René DescartesDescartes et les Mathématiques

Triangles rectangles

Configuration du plan : droites remarquables du triangle rectangle.

Sommaire

1. Angle inscrit dans un demi-cercle
2. Théorème de Pythagore
3. Relations métriques dans le triangle rectangle
4. Construire un triangle rectangle
5. Cercle inscrit - Distances entre les sommets et les points de contact
    Trois cercles inscrits
    Somme des rayons des trois cercles inscrits
6. Bissectrice du triangle rectangle
7. Droites des milieux
8. Médiane et hauteur
9. Moyenne proportionnelle

II. Résolution de triangles rectangles

Construire un triangle rectangle connaissant :
a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit
b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit
c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse

    un côté et la différence des deux autres : calcul de Mons. des Cartes

Prototype GéoPlan : marquer un angle droit

Inscription d'un triangle dans un demi-cercle

Faire de la
géométrie dynamique

Triangle
orthique

Triangles
remarquables

La géométrie du triangle

Construction
à la règle et au compas

Index
triangles

Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations fondamentales

Pour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre :
  — les propriétés des droites remarquables,
  — la droite des milieux et le théorème de Thalès,
  — les propriétés des angles et des aires des triangles,
  — les propriétés des triangles rectangles et l'inscription dans un demi-cercle.

En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables.

Propriétés du triangle rectangle - Définitions

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit
.

Triangles rectangles particuliers

triangle egyptien « Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs » : le triangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité, est rectangle d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
Avec une corde à 13 nœuds ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre, entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle égyptien

« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°,
de côtés (1, 1, racine de 2), obtenu en divisant un carré en deux suivant une diagonale, d'où le nom du triangle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan demi_carre.g2w

« Triangle de l'écolier » : figure interactive dans GeoGebra Tube - triangle de l'écolier

carre et demi-carre

1. Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

1.a. Théorème de Thalès sur le cercle

theoreme de Thales sur le cercleUn angle inscrit dans un demi-cercle, chacun des côtés passant par une des extrémités du demi-cercle, est droit.

Un triangle inscrit dans un demi-cercle (un côté étant le diamètre) est un triangle rectangle.
Le demi-cercle, dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle rectangle, est le cercle de Thalès du triangle rectangle.

Un triangle est rectangle si, et seulement si, le centre de son cercle circonscrit est le milieu d'un de ses côtés (ce côté est alors son hypoténuse).

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement : si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

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ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.

1.b. Démonstration de Thalès

Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles en A et C sont égaux : OÂC = ACO.
De même, OCB est isocèle et OBC = OCB.

En sommant ces deux égalités d'angles, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB.

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles du triangle ABC :
(OÂC + OBC) + ACB = 2 ACB = 180°.

Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°.
Le triangle est donc bien rectangle en C.

droite des milieux d'un triangle rectangleDémonstration de la réciproque − Droites des milieux

Si ABC est un triangle rectangle en C alors il s'inscrit dans un cercle de diamètre [AB]

On trace la droite des milieux passant par le milieu O de [AB] et le milieu B’ de [AC].
Elle est parallèle à (BC). Comme (BC) et (AC) sont perpendiculaires, il en est de même de (OB’) et (AC). (OB’) est donc la droite perpendiculaire à [AC] passant par le milieu de [AC], c'est la médiatrice de [AC].
De même, on démontre que la droite passant par O et par A’, milieu de [BC], est la médiatrice de [BC].
Ces deux médiatrices se coupent en O, milieu de [AB], qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit a bien pour diamètre [AB].

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Comment tracer les médiatrices d'un triangle rectangle

Soit ABC un triangle rectangle en C, d'hypoténuse [AB] de milieu O.
Une des médiatrices est la perpendiculaire en O à (AB). On a vu ci-dessus que les deux autres médiatrices sont les droites des milieux [OA’] et [OB’].

1.c. Réciproque du théorème de Thalès sur le cercle

Un triangle rectangle est inscrit dans un demi-cercle.

Ci-dessous, deux démonstration de cette réciproque par doublement du triangle rectangle ABC par symétrie.

