René DescartesDescartes et les Mathématiques

Géométrie du triangle I
Droites remarquables (Céviennes)

Droites particulières d'un triangle : médianes, bissectrices, hauteurs, médiatrices.

Sommaire

1. Rappel : barycentre de trois points

I. Droites remarquables du triangle

2. Médianes
3. Bissectrices
4. Hauteurs
5. Médiatrices

Exercices
Recherche de triangles connaissant trois droites remarquables, des pieds de droites remarquables

Droites de Simson et de Steiner (ménéliennes)

Géométrie du triangle

II.  Points caractéristiques
III. Cercles - Euler - Feuerbach
IV. Lieux géométriques
V.  Relations métriques

Construction de triangles en cinquième, au lycée

Le triangle au collège
Le triangle en seconde

Faire de la
géométrie dynamique

Triangle rectangle

Triangle équilatéral

Théorème de Pythagore

GeoGebra Droites remarquables avec GeoGebra

GeoGebraGeoGebraBook
Géométrie du triangle

I. Droites remarquables dans le triangle

Droites

Point de concours

Cercle

Triangle

Coordonnées barycentriques

Céviennes

 

Cercle pédal

pédal

 

Médianes

Centre de gravité

des neuf points

médian

(1, 1, 1)

Bissectrices

Centre du cercle inscrit

cercle inscrit,
cercles exinscrits,
cercles d'Apollonius

 

(a, b, c)

Hauteurs

Orthocentre

de Taylor

orthique

[tan(Â), tan(B), tan(C)]

Médiatrices

Centre du cercle circonscrit

circonscrit

tangentiel

[sin(2Â), sin(2B), sin(2C)]

II. Points caractéristiques du triangle

Droites

Point

Cercle

Triangle

Symédianes
Droite de Lemoine

Point de Lemoine

Tücker
Lemoine

tangentiel
Grèbe

 

Points conjugués isogonaux

podaire

podaire

 

Point de Gergonne

 

Gergonne

 

Point de Nagel

 

Nagel

 

Point de Bevan

 

Bevan

Droites de Brocard
Axe de Brocard

Point de Brocard

Brocard

 
 

Point de Torricelli ou de Fermat

Torricelli

Napoléon

 

Point de Vecten

   

III Cercles remarquables

Droites

Point

Cercle

Triangle

Euler

 

Euler

 
 

Points de Feuerbach
Point d'Apollonius

Cercle d'Apollonius

Feuerbach

Droite de Lemoine

Centres isodynamiques

Cercles d'Apollonius

 

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

1. Rappel : barycentre de trois points

Ancienne classe de première S

Soit (A, α) ; (B, β) et (C, γ) trois points pondérés tels que α + β + γ ≠ 0, il existe un point unique G tel que :

α vect(GA) + β vect(GB) + γ vect(GC) = vect(0) ;

le point G est appelé barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

Si α + β ≠ 0, α + γ ≠ 0 et β + γ ≠ 0 le théorème d'associativité permet de dire :

si A’ est le barycentre partiel de (B, β) et (C, γ), alors G est le barycentre de (A, α) et (A’, β + γ),
si B’ est le barycentre partiel de (A, α) et (C, γ), alors G est le barycentre de (B, β) et (B’, α + γ),
si C’ est le barycentre partiel de (A, α) et (B, β), alors G est le barycentre de (C, γ) et (C’, α + β) ;

les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes en G.

Coordonnées barycentriques

Soit A, B et C trois points du plan, tous distincts et non alignés.

Théorème de Gergonne (Joseph Gergonne 1771-1859) :
Pour tout point M du plan, il existe un triplet unique (α, β, γ) de nombres réels tels que :
    • α + β + γ = 1;
    • M est le barycentre des points pondérés (A, α) ; (B, β) et (C, γ).

(α, β, γ) sont les coordonnées barycentriques de M relativement à A, B et C.

