Site Descartes et les Mathématiques

Triangles rectangles

Configuration du plan : droites remarquables du triangle rectangle.

Exemples d'exercices pouvant être résolus, en classe de seconde, avec les configurations fondamentales

Pour les triangles, il s'agit de savoir mettre en œuvre :
  — les propriétés des droites remarquables,
  — la droite des milieux et le théorème de Thalès,
  — les propriétés des angles et des aires des triangles,
  — les propriétés des triangles rectangles et l'inscription dans un demi-cercle.

En seconde la difficulté des raisonnements vient souvent de l'enchaînement de deux propriétés remarquables.

Propriété du triangle rectangle - Définitions

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Angle inscrit dans un demi-cercle : théorème dû à Thalès

Théorème de Thalès sur le cercle :

Un angle inscrit dans un demi-cercle, chacun des côtés passant par une des extrémités du demi-cercle, est droit.

Un triangle inscrit dans un demi-cercle (un côté étant le diamètre) est un triangle rectangle.
Le demi-cercle, dont le diamètre est l'hypoténuse du triangle rectangle, est le cercle de Thalès du triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement : si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

Démonstration de Thalès

ABC est un triangle inscrit dans un demi-cercle de centre O.

Deux côtés du triangle OAC sont des rayons, OAC est isocèle et les angles en A et C sont égaux : OÂC = ACO.
De même, OCB est isocèle et OBC = OCB.

En sommant ces deux égalités d'angles, il vient : OÂC + OBC = ACO + OCB = ACB.

Comme la somme des angles d'un triangle vaut 180°, il vient pour les angles du triangle ABC :
(OÂC + OBC) + ACB = 2 ACB = 180°.

Puis en divisant par 2, on obtient ACB = 90°.
Le triangle est donc bien rectangle en C.

Démonstration de la réciproque − Droites des milieux

Si ABC est un triangle rectangle en C alors il s'inscrit dans un cercle de diamètre [AB]

On trace la droite des milieux passant par le milieu O de [AB] et le milieu B’ de [AC].
Elle est parallèle à (BC). Comme (BC) et (AC) sont perpendiculaires, il en est de même de (OB’) et (AC). (OB’) est donc la droite perpendiculaire à [AC] passant par le milieu de [AC], c'est la médiatrice de [AC].
De même, on démontre que la droite passant par O et par A’, milieu de [BC], est la médiatrice de [BC].
Ces deux médiatrices se coupent en O, milieu de [AB], qui est donc le centre du cercle circonscrit au triangle.
Le cercle circonscrit a bien pour diamètre [AB].

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect4.g2w

Démonstration de la réciproque − Doublement du triangle rectangle par symétrie

Théorème de Pythagore

Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit , et réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle du « carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » : c² = a² + b².

Preuve utilisant la méthode des aires grâce à la similitude du grand triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec les triangles rectangles ACH et BCH formés par les petits côtés et la hauteur (CH), abaissée sur l'hypoténuse :

L'aire du grand triangle rectangle est la somme des aires des deux petits. Pour des triangles rectangles semblables, leurs aires sont proportionnelles aux carrés de leurs hypoténuses, donc le carré de l'hypoténuse du grand triangle est égal à la somme des carrés des hypoténuses des deux petits.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

Hauteur du triangle rectangle

Le triangle rectangle ABC, rectangle en C, a pour hauteur issue de C, la droite (CH), perpendiculaire à l'hypoténuse [AB].
Les côtés de l'angle droit sont les deux autres hauteurs, issues de A et B.

Le sommet C de l'angle droit est l'orthocentre du triangle.

Triangles rectangles particuliers

« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs » : le triangle rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité.
Avec une corde à 13 nœuds ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre, entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.

« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°, de côtés (1, 1, ), obtenu en divisant un carré en deux suivant une diagonale, d'où le nom du triangle.

Télécharger la figure GeoGebra Triangle_egyptien.ggb

Propriétés du triangle rectangle : relations métriques

Triangles rectangles semblables

Les calculs dans le triangle rectangle utilisent la similitude des trois triangles rectangles CAB, HAC et HCB.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur.g2w

Carré de la hauteur CH

Soit [CH] la hauteur, issue du sommet de l'angle droit, du triangle rectangle ABC.
De la similitude des triangles rectangles BCH et CAH, en étudiant les rapports des petits côtés, on trouve :
HC/HA =HB/HC d'où HC² = HA × HB.