Pour cela, montrer que la médiane issue de l'angle droit est égal à la moitié de l'hypoténuse [AB] : le sommet C de l'angle droit est alors sur le cercle de diamètre [AB].

Le triangle rectangle est la moitié d'un rectangle

reciproque du theoreme de Thales sur le cercle - demonstration avec un rectangle d'aire double du triangle

Soit D le point symétrique de C par rapport au point O, milieu de [AB].

Les deux triangles rectangles ABC et ABD forment un rectangle ACBD ;
en effet, les diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu :
CO = 1/2 CD = 1/2 AB.

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Calcul de l'aire du triangle rectangle

Le rectangle ACBD a une aire double de celle du triangle rectangle ACB.

2 Aire(ACB) = Aire(ACBD) = CB × CA = ab.

Le triangle rectangle est la moitié d'un triangle isocèle

reciproque du theoreme de Thales sur le cercle - demonstration avec un triangle isocele

Soit le point D, symétrique de A par rapport au point C.

ABD est un triangle isocèle de médiatrice (CB).
C est le milieu de [AD] et (OC) est une droite des milieux :
CO = 1/2 DB = 1/2 AB.

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2. Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit, et réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle du « carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » : c2 = a2 + b2.

Hauteur du triangle rectanglePreuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec les triangles rectangles ACH et BCH formés par les petits côtés et la hauteur (CH), abaissée sur l'hypoténuse :

L'aire du grand triangle rectangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand triangle est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits.

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Hauteur du triangle rectangle issue de l'angle droit

Le triangle rectangle ABC, rectangle en C, a pour hauteur issue de C, la droite (CH), perpendiculaire à l'hypoténuse [AB].

Comme tout triangle, le triangle rectangle a trois hauteurs :
outre la hauteur issue de l'angle droit, les deux autres hauteurs, issues des sommets des angles aigus, sont confondues avec les côtés de l'angle droit.

Le sommet C de l'angle droit, point de concours des trois hauteurs, est l'orthocentre du triangle rectangle.

3. Relations métriques dans le triangle rectangle

Similitude de trianglesTriangles rectangles semblables

Les calculs dans le triangle rectangle utilisent la similitude des trois triangles rectangles CAB, HAC et HCB.

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3.a. Carré de la hauteur relative à l'hypoténuse : théorème de la hauteur

Carré de la hauteurSoit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC.
De la similitude des triangles rectangles BCH et CAH, en étudiant les rapports des petits côtés, on trouve :
HC/HA = HB/HC d'où HC2 = HA × HB.

En 1ère S, on vérifie cette relation avec le produit scalaire vect(CA).vect(CB) = 0 ou
(vect(CH) + vect(HA)).(vect(CH) + vect(HB)) = vect(CH)2 + vect(HA).vect(HB) = 0.

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Théorème de Thalès suisse ou théorème de la hauteur :

HC2 = HA × HB.

La hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.

Réciproque : si H est entre A et B et HC2 = HA × HB alors le triangle ABC est rectangle en C.

Remarque : cette formule, due à Euclide, était connue de Descartes qui l'utilise, dans le premier livre de La Géométrie, pour calculer une racine carrée.

3.b. Premier théorème d'Euclide - Carré d'un petit côté d'un triangle rectangle - Théorème des projections sur l'hypoténuse

similitude des triangles rectangles BAC et BCHUn côté de l'angle droit (cathète) est moyenne géométrique entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.

AC2 = AB × AH et BC2 = BA × BH.

Démonstration de l a relation BC2 = BH × BA :
    – en 1ère S grâce au produit scalaire :
avec la projection de A sur (BC) on a vect(BC).vect(BA) = vect(BC)2 et avec la projection de C sur (AB) on a vect(BC).vect(BA) = vect(BH).vect(BA) ;
d'où vect(BC).vect(BA) = BC2 = BH × BA.

    – en classe de seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en étudiant les rapports des côtés issus de B, on trouve BC comme moyenne proportionnelle entre BA et BH :

BC/BA = BH/BC.

