René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Parallélogrammes en seconde

Configurations du plan : parallélogrammes, rectangles, parallélogrammes avec contraintes.

Sommaire

1. Thalès et parallélogramme

2. Projections orthogonales

3. D'un parallélogramme à l'autre

4. Parallélogramme et bissectrice

5. Comparaison d'aires dans un rectangle

6. Parallélogramme avec contraintes
Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

Propriétés

Voir : parallélogrammes au collège

1. Thalès et parallélogramme

Thalès et parallélogramme - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que vect(DM) = x vect(DC).

M’ est le point de la droite (BC) tel que vec(BM') = 1/x vec(BC).

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

Google préfère la mauvaise copie d'HauEtFort à cette figure originale !

2. Projections orthogonales des sommets sur les diagonales

parallélogramme - projection des sommets sur les diagonales - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un parallélogramme.
I, J, K, L sont les projections orthogonales des sommets sur les diagonales.

Montrer que IJKL est un parallélogramme.

3. D'un parallélogramme à l'autre

parallélogramme - intersection des perpendiculaires aux diagonales - copyright Patrice Debart 2004

Les points P, Q, R et S sont les points d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.
Montrer que PQRS est un parallélogramme.

Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que PQRS est alors un losange.

Google préfère la mauvaise copie d'HauEtFort à cette image originale !

4. Parallélogramme et bissectrices

parallélogramme et bissectices - copyright Patrice Debart 2004

Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 1/2. Donc, BC = 1/2 AM = 1/2 CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = 1/2 AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est une droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 1/2 MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que ma/mb = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant ma/mb = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

5. Comparaison d'aires dans un rectangle

Comparaison d'aires sans calcul :
L@ feuille à problèmes

aire dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2004

ABCD est un rectangle de centre O.
Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,
tels que AM = CN.

Les deux triangles verts ont la même aire.

L'aire du parallélogramme rouge est égale à celle des deux triangles.

Indications pour la solution

aire dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2004

C est l'image de A dans la symétrie de centre O. vect(CN) = − vect(AM) : les points M et N sont symétriques par rapport à O.
Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM), (DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme.

Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ : ils ont même aire.

La translation de vecteur vect(AB) transforme M en M’, J en J’et le triangle ADJ en BCJ’.
Ces deux triangles ont même aire.
Par composition de la symétrie et de la translation, on montre que BJ’CI est un parallélogramme, d'aire égale à celle des deux triangles.
Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales.

Les parallélogrammes NCMA et NCM’B ont même aire égale NC × CB.
En enlevant les triangles jaunes, on « voit » que les parallélogrammes MINJ et BJ’CI ont même aire.
L'aire du parallélogramme MINJ est égale à celle des deux triangles CBJ’ et DBI, donc celles de ADJ et DBI.

6. Parallélogramme avec contraintes

parallélogramme avec contraintes - copyright Patrice Debart 2004

Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux droites (d1), (d2) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d2) et un point D sur (d1) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d1) et tracer le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d2).

Solution

Parallélogramme avec 2 sommets sont situés sur 2 droites

parallélogramme avec contraintes - copyright Patrice Debart 2004

La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d1).

Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d1) par la translation de vecteur vect(AB). Les droites (d2) et (d’) sont sécantes en C.

Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur vect(BA), est situé sur (d1) et vect(BA) = vect(CD) :
le parallélogramme ABCD est la solution du problème.

Table des matières

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