En 1^ère S, on vérifie cette relation avec le produit scalaire . = 0 ou
( + ).( + ) = ² + . = 0.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri3.g2w

Théorème de Thalès suisse : la hauteur issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.
Réciproque : si H est entre A et B et HC² = HA × HB alors le triangle ABC est rectangle en C.

Remarque : cette formule, due à Euclide, était connue de Descartes qui l'utilise, dans le premier livre de La Géométrie, pour calculer une racine carrée.

Carré d'un petit côté d'un triangle rectangle

Un côté de l'angle droit (cathète) est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.

AC² = AB × AH et BC² = BA × BH.

Démonstration de l a relation BC² = BH × BA :
    – en 1^ère S grâce au produit scalaire :
avec la projection de A sur (BC) on a . = ² et avec la projection de C sur (AB) on a . = . ;
d'où . = BC² = BH × BA.

    – en classe de seconde avec la similitude des triangles rectangles BAC et BCH, en étudiant les rapports des côtés issus de B :

BC/BA = BH/BC.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri2.g2w

Réciproque : si H est entre A et B et BC² = BH × BA alors le triangle ABC est rectangle en C.

Mémorisation

Il y a trois formules de moyennes géométriques dans le triangle ABC rectangle en C, de hauteur [CH] :

AC² = AB × AH,
BC² = BA × BH,
HC² = HA × HB.

Le point C mis à part, nous choisissons arbitrairement un des points A, B ou H et nous le plaçons en tête de chacun des trois termes qui interviennent. Il ne reste plus qu'à compléter avec les deux autres points restants.

De la similitude des triangles ABC et ACH on a :

AC/AB = AH/AC d'où AC² = AB × AH (première moyenne géométrique).

CH/BC = AB/AC d'où AC × BC = AB × CH (calcul de l'aire ci-dessous).

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_metri1.g2w

Aire du triangle rectangle

Le calcul de l'aire du triangle rectangle ABC, rectangle en C, avec les hauteurs se fait de deux façons et on a :
Aire(ABC) = AB × CH = ch
et Aire(ABC) = CA × CB = ba.

D'où ba = ch, soit CA × CB = AB × CH : dans un triangle rectangle, le produit des cathètes est égal au produit de l'hypoténuse par la hauteur issue de l'angle droit.

Cette formule permet de calculer la hauteur du triangle rectangle : h = ba/c.

Télécharger la figure GéoPlan aire_tr_rect4.g2w
Voir : aire du triangle

Quotient des carrés des petits côtés :

Calcul de l'inverse du carré de la hauteur CH

Des expressions du double de l'aire CH × AB = CA × CB, on trouve CH² = et avec Pythagore AB² = CA² + CB², en calculant l'inverse,
on a :

Relations trigonométriques

sin  = ; cos  = ; tan  = = ; sin²Â + cos²Â = 1.

Hauteur

CH = AC sin  ; AC = AB sin B d'où CH = AB sin  sin B.

Si h = CH et AB = c alors h = c sin  sin B.

1. Dessiner un triangle rectangle

Comment tracer un triangle rectangle avec un logiciel de géométrie dynamique.

a. À partir d'un petit côté

Placer deux points libres A, B et tracer le segment [AB],
tracer la perpendiculaire à [AB] passant par B,
placer un point libre C sur la perpendiculaire (menu : créer > point > point libre > sur une droite).

Gommer la perpendiculaire (non dessiné),
tracer les segments [BC] et [AC].

Marquer le milieu de [AB] et tracer le cercle de centre O, passant par A.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect5.g2w

Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques

b. À partir de l'hypoténuse

Placer deux points A, C, dessiner le segment [AC] et marquer le milieu O,
dessiner le cercle de diamètre [AC],
placer un point B sur le cercle (menu : créer > point > point libre >sur un cercle).
Tracer les segments [AB] et [BC],
gommer le cercle et le milieu de [AC] (non dessiné).

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect.g2w

2.a. Cercle inscrit dans un triangle rectangle - Distances entre les sommets et les points de contact

Soit l'hypoténuse BC = a ; AC = b et AB = c les côtés de l'angle de l'angle droit ;
p = (a + b + c) le demi-périmètre du triangle ABC et r le rayon du cercle inscrit.

