René DescartesDescartes et les Mathématiques

Polygone régulier

Construction à la « règle et au compas » de polygones réguliers de 5 à 17 côtés.

Sommaire

1. Polygone régulier constructible
2. Polygone régulier : côtés, angles
5. Pentagone - Construction de Ptolémée
6. Hexagone
7. Heptagone
8. Octogone
9. Ennéagone
10. Décagone
12. Dodécagone
15. Pentédécagone
17. Heptadécagone (construction de Gauss)

Triangle équilatéral

Carré

GeoGebra Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : polygones réguliers (pentagones à octogones)

GeoGebra GeoGebraBook : Polygones réguliers

g2w Faire de la
géométrie dynamique

Grands problèmes de la géométrie grecque

Les Éléments d'Euclide

Construction du
pentagone régulier

Le carré
au collège

Cabri-géomètre
Classe de troisième

1. Polygone constructible

Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c'est savoir tracer le point de coordonnées (cos2pi/n, sin 2pi/n). Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité.

Les Éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.
Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.

Théorème de Gauss

Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone à nm côtés est constructible à la « règle et au compas » si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

En effet, l'identité de Bézout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par 2pi/nm, il vient : u2pi/n + v2pi/m = 2pi/nm.

On obtient l'angle 2pi/nm, sur le cercle unité, en reportant u fois l'angle 2pi/n et v fois l'angle 2pi/m, angles que l'on sait construire.

Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés :
Comme on sait tracer le triangle équilatéral et le pentagone régulier, 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par 2pi/15 la relation de Bézout 2 × 3 − 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 2pi/52pi/3 = 2pi/15.
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (vect(OA), vect(OG)) = 4pi/5, le point B tel que (vect(OG), vect(OB)) = − 2pi/3 est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la « règle et au compas ».

Polygones constructibles

Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos 2pi/n est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2(2k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat.

Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ils ne le sont pas.

2. Polygones réguliers : côtés, angles

polygone regulier - decomposition du pentagone - copyright Patrice Debart 2006 Un polygone régulier est un polygone inscrit dans un cercle et dont tous les côtés ont la même longueur et les angles la même mesure.
Un polygone régulier est soit un polygone convexe, soit un polygone étoilé.

Un polygone régulier à n côtés se superpose à lui-même quand on le tourne d'un angle de 2pi/n.

Un polygone régulier est composé de (n − 2) triangles. Si on additionne les angles de ces triangles, on obtient la somme des angles intérieurs du polygone. La somme des angles d'un polygone à n côtés est égale à (n − 2) × 180° (Scholie de la proposition 32 du livre I d'Euclide : somme des angles d'un triangle).

Les rayons d'un polygone inscrit dans un cercle, de rayon r, relient ses sommets à son centre.
Les apothèmes relient les milieux de ses côtés à son centre.

Liste des polygones réguliers

 

Côtés

Angle au
centre

Angle
intérieur

 

Triangle équilatéral

3

120°

60°

côté = r rac(3)

Carré

4

90°

90°

côté = r racine de 2

Pentagone

5

72°

108°

diagonale/côté = φ ; côté = r/2 rac(10 - 2 rac(5)) = r rac(3-phi) ;
diagonale = r/2 rac(10 + 2 rac(5)) = r rac(2+phi)

Hexagone

6

60°

120°

côté = rayon du cercle circonscrit

Heptagone

7

     

Octogone

8

45°

135°

côté = r rac(2 - rac(2))

Ennéagone

9

40°

140°

 

Décagone

10

36°

144°

rayon/côté = φ : côté = r/phi = r (rac(5)-1)/2 ;
côté du décagone croisé = r φ = r (1+rac(5))/2

Hendécagone

11

     

Dodécagone

12

30°

150°

 

Pantédécagone

15

24°

156°

 

n côtés

n

2pi/n
((n - 2) x 180°)/n
 

5. Dessiner un pentagone régulier - Construction de Ptolémée

Classe de troisième

polygone regulier de 5 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006 Pour dessiner un pentagone régulier convexe inscrit dans un cercle, à la « règle et au compas », il suffit de savoir construire un angle au centre de 72° dont le cosinus est égal à (rac(5)-1)/4.

