Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesTravaux pratiques de mathématiques assistés par ordinateur - recherche de lieux de points mobiles : milieux, cercles, symétriques…
Sommaire1. Centres des cercles tangents à deux cercles Lieux géométriquesLieux de points remarquables dans le triangle
Lieu géométrique avec une rotation et une similitude |
Exemples de lieux du planLa médiatrice d'un segment est le lieu des points équidistants des extrémités de ce segment. Un arc capable est le lieu des points d'où l'on « voit » un segment selon un angle donné. Les sections coniques pourraient être définies comme des lieux : Constructions mécaniques de courbe : conchoïde de droite Page no 40, réalisée le 28/5/2003, mise à jour le 22/5/2012 | ||||
Faire de la |
Terminale S |
1ère S |
Exercices de-ci, de-là | ||
Latin - English – lieu : locus – plural : lieux : loci
La problématique des lieux géométriques sera présente dans tous les paragraphes de géométrie. Elle ne fera pas l'objet d'un chapitre indépendant.
Les logiciels de géométrie dynamique seront utilisés pour visualiser certains lieux.
Il s'agit de ne pas s'en tenir à une simple observation, mais de mobiliser les connaissances pour établir mathématiquement diverses caractéristiques géométriques.
On choisira quelques exemples mettant en évidence la diversité des méthodes de recherche : produit scalaire, transformations, géométrie analytique). On veillera à traiter des cas nécessitant de démontrer une double inclusion.
On s'appuiera, le cas échéant, sur le caractère bijectif des transformations ou sur une démarche d'analyse-synthèse.
Un cercle variable C3(O3 ; |R3|) est tangent à deux cercles fixes C1(O1
; |R1|) et C2(O2 ; |R2|), eux même tangents entre eux.
On cherche le lieu L des centres des cercles C3 lorsque R3 varie.
Avec GéoPlan, explorer la situation en faisant varier R1, R2 ou R3 (touches 1, 2 ou 3).
La courbe semble être une conique. Une étude bifocale, avec le calcul de O3O1 + O3O2, permettra dans certains cas de trouver facilement une ellipse.
Par contre, le calcul de la différence O3O1 - O3O2, pour l'étude bifocale de l'hyperbole, est plus délicat et dépasse les compétences d'un élève de 1ère S !
Paramètres modifiables : O1 centre du premier cercle ; des mesures algébriques R1, R2 et R3 correspondant aux rayons des trois cercles.
O est le milieu du segment [O1O2]. a est la moitié de la différence entre R1 et R2.
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Télécharger la figure GéoPlan certang4.g2w
Cercle tangent à deux cercles passant par un point : voir problème de contact PCC
On n'a pas de parabole, mais lorsque R1 est grand par rapport à R2 on trouve la curieuse branche d'hyperbole suivante !
Télécharger la figure GéoPlan certang5.g2w
Foyer et directrice d'une parabole
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Énoncé de l'exerciceSoit (d) une droite fixée du plan et un point A n'appartenant pas à (d).
Pour chaque point M de la droite (d) on considère les cercles (c) de centre M passant par A et (c’) de centre A passant par M.
Quels sont les lieux géométriques (L1) et (L2) des points M1 et M2, intersection des deux cercles ?
On considère les transformations T et T’ suivantes :
à tout point M de(d) on fait correspondre par T le point M1 intersection des cercles (c) et (c’) tel que la mesure de l'angle
orienté (
; 
) soit positif ;
et par T’ le deuxième point M2 d'intersection de ces deux cercles tel que la mesure de l'angle orienté
( ; 
) soit négatif.
AMM1 et AMM2 sont des triangles équilatéraux, T et T’ sont les rotations de centre A et d'angles
et - .
Les droites (L1) et (L2) sont les images par T et T’ de la droite (d).
Leur point d'intersection est le symétrique
de A par rapport à (d).
Note technique GéoPlan :
Points fixes : A ; B et C définissant la droite (d) = (BC),
point variable : M sur la droite (BC).
L'instruction : M point libre sur la droite (BC) ne permet pas de tracer les lieux L1 et L2 à la demande.
Pour visualiser ces lieux il faut faire varier M sur un segment [B1C1] de la droite (d) = (BC).
Nous avons donc calculé l'équation de la droite (d) et les coordonnées des deux points B1 et C1
de (d) d'abscisses mi et ma suffisamment grandes en valeurs absolues.
Télécharger la figure GéoPlan inter2ce.g2w
La droite (d) et les points O et O’ sont fixes.
À tout point M de (d) on associe le point N, deuxième intersection des cercles (c) et (c’) de centre O et O’ passant par M.
Quel est le lieu du point N lorsque M décrit la droite (d) ?
Solution
Les points M et N sont symétriques par rapport à la droite (OO’) axe de symétrie des deux cercles.
Le lieu (l) est la droite symétrique de (d) par rapport à (OO’).
télécharger la figure GéoPlan inter2_2.g2w
Deux exercices à réaliser …avec GéoPlan, dès la classe de quatrième.
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Construire un point A fixe et un point B mobile sur une droite (PQ).
Tracer le milieu M de [AB]. |
Quel est le lieu géométrique du point M ?
Démontrer le résultat.
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Construire le cercle de centre O, passant par un point A et un point B mobile sur ce cercle.
Tracer le milieu M de [AB]. |
Quel est le lieu géométrique du point M ?
Démontrer le résultat.
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Segment de longueur fixe
A, libre (pilotable à la souris), varie sur un cercle de centre O et de rayon b. Étudier le triangle OMB lorsque a = 8 cm et b = 5 cm.
