René DescartesDescartes et les Mathématiques

Triangle orthique

Triangle et axe orthiques - Cercle de Taylor.

Sommaire

1. Triangle orthique
    Les hauteurs du triangle sont les bissectrices du triangle orthique
2. Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

    Triangle, inscrit dans un triangle, de périmètre minimum

3. Théorème de Nagel

4. Axe orthique

5. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

6. Triangle médian du triangle orthique

7. Cercle de Taylor

8. Centre du cercle de Taylor

À partir du triangle orthique il est facile retrouver le triangle formé par les centres des cercles exinscrits

GeoGebra GGbBooks : Tube : Triangle orthique

Triangles remarquables

Triangle rectangle

Triangle isocèle

Triangle équilatéral

Triangle bisocèle

Triangle d'argent

Triangle d'or

Triangle médian

Triangle pédal

Triangle podaire

Triangle de Bevan

Triangle de Feuerbach

Triangle de Gergonne ou triangle de contact

Triangle de Nagel

Triangle de Napoléon

1. Triangle orthique

de : Höhenfußpunktdreieck

Le triangle orthique a pour sommets les pieds des hauteurs.

Triangle orthique - copyright Patrice Debart 2016

Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AhA), (BhB) et (ChC), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (hAH), (hBH) et (hCH) du triangle orthique hAhBhC.

Les hauteurs du triangle initial sont les bissectrices du triangle orthique : l'orthocentre du triangle initial est le centre du cercle inscrit dans le triangle orthique.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle orthique

Construction au compas seul

Ci-dessous deux constructions au compas avec des cercles définis par leurs diamètre ou définis par des points cocycliques.

Nous avons déjà rencontré ces figures dans le chapitre hauteur de la géométrie du triangle ou avec le théorème de Clifford.

Triangle de lumière

« Le triangle orthique est l'unique trajectoire de billard triangulaire qui se ferme ».

Triangle de lumière : si les côtés du triangle sont des miroirs, un rayon lumineux porté par un côté du triangle orthique sera identique à lui-même après trois réflexion par les miroirs.

Voir aussi : rectangle de lumière

Problème de Fagnano (mathématicien italien 1682-1766) : triangle de périmètre minimum

Trouver le triangle, inscrit dans un triangle, qui a le plus petit périmètre.

Le triangle de périmètre minimal dont les sommets appartiennent aux côtés d'un triangle initial est le triangle orthique
Voir : géométrie en troisième.

Article exporté dans Wikipédia : triangle orthique

1.b. Les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique

Démonstration avec trois cercles ayant pour diamètre les côtés du triangle

Géométrie du triangle - les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique - copyright Patrice Debart 2016

Dans un triangle ABC acutangle (triangle non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AhA), (BhB) et (ChC), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (hAH), (hBH) et (hCH) du triangle orthique hAhBhC.

Cette propriété peut être utilisée pour montrer que les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

Les points B, A, hB, hA sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AB].
On a les égalités d'angles inscrits : (hAhB, hAA) = (BhB, BA).

A, C, hA, hC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [BC],
d'où (BhB, BhC) = (ChB, ChC), soit (BhB, BA) = (CA, ChC).

A, C, hA, hC sont cocycliques sur le cercle de diamètre [AC],
d'où (CA, ChC) = (hAA, hAhC).
Par transitivité : (hAhB, hAA) = (BhB, BA) = (CA, ChC) = (hAA, hAhC),
soit (hAhB, hAA) = (hAA, hAhC) et la droite (AhA) est une bissectrice de (hAhB, hAhC).

Remarque : dans un triangle obtusangle en A, (AhA) est la bissectrice extérieure de (hAhB, hAhC).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : trois cercles pour les bissectrices du triangle orthique

1.c. Démonstration avec deux cercles passant par l'orthocentre

Géométrie du triangle orthique - copyright Patrice Debart 2016

Classe de troisième

Pour vérifier que les hauteurs du triangle ABC sont les bissectrices de hAhBhC, étudier en particulier la bissectrice de hBÂ’hC.

Pour cela, tracer les cercles de diamètres [BH] et [CH],
montrer l'égalité des angles inscrits :
hChAH = hCBH et HhAhB = HChB
et conclure que (hAH) est la bissectrice de hBhAhC en remarquant que les angles hCBH et HChB, ayant des côtés perpendiculaires, sont égaux.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : les hauteurs sont les bissectrices du triangle orthique

Classe de première L

Construction d'un triangle connaissant le pied des trois hauteurs.

Les hauteurs sont les bissectrices du triangle dont les sommets sont les pieds des hauteurs.

Voir : le triangle, c'est le pied

2. Perpendiculaires et parallèles aux côtés du triangle orthique

Géométrie du triangle - triangle orthique et médiatrices - copyright Patrice Debart 2016

Soit (c) le cercle circonscrit au triangle ABC de centre O et (t) la tangente en A à ce cercle.
(c1) est le cercle de diamètre [BC].
Les points hB et hC sont situés sur ce cercle.

Une étude des angles inscrits permet de montrer que (hBhC) est parallèle à (t) ; en effet :

L'angle ACB inscrit dans le cercle circonscrit (c) est égal à l'angle BÂt de la corde et de la tangente.

L'angle extérieur hBhCA du triangle BhBhC est égal à la somme des deux angles intérieurs :
hBhCA = hChBB + hBBhC.

Des égalités des angles inscrits dans (c1) :
hBChC = hBBhC pour l'arc  hBhC
et hCCB = hChBB pour l'arc  hCB;

on déduit que :
ACB = hBChC + hCCB = hBBhC + hChBB = hBhCA.
Les angles alternes-internes hBhCA  et BÂt sont égaux (égaux à ACB).
Le côté du triangle orthique (hBhC) est parallèle à la tangente (t).

