Site Descartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle IV
Lieux géométriques

Lieux des centres : gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit ; cercles d'Apollonius.

1. Lieux des centres : gravité, orthocentre, centre du cercle inscrit

Étude lorsqu'un des sommets M du triangle ABM parcourt le cercle circonscrit, les deux autres A et B étant fixes.

Le logiciel fait apparaître le lieu de l'orthocentre comme un cercle.
Est-ce une simple apparence ?
Tous les points du cercle sont-ils des points du lieu ?
Comment déterminer le centre et le rayon ?

Document d'accompagnement des programmes de 1S - page 49

Sur un cercle c ; A et B sont deux points fixes et M un point variable de c −{A, B}.

Quels sont les lieux géométriques des points remarquables du triangle ABM ?

  • En bleu L₁ lieu géométrique de G centre de gravité,
  • En sépia L₂ lieu géométrique de H orthocentre,
  • En rouge L₃ lieu géométrique centre I du cercle inscrit.

L₂ est le symétrique de c −{A, B} par rapport à (AB).

L₃ se déduit de L₂ par une homothétie de centre O et de rapport .

Lieu de l'orthocentre - cas général : voir parabole

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Sommaire
Descartes et les Mathématiques

2. Cercles d'Apollonius

Apollonius de Perge ou Apollonios de Perga - Astronome et mathématicien grec 262/190 avant J.-C.

Les bissectrices intérieure et extérieure d'un angle AMB coupent la droite (AB) en I et J.

Le cercle de diamètre [IJ] est le cercle d'Apollonius.

Les quatre points (A, B, I, J) forment une division harmonique et

= = .

Application : lieu des points M tels que = k (k > 0).

Placer les points I et J de (AB) partageant le segment [AB] dans le rapport k.

Le lieu cherché est le cercle d'Apollonius de diamètre [IJ].

Démonstration avec les notions de barycentre et, en 1S, de produit scalaire

Élever l'égalité au « carré » MA² = k² MB², transformer les carrés de longueur en produit scalaire ² − k^{2 2} = 0,
factoriser : ( + k ).( − k ) = 0.

Si k est différent de 1, soit I le barycentre de (A, 1) ; (B, k) et J le barycentre de (A, 1) ; (B, −k).

La formule vectorielle de Leibniz α + β = (α + β) permet d'écrire ( + k ) = (1 + k) et ( − k ) = (1 − k) .

Le produit scalaire nul est donc égal à (1 − k²) . = 0. Les deux vecteurs sont orthogonaux, le point M est sur le cercle de diamètre [IJ].

En posant b = MA et a = MB, alors k = , les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices de l'angle en M du triangle MAB. Le lieu est le cercle d'Apollonius du triangle MAB.

Réciproquement, si M est un point du cercle, le produit scalaire ( + k ).( − k ) est nul, d'où MA² = k² MB².

On a donc  = k ; M est un point du lieu.

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Faisceau harmonique des bissectrices

Axe radical

Notion disparue de l'enseignement français au lycée

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles.
L'axe radical est une droite perpendiculaire à la ligne des centres.
Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.

Voir : géométrie du cercle
Inversions échangeant deux cercles

Faisceau des cercles d'Apollonius

ABC est un triangle. Le cercle c₄ de centre I est circonscrit au triangle ABC.

Les bissectrices en A coupent [BC] en I₁ et J₁, le cercle c1 de centre O₁ a pour diamètre [I₁J₁].
Les bissectrices en B coupent [AC] en I₂ et J₂, le cercle c₂ de centre O₂ a pour diamètre [I₂J₂].
Les bissectrices en C coupent [AB] en I₃ et J₃, le cercle c₃ de centre O₃ a pour diamètre [I₃J₃].

Les trois cercles c₁, c₂ et c₃ d'Apollonius ont deux points communs P et Q, centres isodynamiques du triangle ABC.
Leurs centres O₁, O₂ et O₃ sont alignés sur la médiatrice de [PQ], axe de Lemoine du triangle.
L'axe de Lemoine est la polaire du point de Lemoine par rapport au cercle circonscrit.

La droite (PQ), axe de Brocard du triangle, est l'axe radical du faisceau de cercles d'Apollonius. Les centres P et Q sont les points de base du faisceau.

Le centre I du cercle circonscrit (c₄) est situé sur l'axe (PQ).

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Article exporté dans Wikipédia : cercles d'Apollonius
 Glossaire publimath
Voir : point d'Apollonius

Le point de Lemoine est sur l'axe radical

Le rayon (AI) de c₄ est perpendiculaire au rayon (AO₁) de c₁. Les cercles c₁ et c₄ sont orthogonaux.
De même, les droites (BO₂) et (CO₃) sont tangentes au cercle circonscrit.

Le cercle circonscrit est orthogonal aux cercles d'Apollonius c₁, c₂ et c₃. Il appartient au faisceau à points limites P et Q, centres isodynamiques du triangle.

T₁T₂T₃ est le triangle tangentiel formé par les tangentes au cercle circonscrit. Les droites (AT₁), (BT₂) et (CT₃) sont les symédianes du triangle ABC. Leur point de concours K est le point de Lemoine. Il a même puissance par rapport aux cercles c₁ et c₂. Il est situé sur l'axe radical (PQ).

Les centres isodynamiques, le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine sont alignés : P, Q, I et K sont alignés sur l'axe de Brocard du triangle.

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Lieux et théorèmes de la médiane

Soit [AB] un segment de milieu O et longueur a.

Pour un point M du plan, d'après le deuxième théorème de la médiane, on a MA² + MB² = 2MO² + a²/2.

Pour un réel k tel que k² > a²/2, le lieu des points M tel que MA² + MB² = k² est un cercle dont le centre est le milieu O de [AB].

D'après le troisième théorème de la médiane, on a MA² - MB² = 2., où H est la projection orthogonale de M sur (AB).
Pour que l'on ait MA² - MB² = k, il faut que = k/(2).

Le lieu des points M tel que MA² - MB² = k est une droite du plan perpendiculaire en H à (AB)..

Recherche de lieux et barycentre

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Sommaire IV. Lieux géométriques 1. Points remarquables G, H ou I 2. Cercle d'Apollonius			Géométrie du triangle I.   Droites remarquables II.  Points caractéristiques III. Cercles - Euler - Feuerbach V. Relations métriques
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