Les trois bissectrices du triangle rectangle sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Distance du sommet de l'angle droit aux points de contact :
r = AB₁ = AC₁ = p – a = (– a + b + c).

Le rayon du cercle inscrit est égal au demi-périmètre moins l'hypoténuse.

Les deux autres formules sont les mêmes que pour un triangle quelconque :
BA₁ = BC₁ = p – b = (a – b + c),
ainsi que CA₁ = CB₁ = p – c = (a + b – c).

Télécharger la figure GeoGebra triangle_rectangle_cercle_inscrit_mesure.ggb

Application : un calcul de l'aire du triangle rectangle ABC

BA₁ × CA₁ = ( p – b)(p – c) = (a – b + c) × (a + b – c) = (a² – b² – c² + 2bc) = bc = S, car la relation de Pythagore donne a² – b² – c² = 0.

Le produit des segments déterminés par le cercle inscrit sur l'hypoténuse est égal à l'aire du triangle.

Comme dans tout triangle, la formule des aires donne pour l'aire S du triangle rectangle ABC : S = pr, d'où r = = .

2.b. Trois cercles inscrits

Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle ABC, r₁ celui du cercle inscrit dans le triangle HBA, r₂ celui du cercle inscrit dans le triangle HAC et h la hauteur AH.

Grâce à la similitude des triangles rectangles ABC, HBA et HAC,
on vérifie que les rayons r, r₁ et r₂ sont liés par les relations :

r/a = r₁/c = r₂/b,

Les rayons des cercles inscrits sont proportionnels aux hypoténuses des triangles rectangles semblables ABC, HBA et HAC.

On peut aussi faire intervenir la hauteur h :

r/c = r₁/h et r/b = r₂/h.

Par ailleurs, le théorème de Pythagore généralisé permet de déduire la relation :

r² = r₁² + r₂².

Télécharger la figure GeoGebra tr_rectangle_cercle_inscrit.ggb

2.c. Somme des rayons des trois cercles inscrits

On a :

h = r + r₁ + r₂.

La vérification par le calcul se fait en additionnant les trois formules :
r = (– a + b + c), r₁ = ( h + BH – c)
et r₂ = (h + HC – b).

Démonstration géométrique

SH = r₁,
le triangle rectangle HSA₂, ayant des petits côtés de longueurs r₁ et r₂, est semblable à ABC.
L'hypoténuse SA₂mesure r.

La parallèle à (SA₂) passant par I₂ coupe (AH) en T. SA₂I₂T est un parallélogramme et ST = r₂.

Soit U la projection de T sur (AC). Le triangle rectangle UAT est semblable à ABC (mêmes angles, car un côté commun et les deux autres côtés sont perpendiculaires deux à deux).
UT = r₂, donc les triangles UAT et HSA₂ sont isométriques et TA = r.

On a bien HA = HS + ST + TA = r₁ + r₂ + r.

Télécharger la figure GeoGebra tr_rectangle_cercle_inscrit2.ggb

Après bac, lire la suite avec le point de Feuerbach dans un triangle rectangle

3. Bissectrices d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en C, inscrit dans le demi-cercle de centre O, de diamètre [AB].

La bissectrice de ce triangle, issue de A, rencontre en D le demi-cercle.
Les bissectrices du triangle rectangle sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle.

4. Droites des milieux du triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en C et O est le milieu de l'hypoténuse [AB].
Le cercle de diamètre [CO] coupe le côté [AC] en I et [BC] en J.

Quelle est la nature du quadrilatère OICJ ?
Que représentent I et J pour les côtés [AC] et [BC] ?

Justifier l'égalité des angles BAC et CÔJ, de même l'égalité des angles ABC et CÔI.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_dr_milieu.g2w

5. Médiane et hauteur d'un triangle rectangle

ABC est un triangle rectangle en C et O est le milieu de l'hypoténuse [AB].

(CH) est la hauteur issue de C.

Montrer, en étudiant les angles aigus des triangles ACH et BOC, que les angles ACB et HCO ont même bissectrice, la droite (CC’), bissectrice de l'angle droit.

La hauteur (CH) est aussi la symédiane en C, du triangle ABC.