Pour un pentagone inscrit dans un cercle de centre O, ayant un sommet A donné on peut effectuer la construction adaptée du procédé de création du rectangle d'or :

tracer un cercle (c1) de centre O, de rayon r, passant par A(r, 0).
Placer un diamètre [AA’], puis un rayon [OB’], perpendiculaire à [AA’].

K est le milieu de [OA’], le cercle (c2) de centre K et de rayon KB’ coupe [OA] en U. La longueur du côté du pentagone est égale à B’U.

La médiatrice de [OU] coupe le premier cercle (c1) aux points B et E qui sont deux sommets du pentagone. Le cercle de centre B passant par A recoupe (c1) en C. Le symétrique D de C par rapport à (AA’) termine la construction du pentagone.

En effet, KB’ = KU = r rac(5)/2 d'après la propriété de Pythagore, dans le triangle OKB’ rectangle en O, donc OU = r(rac(5)/21/2) = r/phi et OI = (rac(5)-1)/4 r.
L'angle (vect(OA), vect(OB)) a un cosinus égal à (rac(5)-1)/4, c'est bien un angle de 72°. La corde [AB] est donc le premier côté du pentagone régulier convexe ABCDE.

Le point B a pour coordonnées OI = r cos 72° et IB = r sin 72°.
Le point C a pour abscisse r cos 108° = − r cos 72° = − (rac(5)+1)/4 r ; et pour ordonnée r sin 108° = r sin 72°.

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GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : pentagone régulier
   Feuille interactive avec GeoGebra : pentagone

Tracer un pentagramme

polygone regulier a 5 cotes - pentagone etoile - copyright Patrice Debart 2006On obtient un pentagone étoilé en joignant, de deux en deux, les sommets d'un pentagone régulier.

Le pentagone croisé ABCDE est obtenu à partir du pentagone convexe ADBEC.

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Longueurs des côtés du pentagone convexe et du pentagone étoilé

On inscrit dans un cercle (c) de centre O et de rayon r un décagone régulier. En joignant les sommets, de deux en deux, on obtient un pentagone régulier convexe ACEGI ; en les joignant de quatre en quatre on obtient un pentagone régulier étoilé AEICG (pentagramme).

Soit a = AC la longueur du côté du pentagone, d = AE la longueur d'une diagonale, côté du pentagone étoilé.

Le triangle isocèle AEG, d'angle au sommet 36°, est un triangle d'or.
Le rapport entre le côté AE du triangle et sa base EG est le nombre d'or φ.
polygone regulier - cotes du pentagone - copyright Patrice Debart 2006Dans le pentagone le rapport diagonale/côté est d:a = AE/EG = φ = nombre d'or : d = a φ.

La longueur du côté du décagone régulier est EF = r/phi = r (rac(5)-1)/2,
en joignant les sommets de trois en trois, la longueur du côté du décagone croisé est :
CF = r φ = r (1+rac(5))/2.

Les relations de Pythagore dans les triangles rectangles ACF et AEF inscrits dans le demi-cercle de diamètre [AF] donnent :
a2 = AC2 = AF2 − CF2 = 4r2r2φ2 et d2 = AE2 = AF2 − EF2 = 4r2r22.

On trouve alors :
Côté du pentagone régulier : a = 2 r sin 36° = r/2 rac(10 - 2 rac(5)) = r rac(3-phi) ≈ 1,176 r ;
Côté du pentagone croisé : d = r/2 rac(10 + 2 rac(5)) = r rac(2+phi) ≈ 1,902 r.