Voir : le barycentre

2. Médianes et centre de gravité

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Voici cinq démonstrations du concours des médianes. Si on admet que les trois médianes sont concourantes il est possible de lire directement la première démonstration, sachant que, dans le triangle BCC1, G est sur la droite des milieux (A’G) parallèle à (BC1).

2.a. Symétrie centrale

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.

geometrie du triangle - medianes et centre de gravite

Soit C1 le symétrique de C par rapport à G.

Dans le triangle BC1C, la droite des milieux (GA’) est parallèle à (BC1), donc (GA) // (BC1).
Dans le triangle AC1C, la droite des milieux (GB’) est parallèle à (AC1), donc (BG) // (AC1).

AGBC1 est un parallélogramme, car les côtés opposés sont, deux à deux, parallèles.

C’ est le milieu des diagonales et GC’ = 1/2 GC1 = 1/2 CG.
CG = 2 GC’et CC’ = CG + GC’ = 3 GC’,
d'où GC’ = 1/3 CC’ et CG = 2 GC’= 2/3CC’.
Le point G est situé aux 2/3 de la médiane [CC’], à partir de C.

2.b. Somme des vecteurs vect(GA) + vect(GB) + vect(GC)

Démontrer, avec un barycentre, que le centre de gravité se situe au 2/3 de la médiane d'un triangle, à partir du sommet.

Soit C1 le quatrième sommet du parallélogramme AGBC1.

vect(GA) + vect(GB) = vect(GC1) = 2 vect(GC') (règle du parallélogramme pour l'addition des deux vecteurs et C’ milieu de la diagonale)

G est le milieu de [CC1] donc vect(GC1) = − vect(GC)
et on a vect(GA) + vect(GB) + vect(GC) = vect(0).

Le centre de gravité G est l'isobarycentre des sommets d'un triangle ABC :

G est le barycentre des trois points pondérés (A, 1) ; (B, 1) et (C, 1) ;
donc vect(GC) + 2 vect(GC') = vect(0) ;

G est le barycentre de (C, 1) et (C’, 2).

Le point G est situé aux 2/3, à partir de C, de la médiane [CC’].

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes2.g2w

La fonction vectorielle de Leibniz permet d'écrire pour tout point M :
vect(MA) + vect(MB) + vect(MC) = 3 vect(MG).

2.c. Hexagone aux côtés opposés deux à deux parallèles

Soit G le point d'intersection des médianes [AA’] et [BB’] d'un triangle ABC.

geometrie du triangle - hexagone aux cotes opposes deux a deux paralleles

Médiane (CC')
Placer le point C1 image de A par la translation de vecteur vect(GB).
On a vect(AC1) = vect(GB), d'où AGBC1 est un parallélogramme de centre C’, milieu de [AB].

Comme côtés opposés du parallélogramme, (AC1)//(BG),
d'où (AC1)//(BB’).
(BB’) est donc une droite des milieux du triangle CAC1 et coupe [CC1] en son milieu.

De même (BC1)//(AA’). (AA’) est une droite des milieux du triangle CBC1 et coupe [CC1] en son milieu.

Le milieu de [CC1] est le point de concours des deux médianes (AA’) et (BB’) : c'est le point G.
Les points G, C’ et C1 sont alignés sur la médiane issue de C.

Comme ci-contre, on montre que le point G est situé aux 2/3 de la médiane [CC’].

Les trois médianes sont concourantes en G, centre de gravité du triangle

Médiane (AA')
Placer le point A1 image de B par la translation de vecteur vect(GC). vect(BA1) = vect(GC), d'où BGCA1 est un parallélogramme de centre A’, milieu de [BC].
Les points G, A’ et A1 sont alignés sur la médiane issue de A.

Médiane (BB')
Placer le point B1 image de A par la translation de vecteur vect(GC). vect(AB1) = vect(GC). AGCB1 est un parallélogramme de centre B’, milieu de [AC].
Les points G, B’ et B1 sont alignés sur la médiane issue de B.