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Extrémités mobiles sur un cercle et une droite
Le point A varie sur un segment [CD]. Étudier le lieu du point M quand A varie (B fixe) ou quand B varie (A fixe).
Extremiés sur les côtés d'un angle droit, voir : |
Cet exercice permet de proposer deux niveaux d'exploration :
• Analyse des hypothèses de construction pour conjecturer un résultat.
• Mise à l'épreuve de cette conjecture avec la recherche d'une réciproque.
Cette activité permet, de par la forme de son énoncé, de se familiariser avec les fonctionnalités de GéoPlan.
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Soit un point P, un cercle (c) de centre O et un point M variable sur le cercle. Soit N le projeté orthogonal du centre O sur la droite (PM). Quel est le lieu géométrique décrit par le point N, lorsque M décrit le cercle (c) ? Point P à l'intérieur du cercle (c)
Remarque : O est un point du lieu, le lieu n'est pas vide. L'angle ONP étant droit, on peut conjecturer que le lieu de N est inclus dans le cercle de diamètre [OP]. Remarque : le point N, milieu de la corde formée par le cercle et la droite (PN), est à l'intérieur du cercle (c). Cas particulier : si P est sur le cercle, N est le milieu de [MP] et on retrouve le lieu du milieu d'un segment. Voir scénario pédagogique par Bernard Rault : préparation de l'épreuve pratique en seconde |
Point P à l'extérieur du cercle (c)
Réciproque Si N est un point du cercle de diamètre [OP] et est à l'intérieur du cercle (c), alors la droite (NP), perpendiculaire à (ON) coupe le cercle (c) en un point M (et un point M’ si ce n'est pas une tangente). N, projeté orthogonal du centre O sur cette droite (NP) = (PM), est un point du lieu. Conclusion Si P est à l'intérieur du cercle (c), ou est situé sur ce cercle, le lieu est le cercle de diamètre [OP]. Si P est à l'extérieur du cercle (c), le lieu est l'arc du cercle diamètre [OP] situé à l'intérieur de (c), dont les extrémités A et B sont les points d'intersection des deux cercles (inclus dans le lieu).
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A et B sont deux points fixes, la droite (d) est une droite variable passant par le point A.
B’ est l'image de B dans la symétrie par rapport à D.
Quel est le lieu du point B’ lorsque la droite (d) varie ?
Bibliographie : L'enseignement des mathématiques au lycée - Robert, Lattuati, Penninckx - Ellipses - 1999.
Télécharger la figure GéoPlan lieu_sym.g2w
Sommaire
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A est un point à l'intérieur du secteur xOy.
M point variable sur (Ox).
Soit N le point de (Oy) tel que MÂN soit droit.
I est le milieu de [MN].
Quel est l'ensemble des points I ?
Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est situé sur la médiatrice de [OA].
Fichier LIEUMIL du Creem - Imagiciels géométrie plane - page 96 -MEN 1992
Télécharger la figure GéoPlan lieu_mil.g2w
On place deux points O et A tels que OA = 1. Soit M un point variable sur la droite (OA).
Sur la demi-droite perpendiculaire en A à (OA) située dans P1, un des demi-plans de frontière (OA), on trace le point N tel que AN = OM.
La perpendiculaire à (OA) en M rencontre la droite (ON) au point P.
Quel est l'ensemble des points P ?
Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est constitué de deux demi-paraboles.
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Voir : parabole
Épreuve pratique en TS
2007 : Tangente à une parabole
2008 : Points équidistants d'une droite et d'un point
Cercles et paraboles
2009 : Propriétés de la parabole
Lieu du sommet opposé à M, lorsque l'on fait varier le côté [AM]Classe de 2nde Soit une droite (d) et un point fixe A à l'extérieur de (d). a. Placer les points M’ et P tels que MPM’A soit un carré direct. On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d). Quel est le lieu géométrique du point M’, lorsque M se déplace sur (d). Le mode trace permet de conjecturer que l'ensemble cherché est une droite perpendiculaire à (d). Indication Une rotation de centre A.
Variante : le point M se déplace sur un cercle. |
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b. Lieu du sommet consécutif de M, lorsque l'on fait varier le côté [AM]Terminale S Étudier le lieu du point P à l'aide d'une similitude de centre A.
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c. Lieu des sommets, lorsque l'on fait varier la diagonale [AM]Terminale S Placer les points P et Q tels que MPAQ soit un carré direct. On dilate le carré en « faisant glisser » M sur la droite (d). À l'aide de similitudes de centre A, dire quels sont les lieux géométriques des points P et Q lorsque M se déplace sur (d).
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Voir aussi :
– le carré mobile
– l'équerre contre un mur
En 1863, Jules Verne avait anticipé les olympiades de mathématiques et avait proposé le problème suivant dans Paris au XXe siècle, roman non publié à l'époque, mais édité plus d'un siècle plus tard, par Hachette en 1994 et France Loisirs en 1995.
Soit (c) et (c’) deux cercles de centre O et O’.
D'un point A de (c), on mène deux tangentes à (c’). On joint les de contact B et C de ces tangentes.
On mène la tangente en A au cercle (c).
On demande le lieu du point M d'intersection de cette tangente avec la corde des contacts du cercle (c’).
Le lieu est une quartique : courbe algébrique de degré 4.
Voir corrigé dans : culture maths - Articles de la revue tangente - Le Seuil - 2008
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Sommaire1. Centres des cercles tangents à deux cercles |
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