René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle V

Relations métriques dans le triangle

Sommaire

1. Inégalités triangulaires
Théorème d'Al-Kashi

2. Somme des angles d'un triangle

3. Loi des sinus

4. Formule de Héron d'Alexandrie

5. Formule des aires

6. Cercles inscrit et exinscrit - Distances entre les sommets et les points de contact

    Relation d'Euler (théorème d'Euler)

7. Théorème japonais de Carnot

Soit ABC un triangle tel que BC = a, AC = b et AB = c ; p = 1/2(a + b + c) désigne le demi-périmètre.
On note Â, angle B et angle C les angles du triangle.

1. Inégalités triangulaires

|b − c| < a < b + c

Les inégalités sont strictes pour un triangle non aplati.
Réciproquement, lorsque l'on a une égalité, les points A, B et C sont alignés.

Théorème d'Al-Kashi

Géométrie du triangle - triangle quelconque - copyright Patrice Debart 2012

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Formules de Pythagore généralisées dans le triangle quelconque :

Géométrie du triangle - angles d'un triangle quelconque - copyright Patrice Debart 2012

a² = b² + c² − 2 b c cos(Â),
b² = a² + c² − 2 a c cos(B),
c² = a² + b² − 2 a b cos(C).

Avec ces formules on peut calculer les cosinus des angles du triangle à partir des longueurs des côtés a, b, c.
Par exemple, cos C = Cos C.

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2. Somme des angles d'un triangle

La somme des angles géométriques d'un triangle est un angle plat :

angle A + angle B + angle C = 180°.

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Démonstration et figures, en classe de cinquième, voir : triangle au collège ; construction par pliage

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Problème d'arrondi

Avec les angles BAC = 87°, ABC = 33°, ACB = 59°, la somme de ces angles est égale à 179°. Plus haut, il est dit que la somme des angles d'un triangle est égale à 180° ?

Les calculs étant faits « au degré près », GéoPlan arrondit les trois angles par défaut et on perd un degré pour l'arrondi de la somme.
Avec un calcul au dixième les angles BAC = 87,5°, ABC = 33,5° sont arrondis par excès et ACB = 59,0° par défaut : la somme est bien arrondie à 180,0°.

3. Loi des sinus

S est l'aire du triangle ABC, R est le rayon du cercle circonscrit à ABC :

a/sin A = b/sin B = c/sin C = abc/2S = 2R,

d'où abc = 4RS.

4. Formule de Héron d'Alexandrie (60 ap. J.-C.)

Aire du triangle en fonction des longueurs des trois côtés.

p = 1/2(a + b + c) désigne le demi-périmètre.

S = rac(p(p - a)(p - b)(p - c))

Cette formule aurait été connue d'Archimède. Dans son traité « sur le dioptre », Héron en donne la plus ancienne démonstration connue.

Formule de l'aire d'un triangle avec la hauteur

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

S = 1/2 base × hauteur.

Calcul des hauteurs du triangle

Si hA, hB, hC sont les longueurs des trois hauteurs d'un triangle ABC, des calculs des aires ci-dessus S = 1/2 a hA = 1/2 b hB = 1/2 c hC,
on tire hA = 2S/a= 2rac(p(p - a)(p - b)(p - c))/a, hB = 2S/b = …, hC = 2S/c = …

5. Formule des aires

Géométrie du triangle - formule des aires - copyright Patrice Debart 2016

Cercle inscrit

Les trois bissectrices (AtA), (BtB), (CtC) d'un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit (c).

Soit r le rayon du cercle inscrit.

Le cercle (c) est tangent aux côtés du triangle en iA, iB et iC.

Le triangle ABC est décomposable en trois triangles IBC, ICA, IAB,
de sommet I et de hauteurs IiA, IiB, IiC; de même longueur r.

Formule des aires

L'aire S du triangle ABC est donc :

S = Aire(IBC) + Aire(IAC) + Aire(IAB)

S = 1/2 ar + 1/2 br + 1/2 cr
    = 1/2 (a + b + c) × r = p × r.

Donc S = pr et r = S/p = 2S/(a+b+c).

Avec la formule de Héron on a : r = S/p = rac(p(p - a)(p - b)(p - c)/p).

Avec la formule de l'aire du triangle S1/2  bc sin A,
on trouve que le rayon du cercle inscrit est  r = S/p = bc sinA/(a+b+c).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : formule des aires

Cercle exinscrit

Géométrie du triangle - cercle exinscrit - figure GeoGebra - copyright Patrice Debart 2012

Soit I1 le centre du cercle exinscrit dans l'angle BÂC du triangle et r1 son rayon.
L'aire du triangle ABC est décomposable avec trois aires : la somme des aires des triangles I1AB, et I1CA moins l'aire de I1BC,
de sommet I1 et de hauteurs I1C1, I1A1, I1B1 de même longueur r1.