Trois autres parallélogrammes de centre G
Dans le parallélogramme AGBC1, on a vect(AC1) = vect(GB), et dans BGCA1, on a vect(CA1) = vect(GB) ; d'où vect(AC1) = vect(CA1). AC1A1C est un parallélogramme. G est le milieu des diagonales [AA1] et [CC1].

De même vect(BA1) = vect(GC) = vect(AB1). BA1B1A est un parallélogramme.
Les diagonales [AA1] et [BB1] se coupent en leur milieu G.

Enfin les diagonales [BB1] et [CC1] se coupent en leur milieu G :
BC1B1C est un parallélogramme.

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes1.g2w

2.d. Parallélogramme de centre G

Classe de quatrième

geometire du triangle - parallelogramme de milieu le centre de gravite

Deux médianes sont concourantes en un point G situé aux 2/3 de chacune d'entre elles.

Soit G le point d'intersection des médianes [BB’] et [CC’] d'un triangle ABC.
I est le milieu de [BG] et J est le milieu de [CG].

En appliquant le théorème des milieux dans les triangles ABC et GBC, on montre que C’B’ et IJ sont égaux à 1/2 BC, et que (C’B’) et (IJ) sont parallèle à (BC).
IJB’C’ est donc un parallélogramme, car les côtés opposés [C’B’] et [IJ] sont de même longueur et parallèles.

Par hypothèse I milieu de [BG], on a BI = IG ;
G est le milieu des diagonales du parallélogramme, IG = GB’.

On en déduit que le point G est situé aux 2/3 de la médiane [BB’] ; de même pour la médiane [CC’].

Ce même point G est situé aux 2/3 de la troisième médiane

De même, en étudiant le parallélogramme IA’B’K où K est le milieu de [AG], on montre que les médianes [AA’] et [BB’] sont concourantes en un point situé à leurs 2/3. Ce point, situé aux 2/3 de [BB’], est donc le point G. Les trois médianes sont concourantes en ce même point G, centre de gravité du triangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes3.g2w

2.e. Partage en trois de la diagonale d'un parallélogramme

Classe de quatrième

geometire du triangle - parallelogramme avec partage en trois de la diagonale

Par rapport au milieu O de [BC], tracer le symétrique D de A.

    – ABCD est un parallélogramme, de centre de symétrie O,
    – les points B’, C’ et I sont les milieux des côtés,
    – les points G et J sont les centres de gravité des triangles ABC et BCD.

Démonstration

    – Les points G et J partagent la diagonale [AD], du parallélogramme ABCD, en trois segments égaux :
AG = GJ = JD = 1/3 AD.
Voir : figure d'Euclide dans partage en trois

Comme AD = 2 AO, on a AG = 1/3 AD = 2/3 AO.
On trouve encore que le centre de gravité G est aux 2/3 de la médiane [AO].

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Autre méthode

Méthode des aires : voir aires et triangles

2.f. Triangle médian

geometrie du triangle - triangle median Le triangle A’B’C’, dont les sommets sont les pieds des médianes, est le triangle médian du triangle ABC.
On l'appelle aussi triangle complémentaire ou parfois triangle médial.

Comme G est au deux tiers des médianes et que GA = 2GA’, les points A, B et C sont les images de A’, B’ et C’ par l'homothétie h de centre G et de rapport –2.

Le triangle médian est l'homothétique du triangle ABC, par l'homothétie par réciproque h– 1, de centre G et de rapport -1/2.

Les segments [A’B’], [B’C’] et [C’A’] partagent le triangle ABC en quatre triangles d'aires égales.

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geometrie du triangle - partage en trois ou en six avec les medianesAire et médiane

Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.

Les droites des milieux partagent un triangle en quatre triangles homothétiques d'aires égales.

Partager un triangle en 6 triangles de même aire

Les trois médianes d'un triangle le partagent en six petits triangles d'aires égales.

