Site Descartes et les Mathématiques

Droites	Point de concours	Cercle	Triangle	Coordonnées barycentriques
Céviennes		Cercle pédal	pédal
Médianes	Centre de gravité	des neuf points	médian	(1, 1, 1)
Bissectrices	Centre du cercle inscrit	cercle inscrit, cercles exinscrits, cercles d'Apollonius		(a, b, c)
Hauteurs	Orthocentre	de Taylor	orthique	[tan(Â), tan(B), tan(C)]
Médiatrices	Centre du cercle circonscrit	circonscrit	tangentiel	[sin(2Â), sin(2B), sin(2C)]

II. Points caractéristiques du triangle

Droites	Point	Cercle	Triangle
Symédianes Droite de Lemoine	Point de Lemoine	Tücker Lemoine	tangentiel Grèbe
	Points conjugués isogonaux	podaire	podaire
	Point de Gergonne		Gergonne
	Point de Nagel		Nagel
	Point de Bevan		Bevan
Droites de Brocard Axe de Brocard	Point de Brocard	Brocard
	Point de Torricelli ou de Fermat	Torricelli	Napoléon
	Point de Vecten

III Cercles remarquables

Droites	Point	Cercle	Triangle
Euler		Euler
	Points de Feuerbach Point d'Apollonius	Cercle d'Apollonius	Feuerbach
Droite de Lemoine	Centres isodynamiques	Cercles d'Apollonius

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

1. Rappel : barycentre de trois points

Ancienne classe de première S

Soit (A, α) ; (B, β) et (C, γ) trois points pondérés tels que α + β + γ ≠ 0, il existe un point unique G tel que :

α + β + γ = ;

le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

Si α + β ≠ 0, α + γ ≠ 0 et β + γ ≠ 0 le théorème d'associativité permet de dire :

si A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β + γ),
si B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ),
si C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β) ;

les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.

Coordonnées barycentriques

Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés.

Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
• α + β + γ = 1;
• M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.

Voir : le barycentre

2. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voici cinq démonstrations de cette propriété. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la première démonstration, sachant que dans le triangle BCC₁, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC₁).

a. Symétrie centrale

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.

Médianes et centre de gravité

Soit C₁ le symétrique de C par rapport à G.

Dans le triangle BC₁C, la droite des milieux (GA’) est parallèle à (BC₁), donc (GA) // (BC₁).
Dans le triangle AC₁C, la droite des milieux (GB’) est parallèle à (AC₁), donc (BG) // (AC₁).

AGBC₁ est un parallélogramme, car les côtés opposés sont, deux à deux, parallèles.

C’ est le milieu des diagonales et GC’ = GC₁ = CG.
CG = 2 GC’et CC’ = CG + GC’ = 3 GC’,
d'où GC’ = CC’ et CG = 2 GC’= CC’.
Le point G est situé aux de la médiane [CC’], à partir de C..

b. Somme des vecteurs + +

Soit C₁ le quatrième sommet du parallélogramme AGBC₁.

+ = = 2 (règle du parallélogramme pour l'addition des deux vecteurs et C’ milieu de la diagonale)

G est le milieu de [CC₁] donc = −
et on a + + = .

Le centre de gravité G est l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC :

G est le barycentre des trois points pondérés (A, 1) ; (B, 1) et (C, 1) ;
donc + 2 = ;

G est le barycentre de (C, 1) et (C’, 2).

Le point G est situé aux , à partir de C, de la médiane [CC’].

Télécharger la figure GéoPlan medianes2.g2w

La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire pour tout point M :
+ + = 3 .

c. Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.

Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles

Médiane (CC’)
Placer le point C₁ image de A par la translation de vecteur .
On a = , d'où AGBC₁ est un parallélogramme de centre C’ milieu de [AB].

Comme côtés opposés du parallélogramme, (AC₁)//(BG),
d'où (AC₁)//(BB’).
(BB’) est donc une droite des milieux du triangle CAC₁ et coupe [CC₁] en son milieu.

De même (BC₁)//(AA’). (AA’) est une droite des milieux du triangle CBC₁ et coupe [CC₁] en son milieu.

Le milieu de [CC₁] est le point de concours des deux médianes (AA’) et (BB’) : c'est le point G.
Les points G, C’ et C₁ sont alignés sur la médiane issue de C.

Comme ci-contre, on montre que le point G est situé aux de la médiane [CC’].

Les trois médianes sont concourantes en G, centre de gravité du triangle

Médiane (AA’)
Placer le point A₁ image de B par la translation de vecteur . = , d'où BGCA₁ est un parallélogramme de centre A’, milieu de [BC].
Les points G, A’ et A₁ sont alignés sur la médiane issue de A.