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Réciproque : si H est entre A et B et BC2 = BH × BA alors le triangle ABC est rectangle en C.

Mémorisation

similitude des triangles ABC et ACHIl y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC rectangle en C, de hauteur [CH] :

AC2 = AB × AH,
BC2 = BA × BH,
HC2 = HA × HB.

Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points restants.

De la similitude des triangles ABC et ACH on a :

AC/AB = AH/AC d'où AC2 = AB × AH (première moyenne proportionnelle).

CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (calcul de l'aire ci-dessous).

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Aire du triangle rectangle avec la hauteur

calcul de l'aire du triangle rectangle avec la hauteurLe calcul de l'aire du triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a :
Avec la hauteur : Aire(ABC) = 1/2 AB × CH = 1/2 ch
et avec les côtés de l'angle droit : Aire(ABC) = 1/2 CA × CB = 1/2 ba.

D'où le théorème des cathètes :

ba = ch, soit CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur issue du sommet de l'angle droit.

Cette formule permet de calculer la hauteur du triangle rectangle : h = ba/c.

g2w Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w
Retrouver ces calculs : aire du triangle

Quotient des carrés des petits côtés : CA²/CR²=HA/HB

Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH

Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB, on trouve CH2 = CA².CB²/AB² et avec Pythagore AB2 = CA2 + CB2, en calculant l'inverse,
on a : 1/CH²=1/AB²+1/AC²

Relations trigonométriques

sin  = BC/AB ; cos  = sin angle B = AC/AB ; tan  = sinA/cosA = BC/AC ; sin2 + cos2 = 1.

Hauteur du triangle rectangle

CH = AC sin  ; AC = AB sin angle B d'où CH = AB sin  sin angle B = AB sin  cos Â.

Si h = CH et AB = c alors h = c sin  cos Â.

3.c. Calculer les côtés du triangle rectangle

Calculer la longueur d'un côté connaissant l'hypoténuse et l'autre côtéhauteur du triangle rectangle

Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore a2 = c2 - b2.

Calculer la longueur d'un côté connaissant l'hypoténuse et un angle

Utiliser les relations trigonométriques b = AC = AB sin angle B = c sin angle B ou AC = AB cos  = c cos Â.

Calculer la longueur d'un côté connaissant l'hypoténuse et la projection sur l'hypoténuse

Utiliser le théorème d'Euclide AC2 = AB × AH.

3.d. Calculer l'hypoténuse du triangle rectangle

Calculer la longueur l'hypoténuse connaissant les deux autres côtés

Utiliser le théorème de Pythagore c2 = a2 + b2.

Calculer l'hypoténuse connaissant un petit côté et un angle

Utiliser les relations trigonométriques c = AB = AC / sin angle B ou AB = AC / cos Â.

4. Dessiner un triangle rectangle

construire un triangle rectangle a partir d'un petit cote Comment tracer un triangle rectangle avec un logiciel de géométrie dynamique.

1.a. Construire un triangle rectangle à partir d'un petit côté

Placer deux points A, B et tracer le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,
placer un point libre C sur la perpendiculaire (menu : créer > point > point libre > sur une droite).

Gommer la perpendiculaire (non dessiné),
tracer les segments [BC] et [AC].

Marquer le milieu de [AB] et tracer le cercle de centre O, passant par A.

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dessiner un triangle rectangle a partir de l'hypotenuse 4.b. Tracer un triangle rectangle à partir de l'hypoténuse

Placer deux points A, C, dessiner le segment [AC] et marquer le milieu O,
dessiner le cercle de diamètre [AC],
placer un point B sur le cercle (menu : créer > point > point libre >sur un cercle).
Tracer les segments [AB] et [BC],
gommer le cercle et le milieu de [AC] (non dessiné).

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5.a. Cercle inscrit dans un triangle rectangle - Distances entre les sommets et les points de contact

Points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle rectangle

distances entre les sommets du triangle rectangle et les points de contact du cercle inscrit

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle inscrit dans triangle rectangle

Soit l'hypoténuse BC = a ; AC = b et AB = c les côtés de l'angle de l'angle droit ;
p = 1/2(a + b + c) le demi-périmètre du triangle ABC et r le rayon du cercle inscrit.