Partager un triangle en 3 triangles même aire

Les trois triangles GAB, GBC et GAC sont d'aires égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan medianes.g2w
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médianes d'un triangle

Partager un triangle en triangles d'aires égales

2.g. Théorèmes de la médiane

Premier théorème de la médiane − Théorème d'Apollonius

En géométrie analytique ou avec le produit scalaire, on peut vérifier les formes numériques des « théorèmes de la médiane » :

AB2 + AC2 = 2AA’2 + BC²/2 (formule d'Apollonius de Perge − premier théorème de la médiane).

Voir démonstration avec la puissance d'un point par rapport à un cercle

Deuxième théorème de la médiane : calculs vectoriels des côtés vect(AB) et vect(AC), avec la médiane vect(AA') :

Somme vectorielle de deux côtés du triangle : vect(AB) + vect(AC) = (vect(AA') + vect(A'B)) + (vect(AA') + vect(A'C)) = 2 vect(AA'), car vect(A'B) + vect(A'C) = vect(0).

On obtient alors la forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

vect(AB) + vect(AC) = 2 vect(AA').

Produit vectoriel de deux côtés du triangle : vect(AB) . vect(AC) = (vect(AA') + vect(A'B)) . (vect(AA') + vect(A'C)) = vect(AA')2 + vect(AA') . (vect(A'B) + vect(A'C) ) + vect(A'B) . vect(A'C) ;
vect(AB) . vect(AC) = vect(AA')2 + 1/2(vect(CB)).(1/2vect(BC)) = vect(AA')21/4 vect(BC)2.

On obtient la forme scalaire du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

vect(AB) . vect(AC) = AA’21/4 BC2.

Troisième théorème de la médiane

Avec le produit scalaire : AB2 – AC2 = vect(AB)2vect(AC)2 = (vect(AB) + vect(AC)).(vect(AB)vect(AC)) = 2 vect(AA').(vect(CA)+ vect(AB)) = 2 vect(AA').vect(CB).
Soit H, le point projeté orthogonal de A sur (BC). La projection de vect(AA') sur vect(CB) est vect(HA'), d'où vect(AA').vect(CB) = vect(HA').vect(CB) = vect(BC).vect(A'H).

Donc AB2 – AC2 = 2 vect(BC).vect(A'H).

D'où |AB2 – AC2| = 2 BC × A’H  (troisième théorème de la médiane) ;

En effet, le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires est égal à BC × A’H ou à son opposé, d'où la valeur absolue.

Application : lieux et théorèmes de la médiane

Longueur des médianes

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b, AB = c et m = AA’ la médiane relative au côté BC, d'après le « premier théorème de la médiane » on a :
b2 + c2 = 2m2 + (a/2)2,
d'où m = 1/2rac[2(b^2 + c^2) - a^2 ].

2.h. Théorème des trois médianes

a. Si G désigne le centre de gravité du triangle ABC alors GA2 + GB2 + GC2 = 1/3 (a2 + b2 + c2).

    Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.
b. Que devient cette propriété si on l'applique à un triangle équilatéral ?
c. Et si on l'applique à un triangle rectangle ?

Pieds des médianes : D'un triangle ABC, il ne reste que les points I milieu de [AB], J milieu de [BC] et K milieu de [CA].
Reconstituer le triangle ABC
, voir : le triangle, c'est le pied

Glossaire : médiane

Wikipédia :
Médiane
Théorème de la médiane

Triangle orthomédian

Problèmes de construction : construire un triangle connaissant deux sommets et le centre de gravité

Construire un triangle connaissant ses médianes
Barycentre

Symédianes et point de Lemoine : points caractéristiques du triangle

Produit scalaire

3. Bissectrices du triangle et centre du cercle inscrit

3.a. Définitions

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.

La bissectrice d'un angle est son axe de symétrie.

