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Fonctions distance

De nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation : à partir de figures géométriques, études de longueurs et recherche d'extremums avec GéoPlan.

Le titre de cette page est à comprendre comme fonction faisant appel à des distances et non au sens mathématique de « fonction distance » entre les points d'un ensemble.

Technique GéoPlan : dans ces exercices est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

1. Plus court chemin

Classes de seconde, de première L

Constructions avec une contrainte d'optimisation (et ici utilisation d'une transformation)

a. Symétrie axiale : de A à B via M situé sur (d)

Problème ouvert : Roméo doit aller cueillir une fleur sur le mur de roses et la porter à Juliette. À quel endroit Roméo doit-il cueillir la fleur pour aller le plus vite possible ?

Prérequis : configurations du plan, théorèmes de Pythagore et de Thalès, transformations, calculs avec fractions et racines carrées, généralités sur les fonctions.

Déroulement de l'activité :
Le problème est à chercher à la maison, puis, en salle informatique et en demi-groupe, on demande aux élèves de réaliser une figure avec un logiciel de géométrie dynamique pour confirmer ou affiner les résultats trouvés à la maison.
De retour en classe entière, pour la correction, le professeur projette la figure dynamique tout en déroulant les calculs.

Prolongement : la vitesse pour aller au mur de roses n'est pas la même que la vitesse pour aller rejoindre Juliette. Non résolu.

Réalisation avec GéoPlan

Étant donné deux points A et B situés dans un même demi-plan par rapport à une droite (d), trouver le point M sur la droite (d) tel que MA + MB soit minimum.

On trouve la solution en trouvant l'intersection M de la droite (d) avec la droite (AB’) où B’ est le symétrique de B par rapport à (d).

M est aussi le point de (d) tel que la perpendiculaire en M à (d) soit la bissectrice des droites (MA) et (MB).
Ainsi, le point A représente la position initiale d'une boule de billard qui rebondit en M pour terminer en B.

Bibliographie : Imagiciels - fonctions numériques - MEN 1992
Géométrie - Michel Canal - ellipse 1995
Programme de 1L

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Exercices de-ci, de-là : 486-1

b. Translation : de A à B via M et M’

Soit deux droites parallèles (d₁) et (d₂), deux points A et B de part et d'autre de la bande dessinée par (d₁) et (d₂) et (d₃) une droite sécante à (d₁) et d₂).

Construire les points M et M’ sur (d₁) et (d₂) tels que (MM’) soit parallèle à (d₃) et le trajet AM + MM’ + MB soit le plus court possible.

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2. Modélisation d'une situation géométrique

En géométrie plane, recherche d'un trajet optimal avec deux contraintes différentes suivant les régions du plan dans lesquelles on se déplace.

ÉduSCOL -Terminale S - Banque de sujets 2005 - 2007 : sujet 016

Trajet en temps minimum

Un marin désire aller de son phare A à la ville B située sur une côte rectiligne BH.
Il transporte dans son bateau son vélo.
En mer il se déplace à la vitesse v₁, sur terre à la vitesse v₂ (v₁ ≤ v₂).

En quel point M de la côte doit-il aborder pour mettre le moins de temps possible ?

La distance BH est égale à 6 km, la distance AH vaut h.
On appelle x la distance BM, y le temps mis pour aller de A à B (en passant par M) en fonction de x.
Le point N de coordonnées (x, y) varie dans un repère orthogonal R.

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Variante sans bateau : analyse en 1L

Thème : optimisation - CAPES Externe de mathématiques 2011

L’exercice
À partir de l’extrait d’un manuel donné ci-dessous, un professeur a proposé à ses élèves l’exercice suivant :
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 4] par :

f(x) =
1. Expliquez pourquoi la fonction f est dérivable et calculer sa dérivée.
2. Dressez le tableau de variation de f. Déterminer pour quelle valeur x₀cette fonction admet un minimum.
3. Donnez les valeurs exactes, puis les valeurs approchées arrondies à 10^-3 de x₀ et de f(x₀).

Un extrait de manuel

Une voiture 4 × 4 doit aller d'un point A situé sur une route à un point B en traversant un champ.

Sachant que sa vitesse sur la route est de 40 km·h^{- 1} et que sa vitesse â travers champs est de 20 km·h^{- 1}, déterminer la position du point H pour que le temps mis pour aller de A à B soit minimal.

Déclic Terminale S - 2006

Le travail à exposer devant le jury
1- Comparez les compétences développées par les deux versions de l’exercice (professeur/manuel).
2- Citez différents logiciels permettant d’émettre une conjecture sur la solution de l’exercice du manuel et développez la mise en oeuvre de l’un d’entre eux.
3- Proposez la correction de la question 2) de l’exercice du professeur comme vous la présenteriez à des élèves.
4- Présentez deux ou trois exercices sur le thème « optimisation ».

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3. Fonction distance dans un triangle

Au démarrage G est le centre de gravité d'un triangle ABC.
Un point M varie sur les côtés du triangle ABC. Le point M part de A et parcourt le triangle ABC dans le sens trigonométrique.
On appelle x la distance parcourue depuis A (unité AB = 1). On étudie les variations de la longueur du segment [MG] en fonction de x.
Le point N a pour coordonnées (x, MG) dans un repère orthogonal R dont les unités sont u et v.

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4. Fonction distance dans un hexagone

Énoncé (Terminale S)

ABCDEF est un hexagone régulier de côté de longueur 2.
Un point M part de A et fait le tour de l'hexagone dans le sens positif.
On note x_N la distance que M a parcourue depuis son départ sur l'hexagone. On note y_N = AM la distance (directe) de A à M.
Dans le repère situé à droite, on place le point N de coordonnées (x_N ; y_N) et on trace le lieu L de N quand x_N varie de 0 à 12.
On obtient ainsi une fonction définie sur [0 ; 12] par morceaux à valeurs dans [0 ; 4].

Résolution du problème

On essaiera d'exprimer la distance AM selon les trois cas de segment après avoir remarqué la symétrie.
La composition des fonctions sera utile pour une étude rigoureuse.
Le tableau de variation complet doit être établi.

Utilisation du logiciel GéoPlan

L'intérêt est de suivre les positions correspondantes simultanément et de montrer que la même variation de x donne des différences selon la position de M.

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Fonctions dans l'espace	GéoPlan 3e Longueur minimum	Seconde : Problèmes d'optimisation	1S - TS : Problèmes d'optimisation	Rectangle inscrit dans un triangle	GéoPlan en 1S
Sommaire 1. Plus court chemin   a. Symétrie axiale : de A à B via M situé sur (d)   Exercices de-ci, de-là : 486-1 construction sous contrainte   b. Translation : de A à B via M et M’ 2. Trajet en temps minimum 3. Fonction distance dans un triangle 4. Fonction distance dans un hexagone			« Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr   Suggestions, remarques, problèmes : me contacter
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