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Pentagone régulier :
    constructions exactes
    constructions approchées

6. Hexagone

Comment tracer un hexagone régulier à partir d'un cercle

polygone regulier de 6 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

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GeoGebra Feuille de travail dynamique avec GeoGebra : hexagone
      Figure interactive dans GeoGebra Tube : hexagone

Classe de quatrième

L'hexagone régulier est inscrit dans un cercle dont le rayon r est égal à la longueur des côtés de l'hexagone.

6.a. Construction de l'hexagone à partir du cercle circonscrit (Euclide)

Comment tracer un hexagone régulier :
Pour dessine un hexagone régulier inscrit dans un cercle, il suffit de porter six fois sur la circonférence une ouverture de compas égale au rayon et de joindre les points consécutifs ainsi obtenus.

Géométrie dynamique

Placer deux points O et A,
tracer le cercle (c) de centre O, passant par A.

Le cercle de centre A, passant par O, coupe le cercle (c) en B et F,
le cercle de centre B, passant par O, recoupe le cercle (c) en C,
le cercle de centre C passant par O coupe le cercle (c) en D,
le cercle de centre D passant par O coupe le cercle (c) en E.

Effacer les cercles et tracer les côtés de l'hexagone ABCDEF.

Voir : construction d'un hexagone par pliage d'un triangle équilatéral
construction en partageant le diamètre d'un cercle en quatre
hexagramme mystique

6.b. Construction à partir d'un côté

polygone regulier a 6 cotes - hexagone - copyright Patrice Debart 2006

Étant donné un segment [AB], tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A.

O, un des points d'intersection de ces deux cercles, est le centre du cercle circonscrit l'hexagone.

La construction se termine comme ci-dessus.

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6.d. Comment calculer l'aire d'un hexagone régulier

La longueur r des côtés de l'hexagone est égale au rayon du cercle circonscrit.
L'hexagone régulier est composé de six triangles équilatéraux.

Chaque triangle équilatéral de côté r, a pour aire rac(3)/4 r2.

Formule de l'aire de l'hexagone régulier :

l'aire de l'hexagone régulier de côté r est : 3rac(3)/2 r2.

6.c. Construction à partir du cercle inscrit

Classe de première L

polygone regulier de 6 cotes egaux - hexagone - copyright Patrice Debart 2006

Étant donné deux points O et I, tracer l'hexagone passant par I, circonscrit au cercle (c) de centre O, passant par I.

Tracer le cercle de centre I, passant par O. Soit J et N les points d'intersection de ce cercle avec le cercle (c). Soit P le symétrique de O par rapport à I. Le triangle PJN est équilatéral. (PJ) est perpendiculaire au rayon [JO] de (c). (PJ) est tangente au cercle (c). (PN) est aussi une tangente.

Soit R et T les symétriques de P par rapport à J et à N. PRT est un triangle équilatéral dont les côtés sont tangents au cercle (c).

Le cercle (c) est aussi inscrit dans le triangle équilatéral SUQ, symétrique de PRT par rapport à O.

Les six points d'intersection de ces deux triangles forment l'hexagone ABCDEF, circonscrit au
cercle (c).

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7. Heptagone - construction approchée, dite « de Thalès »

L'heptagone régulier n'est pas constructible à la « règle et au compas ».

En effet, pour a = pi/7, calculons cos(pi/7) grâce aux cosinus des angles supplémentaires 4 pi/7 et 3 pi/7 :
cos(4a) = 8 cos4(a) − 8 cos2(a) + 1
et cos(3a) = 4 cos3(a) − 3 cos(a).

En remplaçant cos(pi/7) par x, dans l'égalité cos(4 pi/7) = − cos(3 pi/7) on a : 8x4 − 8 x2 + 1 = − 4 x3 + 3x soit l'équation 8x4 + 4 x3 − 8 x2 − 3x + 1 = 0.
L'angle a = π est aussi solution pour x = cos(π) = − 1.
On peut donc factoriser (x + 1) soit (x + 1) (8x3 − 4x2 − 4x + 1) = 0

cos(pi/7) est donc solution de l'équation 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0.