Médiane (BB’)
Placer le point B₁ image de A par la translation de vecteur . = . AGCB₁ est un parallélogramme de centre B’, milieu de [AC].
Les points G, B’ et B₁ sont alignés sur la médiane issue de B.

Trois autres parallélogrammes de centre G
Dans le parallélogramme AGBC₁, on a = , et dans BGCA₁, on a = ; d'où = . AC₁A₁C est un parallélogramme. G est le milieu des diagonales [AA₁] et [CC₁].

De même = = . BA₁B₁A est un parallélogramme.
Les diagonales [AA₁] et [BB₁] se coupent en leur milieu G.

Enfin les diagonales [BB₁] et [CC₁] se coupent en leur milieu G :
BC₁B₁C est un parallélogramme.

Télécharger la figure GéoPlan medianes1.g2w

d. Parallélogramme de centre G

Classe de quatrième

Parallélogramme de centre G

Deux médianes sont concourantes en un point G situé aux de chacune d'entre elles.

Soit G le point d'intersection des médianes [BB’] et [CC’] d'un triangle ABC.
I est le milieu de [BG] et J est le milieu de [CG].

En appliquant le théorème des milieux dans les triangles ABC et GBC, on montre que C’B’ et IJ sont égaux à BC, et que (C’B’) et (IJ) sont parallèle à (BC).
IJB’C’ est donc un parallélogramme, car les côtés opposés [C’B’] et [IJ] sont de la même longueur et parallèles.

Par hypothèse I milieu de [BG], on a BI = IG ;
G est le milieu des diagonales du parallélogramme, IG = GB’.

On en déduit que le point G est situé aux de la médiane [BB’] ; de même pour la médiane [CC’].

Ce même point G est situé aux de la troisième médiane

De même, en étudiant le parallélogramme IA’B’K où K est le milieu de [AG], on montre que les médianes [AA’] et [BB’] sont concourantes en un point situé à leurs . Ce point, situé aux de [BB’], est donc le point G. Les trois médianes sont concourantes en ce même point G, centre de gravité du triangle.

Télécharger la figure GéoPlan medianes3.g2w

e. Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

Classe de quatrième

Partage en trois de la diagonale

Par rapport au milieu O de [BC], tracer le symétrique D de A.

– ABCD est un parallélogramme, de centre de symétrie O,
– les points B’, C’ et I sont les milieux des côtés,
– les points G et J sont les centres de gravité des triangles ABC et BCD.

Démonstration

– Les points G et J partagent la diagonale [AD], du parallélogramme ABCD, en trois segments égaux :
AG = GJ = JD = AD.
Voir : figure d'Euclide dans partage en trois

Comme AD = 2 AO, on a AG = AD = AO.
On trouve encore que le centre de gravité G est aux de la médiane [AO].

Télécharger la figure GéoPlan medianes4.g2w

f. Autre méthode

Méthode des aires : voir aires au collège

Triangle médian

Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.
On l'appelle aussi triangle complémentaire ou triangle médial.

Comme G est au deux tiers des médianes et que GA = 2GA’, les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport –2.

Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie par réciproque h^{– 1}, de centre G et de rapport .

Les segments [A’B’], [B’C’] et [C’A’] partagent le triangle ABC en quatre triangles d'aires égales.

Aire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques d'aires égales.

Les trois médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.

Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales.

Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w

Théorèmes de la médiane

Premier théorème de la médiane − Théorème d'Apollonius

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut vérifier les formes numériques des « théorèmes de la médiane » :

AB² + AC² = 2AA’² + (formule d'Apollonius de Perge − premier théorème de la médiane).

Voir démonstration avec la puissance d'un point par rapport à un cercle

Deuxième théorème de la médiane : calculs vectoriels des côtés et , avec la médiane :

Somme vectorielle de deux côté du triangle : + = ( + ) + ( + ) = 2 , car + = .

On obtient alors la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

+ = 2 .

Produit vectoriel de deux côté du triangle : . = ( + ) . ( + ) = ² + . ( + ) + . ;
. = ² + ().() = ² – ².

On obtient la forme scalaire du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

. = AA’² – BC².

Troisième théorème de la médiane

Avec le produit scalaire : AB² – AC² = ² – ² = ( + ).( – ) = 2 .(+ ) = 2 ..
Soit H, le point projeté orthogonal de A sur (BC). La projection de sur est , d'où . = . = ..