S = A(I1CA) + A(I1AB) – A( I1BC).

L'aire du triangle ABC est donc
S = 1/2 br1 + 1/2 cr11/2 ar1 = 1/2 (b + c – a) × r1 = (pa) × r1.

Donc S = (pa) r1.

On trouverait de même pour les deux autres cercles exinscrits :
S = (pb) r2 pour le cercle de rayon r2 exinscrit dans l'angle B,
S = (pc) r3 pour le cercle de rayon r3 exinscrit dans l'angle C.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle exinscrit du triangle

6. Cercles inscrit et exinscrit

Géométrie du triangle - cercle inscrit - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2012

Distances entre les sommets et les points de contact

Cercle inscrit
Longueurs des segments

AB1 = AC1 = p – a = 1/2(– a + b + c),
BA1 = BC1 = p – b = 1/2(a – b + c),
CA1 = CB1 = p – c = 1/2(a + b – c).

Preuve

En effet, pour chacun des sommets, les deux tangentes sont de longueurs égales :
AB1 = AC1 ; ainsi que BA1 = BC1 et CA1 = CB1.

Avec AB1 + AC1 + BA1 + BC1 + CA1 + CB1 = 2p,
on a AB1 + BA1 + CA1 = p, soit AB1 + a = p et AB1 = p – a.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle inscrit dans un triangle et distances

Voir cas particulier du triangle rectangle

Voir points de Gergonne et de Nagel

        milieux des segments joignant les centres des cercles inscrit et exinscrits

Cercles inscrit et exinscrit

Géométrie du triangle - cercles inscrit et exinscrit - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2012

BA2 = BC2 = p – c,
CA2 = CB2 = p – b.

En effet, 2p = b + c + BA2 + CA2 = AC2 + AB2,
avec AC2 = AB2 = p.

On peut en déduire que B1B2 = B1C + CB2 = (p – c) + (p – b) = a = BC.
On a donc B1B2 = C1C2 = BC.

On a vu ci-contre que BA1 = p – b ; les points A1 et A2 sont symétriques par rapport au milieu C’ de [AB].

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercles inscrit et exinscrit du triangle

Relation d'Euler (théorème d'Euler)

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrits

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI2 = R2 – 2Rr.

Si d = OI alors d2 = R(R – 2r).

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Voir : quatre relations d'Euler

Théorème de Steiner−Lehman

Si deux bissectrices d'un triangle ont même longueur, le triangle est isocèle.

7. Théorème japonais de Carnot - angles aigus

Théorème japonais de Carnot - angles aigus - figure GeoGebra - copyright Patrice Debart 2016

ABC est un triangle, Ceson cercle circonscrit de centre O et de rayon R et Ci son cercle inscrit de centre I et de rayon r.

Cas particulier où le triangle ABC a tous ses angles aigus.

Les projetés orthogonaux de O sur les côtés [BC], [AC] et [AB] sont A1, B1 et C1.

Les distances du centre O aux côtés du triangle sont notées par d1, d2 et d3.

La somme des distances du centre O aux côtés du triangle est donnée par

d1 + d2 + d3 = R + r.

GeoGebra Figures interactives dans GeoGebra Tube :
théorème japonais de Carnot - triangle avec des angles aigus

théorème japonais de Carnot - triangle avec un angle obtus

démontration du théorème japonais de Carnot

Voir : Théorème japonais de Carnot dans le triangle rectangle

Voir aussi

Théorème de la bissectrice :
Si I et J sont les pieds des bissectrices sur (BC),
alors IB/IC = JB/JC = c/b ;
et on les relations métriques :
bc = AI2 + IB × IC et bc = JB × JC – AJ2.

Théorèmes de la médiane

Théorème de Thalès

Théorème de Céva

Théorème de Ménélaüs

Triangle rectangle

Théorème de Pythagore : a² = b² + c² pour un triangle rectangle en A.

Relations métriques dans le triangle rectangle

Résoudre un triangle

Ces formules permettent de résoudre un triangle, c'est-à-dire d'en calculer les différents éléments à partir, d'en général, de trois données particulières.

Table des matières

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables

II. Points caractéristiques

III. .Droite et cercle d'Euler

    Cercles - Feuerbach

IV. Lieux géométriques

Dans d'autres pages du site

Triangles rectangles relations métriques

Le triangle au collège

Le triangle en seconde

Construction de triangles en cinquième

Triangles remarquables

Triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Triangle équilatéral

Rétrolien

Loi des sinus

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Page no 192, créée le 21/4/2012
mise à jour le 31/1/2016