Les trois bissectrices du triangle sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Distance du sommet de l'angle droit aux points de contact :
r = AB1 = AC1 = p – a = 1/2(– a + b + c).

Le rayon du cercle inscrit est égal au demi-périmètre moins l'hypoténuse.

Les deux autres formules sont les mêmes que pour un triangle quelconque :
BA1 = BC1 = p – b = 1/2(a – b + c),
ainsi que CA1 = CB1 = p – c = 1/2(a + b – c).

Application : un calcul de l'aire du triangle rectangle ABC

BA1 × CA1 = ( p – b)(p – c) = 1/2(a – b + c) × 1/2(a + b – c) = 1/4(a2b2c2 + 2bc) = 1/2bc = S, car la relation de Pythagore donne a2b2c2 = 0.

Le produit des segments déterminés par le cercle inscrit sur l'hypoténuse est égal à l'aire du triangle.

Comme dans tout triangle, la formule des aires donne pour l'aire S du triangle rectangle ABC : S = pr, d'où r = S/p = 2S/(a+b+c).

5.b. Trois cercles inscrits dans le triangle rectangle et les deux triangles rectangles formés avec la hauteur

Proportionnalité des rayons de cercles inscrits

Trois cercles inscrits dans triangle rectangle

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : trois cercles dans triangle rectangle

Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle ABC et h la hauteur AH ;
r1 celui du cercle inscrit dans le triangle HBA, r2 celui du cercle inscrit dans le triangle HAC.

Grâce à la similitude des triangles rectangles ABC, HBA et HAC,
on vérifie que les rayons r, r1 et r2 sont liés par les relations :

r/a = r1/c = r2/b,

Les rayons des cercles inscrits sont proportionnels aux hypoténuses des triangles rectangles semblables ABC, HBA et HAC.

On peut aussi faire intervenir la hauteur h :

r/c = r1/h et r/b = r2/h.

Par ailleurs, le théorème de Pythagore généralisé permet de déduire la relation :

r2 = r12 + r22.

5.c. Somme des rayons de trois cercles inscrits dans le triangle rectangle et les deux triangles rectangles formés avec la hauteur

Somme des rayons des trois cercles inscritsLa hauteur AH est égale à la somme des rayons des trois cercles inscrits dans les triangles rectangles ABC, ABH et ACH.

On a :

h = r + r1 + r2.

La vérification par le calcul se fait en additionnant les trois formules :
r = 1/2(– a + b + c), r1 = 1/2( h + BH – c)
et r2 = 1/2(h + HC – b).

Démonstration géométrique

SH = r1,
le triangle rectangle HSA2, ayant des petits côtés de longueurs r1 et r2, est semblable à ABC.
L'hypoténuse SA2mesure r.

La parallèle à (SA2) passant par I2 coupe (AH) en T. SA2I2T est un parallélogramme et ST = r2.

Soit U la projection de T sur (AC). Le triangle rectangle UAT est semblable à ABC (mêmes angles, car un côté commun et les deux autres côtés sont perpendiculaires deux à deux).
UT = r2, donc les triangles UAT et HSA2 sont isométriques et TA = r.

On a bien HA = HS + ST + TA = r1 + r2 + r.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : rayonsde cercles inscrits du triangle rectangle

GeoGebra Après le bac, lire la suite dans le point de Feuerbach d'un triangle rectangle
    Figures classiques

6. Bissectrices d'un triangle rectangle

Droites remarquables du triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en C, inscrit dans le demi-cercle de centre O, de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A, rencontre en D le demi-cercle.
Les bissectrices du triangle rectangle sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle.

geometrie du triangle rectangle - bissectrices

En étudiant les angles de la figure, montrer que le triangle BDI est rectangle isocèle.

Indications

Le triangle ABD, inscrit dans le demi-cercle est rectangle en D, d'où l'angle BDI est droit.

