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Maxima - Minima

De nombreuses situations menant à des problèmes d'optimisation : à partir de figures géométriques, études d'aires et recherche d'extremums avec GéoPlan.

Ancienne classe de 1S

Technique GéoPlan : dans les exercices de cette page est utilisée une seule figure avec deux cadres : le cadre de gauche pour la figure géométrique, le cadre de droite pour une fonction.

1. Aire minimum de deux demi-disques

On considère la figure suivante : (C) est un cercle de centre O et de rayon 1, [AB] est un diamètre. À partir d'un point M de [AB], tracer deux demi-cercles de diamètre [AM] et [MB] (voir figure ci-dessous).
Il s'agit de trouver la position du point M où la somme des aires des demi-disques est minimum.

Indication

Le problème est posé dans le cadre géométrique. En appelant x le rayon d'un des demi-cercles, l'aire de la partie hachurée est égale à :
π (2x² – 2x + 1) / 2. La résolution s'effectue dans le cadre algébrique.

Bibliographie : L'enseignement des mathématiques au lycée - Robert, Lattuati, Penninckx - Ellipses - 1999.

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2. Aire maximum de deux lunules d'Hippocrate de Chios

Trouver la position du point A où la somme des aires des deux lunules est maximum.

Le point M a pour coordonnées x et a₁ où x est la mesure de l'angle ACB en radians et a₁ l'aire des lunules.

Remarque : d'après le théorème des deux lunules, la somme des aires des deux lunules est égale à l'aire du triangle rectangle ABC.
On retrouve bien le fait que l'aire du triangle est maximale lorsque la hauteur issue de A est maximale. Ce maximum est atteint lorsque A est au milieu du demi-cercle de diamètre [BC], la hauteur est alors égale à BC/2, rayon du demi-cercle ; les deux lunules sont alors de même aire égale à BC²/8.

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3. Aire de l'arbelos

Arbelos d'Archimède ou tranchet du cordonnier : domaine compris entre trois demi-cercles tangents deux à deux

On considère un demi-cercle de diamètre AB = 5. M est un point (libre) du segment [AB]. On construit les demi-cercles de diamètres [AM] et [MB].

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Si AM = x l'aire de l'arbelos est π(5 – x)x/4,
pour x = 1 ou x = 4 l'aire de l'arbelos est égale à π soit 8/25 de l'aire du demi-disque de diamètre [AB].
Pour x = 5/2, l'aire maximale est égale à la moitié de l'aire du demi-disque de diamètre [AB].

La perpendiculaire à [AB] au point M coupe le grand demi-cercle au point C.

(CM) est la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC ; MC est moyenne géométrique des projections des petits côtés sur l'hypoténuse :
MC² = AM × MB = x (5 – x).
On a donc MC = , AC = et BC = .

Le cercle (c), de diamètre [CM], a la même aire que celle de l'arbelos. Il coupe les petits côtés du triangle ABC en D et E situés sur les petits demi-cercles. La droite (DE) est une tangente commune à ces demi-cercles.

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Arbelos

Cercles d'Archimède(287-212 av. J.-C.)

en : Archimedes' circles
de : Willingskreise

Les cercles d'Archimède (c) et (c’) sont deux cercles inscrits dans l'arbelos, simultanément tangents à la droite (MC), au demi-cercle de diamètre [AB], au demi-cercle de diamètre [AM] pour (c) et au demi-cercle de diamètre [BM] pour (c’).

Ces deux cercles ont même diamètre d = AM × MB / AB = x (5 – x)/5.
Les centres ont pour ordonnées et .

Le cercle de diamètre [DE], tangent aux cercles (c) et (c’), a la même aire que celle de l'arbelos ; DE = CM.

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Article exporté dans Wikipédia : cercles d'Archimède
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4. Le quadrilatère qui tourne

Si a = 9 et b = 6 l'aire du quadrilatère MNPQ est égale à l'aire du rectangle ABCD moins l'aire des quatre triangles rectangles de côté x et a–x ou b–x.
L'aire du rectangle ABCD est ab = 54.
L'aire de ces quatre triangles est celle deux petits rectangles x (a–x) + x (b–x) = x (a + b – 2x) = (a + b) x – 2x² = 15 x – 2x².