Tout point de la bissectrice d'un angle est équidistant des côtés de cet angle.

Les bissectrices de deux angles supplémentaires adjacents sont perpendiculaires.

geometrie du triangle - bissectrices et cercle inscrit

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectr.g2w

« Comment construire le cercle tangent à un triangle »

Pour tracer le cercle inscrit dans un triangle, tangent aux trois côtés, construire deux bissectrices ; leur point d'intersection est le centre I du cercle. Projeter ce centre sur un des côtés : on trouve C3, un des points de contact et il suffit alors de tracer le cercle de centre I, passant par ce point de contact C3.

Tâche impossible

Trouver un triangle tel que deux bissectrices soient perpendiculaires !

3.b. Point de concours des bissectrices d'un triangle

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Preuve

Soit I le point d'intersection de deux bissectrices issues de A et de B d'un triangle ABC.
I situé sur la bissectrice issue de A est à une distance r des côtés (AB) et (AC).
I situé sur la bissectrice issue de B, à une distance r du côté (BA), est situé à la même distance r de (BC).
I est donc équidistant de (AC) et de (BC). I est à l'intérieur du triangle, donc est situé sur la bissectrice intérieure issue de C.

Construction à la « règle et au compas », voir : problèmes de construction

Cercle inscrit dans le triangle

Le cercle inscrit est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle.
Son centre I est le point de concours des bissectrices.

C'est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, c)  avec a = BC, b = AC et c = AB.
Son rayon r est égal à S/p =2S/(a+b+c), où S désigne l'aire du triangle et p désigne le demi-périmètre : p = 1/2(a + b + c).

Les points d'intersection des bissectrices avec le cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets : A2 est le milieu de l'arc BC, B2 est le milieu de l'arc AC et C2 est le milieu de l'arc AB.

Démonstration

Montrer que vect(AI) est la somme de deux vecteurs de même norme.

D'après la définition du barycentre I et en prenant le point A pour origine on a :

(a+b+c) vect(AI) = b vect(AB) + c vect(AC).
Les vecteurs b vect(AB) et c vect(AC) ont la même norme bc.

Donc, vect'AI) = b/(a+b+c) vect(AB) + c/(a+b+c) vect(AC) = vect(AB1) + vect(AC1).
Ces deux vecteurs ont même norme et AB1IC1 est un losange : la diagonale [AI] est la bissectrice de l'angle Â.

Voir : angles inscrits

3.c. Formule des aires

Paragraphe dupliqué dans la page relations métriques

Soit I le centre du cercle (c), inscrit dans le triangle ABC, et r son rayon.
Le cercle (c) est tangent aux côtés du triangle en A1, B1 et C1.

Le triangle ABC est décomposable en trois triangles IBC, ICA, IAB, de sommet I et de hauteurs IA1, IB1, IC1, de même longueur r.

L'aire du triangle est donc S = 1/2 ar + 1/2 br + 1/2 cr = 1/2(a + b + c) × r = p × r,
p désigne le demi-périmètre : p = 1/2(a + b + c).

Donc S = pr et r = S/p = 2S/(a+b+c).

formule des aires

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissectrices.g2w (Taper M pour effacer les bissectrices)
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle inscrit dans un triangle

Remarque : distances entre les sommets et les points de contact

Pour chaque sommet, les deux segments, qui joignent le sommet aux points de contact, sont de longueurs égales :
AB1 = AC1 = p – a,
BA1 = BC1 = p – b,
CA1 = CB1 = p – c.

Relation d'Euler (théorème d'Euler)

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrits

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI2 = R2 – 2Rr.

Si d = OI alors d2 = R(R – 2r).

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Voir : relations d'Euler

Théorème de Steiner−Lehman

Si deux bissectrices d'un triangle ont même longueur, le triangle est isocèle.

