René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

La géométrie du triangle IV
Lieux géométriques

Lieux des centres :
gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit ; cercles d'Apollonius.

Sommaire

1. Points remarquables G, H ou I

2. Cercle d'Apollonius

3. Faisceau des cercles d'Apollonius d'un triangle
      Le point de Lemoine est sur l'axe radical
4. Lieux et théorèmes de la médiane

1. Lieux des centres du triangle

Géométrie du triangle - lieux des centres

Gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit

Étude lorsqu'un des sommets M du triangle ABM parcourt le cercle circonscrit, les deux autres A et B étant fixes.

Le logiciel fait apparaître le lieu de l'orthocentre comme un cercle.
Est-ce une simple apparence ?
Tous les points du cercle sont-ils des points du lieu ?
Comment déterminer le centre et le rayon
?

Document d'accompagnement des programmes de 1ère S

Sur un cercle c ; A et B sont deux points fixes et M un point variable de c −{A, B}.

Quels sont les lieux géométriques des points remarquables du triangle ABM ?

  • En bleu L1 lieu géométrique de G, centre de gravité,
  • En sépia L2 lieu géométrique de H, orthocentre,
  • En rouge L3 lieu géométrique du centre I du cercle inscrit.

L2 est le symétrique de c −{A, B} par rapport à (AB).

L3 se déduit de L2 par une homothétie de centre O et de rapport 1/3.

Lieu de l'orthocentre - cas général : voir parabole

2. Cercles d'Apollonius

Géométrie du triangle - cercle d'Apollonius - copyright Patrice Debart 2005

Apollonius de Perge ou Apollonios de Perga - Astronome et mathématicien grec 262/190 avant J.-C.

Les bissectrices intérieure et extérieure d'un angle AMB coupent la droite (AB) en I et J.

Définition : Le cercle de diamètre [IJ] est le cercle d'Apollonius associé à l'angle M du triangle AMB.

Propriété : Les quatre points (A, B, I, J) forment une division harmonique et

IA/IB = JA/JB = ma/mb.

Application : lieu des points M tels que ma/mb = k (k > 0 et k distinct de 1).

Placer les points I et J de (AB) partageant le segment [AB] dans le rapport k.

Le lieu cherché est le cercle d'Apollonius de diamètre [IJ].

Définition : étant donné deux points A et B distinct et un nombre k (k > 0 et k distinct de 1), le cercle d'Apollonius associé à A, B et k est l'ensemble des points M tels que ma/mb = k.

Démonstration, en 1ère S, avec les notions de barycentre et de produit scalaire

Élever l'égalité au « carré » MA2 = k2 MB2, transformer les carrés de longueur en produit scalaire vect(MA)2k2 vect(MB)2 = 0,
factoriser : (vect(MA) + k vect(MB)).(vect(MA)k vect(MB)) = 0.

Comme k est différent de 1, on trouve deux points : I, barycentre de (A, 1) ; (B, k) et J, barycentre de (A, 1) ; (B, −k).

La formule vectorielle de Leibniz α vect(MA) + β vect(MB) = (α + β) vect(MG) permet d'écrire (vect(MA) + k vect(MB)) = (1 + k) vect(MI) et (vect(MA)k vect(MB)) = (1 − k) vect(MJ).

Le produit scalaire nul est donc égal à (1 − k2) vect(MI).vect(MJ) = 0. Les deux vecteurs sont orthogonaux, le point M est sur le cercle de diamètre [IJ].

En posant b = MA et a = MB, alors k = b/a, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle en M du triangle MAB. Le lieu est le cercle d'Apollonius du triangle MAB.

Réciproquement, si M est un point du cercle, le produit scalaire (vect(MA) + k vect(MB)).(vect(MA)k vect(MB)) est nul, d'où MA2 = k2 MB2.

On a donc ma/mb = k ; M est un point du lieu.

Faisceau harmonique des bissectrices

À ne pas confondre avec le cercle d'Apollonius, tangent aux cercles exinscrits d'un triangle.

Axe radical

Notion disparue de l'enseignement français au lycée

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles.
L'axe radical est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.
Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

Voir : géométrie du cercle

GeoGebra Inversions échangeant deux cercles

3. Faisceau des cercles d'Apollonius d'un triangle

Géométrie du triangle - faisceau des cercles d'Apollonius - copyright Patrice Debart 2005

ABC est un triangle. Le cercle c4 de centre O est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent le côté (BC) en I1 et J1, le cercle c1 de centre O1 a pour diamètre [I1J1].
Les bissectrices en B coupent (AC) en I2 et J2, le cercle c2 de centre O2 a pour diamètre [I2J2].
Les bissectrices en C coupent (AB) en I3 et J3, le cercle c3 de centre O3 a pour diamètre [I3J3].

Les trois cercles c1, c2 et c3 d'Apollonius ont deux points communs P et Q, centres isodynamiques du triangle ABC (points X(15) et X(16) dans ETC).
La droite (PQ), axe de Brocard du triangle, est l'axe radical du faisceau de cercles d'Apollonius.
Les centres P et Q sont les points de base du faisceau.
Le centre O du cercle circonscrit (c4) est situé sur l'axe (PQ).

Les centres O1, O2 et O3 sont alignés sur la médiatrice de [PQ], droite de Lemoine du triangle.

Article exporté dans Wikipédia : cercles d'Apollonius

À ne pas confondre avec : cercle et point d'Apollonius

Le point de Lemoine est situé sur l'axe radical

Géométrie du triangle - point de Lemoine sur l'axe radical - copyright Patrice Debart 2005

Le rayon (AO de c4 est perpendiculaire au rayon (AO1) de c1. Les cercles c1 et c4 sont orthogonaux.
De même, les droites (BO2) et (CO3) sont tangentes au cercle circonscrit.

Le cercle circonscrit est orthogonal aux cercles d'Apollonius c1, c2 et c3. Il appartient au faisceau à points limites P et Q, centres isodynamiques du triangle ; points X(15) et X(16) de ETC.

T1T2T3 est le triangle tangentiel formé par les tangentes au cercle circonscrit. Les droites (AT1), (BT2) et (CT3) sont les symédianes du triangle ABC. Leur point de concours K est le point de Lemoine. Il a même puissance par rapport aux cercles c1 et c2.

Les centres isodynamiques P et Q, le centre O du cercle circonscrit et le point de Lemoine K sont alignés et forment l'axe de Brocard du triangle. Les points O, K, P, Q forment une division harmonique.

4. Lieux et théorèmes de la médiane

Soit [AB] un segment de milieu O et longueur a.

Pour un point M du plan, d'après le premier théorème de la médiane, on a MA2 + MB2 = 2MO2 + a2/2.

Pour un réel k tel que k2 > a2/2, le lieu des points M tel que MA2 + MB2 = k2 est un cercle dont le centre est le milieu O de [AB].

D'après le troisième théorème de la médiane, on a MA2 - MB2 = 2mes alg AB.mes alg OH, où H est la projection orthogonale de M sur (AB).
Pour que l'on ait MA2 - MB2 = k, il faut que mes alg OH = k/(2mes alg AB).

Le lieu des points M tel que MA2 - MB2 = k est une droite du plan perpendiculaire en H à (AB).

Voir : recherche de lieux et barycentre

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables

II. Points caractéristiques

III. Droite et cercle d'Euler

    Cercles - Feuerbach

V. Relations métriques

Dans d'autres pages du site

Triangle rectangle

Théorème de Pythagore

Triangle équilatéral

Exercices

Construction de triangles en cinquième,   au lycée

Le triangle au collège

Le triangle en seconde

Recherche de triangles connaissant trois droites remarquables,

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