On a donc : A(x) = 2x² – 15 x + 54
et A(x) – A(15/4) = 2(x – 15/4)².
Le minimum de l'aire est atteint pour x = 15/4 = 3,75.

Dans le cas général on a : A(x) = 2x² – (a + b) x + ab
et A(x) – A((a+b)/4) = (4x – a – b)²/8.
Le minimum de l'aire est atteint pour x = (a + b)/4.

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Si 0 < x < b/2 ou a/2 < x < b l'aire du parallélogramme MNPQ est égale à la somme de l'aire B(x) du petit rectangle contenu dans la figure et l'aire (a + b) x – 2x² des quatre triangles rectangles. Si b/2 < x < a/2 il faut calculer la différence.

Étudier l'aire z = B(x) du petit rectangle et vérifier que le minimum de l'aire du quadrilatère est atteint lorsque le petit rectangle est un carré.

Dans le cadre sont représentés les points S(x, y) et T(x, z).

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Multiplication d'un parallélogramme
Rectangle mobile inscrit dans un rectangle
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5. Aire et périmètre maximums d'un rectangle

AB est le « quart de cercle » situé sur le cercle de centre O et de rayon 7.

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que l'aire du rectangle ONMP soit maximale ?

Indication

x = ON, y = OP ; OM² = ON² + OP² = x² + y² = 7² donc y² = 49 – x² soit y = .

L'aire du rectangle est xy = .

Cette aire est maximale lorsque x = 7≈ 4,95 (voir étude de la fonction paragraphe suivant).

Lorsque le point M est variable sur le segment [AB], on trouve une parabole : voir analyse en 1L.

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Classe de 2^nde

Où doit être situé le point M sur cet arc pour que le périmètre du rectangle ONMP soit maximal ?

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Variante

ÉduSCOL - Terminale S - Banque de sujets 2005 - Sujet 30

Soit C un cercle de rayon 4 cm.
Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle.

6. Aire et périmètre maximums, d'un triangle inscrit dans un cercle

Classe de première S

Le triangle ABC, isocèle de sommet A est inscrit dans un cercle (c) donné de centre O et de rayon 1.

Trouver le triangle ayant l'aire maximale.

H est un point libre du diamètre [AJ] du cercle (c). La perpendiculaire en H à (AO) coupe le cercle en B et C. Le triangle isocèle ABC est inscrit dans le cercle (c).

Soit x = AH, la longueur de la hauteur en A du triangle ABC, variant de 0 à 2. L'aire y du triangle ABC est représentée dans le cadre de droite par le point S(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que l'aire est maximale pour x = et ABC est un triangle équilatéral.

Commandes GéoPlan
Le déplacement de H se fait au clavier ou à la souris,
touche T pour la Trace du point S,
touche S pour sortir du mode trace,
la touche L fait apparaître ou disparaître le lieu de S.

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Variante

Terminale S - ÉduSCOL - Épreuve pratique 2007 - Sujet 027

On considère un triangle ABC isocèle en A de périmètre fixé. Il s'agit de déterminer parmi tous les triangles possibles celui dont l'aire est maximale.

Trouver le triangle ayant le périmètre maximal.

Soit x = AH et y représente dans cette deuxième figure le périmètre du triangle ABC. Dans le cadre de droite est représenté le point P(x, y).

En déplaçant le point H, on peut conjecturer que le périmètre est maximal pour la même valeur x = .

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Indications

Le cercle (c) ensemble des points B tels que BO² = (x – 1)² + y² = 1 a pour équation x² + y² – 2x = 0 dans un repère d'origine A.
D'où BH = . L'aire du triangle est A(x) = x.
Montrer que A() est le maximum, revient à démontrer que x²(2x – x²) ≤ , soit 16x⁴ – 32x³ + 27 ≥ 0.

16x⁴ – 32x³ + 27 = (2x – 3)² (4x² + 4x + 3) est positif pour x appartenant à [0, 2].