3.d. Bissectrices extérieures et cercles exinscrits

Les bissectrices extérieures partagent en deux l'angle bordé par un côté du triangle et le prolongement de l'autre côté.
En un sommet, les bissectrices intérieure et extérieure sont orthogonales
.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes.
Leur point d'intersection situé à égale distance des trois côtés du triangle est le centre d'un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle
.

geometrie du triangle - bissectrices et cercles exinscrits

g2w Télécharger la figure GéoPlan bissect5.g2w
Cercles tangents à trois droites : voir problème de contact DDD
Distances entre les sommets et les points de contact : voir cercles inscrit et exinscrit

Le point I1, intersection de la bissectrice intérieure issue de A et des deux bissectrices extérieures issues de B et C,
est le barycentre de (A, – a) ; (B, b) ; (C, c).
I1 est le centre du cercle (c1) exinscrit au triangle,
son rayon est r1 = S/(p-a) = 2S/(-a+b+c) = bc sinA/(-a+b+c)
(en substituant S avec la formule de l'aire du triangle S1/2  bc sin A).

Relation d'Euler : OI12 = R2 + 2Rr1.

Le point I2, intersection de la bissectrice intérieure issue de B et des deux bissectrices extérieures issues de A et C,
est le barycentre de (A, a) ; (B, – b) ; (C, c).
I2 est le centre du cercle (c2) exinscrit au triangle, son rayon est  S/(p-b).

Le point I3, intersection de la bissectrice intérieure issue de C et des deux bissectrices extérieures issues de A et B,
est le barycentre de (A, a) ; (B, b) ; (C, –c).
I3 est le centre du cercle (c3) exinscrit au triangle, son rayon est S/(p-c).

L'ensemble des points équidistants des droites (AB), (BC) et (AC) est formé des quatre points I, I1, I2 et I3.

Le triangle I1I2I3 formé par les centres des trois cercles exinscrits s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

3.e. Bissectrices intérieure et extérieure

geometrie du triangle - bissectrices interieure et exterieure d'un angle du triangleLes bissectrices recoupent le cercle circonscrit aux milieux des arcs déterminés par le côté opposé au sommet de l'angle.

Dans l'exemple ci-contre pour le sommet A du triangle ABC direct,
la bissectrice intérieure (AI) recoupe le cercle circonscrit en A2 qui est le milieu de l'arc BC (parcouru dans le sens trigonométrique) ;
la bissectrice extérieure (AJ) recoupe le cercle circonscrit en A1 qui est le milieu de l'autre arc BC, lorsque l'on parcourt le cercle en sens inverse.

Dessin des bissectrices à partir du cercle circonscrit

Soit ABC un triangle inscrit dans un cercle (c).
Tracer le diamètre [A1A2] porté par la médiatrice de [BC].
(AA2) et (AA1) sont les bissectrices des angles, de sommet A, formés par les droites (AB) et (AC).

Théorème (du pied) de la bissectrice : IB/IC = c/b

Une bissectrice intérieure de l'angle d'un triangle partage le côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.

La bissectrice intérieure d'un triangle divise le côté opposé en deux segments proportionnels aux deux autres côtés.

Démonstration d'une division harmonique par Thalès

geometrie du triangle - bissectrice interieure et ThalesLe pied de la bissectrice sur [BC] est I.
On pose AB = c et AC = b.
La parallèle à (AI) passant par B coupe (AC) en D1.
Le calcul des angles permet de montrer que le triangle ABD1 est isocèle.
Donc, AD1 = AB = c.

La propriété de Thalès, dans le triangle BCD1, montre que IB/IC = AD1/AC = c/b.
I est le barycentre de (B, b) et (C, c).

De même (figure de gauche ci-dessus), le pied de la bissectrice extérieure sur (BC) est J ; la parallèle à (AJ) passant par B coupe (AC) en D2.
Le triangle ABD2 est isocèle et AD2 = AB = c.
La propriété de Thalès dans le triangle JAC montre que JB/JC = AD2/AC = c/b.
J, à l'extérieur de [BC], est le barycentre de (B, – b) et (C, c).