Équation irréductible dans Q

Soit p/q une solution rationnelle irréductible de l'équation 8x3 − 4x2 − 4x + 1 = 0. Dans Z on a alors 8p3 − 4 p2q − 4 pq2 + q3 = 0.

Il résulte du théorème de Gauss que p divise 1 et q divise 8. Les candidats pour p/q sont à chercher parmi les facteurs de 1/8.

Dans ce cas particulier, de l'égalité 8p3 − 4 p2q − 4 pq2+ q3 = 0, il s'ensuit que q est pair.
Posons alors q = 2r. Il vient, l'égalité : p3p2r − 2pr2 + r3 = 0.
Mais la fraction p/q étant irréductible p est premier avec q et par suite avec sa moitié r. Du théorème de Gauss, il résulte que p divise 1 et r divise 1.
Donc p = ±1 et r = ± 1, d'où q = ± 2.
En conséquence x = ± 1/2 et on vérifie que ± 1/2 n'est pas solution de l'équation. L'équation n'a pas de solution dans Q.

Polynôme minimal du troisième degré

P(x) = 8x3 − 4x2 − 4x + 1 admet comme solution cos(pi/7). Cette solution n'est pas rationnelle.

Soit un autre polynôme Q(x) de Q[X], de degré moindre, qui aurait cos(pi/7) comme 0.
Si Q(x) était un binôme de degré 1, il admettrait une solution rationnelle ce qui n'est pas le cas.

Q(x) est donc du second degré. Grâce à la division euclidienne de P(x) par Q(x),
on trouve P(x) = Q(x) (ax + b) + R(x), avec a non nul et R(x) binôme du premier degré.

En remplaçant x par cos(pi/7), on trouve que R(cos(pi/7)) = 0, cette solution n'étant pas rationnelle, cette première contradiction impose donc R(x) = 0.
P(x) alors égal à Q(x) (ax + b) serait factorisable dans Q[X] et aurait − b/a pour solution ce qui est impossible.

cos(pi/7) n'est pas solution d'une équation du second degré à coefficients entiers. P(x) est irréductible dans Q[X]. cos(pi/7) est algébrique sur Q de degré 3.

Le nombre cos(pi/7) n'est pas constructible et, d'après le théorème de Wantzel, il est impossible de tracer l'heptagone régulier à la « règle et au compas ».

Voir aussi une démonstration montrant si l'équation admet une solution constructive, elle admet une solution rationnelle, d'où la contradiction.

Construction de Thalès

polygone regulier de 7 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

g2w Télécharger la figure GéoPlan polygo_7.g2w

Cette construction d'un heptagone presque régulier est attribuée au mathématicien et philosophe grec Thalès de Milet (vers 600 avant J.-C.). Elle nécessite la règle et deux ouvertures de compas.

Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1].
Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q.

On divise le diamètre [AA1] en n = 7 parties égales.

Les droites (PI2), (PI4) et (PI6) rencontrent le cercle (c) en B, C et D, sommets du polygone. On complète par symétrie par rapport à (AA1). On obtient les points G, F et E intersections du cercle (c) et des droites (QI2), (QI4) et (QI6).

ABCDEFG est une construction approchée de l'heptagone régulier.

 

Construction d'un polygone de n côtés

Cette méthode s'applique à un polygone de n côtés. Elle est d'une grande facilité et d'une précision très satisfaisante jusqu'à n = 10.

8. Dessiner un octogone régulier

Classe de troisième

En fonction du rayon r du cercle circonscrit, la longueur du côté est :
2 r sin pi/8 = r rac(2 - rac(2)) ≈ 0,765 r.