Donc AB² – AC² = 2 ..

D'où |AB² – AC²| = 2 BC × A’H (troisième théorème de la médiane) ;

En effet, le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC × A’H ou à son opposé, d'où la valeur absolue.

Application : lieux et théorèmes de la médiane

Longueur des médianes

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b, AB = c et m = AA’ la médiane relative au côté BC, d'après le « premier théorème de la médiane » on a :
b² + c² = 2m² + (a/2)²,
d'où m = .

Théorème des trois médianes

a.Si G désigne le centre de gravité du triangle ABC alors GA² + GB² + GC² = (a² + b² + c²).

Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.
b. Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ?
c. Et si on l'applique à un triangle rectangle ?

Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Reconstituer le triangle ABC, voir : le triangle, c'est le pied

Glossaire : médiane

Wikipédia :
Médiane
Théorème de la médiane

Triangle orthomédian

Problèmes de construction : construire un triangle connaissant deux sommets et le centre de gravité

Construire un triangle connaissant ses médianes
Barycentre

Symédianes et point de Lemoine : points caractéristiques du triangle

Produit scalaire

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3. Bissectrices

Définitions

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.

La bissectrice d'un angle est son axe de symétrie.

Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle.

Les bissectrices de deux angles supplémentaires adjacents sont perpendiculaires.

Bissectrices et cercle inscrit dans le triangle

Télécharger la figure GéoPlan bissectr.g2w

« Comment construire le cercle tangent à un triangle »

Pour tracer le cercle inscrit dans un triangle, tangent aux trois côtés, construire deux bissectrices ; leur point d'intersection est le centre I du cercle. Projeter ce centre sur un des côtés : on trouve C₃, un des points de contact et il suffit alors de tracer le cercle de centre I, passant par ce point de contact C₃.

Tâche impossible

Trouver un triangle tel que deux bissectrices soient perpendiculaires !

Point de concours des bissectrices d'un triangle

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Preuve

Soit I le point d'intersection de deux bissectrices issues de A et de B d'un triangle ABC.
I situé sur la bissectrice issue de A est à une distance r des côtés (AB) et (AC).
I situé sur la bissectrice issue de B, à une distance r du côté (BA), est situé à la même distance r de (BC).
I est donc équidistant de (AC) et de (BC). I est à l'intérieur du triangle, donc est situé sur la bissectrice intérieure issue de C.

Construction à la « règle et au compas », voir : problèmes de construction

Cercle inscrit dans le triangle

Le cercle inscrit est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.
Son centre I est le point de concours des bissectrices.

C'est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c) avec a = BC, b = AC et c = AB.
Son rayon r est égal à =, où S désigne l'aire du triangle et p désigne le demi-périmètre : p = (a + b + c).

Les points d'intersection des bissectrices avec le cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets : A₂ est le milieu de l'arc BC, B₂ est le milieu de l'arc AC et C₂ est le milieu de l'arc AB.

Démonstration

Montrer que est la somme de deux vecteurs de même norme.

D'après la définition du barycentre I et en prenant le point A pour origine on a :

(a+b+c) = b + c .
Les vecteurs b et c ont la même norme bc.

Donc, = + = + .
Ces deux vecteurs ont même norme et AB₁IC₁ est un losange : la diagonale [AI] est la bissectrice de l'angle Â.

Voir : angles inscrits

Décomposition en 3 triangles autour du centre du cercle inscrit Formule des aires

Paragraphe dupliqué dans la page relations métriques

Soit I le centre du cercle (c), inscrit dans le triangle ABC, et r son rayon.
Le cercle (c) est tangent aux côtés du triangle en A₁, B₁ et C₁.

Le triangle ABC est décomposable en trois triangles IBC, ICA, IAB, de sommet I et de hauteurs IA₁, IB₁, IC₁, de même longueur r.

L'aire du triangle est donc S = ar + br + cr = (a + b + c) × r = p × r,
où p désigne le demi-périmètre : p = (a + b + c).

Donc S = pr et r = = .

Télécharger la figure GéoPlan bissectrices.g2w (Taper M pour effacer les médianes)

Remarque : distances entre les sommets et les points de contact

Pour chaque sommet, les deux segments, qui joignent le sommet aux points de contact, sont de longueurs égales :
AB₁ = AC₁ = p – a,
BA₁ = BC₁ = p – b,
CA₁ = CB₁ = p – c.

Relation d'Euler

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrits

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI² = R² – 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Voir : relations d'Euler

Théorème de Steiner−Lehman

Si deux bissectrices d'un triangle ont même longueur, le triangle est isocèle.