Utilisation du logiciel GéoPlan

Sur une même figure, dans le cadre de droite sont représentés simultanément les points S(x, y) et P(x, z) où y est l'aire du triangle ABC et z est le périmètre du triangle ABC. L'intérêt est de suivre simultanément les positions correspondantes de S et P et de montrer que le maximum de chaque fonction est atteint pour la même valeur de x.

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Il est aussi possible d'étudier les variations en fonction de x = BC : télécharger la figure GéoPlan max_triangle3.g2w

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7. Fonction définie par une aire

B. Destainville
Des activités pour les classes de première
Publication APMEP n^o 85 - 1991

Énoncé (Première S)

Dans la figure ci-dessous AB = 8, AI = 2. [Ax) et [Bx’) deux demi-droites perpendiculaires à [AB]. M est un point variable sur [Ax) et N est le point [Bx’) tel que le triangle MIN est rectangle en I.

Soit x = AM et y = A(x) l'aire du triangle.

Résolution du problème

On se propose de faire une étude algébrique du comportement de A(x) lorsque M décrit [Ax).

Montrer que les côtés des triangles MAI et IBN sont proportionnels.

En déduire que A(x) = et étudier la fonction.

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8. Deux cercles tangents, tangents à un carré - Olympiades Poitiers 2002

Les olympiades académiques
Brochure APMEP n^o 146 - 2002

Énoncé

Soit un carré ABCD de côté a. Un cercle (c) intérieur au carré est tangent à (AB) et (AD). Un cercle (c’), intérieur au carré est tangent extérieurement à (c) ainsi qu'aux droites (CB) et (CD).

Soit S la somme des aires des cercles (c) et (c’). Quelles sont les valeurs maximales et minimales de S ?

Indication

Les centres O et O’ des cercles étant à égale distance des côtés, ils sont situés sur la diagonale [AC] du carré.

Les rayons r et r’ des cercles vérifient :

OA + r + r’ + O’C = AC = a
(r + r’) (1 + ) = a

C'est-à-dire : r + r’ = a (2 – )

Les cercles étant situés à l'intérieur d'un carré de côté a, leurs rayons restent inférieurs à .
On en déduit que chaque rayon appartient à l'intervalle .

La somme des aires des deux cercles est :

S = π(r² + r’²) = [(r + r’)² – (r – r’)²] = [(6 – 4) a² – (r – r’)²]

On en déduit immédiatement que cette aire est minimale quand r = r’ = et vaut alors S_min = π(3 – 2 )a².

Et l'aire est maximale quand r est maximal et r’ minimal (ou inversement), c'est-à-dire lorsque r = et r’ = .

On obtient alors S_max = [(6 – 4)a² – (–1 + )²a²] = (9 – 6)a².

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Sujet repris à Bordeaux, aux olympiades 2008

Variante : classe de seconde

Résoudre avec l'algèbre un problème de géométrie.

Dans un carré de côté 4 cm, comme ci-dessus, inscrire deux cercles centrés sur la diagonale, tels que le rayon de l'un soit le double du rayon de l'autre.

Indication : comme ci-dessus : r + 2r = a (2 – ), soit r = (2 – ).

Voir aussi : remplir un carré avec deux cercles de même rayon

9. Aire d'un rectangle inscrit dans un triangle

Classe de seconde

ABC est un triangle rectangle et isocèle en C tel que AB = 10.
Soit J le milieu de [AB] et M est un point de [AJ]. On note x la longueur AM.
On construit le rectangle MNPQ inscrit à l'intérieur du triangle ABC : N sur [AC] ; P sur [BC] et Q sur [JB].

1) Exprimer les longueurs MN et MQ en fonction de x.
2) on note A(x) l'aire du rectangle MNPQ. Exprimer A(x) en fonction de x et montrer que A(x) = −2(x – 5/2)² + 25/2.
3) Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variation de la fonction A sur [0 ; 5].
4) Quelle est la position du point M sur [AB] pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale ?

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Voir aussi : aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle

Partage d'un triangle en deux polygones

Dans le plan on définit un triangle ABC.
On se propose de démontrer qu'il existe une droite et une seule perpendiculaire au côté [BC] qui partage le triangle ABC en deux polygones de même aire.

ÉduSCOL - Terminale S - 2007 - Sujet 047

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