Voir le calcul du sinus de 45° : angle trigonométrie

Tracer un octogone dans un cercle

polygone regulier de 8 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

À partir de deux points O et A, tracer le cercle de centre O, passant par A.
Tracer deux diamètres [AE] et [CG] perpendiculaires : ACEG est un carré.

Tracer les bissectrices des angles formés par les droites (AE) et (CG).

Pour cela tracer les cercles de centres A et C, passant par O, qui se recoupe en I.
(OI) est la médiatrice de [AC] et coupe le cercle en B et F.

Tracer les cercles de centres C et E, passant par O, qui se recoupe en J.
(OJ) est la médiatrice de [CE] et coupe le cercle en D et H.

En joignant les extrémités de ces quatre diamètres, on obtient l'octogone régulier ABCDEFGH.

g2w Télécharger la figure GéoPlan octogone.g2w
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone

Tracé d'un octogone inscrit dans un carré

polygone regulier - octogone inscrit dans un carre - copyright Patrice Debart 2006

Dessiner un carré PQRS, de centre O.

Tracer alternativement les cercles centrés sur chaque sommet du carré, passant par le centre O.

En joignant les points d'intersection de ces cercles avec les côtés du carré, on obtient un octogone régulier inscrit dans un carré.

g2w Télécharger la figure GéoPlan octogone2.g2w
GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone inscrit dans un carré

Voir : octogone non régulier construit à l'intérieur d'un carré

Sommets de l'octogone comme points d'intersection de deux carrés

polygone regulier - octogone a l'intersection de deux carres - copyright Patrice Debart 2006

Tracer un carré PQRS a pour centre O.
Une rotation de centre O et d'angle 45° transforme ce carré en TUVW.

Les points d'intersection de ces deux carrés forment un octogone régulier.

g2w Télécharger la figure GéoPlan octogone3.g2w

Comment dessiner un octogone à partir d'un côté

polygone regulier - octogone - copyright Patrice Debart 2006 Classe de première L

Du centre O du cercle circonscrit,
on « voit » un côté [AB] suivant un angle de 45°.
Le point O est situé sur arc capable correspondant à un angle au centre de 90°.
Le centre I de l'arc capable est donc situé sur le cercle de diamètre le côté [AB].

Construction

Étant donné deux points A et B, tracer le cercle de diamètre [AB], la médiatrice de [AB] coupe ce cercle en un point I.

Le cercle de centre I, passant par A, coupe la médiatrice en un point O, situé du même côté que I, par rapport à (AB).

AÔB = 1/2 AÎB = 45°, le point O est le centre du cercle circonscrit à l'octogone.

On termine la construction comme ci-dessus à gauche.

g2w Télécharger les figures GéoPlan octogone_cote.g2w, octogone_cote2.g2w

Voir cette construction utilisée dans l'espace : pyramide octogonale

Octogone délimité par quatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré

polygone regulier - octogone inscrit dans un carre - copyright Patrice Debart 2006

À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH.

L'intérieur de cette figure forme un octogone régulier.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone et triangles équilatéraux
Voir octogone (non régulier) à l'intérieur d'un carré.

Construction de l'octogone étoilé

polygone regulier - octogone croise - copyright Patrice Debart 2006

ABCDEFGH est un octogone régulier.
En joignant les sommets trois à trois, on obtient l'octogone croisé ADGBBEHCF.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : octogone étoilé

9. Ennéagone

Non constructible à la « règle et au compas », car la trisection d'un angle de mesure pi/3 radians n'est pas possible, résultat prouvé en 1801 par Gauss.

Page en projet : ennéagone

Construction approchée de Thalès

polygone regulier a 9 cotes - construction approchee de l'enneagone - copyright Patrice Debart 2006 Deux points A et A1 étant donnés, tracer le cercle (c) de diamètre [AA1].
Les cercles de centres A et A1 et de rayon AA1 se coupent en P et Q.

On divise le diamètre [AA1] en n = 9 parties égales.