IB/IC = JB/JC = c/b : les quatre points [B, C, I, J] forment une division harmonique de rapport c/b.

geometrie du triangle - bissectrices interieure et exterieure d'un angle d'un triangleRelations métriques

AB × AC = AI2 + IB × IC.

AB × AC = JB × JC – AJ2.

g2w Télécharger les figures GéoPlan bissect2.g2w ou bissect4.g2w

Construire un triangle connaissant ses trois bissectrices

Théorème de Feuerbach
Barycentre

Cercles d'Apollonius

Faisceau harmonique des bissectrices

3.f. Axe anti-orthique

geometrie du triangle - droite qui passe par les pieds des bissectrices extérieures d'un triangle

Droite qui passe par les pieds des bissectrices extérieures d'un triangle.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan axe_anti_ortique.g2w

4. Hauteurs et orthocentre

4.a. Quadrangle,
groupe ou quadrilatère orthocentrique

geometrie du triangle - quadrilatère orthocentrique

Chaque sommet est l'orthocentre du triangle ayant pour sommets les trois autres points.

Si H est l'orthocentre du triangle ABC,
A est l'orthocentre de BCH, B de ACH, C de ABH.

ABCH est un quadrangle orthocentrique.

g2w Télécharger la figure GéoPlan hauteurs.g2w sans le triangle A1B1C1,
    la figure GéoPlan hauteur4.g2w avec le triangle A1B1C1.

Classe de cinquième

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes au même point H orthocentre du triangle
.

Montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes

Classe de quatrième

Soit (AA’), (BB’) et (CC’) les hauteurs d'un triangle ABC.

Les parallèles aux côtés du triangle ABC, passant par les sommets opposés, forment un triangle A1B1C1 où A, B et C sont les milieux des côtés.

(AA’), (BB’) et (CC’) perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle A1B1C1 sont les médiatrices de ce triangle. Elles sont concourantes au point H, centre du cercle circonscrit à A1B1C1.

Les hauteurs du triangle médian ABC sont donc concourantes en H.
H est l'orthocentre du triangle ABC.

Remarques :

  • Un triangle est rectangle si et seulement si son orthocentre est un des sommets du triangle
  • Un triangle est acutangle (dont les trois angles sont aigus) si et seulement si son orthocentre est à l'intérieur du triangle
  • Un triangle est obtusangle (ayant un angle obtus) si et seulement si son orthocentre est à l'extérieur du triangle
Barycentre et hauteurs d'un triangle

L'orthocentre H est le barycentre de [A, tan(Â)] ; [B, tan(B)] ; [C, tan(C)].

4.b.Symétriques de l'orthocentre

geometrie du triangle - symetriques de l'orthocentre

Les symétriques A3, B3 et C3 de H par rapport aux milieux des côtés du triangle se trouvent sur le cercle circonscrit.

Les symétriques A2, B2 et C2 de l'orthocentre, par rapport aux côtés du triangle, se trouvent aussi sur le cercle circonscrit.

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GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : symétriques de l'orthocentre

WikiPédia grec grec : ΓεωμετριαExemple de figure géométrique

Construction au compas seul

Tracer le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC.
Construire le point O1 symétrique de O par rapport à (BC). Le cercle (c1) de centre O1 passant par B et C est symétrique du cercle circonscrit.
De même tracer les symétriques O2 et O3 et les cercles (c2) et (c3).
Ces trois cercles se coupent en H, orthocentre du triangle, ce qui permet de construire les trois hauteurs (AH), (BH) et (CH) avec un compas.

geometrie du triangle - symetriques de l'orthocentre

Cercles circonscrits

Les symétries par rapport aux côtés du triangle transforment le cercle circonscrit au triangle ABC en des cercles passants par H : les cercles circonscrits au triangle ABC et aux triangles AHB, BHC et CHA sont de même rayon.