Les angles aigus du triangle rectangle ABC sont complémentaires,
donc CAB + ABC = 90°.
Les bissectrices partagent ces angles en deux,
d'où, en divisant par 2, on a IAB + ABI = 45°.

L'angle extérieur DIB du triangle ABI est égal à la somme de deux angles IAB + ABI,
soit DIB = 45°.

Le triangle rectangle BDI, ayant un angle de 45°, est rectangle isocèle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_bissect_2.g2w

geometrie du triangle - bissectrice d'un triangle rectangle

Montrer que (OD) est la médiatrice de [BC].

Indications

Soit J le milieu de [BC], la médiatrice de [BC] est la droite des milieux (OJ) du triangle ABC.

La bissectrice (AD) partage l'arc BC en deux parties égales, donc les arcs DB et DC sont de même longueur et DB =DC. DBC est isocèle et D, comme O, est situé sur la médiatrice de [BC].

Autre démonstration : AOD est un triangle isocèle de côté le rayon du demi-cercle. Les angles égaux sont alors la moitié de l'angle BAC. Les angles alternes-internes DAC et ADO sont égaux à cette moitié, d'où la droite (OD) est parallèle à (AC).
Elle donc perpendiculaire à (BC) et passe par les milieux.
C'est encore la médiatrice de [BC].

Troisième démonstration : en étudiant les angles de la figure, montrer que le triangle CDI est isocèle (angles égaux à la moitié de BAC + 45°) et conclure avec le triangle rectangle isocèle BDI.

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7. Droites des milieux du triangle rectangle

Droites des milieux du triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en C et O est le milieu de l'hypoténuse [AB].
Le cercle de diamètre [CO] coupe le côté [AC] en I et [BC] en J.

Quelle est la nature du quadrilatère OICJ ?
Que représentent I et J pour les côtés [AC] et [BC] ?

Justifier l'égalité des angles BAC et CÔJ, de même l'égalité des angles ABC et CÔI.

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8. Médiane et hauteur d'un triangle rectangle

Médiane et hauteur d'un triangle rectangle ABC est un triangle rectangle en C et O est le milieu de l'hypoténuse [AB].

(CH) est la hauteur issue de C.

Montrer, en étudiant les angles aigus des triangles ACH et BOC, que les angles ACB et HCO ont même bissectrice, la droite (CC’), bissectrice de l'angle droit.

La hauteur (CH) est aussi la symédiane en C, du triangle ABC.

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9. Moyenne proportionnelle dans un triangle rectangle

9.a. Éléments d'Euclide

Livre VI, proposition 13

Le terme « droite » désigne, dans les Éléments d'Euclide, ce que nous appelons « segment ».

les elements d'Euclide - la hauteur comme moyenne proportionnelle dans un triangle rectangle

Trouver une moyenne proportionnelle

Méthode reprise par Descartes

Euclide et geoplan - moyenne proportionnelle avec la hauteur d'un triangle rectangle

Soit AC, et CB deux droites données ; il faut trouver une moyenne proportionnelle entre AC et CB.

Plaçons ces deux droites dans la même direction (AB), et sur laquelle décrivons le demi-cercle ADB. Du point C levons la perpendiculaire CD à AC qui rencontre la circonférence en D et joignons AD, DC.

L'angle ADB est inscrit dans un demi-cercle, cet angle est droit. Et puisque dans le triangle rectangle ADB on a mené, de l'angle droit, la droite DB perpendiculaire à la base, la droite DB est moyenne proportionnelle entre les segments AB, BC de la base.

Donc, les deux droites AC, CB étant données, on a trouvé une moyenne proportionnelle DC, ce qu'il fallait faire.

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Construction de réels

Application : La quadrature du rectangle, Éléments d'Euclide, livre II, proposition 14, voir constructions géométriques au collège

Deux autres méthodes

Lorsque les nombres a et b sont grands, à partir d'un point I, placer deux points A et B tel que IA = a et IB = b.
Utiliser une des deux constructions suivantes :

9.b. Carré d'un petit côté

moyenne proportionnelle

Tracer un demi-cercle de diamètre IA (a>b). La perpendiculaire en B à (IA) coupe ce demi-cercle en C.