Les droites (PI2), (PI4), (PI6) et (PI8) rencontrent le cercle (c) en B, C, D et E, sommets du polygone.
On le complète par symétrie par rapport à (AA1).

On obtient alors les points I, H, G et F intersections du cercle (c) et des droites (QI2), (QI4), (QI6) et (QI8).

ABCDEFGHI est une construction approchée de l'ennéagone régulier.

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Page en projet : Ennéagone

10. Construire un décagone régulier

Le décagone se construit au compas par la dissection d'un pentagone.

Dessiner un décagone avec la méthode des cercles tangents

polygone regulier de 10 cotes - decagone - copyright Patrice Debart 2006

Décagone BB1B2B3B4B5B6B7B8B9, construit à partir du sommet B, inscrit dans un cercle (c2), de centre I et de rayon IA.

Construction

Construire un rayon [IA], perpendiculaire à (IB).

Tracer le cercle (c1), de diamètre [IA], de centre O.
La droite (BO) rencontre le petit cercle (c1) en J et K (BJ < BK).

Le cercle (c3) de centre B, passant par J, rencontre le grand cercle (c2) en B1 (et en B9), sommets du décagone.
Reporter l'ouverture BB1 sur le cercle en B2, puis de B2 en B3, etc.

On peut continuer la construction des sommets du décagone avec les symétries par rapport aux droites (IA) et (IB).
Les points B3 et B7 sont aussi situés sur le cercle de centre B passant par K.

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Voir pentagone : méthode des cercles tangents

Construction de Ptolémée du décagone régulier

polygone regulier de 10 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

Les cinq autres sommets, points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs, sont les symétriques des sommets du pentagone par rapport au centre.

Tracer le pentagone ACEGI de centre O et son symétrique FHJBD.

ABCDEFGHIJ est un décagone régulier de côté :

AB = OU = r(rac(5)/21/2) = r/phi.

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Par exemple, pour construire un décagone inscrit dans un cercle de 27 cm de diamètre, soit un rayon de 13,5 cm,
le côté mesure r/phi ≈ 8,3 cm et la figure ci-dessous donne les coordonnées des sommets.

polygone regulier - decagone - copyright Patrice Debart 2006

Décagone et triangle d'or

polygone regulier - decagone - copyright Patrice Debart 2006

[AB] est le côté du décagone ABCDEFGHIJ régulier convexe inscrit dans un cercle (c) de centre O, [AD] est le côté du décagone étoilé.

[AD] et le rayon [BO] se coupent en M. Le rayon (BO) prolongé passe par le sommet G et le rayon (DO) prolongé passe par le sommet I.

g2w Télécharger la figure GéoPlan dodecagone_2.g2w

Décagone étoilé

polygone regulier - decagone croise - copyright Patrice Debart 2006

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, (n-1)/2. Comme pour le pentagone, il n'y a qu'un décagone croisé que l'on obtient en joignant les sommets de trois en trois.

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Triangles d'or

OAB est un triangle isocèle de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit. L'angle AÔB = 36° comme angle au centre du décagone. Les deux autres angles mesurent 72° comme angles inscrits interceptant quatre divisions sur le cercle (c). OAB est donc un triangle d'or. Le rapport entre le côté du triangle et sa base est φ.
Le côté du décagone est AB = r/phi.

L'angle inscrit IDA intercepte deux divisions, il mesure 36°. L'angle au centre BÔD intercepte deux divisions, il mesure 72°. DOM est donc un triangle d'or, isométrique à OAB. L'angle OMD mesure 72°, ainsi que l'angle AMB, qui lui est opposé par le sommet. L'angle inscrit BAD intercepte deux divisions, il mesure 36°. ABM est encore un triangle d'or.

MOA a pour angles à la base deux angles inscrits de 36°, il est donc isocèle : OM = AM = AB = r/phi.

AD = AM + MD = r/phi + r = rφ.