Bissectrices extérieures et cercles exinscrits

Bissectrices extérieures et cercles exinscrits Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.
En un sommet, les bissectrices intérieure et extérieure sont orthogonales.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.
Leur point d'intersection situé à égale distance des trois côtés du triangle est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Le point I₁, intersection de la bissectrice intérieure issue de A et des deux bissectrices extérieures issues de B et C,
est le barycentre de (A, – a) ; (B, b) ; (C, c).
I₁ est le centre du cercle (c₁) exinscrit au triangle,
son rayon est r₁ = = =
(en substituant S avec la formule de l'aire du triangle S = bc sin A).

Relation d'Euler : OI₁² = R² + 2Rr₁.

Le point I₂, intersection de la bissectrice intérieure issue de B et des deux bissectrices extérieures issues de A et C,
est le barycentre de (A, a) ; (B, – b) ; (C, c).
I₂ est le centre du cercle (c₂) exinscrit au triangle, son rayon est .

Le point I₃, intersection de la bissectrice intérieure issue de C et des deux bissectrices extérieures issues de A et B,
est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, –c).
I₃ est le centre du cercle (c₃) exinscrit au triangle, son rayon est .

L'ensemble des points équidistants des droites (AB), (BC) et (AC) est formé des quatre points I, I₁, I₂ et I₃.

Le triangle I₁I₂I₃ formé par les centres des trois cercles exinscrits s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan bissect5.g2w
Cercles tangents à trois droites : voir problème de contact DDD
Distances entre les sommets et les points de contact : voir cercles inscrit et exinscrit

Bissectrices intérieure et extérieure

Dessin des bissectrices à partir du cercle circonscrit Les bissectrices recoupent le cercle circonscrit aux milieux des arcs déterminés par le côté opposé au sommet de l'angle.

Dans l'exemple ci-contre pour le sommet A du triangle ABC direct,
la bissectrice intérieure (AI) recoupe le cercle circonscrit en A₂ qui est le milieu de l'arc BC (parcouru dans le sens trigonométrique) ;
la bissectrice extérieure (AJ) recoupe le cercle circonscrit en A₁ qui est le milieu de l'autre arc BC, lorsque l'on parcourt le cercle en sens inverse.

Dessin des bissectrices à partir du cercle circonscrit

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (c).
Tracer le diamètre [A₁A₂] porté par la médiatrice de [BC].
(AA₂) et (AA₁) sont les bissectrices des angles, de sommet A, formés par les droites (AB) et (AC).

Théorème (du pied) de la bissectrice : IB/IC = c/b

Une bissectrice intérieure de l'angle d'un triangle partage le côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.

La bissectrice intérieure d'un triangle divise le côté opposé en deux segments proportionnels aux deux autres côtés.

Démonstration d'une division harmonique par Thalès

Bissectrice intérieure et Thalès Le pied de la bissectrice sur [BC] est I.
On pose AB = c et AC = b.
La parallèle à (AI) passant par B coupe (AC) en D₁.
Le calcul des angles permet de montrer que le triangle ABD₁ est isocèle.
Donc, AD₁ = AB = c.

La propriété de Thalès, dans le triangle BCD₁, montre que IB/IC = AD₁/AC = c/b.
I est le barycentre de (B, b) et (C, c).

De même (figure de gauche ci-dessus), le pied de la bissectrice extérieure sur (BC) est J ; la parallèle à (AJ) passant par B coupe (AC) en D₂.
Le triangle ABD₂ est isocèle et AD₂ = AB = c.
La propriété de Thalès dans le triangle JAC montre que JB/JC = AD₂/AC = c/b.
J, à l'extérieur de [BC], est le barycentre de (B, – b) et (C, c).

IB/IC = JB/JC = c/b : les quatre points [B, C, I, J] forment une division harmonique de rapport c/b.

Relations métriques

AB × AC = AI² + IB × IC.

AB × AC = JB × JC – AJ².

Télécharger les figures GéoPlan bissect2.g2w ou bissect4.g2w

Construire un triangle connaissant ses trois bissectrices

Théorème de Feuerbach
Barycentre

Cercles d'Apollonius
Faisceau harmonique des bissectrices

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4. Hauteurs et orthocentre

Hauteurs et orthocentre

Quadrangle, groupe ou quadrilatère orthocentrique

Chaque sommet est l'orthocentre du triangle ayant pour sommets les trois autres points.

Si H est l'orthocentre du triangle ABC,
A est l'orthocentre de BCH, B de ACH, C de ABH.

