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Parallélogrammes en seconde

Configurations du plan avec GéoPlan : parallélogrammes, rectangles, problèmes d'alignement.

Propriétés

Voir : parallélogrammes au collège

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1. Thalès et parallélogramme

ABCD est un parallélogramme.

M est un point sur la droite (DC) tel que = x .

M’ est le point de la droite (BC) tel que = .

Montrer que les points A, M et M’ sont alignés.

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4. Translation, orthocentre et alignement

ABCD est un rectangle. M un point du plan.

C’ est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D’ est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M’ est le projeté orthogonal de M sur (AB).
Les, droites (CC’) et (DD’) se coupent en I.

Montrer que les points M, M’ et I sont alignés.

Indications :

Dans la translation de vecteur :
- la droite (MM’) est globalement invariante,
- (CC’) a pour image la hauteur issue de B du triangle MAB,
- (DD') a pour image la hauteur issue de A du triangle MAB.
Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB.

L'image réciproque du point H est I, point de concours des trois droites (CC’), (DD’) et (MM’).
Les points M, M’, H et I sont alignés.

Bibliographie : Terracher - classe de 2^nde - Hachette

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5. Trisection d'un angle droit !

Construction à la règle au compas.

E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités.
Le point O complète le triangle équilatéral EFO.
C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O.

Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.

AB = BC = 3 et BC = AD = .
Vérifier que tan(DCA) et tan(FCB) sont égaux à .

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Trisection : grands problèmes de la géométrie grecque

6. La bille

Calculer l'aire de la surface hachurée.

AB = 2, BC = 1.

Le cercle a pour rayon r = - 1.

L'aire de la surface hachurée est π(3 - 2)+ 1.

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7. Parallélogramme et bissectrice

Résoudre par une méthode géométrique, dans R,
l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0.

AMEC est un parallélogramme. Une droite (d) passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.

Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la longueur BJ.

Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude . Donc, BC = AM = CE et B est le milieu de [EC].
Dans le triangle JAM, EB = AM, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ].

On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.
Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).
(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice, d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = MA

Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que = 2. Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.

Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1) et A(4).
Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = |x - 1| et MA = |x - 4|.

L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant = 2. C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 2 |x - 1| - |x - 4| = 0, soit x = 2 ou x = −2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).

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8. Calculs d'aire dans un rectangle

9. Parallélogramme avec contraintes

Construire un parallélogramme dont deux sommets sont situés sur deux droites

On donne deux points A, B distincts et deux droites (d₁), (d₂) sécantes, et distinctes de (AB).

Existe-t-il un point C sur (d₂) et un point D sur (d₁) tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme ?

Analyse

Placer un point D variable sur (d₁) et construire le quatrième point C du parallélogramme ABCD.
Déplacer le point D jusqu'à ce que C soit sur la droite (d₂).

Solution

La trace du lieu du point C permet de réaliser que ce point est situé sur une droite parallèle à (d₁).

Il suffit donc de tracer la droite (d’), image de (d₁) par la translation de vecteur . Les droites (d₂) et (d’) sont sécantes en C.

Le point D, image de C par la translation réciproque de vecteur , est situé sur (d₁)
et = : le parallélogramme ABCD est la solution du problème.

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10. Translation

Définition : dire que le point M’ est l'image du point M par la translation qui transforme A en B signifie que le quadrilatère ABM’M est un parallélogramme.

Les segments [AM’] et [BM] ont même milieu.

Si M est sur la droite (AB), ABM’M est un parallélogramme aplati.

Construire l'image d'un segment par une translation

Application : construire l'image d'un segment [MN] par la translation qui transforme A en B.

On construit les points M’ et N’ tels que ABM’M et ABN’N soient des parallélogrammes.
Pour cela, tracer les milieux I de [BM] et J de [BN].
M’ et N’ sont les symétriques de A par rapport à I et J.

Construire l'image d'une droite par une translation

Placer deux points M et N sur une droite (d). Construire les points M’ et N’ images des points M et N par la translation qui transforme A en B.

La droite (M’N’) est l'image de (d) par la translation.

Ces deux droites sont parallèles.

Indication

I et J sont les centres des parallélogrammes ABM’M et ABN’N.

(IJ), droite des milieux de AM’N’, est parallèle à (M’N’).
(IJ), droite des milieux de BMN, est parallèle à (MN).

Les droites (MN) et (M’N’) parallèles à (IJ) sont parallèles entre elles.

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