On peut aussi remarquer que l'angle de 36°, que fait la corde [OM] avec [OA], est égal à l'angle ODM inscrit dans le cercle circonscrit au triangle ODM. (OA) est tangent au cercle.
La puissance du point A par rapport à ce cercle est AD × AM = AO2. Comme AM = AB on obtient les deux côtés en divisant le rayon en « extrême et moyenne raison »

AB = r/phi = r (rac(5)-1)/2 et AD = r φ = r (1+rac(5))/2.

11. Hendécagone

Non constructible à la « règle et au compas ».

12. Dodécagone

C'est un polygone à 12 sommets et côtés. Il possède 54 diagonales et la somme de ses angles est égale à 1800°.

Le dodécagone se construit au compas par la dissection d'un hexagone : les six autres sommets sont les points d'intersection du cercle circonscrit avec les bissectrices de rayons consécutifs.

polygone regulier a 12 cotes - dodecagone - copyright Patrice Debart 2006

Construction

À partir d'un hexagone ACEGIK inscrit dans le cercle (c), on utilise les cercles passants par O, centrés sur deux sommets consécutifs, ayant permis la construction de l'hexagone.
Par exemple, les cercles de centres A et C passant par O se recoupent en M. La droite (AM) est la médiatrice du côté [AC]. Elle coupe le cercle (c) en B et H qui sont deux sommets opposés du dodécagone.

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Construction au compas

polygone regulier de 12 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

Dans le cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AG] et [DJ] perpendiculaires.

Les points du dodécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A, D, G et J passant par le centre O.

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Aire du dodécagone

polygone regulier - dodecagone - copyright Patrice Debart 2006On choisit OA comme unité.
Un dodécagone régulier est inscrit dans le cercle (c) de centre O et de rayon 1.
On le partage en 12 triangles isocèles.

Dès la cinquième on peut, en remarquant que le triangle isocèle OBB’ ayant un angle de 60° est équilatéral,
montrer que BB’ = 1.

La hauteur BK du triangle OAB est égale à 1/2 et l'aire du triangle est égale à &:'.
Le dodécagone a donc une aire égale à 3.

Elle est inférieure à l'aire du cercle (c),
d'où 3 < π.

Au lycée, en 1ère S, on montrera que
OH = cos pi/12 = (rac(3)+1)rac(2)/4.

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Voir angle-trigonométrie

 

En choisissant OI = 1/cos(pi/12) = (rac(3)-1)rac(2) on construit un dodécagone tangent extérieurement au cercle (c) d'aire 3 OI2 ≈ 3.22,
donc 3 < π < 3,22.

Dodécagone construit avec quatre triangles équilatéraux

polygone regulier : dodecagone - copyright Patrice Debart 2006

On reprend la construction de l'octogone délimité par quatre triangles équilatéraux construits à l'intérieur d'un carré

À l'intérieur d'un carré ABCD, construire quatre triangles équilatéraux ABE, BCF, CDG et DAH.
Les quatre sommets internes des triangles équilatéraux forment un carré EFGH.

Le milieu des petits côtés et les intersections des côtés des triangles proches des sommets forment un dodécagone régulier.

L'aire du dodécagone est égale au cinquième de l'aire du carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : dodécagone et triangles équilatéraux

15. Pentadécagone ou pentédécagone, ou encore quindécagone

Découpage d'un arc grâce à un triangle équilatéral et un pentagone inscrit dans un cercle.

polygone regulier de 15 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006

Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, on applique le théorème de Gauss :

3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par 2pi/15 la relation de Bézout 2 × 3 − 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 2pi/52pi/3 = 2pi/15, qui fournit une construction.
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que :
(vect(OA), vect(OG)) = 4pi/5,
le point B tel que (vect(OG), vect(OB)) = − 2pi/3 est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

En pratique on trace le pentagone régulier ADGJM (sens direct).

À partir du point G, on trace le triangle équilatéral GBL (sens rétrograde).