Un côté de l'angle droit du triangle rectangle ICA est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse IA et sa projection sur l'hypoténuse IB : IA × IB = IC2.
IC est la moyenne géométrique de a et b.

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9.c. Construction de Wallis

moyenne proportionnelle : Wallis

La puissance d'un point I par rapport à un cercle passant par A et B est le produit IA × IB. Cette puissance est égale au carré de la longueur IT d'une tangente au cercle, issue de I : IA × IB = IT2.
IT est la moyenne géométrique de a et b.

En choisissant le cercle de diamètre [AB] de centre O, T est alors un des points d'intersection avec le cercle de diamètre [IO].

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II. Résolution de triangles rectangles

Comment résoudre un triangle rectangle

II.a. Tracer un triangle rectangle connaissant un angle aigu et le rayon du cercle inscrit

Construire un triangle rectangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_438_a.g2w

Le triangle ABC rectangle en C a un angle aigu A égal à tÔz.
Construire la droite passant par A parallèle à la bissectrice de tÔz.

Indications

La parallèle à (At) située à une distance r coupe cette bissectrice en I. Le point I se projette en R sur (At).
Le cercle inscrit est le cercle de centre I, passant par R.

La deuxième tangente issue de A est tangente au cercle en symétrique de R par rapport à (AI).

Le troisième côté est tangent au cercle et perpendiculaire à (AQ). Mener le rayon [IP] perpendiculaire à [IQ], la perpendiculaire en P à [IP] coupe (AQ) en C et (AR) en B.

Le triangle ABC est le triangle demandé.

II.b. Tracer un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des côtés de l'angle droit

Construire un triangle rectangle

g2w Télécharger la figure GéoPlan tr_438_b.g2w

Supposons le problème résolu :

Soit ABC est le triangle rectangle en C demandé, tel que AB = c et AC + CB = d.
Le point C est sur le cercle de diamètre AB.
Le cercle de centre A et de rayon d coupe la droite (AC) en D tel que CD = CB.
Le triangle BCD est donc isocèle, mais comme l'angle en C est droit, il est aussi rectangle, l'angle ADB est égal à 45°.
D est donc sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle de 45°.
Cet arc capable correspond à un angle au centre de 90°.

Le centre M de cet arc est à l'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB]. Sur le cercle de centre M passant par A et B, le point N est le symétrique de A par rapport à M.
Le triangle ANB est rectangle isocèle avec un angle ANB de 45°.

Le point D est donc à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A, et le point C est l'intersection de la demi-droite [AD) et du cercle de diamètre [AB].

Le problème admet une solution si les cercles sont sécants,
donc lorsque c < d ≤ 2AM.

Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d  < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O.

II.c. Tracer un triangle rectangle connaissant la médiane m et la hauteur h relative à l'hypoténuse

Construire un triangle rectangle

On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Placer le point O et de part et d'autre les points A et B tels que OA = OB = m.
Le point C est sur le cercle de diamètre [AB] à une distance h de (AB).

Le problème admet des solutions si hm.

 

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La géométrie
au collège

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Angles
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Table de matières

1. Angle inscrit dans un demi-cercle
2. Théorème de Pythagore
3. Relations métriques dans le triangle rectangle
4. Construire un triangle rectangle
5. Cercle inscrit - Distances entre les sommets et les points de contact
    Trois cercles inscrits
    Somme des rayons des trois cercles inscrits
6. Bissectrice du triangle rectangle
7. Droites des milieux
8. Médiane et hauteur
9. Moyenne proportionnelle

Expressions clés : triangle rectangle, propriété triangle rectangle, hauteur triangle rectangle, aire du triangle rectangle avec la hauteur, bissectrice triangle rectangle, triangle inscrit demi-cercle.

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II. Problèmes de construction

Construire un triangle rectangle connaissant :
  a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit
  b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit
  c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse

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