Démonstration : droite d'Euler

Les quatre points A, B, C et H jouissent de la propriété que l'un d'entre eux est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres.
On dit qu'ils forment un groupe orthocentrique.

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Voir théorème de Clifford : cercle
Groupe orthocentrique dans l'espace

4.c. Comment tracer les hauteurs d'un triangle avec un compas

geometrie du triangle - construire les hauteurs au compas

Démonstration d'Archimède (287-212 av. J.-C.)

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point H.

ABC est un triangle ayant un angle aigu en A.
Les hauteurs (BB’) et (CC’) se coupent en H.
La droite (AH) coupe [BC] en A’.

Les angles droits BB’C et BC’C sont inscriptibles dans une même demi-circonférence de diamètre [BC].
Pareillement les quatre points B’, A, C’, H sont sur une même circonférence de diamètre [AH]. Dans ce cercle, les angles inscrits HB’C’ et HÂC’ sont égaux.

Dans le demi-cercle les angles inscrits BCC’ et BB’C’ sont aussi égaux ; par suite BÂA’ = BCC’ ;
les triangles ABA’ et BCC’, ayant en outre l'angle B en commun, sont semblables.
Le triangle ABA’ est aussi rectangle : l'angle AÂ’B est droit et (AA’) est la troisième hauteur.

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Si ABC est acutangle (dont les trois angles sont aigus) H est le centre du cercle inscrit dans A’B’C’ et les points A, B, C sont les centres des cercles exinscrits à A’B’C’.

Wikipédia : Hauteurs d'un triangle
  Wikipédia mobile

Construire un triangle connaissant ses trois hauteurs

5. Médiatrices du triangle et centre du cercle circonscrit

Triangle inscrit dans un cercle

geometrie du triangle - mediatrices et cercle circonscrit

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GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médiatrices d'un triangle
     Feuille de travail dynamique avec GeoGebra - figures classiques

Retrouver cette figure : problème de contact PPP

Application : retrouver le centre d'un cercle

Retrouver le centre avec la règle à bords parallèles
Problème de Napoléon : construction au compas seul

Construire un triangle connaissant ses médiatrices
Wikipédia : Médiatrice

Accompagnement du programme de 5e

Dans le cas du concours des médiatrices d'un triangle, c'est la caractérisation de la médiatrice d'un segment à l'aide de l'équidistance qui intervient. Elle est mobilisée deux fois dans un sens et une fois dans l'autre sens.

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment.
Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle
.

A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés du triangle ABC.

Soit O l'intersection des médiatrices de [AB] et de [BC].
Pour la médiatrice (OC’) on a OA = OB et pour (OA’) on a OB = OC.
D'où par transitivité OA = OC ; O appartient à la médiatrice de [AC].
Les trois médiatrices sont concourantes en O, centre du cercle circonscrit.

Remarques :

  • Un triangle est acutangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'intérieur du triangle
  • Un triangle est obtusangle si et seulement si les médiatrices se coupent à l'extérieur du triangle

Barycentre

Le point O est le barycentre de [A, sin(2Â)] ; [B, sin(2B)] ; [C, sin(2C)].
Avec la relation vectorielle d'Euler vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC), on trouve aussi que O est le barycentre des trois points pondérés :
[A, tan(B)+tan(C)] ; [B, tan(Â)+tan(C)] ; [C, tan(Â)+tan(B)].

Droites remarquables du triangle isocèle

La médiatrice de la base d'un triangle isocèle est axe de symétrie du triangle.

Dans un triangle isocèle, les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à la base sont confondues.
Elles forment l'axe de symétrie du triangle.

 

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Table de matières

1. Rappel : barycentre de trois points

Droites concourantes dans le triangle

2. Médianes
3. bissectrices
4. Hauteurs
5. Médiatrices

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Bon, y' a plus simple, mais ça au moins, cela s'appelle démontrer (n'a pas vérifier l'exactitude)

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