En reportant 14 fois la longueur AB sur le cercle, on obtient le polygone régulier ABCDEFGHIJKLMNP.

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Une telle construction a été proposée dans le livre IV des Éléments d'Euclide :

polygone regulier - pentadecagone dans les elements d'Euclide

Pentédécagones croisés

Le nombre de polygones réguliers croisés de n côtés est égal au nombre de nombres premiers avec n contenus dans la suite 2, 3…, (n-1)/2.
Il y a trois pentédécagones croisés que l'on obtient en joignant les sommets de deux en deux, quatre en quatre ou sept en sept.

Construction avec une médiatrice

Construction du pentadecagone regulier avec une mediatrice - copyright Patrice Debart 2006

Construire le pentagone régulier ADGJM inscrit dans le cercle (c) de centre O.

Placer le point G’ symétrique de G par rapport à O.

La médiatrice de [OG’] coupe le cercle (c) en deux points B et L, sommets du pentédécagone.

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Commande GéoPlan : modifier r avec les flèches du clavier,
taper S pour montrer/cacher la justification.

polygone regulier - construction du pentadecagone avec une mediatrice - copyright Patrice Debart 2006

Justification

Le triangle OBG’ est équilatéral, car OB = OG’ comme rayons et OB = G’B car B est sur la médiatrice de [OG’].

L'angle MÔA de deux rayons du pentagone est de 72°.
G’ÔA = 1/2 MÔA = 36°.

AÔB = G’ÔB − G’ÔA = 60° − 36° = 24°, angle deux rayons du pentédécagone.

Construction au compas

polygone regulier - pentadecagone - copyright Patrice Debart 2006 Construire le pentagone régulier ADGJM de centre O.

Placer les points A’, D’, G’, J’, M’ symétriques de A, D, G, J, M par rapport à O.

Les points du pentédécagone sont les points d'intersection du cercle (c) avec les cercles de centres A’, D’, G’, J’, M’ passant par le centre O.

Justification

G’OB est un triangle équilatéral de côtés égaux au rayon r du cercle circonscrit, G’ÔB = 60°.

G’ÔA = 1/2 MÔA = 36° (angle au centre du pentagone).

AÔB = G’ÔB − G’ÔA = 60° − 36° = 24° est l'angle au centre du pentédécagone et le point B est bien un sommet.

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Article exporté dans Wikipédia : Pentédécagone

17. Heptadécagone (polygone de Gauss)

polygone regulier de 17 cotes egaux - copyright Patrice Debart 2006 Pour inscrire un polygone régulier dans un cercle (c), de centre O, tracer deux diamètres [AC] et [BD] perpendiculaires.

Soit E le point de [OB] tel que OE = 1/4 OB,
la droite (EF) est la bissectrice de OÊA et la droite (EG) est la bissectrice de OÊF (OÊG = 1/4 OÊA).

(HE) est la perpendiculaire en E à (EG),
la droite (EI) est la bissectrice de HÊG.

Le cercle de diamètre [IA], centré en J, rencontre [OB] en K.

Le cercle de centre G, passant par K coupe [AC] en L et M (presque confondu avec J).

Les parallèles à (BD) passant L et M coupent le cercle (c) en A5, A12, A3, A14, points de chapitre.

La médiatrice de [A3 A5] coupe le cercle en A4. [A3 A4] et [A4 A5] sont deux côtés de l'heptadécagone.

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Angles

Grands problèmes de
la géométrie grecque

Les Éléments d'Euclide

Construction du
pentagone régulier

Solides de Platon

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Table de matières

1. Polygone constructible
2. Polygone régulier
5. Pentagone - Construction de Ptolémée
6. Hexagone
7. Heptagone
8. Octogone
9. Ennéagone
10. Décagone
12. Dodécagone
15. Pentédécagone
17. Heptadécagone (construction de Gauss)

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