Télécharger la figure GéoPlan tr_rect_hauteur_mediane.g2w

6. Moyenne proportionnelle

Application : La quadrature du rectangle, Éléments d'Euclide, livre II, proposition 14, voir constructions géométriques au collège

Deux autres méthodes

Lorsque les nombres a et b sont grands, à partir d'un point I, placer deux points A et B tel que IA = a et IB = b.
Utiliser une des deux constructions suivantes :

Problèmes de construction

D'après la géométrie au Creusot – enseignement primaire supérieur – A. Béché – 1920
cité par Patrick Guyot – bulletin APMEP n^o 438.

a. Tracer un triangle rectangle connaissant un angle aigu et le rayon du cercle inscrit

Le triangle ABC rectangle en C a un angle aigu A égal à tÔz.
Construire la droite passant par A parallèle à la bissectrice de tÔz.

Indications

La parallèle à (At) située à une distance r coupe cette bissectrice en I. Le point I se projette en R sur (At).
Le cercle inscrit est le cercle de centre I, passant par R.

La deuxième tangente issue de A est tangente au cercle en symétrique de R par rapport à (AI).

Le troisième côté est tangent au cercle et perpendiculaire à (AQ). Mener le rayon [IP] perpendiculaire à [IQ], la perpendiculaire en P à [IP] coupe (AQ) en C et (AR) en B.

Le triangle ABC est le triangle demandé.

Télécharger la figure GéoPlan tr_438_a.g2w

b. Tracer un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse c et la somme d des côtés de l'angle droit

Supposons le problème résolu :
Soit ABC est le triangle rectangle en C demandé, tel que AB = c et AC + CB = d.
Le point C est sur le cercle de diamètre AB. Le cercle de centre A et de rayon d coupe la droite (AC) en D tel que CD = CB. Le triangle BCD est donc isocèle, mais comme l'angle en C est droit, il est aussi rectangle, l'angle ADB est égal à 45°. D est donc sur l'arc capable qui « voit » le segment [AB] sous un angle de 45°. Cet arc capable correspond à un angle au centre de 90°. Le centre M de cet arc est à l'intersection du cercle de diamètre [AB] et de la médiatrice de [AB]. Sur le cercle de centre M passant par A et B, le point N est le symétrique de A par rapport à M.
Le triangle ANB est rectangle isocèle avec un angle ANB de 45°.

Le point D est donc à l'intersection du cercle de centre A et de rayon d et du cercle de centre M passant par A, et le point C est l'intersection de la demi-droite [AD) et du cercle de diamètre [AB].

Le problème admet une solution si les cercles sont sécants,
donc lorsque c < d ≤ 2AM.

Pour une hypoténuse [AB] donnée, si c < d  < 2AM on a quatre solutions : C et C’ et leurs symétriques par rapport à (AB) ; les quatre sommets d'un rectangle de centre O.

Télécharger la figure GéoPlan tr_438_b.g2w

c. Tracer un triangle rectangle connaissant la médiane m et la hauteur h relative à l'hypoténuse

On sait que la médiane relative à l'hypoténuse [AB] est égale à la moitié de l'hypoténuse.
Placer le point O et de part et d'autre les points A et B tels que OA = OB = m.
Le point C est sur le cercle de diamètre [AB] à une distance h de (AB).

Le problème admet des solutions si h ≤ m.

Télécharger la figure GéoPlan tr_438_c.g2w

La géométrie au collège	Exercices de géométrie au collège	Constructions géométriques	Angles Rotations	Les problèmes du BOA en 2nde	La géométrie en seconde
Sommaire Angle inscrit dans un demi-cercle Théorème de Pythagore Relations métriques 1. Construire un triangle rectangle 2. Cercle inscrit 3. Bissectrice du triangle rectangle 4. Droites des milieux 5. Médiane et hauteur 6. Moyenne proportionnelle Problèmes de construction Construire un triangle rectangle connaissant :   a. un angle aigu et le rayon du cercle inscrit   b. l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit   c. la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse			Téléchargement  Télécharger tr_rectangle.doc : ce document au format « .doc » Télécharger tr_rectangle.pdf : ce document au format « .pdf » d'Adobe Acrobat
			« Descartes et les Mathématiques » Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter.
			Moteur de recherche - Rétrolien Forum géomètre-expert immobilier

 ^e visite des pages « seconde ».