ABCH est un quadrangle orthocentrique.

Classe de cinquième

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes au même point H orthocentre du triangle.

Démonstration

Classe de quatrième

Soit (AA’), (BB’) et (CC’) les hauteurs d'un triangle ABC.

Les parallèles aux côtés du triangle ABC, passant par les sommets opposés, forment un triangle A₁B₁C₁ où A, B et C sont les milieux des côtés.

(AA’), (BB’) et (CC’) perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle A₁B₁C₁ sont les médiatrices de ce triangle. Elles sont concourantes au point H, centre du cercle circonscrit à A₁B₁C₁.

Les hauteurs du triangle médian ABC sont donc concourantes en H.
H est l'orthocentre du triangle ABC.

Remarques :

Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est un des sommets du triangle
Un triangle est acutangle (dont les trois angles sont aigus) si et seulement si son orthocentre est à l'intérieur du triangle
Un triangle est obtusangle (ayant un angle obtus) si et seulement si son orthocentre est à l'extérieur du triangle

Télécharger la figure GéoPlan hauteurs.g2w sans le triangle A₁B₁C₁, la figure GéoPlan hauteur4.g2w avec le triangle A₁B₁C₁.

Barycentre

L'orthocentre H est le barycentre de [A, tan(Â)] ; [B, tan(B)] ; [C, tan(C)].

Symétriques de l'orthocentre

Les symétriques A₃, B₃ et C₃ de H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.

Les symétriques A₂, B₂ et C₂ de l'orthocentre, par rapport aux côtés du triangle, se trouvent sur le cercle circonscrit.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur2.g2w
Télécharger la figure GeoGebra sym_orthocentre.ggb

grec : Γεωμετρια − Exemple de figure géométrique

Symétriques de l'orthocentre

Cercles circonscrits

Les symétries par rapport aux côtés du triangle transforment le cercle circonscrit au triangle ABC en des cercles passant par H : les cercles circonscrits au triangle ABC et aux triangles AHB, BHC et CHA sont de même rayon.

Démonstration : droite d'Euler

Les quatre points A, B, C et H jouissent de la propriété que l'un d'entre eux est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres. On dit qu'ils forment un groupe orthocentrique.

Voir théorème de Clifford : cercle
Groupe orthocentrique dans l'espace

Télécharger la figure GéoPlan hauteur5.g2w

Démonstration d'Archimède

Démonstration d'Archimède (287-212 av. J.-C.)

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point H.

ABC est un triangle ayant un angle aigu en A.
Les hauteurs (BB’) et (CC’) se coupent en H.
La droite (AH) coupe [BC] en A’.

Les angles droits BB’C et BC’C sont inscriptibles dans une même demi-circonférence de diamètre [BC].
Pareillement les quatre points B’, A, C’, H sont sur une même circonférence de diamètre [AH]. Dans ce cercle, les angles inscrits HB’C’ et HÂC’ sont égaux.

Dans le demi-cercle les angles inscrits BCC’ et BB’C’ sont aussi égaux ; par suite BÂA’ = BCC’ ;
les triangles ABA’ et BCC’, ayant en outre l'angle B en commun, sont semblables.
Le triangle ABA’ est aussi rectangle : l'angle AÂ’B est droit et (AA’) est la troisième hauteur.

Télécharger la figure GéoPlan hauteur3.g2w

Si ABC est acutangle (dont les trois angles sont aigus) H est le centre du cercle inscrit dans A’B’C’ et les points A, B, C sont les centres des cercles exinscrits à A’B’C’.

Wikipédia : Hauteurs d'un triangle
Wikipédia mobile

Construire un triangle connaissant ses trois hauteurs
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5. Médiatrices

Médiatrices

Télécharger la figure GéoPlan mediatrices.g2w
Télécharger la figure GeoGebra mediatrices.ggb

Retrouver cette figure : problème de contact PPP

Application : retrouver le centre d'un cercle

Retrouver le centre avec la règle à bords parallèles
Problème de Napoléon : construction au compas seul
Wikipédia : Médiatrice
Construire un triangle connaissant ses médiatrices

Accompagnement du programme de 5^e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Remarques :

Un triangle est acutangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle
Un triangle est obtusangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle

Barycentre

Le point O est le barycentre de [A, sin(2Â)] ; [B, sin(2B)] ; [C, sin(2C)].
Avec la relation vectorielle d'Euler = + + , on trouve aussi que O est le barycentre des points pondérés
[A, tan(B)+tan(C)] ; [B, tan(Â)+tan(C)] ; [C, tan(Â)+tan(B)].