’], [R’S’], le triangle U’V’W’ est homothétique du triangle ABC dans une homothétie de centre L de rapport t’ :
|t’| = LU’/LA = |(t+1)/2| (en effet, le point U’ est le milieu de [UA]).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tucker6.g2w

Autres propriétés de la figure

PR = QS, MP = NQ, NS = MR.

Les triangles NQS et MPR sont directement semblables à ABC.

Wikipédia : cercles de Tücker

5. Cercles de Lemoine

Deux cas particuliers de cercles de Tücker :

Premier cercle de Lemoine

Géométrie du triangle - premier cercle de Lemoine - copyright Patrice Debart 2002

Lemoine Émile, 1840-1912
mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle,

Tücker Robert 1832-1905

Les parallèles aux côtés d'un triangle menées par le point de Lemoine coupent les côtés en six points, cocycliques.
Le centre O’ est le milieu de [OL] où O est le centre du cercle circonscrit.
Les droites (RQ), (ST) et (PU) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle. Les segments sont de même longueur et leurs milieux A’, B’ et C’ situés sur les symédianes forment un triangle A’B’C’ homothétique du triangle ABC dans une homothétie de centre L.
L'hexagone PQRSTU est dit hexagone de Lemoine.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_lemoine.g2w

Deuxième cercle de Lemoine

Géométrie du triangle - deuxième cercle de Lemoine - copyright Patrice Debart 2002

Les antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point de Lemoine L, coupent les côtés du triangle en six points cocycliques.
Ces points sont situés sur le deuxième cercle de Lemoine centré en L.

Les points d'intersection A’, B’, C’ des droites (RQ), (ST) et (PU) sont situés sur les symédianes.

Ils forment un triangle A’B’C’ symétrique du triangle ABC dans une symétrie de centre L.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cercle_lemoine2.g2w

Autre cercle de Tücker : cercle de Taylor

Wikipédia : cercles de Lemoine

 

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