Site Descartes et les Mathématiques

Les problèmes de clôture

Problèmes de construction pouvant se traiter en option mathématiques de 1L : pentagone régulier.

1. Reconstituer un pentagone

Retrouver un pentagone ABCDE à partir des milieux I, J, K, L et M de ses côtés ?

Trouver une solution

Le logiciel GéoPlan permet à partir de cinq milieux libres I, J, K, L, M et d'un sommet libre A₁ de faire une conjecture pour une solution :
À partir du point A₁, par symétrie, on trouve B’, C’ D’ et E’. Si le symétrique de E’ par rapport à M est A₁, le pentagone A₁B’C’D’E’ est une solution. Dans la figure de gauche et en général ce n'est pas le cas et E’ a un symétrique A’, distinct de A₁, et nous obtenons une ligne brisée.

Dans l'imagiciel en déplaçant le point A₁ on s'aperçoit que son image A’ est obtenue par une transformation connue.

En effet, en plaçant le point A milieu de [A₁A’], nous trouvons un point fixe indépendant de A₁. Les points A₁ et A’ sont symétriques par rapport à A. La composition de cinq symétries centrales est une symétrie.

Le point A est le sommet du pentagone que l'on reconstitue par les cinq symétries centrales.

Dans GéoPlan, déplacer A₁, le faire coïncider avec A’, taper S pour visualiser/masquer le pentagone ABCDE solution.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_044s.g2w

Construction d'une médiane

Dans un pentagone ABCDE intéressons-nous aux diagonales [AC] et [AD] de milieux respectifs P et Q.

Dans le triangle ABC la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AC) et IJ est égal à la moitié de AC. De même, dans le triangle ACD, la droite des milieux (QK) est parallèle à (AC), QK est égal à la moitié de AC. Les segments [IJ] et [PK] sont alors parallèles et de même longueur. IJKQ est un parallélogramme.
De même, dans les triangles AED et ACD, les segments des milieux [ML] et [PK] sont parallèles et de même longueur, égale à la moitié de AD.
MLKP est un parallélogramme.

On retrouve la configuration du théorème de la médiane du triangle ADC : la diagonale [KA] du parallélogramme APKQ vérifie les relations vectorielles :
= + = + .

Pour reconstruire un pentagone à partir des milieux des côtés il suffit de construire le sommet A tel que = + .

Procéder de la façon suivante : tracer le point P quatrième sommet du parallélogramme MLKP et le point Q quatrième sommet du parallélogramme IJKQ. Le point A est alors le quatrième sommet du parallélogramme PKQA.
Il suffit ensuite de reconstituer les autres points du pentagone symétriques de A par rapport aux milieux I, P, Q, M.

Construction

Tracer le point S tel que = , LKJS est un parallélogramme et = .
En introduisant S dans des relations de Chasles pour le calcul de la médiane, on trouve :

= ( + ) + ( + ).
− = + ( + ).

Le premier terme est − = = + et en simplifiant on a :
= + , d'où le parallélogramme ISMA.
Nous avons alors la construction suivante avec un seul point intermédiaire :

Si IJKLM est le pentagone des milieux, on accroche en J un segment JS de même direction, même sens (!) et même longueur que PQ.
La démonstration précédente assure que le quatrième sommet A du parallélogramme ISMA est un des sommets du pentagone cherché qu'on restitue par symétries successives par rapport aux quatre milieux I, J, K, L.

2. Reconstituer un quadrilatère

Comment retrouver un quadrilatère ABCDE à partir des milieux I, J, K et L de ses côtés ?

Trouver une solution

Le logiciel GéoPlan permet à partir de quatre milieux libres I, J, K, L et d'un sommet libre A de faire une conjecture pour une solution.
À partir du sommet A, par symétrie, on trouve B, C et D. Le symétrique de D par rapport à L devrait être A pour obtenir un quadrilatère. Sur notre figure et en général ce n'est pas le cas, D a pour symétrique A’, distinct de A, et nous obtenons une ligne brisée.

En déplaçant le point A on s'aperçoit que son image A’ est obtenue par une transformation connue et une aide à la solution est donnée par l'imagiciel en tapant sur la touche S :
C est l'image de A par la composition de deux symétries de centres I et J, c'est la translation de vecteur = 2 (En effet, dans le triangle ACB, AC est parallèle à la droite des milieux IJ et égal au double de la longueur du segment).
De même, A’ est l'image de C par la composition de deux symétries de centres K et L, c'est la translation de vecteur = 2 (remarquer que KL est la droite des milieux de CA’D).
On passe de A à A’ par la composition des deux translations, c'est une translation de vecteur :
2 + 2 = 2( + ) = 2 .
D'où = 2 .
Déplacer les milieux et constater que la ligne brisée se referme lorsque I’ coïncide avec I : = : IJKL est un parallélogramme.

 Télécharger la figure GéoPlan mon_044v.g2w

Une infinité de solutions

Le théorème de Varignon assure que IJKL doit être un parallélogramme pour que la construction soit possible.

En effet, dans le triangle ABC, le théorème des milieux permet de montrer que IJ est parallèle à la diagonale AC du quadrilatère et égal à sa moitié.

De même, LK est parallèle à AC et égal à sa moitié.

Dans ce cas une infinité de quadrilatères répondent à la question, on peut alors les construire à partir de n'importe quel point A du plan et trouver de proche les autres points.

L'aire du quadrilatère ABCD est le double de l'aire du parallélogramme IJJK :
si les diagonales (AC) et (BD) de ABCD se coupent en O, le milieu de [OA] se trouve sur (IL) et l'aire du triangle AIL est égale à l'aire de OIL, de même Aire(BIJ) = Aire(OIJ), Aire(CJK) = Aire(OJK), Aire(DKL) = Aire(OKL).

 Télécharger la figure GéoPlan mon_044r.g2w

3. Tourniquette sur un polygone

Figures de Thompsen

Tourniquette : ligne brisée formée par une suite de segments deux à deux parallèles tracés sur une figure comme un polygone ou une conique. Ces figures de Thompsen sont des problèmes intéressants de clôture : le tourniquet peut-il être infini ou se ferme-t'il ? Si oui, au bout de combien de tours ?

Technique GéoPlan

Pour les polygones les figures utilisent le prototype :

M2 point parallèle M1, A, C, B

qui permet de calculer le point M₂ intersection de la parallèle à (AC) passant par M₁ et de la droite (CB).

Télécharger le prototype GéoPlan point_parallele.g2w

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