Voir ci-dessous : « Les tangentes au cercle circonscrit passant par les sommets du triangle sont parallèles aux côtés du triangle orthique ».

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Parallèle à un côté du triangle orthique (démonstration)

3. Cotés des triangles antiparallèles

3.a. Un côté du triangle orthique et le côté opposé du triangle sont antiparallèles aux deux autres côtés du triangle

Soit ABC un triangle, non rectangle ; O le centre de son cercle circonscrit (c) ; H l'orthocentre et hA, hB, hC les pieds des hauteurs issues de A, B, C.

Géométrie du triangle - les côtés du triangle orthique sont antiparalleles aux côtés du triangle - copyright Patrice Debart 2009

(hBhC) est parallèle à (t),
donc (OA) , rayon du cercle circonscrit perpendiculaire à la tangente, est perpendiculaire à (hBhC).

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux rayons du cercle circonscrit issus des sommets.

En raison des angles droits formés par les hauteurs, les triangles rectangles BC et BC dont inscrit dans le cercle (c1) de diamètre [BC].

Les points B, C, hB, hC sont cocycliques, donc (hBhC) est antiparallèle à (BC) par rapport à (hCB, hBC),
soit par rapport à (AB, AC).

3.b. Deux côtés du triangle, concourants, en un sommet, sont antiparallèles avec la hauteur et le rayon du cercle circonscrit issus de ce sommet :

En effet, d ans le triangle rectangle AChA, rectangle en hA :
(AC, AhA) + (CB, CA) = pi/2.
La corde (At) est perpendiculaire au rayon [OA] :
(AO, AB) + (AB, At) = pi/2.

L'angle (CB, CA) inscrit dans le cercle circonscrit (c) est égal à l'angle (AB, At) de la corde AB et de la tangente At.

Par soustraction des deux premières égalités, on trouve :
(AC, AhA) – (AO, AB) = 0, soit (AC, AH) = (AO, AB).

(AB, AC) est antiparallèle à (AH, AO).

Les droites (BC, At) sont perpendiculaires à (AH, AO), donc (BC, At) est antiparallèle à (AB, AC).

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : parallèle à un côté du triangle orthique

3.c Théorème de Nagel

Deux côtés du triangle, concourants en un sommet, sont isogonaux avec la hauteur et le rayon du cercle circonscrit issus de ce sommet.

On a démontré ci-dessus qu'à partir du sommet A, les paires de droites (AB, AC) et (AH, AO) sont isogonales.
On peut démontrer de même qu'à partir du sommet B, les paires de droites (BA, BC) et (BH, BO) sont aussi isogonales.

Leurs deux points d'intersection sont conjugués,
d'où le théorème de Nagel :

le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre.

Autre démonstration

Le cercle d'Euler est le cercle podaire des points O ou H par rapport au triangle ABC.

Les points O et H, symétriques par rapport au centre Ω du cercle d'Euler, sont isogonaux.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle tangentiel

3.d. Conséquence : tangentes au cercle circonscrit

Géométrie du triangle - Les côtés du triangle tangentiel sont parallèles aux côtés du triangle orthique - copyright Patrice Debart 2016

La tangente en A au cercle circonscrit est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB, AC).

(hBhC) est antiparallèle à (BC), donc le rayon (OA) est perpendiculaire à (hBhC) et (AT2) // (hBhC).

Les côtés du triangle tangentiel sont parallèles à ceux du triangle orthique

Les tangentes au cercle circonscrit, passant par les sommets du triangle, forment le triangle tangentiel, ses côtés sont parallèles aux côtés du triangle orthique.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle tangentiel

4.a Axe orthique

Le cercle d'Euler est le cercle circonscrit au triangle orthique.

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit au triangle et du cercle d'Euler de ce triangle.
Il est perpendiculaire à la droite d'Euler
(OH).

géométrie du cercle - triangle et axe orthique - copyright Patrice Debart 2016

Alignement des trois points d'intersection des côtés d'un triangle avec ceux de son triangle orthique.

Dans un triangle ABC (ni rectangle, ni isocèle), soit hA(respectivement hB et hC) le pied de la hauteur issue de A (respectivement issue de B et de C).

On note oA l'intersection de (BC) et de (hBhC),
 oB l'intersection de (AC) et de (hAhC)
 oC l'intersection de (AB) et de (hAhB).

Les trois points oA, oB et oC sont alignés sur une droite nommée axe orthique du triangle.

Indications

Les points hB et hC sont situés sur le cercle de diamètre [BC].
La puissance de oA par rapport à ce cercle est :

oAB × oAC = oAhB × oAhC.

oAB × oAC est la puissance oA par rapport au cercle (c) circonscrit à ABC.
oAhB × oAhC est la puissance oA par rapport au cercle d'Euler (cE) circonscrit à hAhBhC.

Le point oA a donc même puissance par rapport à (c) et (cE), oA est situé sur leur axe radical.

On montre de même que les deux autres points d'intersection oB et oC ont même puissance par rapport à (c) et (cE).

Les points oA, oB et oC sont situés sur une même droite, axe radical de (c) et (cE) ; cet axe est appelé axe orthique du triangle.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : axe orthique

Voir : GeoGebra Vingt quatre points sur l'axe orthique

4.b. Perspective des triangles médian et tangentiel

géométrie du triangle - axe orthique - copyright Patrice Debart 2016

Les triangles médian A’B’C’ et tangentiel T1T2T3 d'un triangle ABC sont en perspective de pôle O, le centre du cercle circonscrit de ABC.

La forme forte du théorème de Desargues montre l'alignement des points de concours pA, pB et pC sur l'axe de la perspective (ou axe d'homologie).

archaically en : perspectrix

Cet axe est l'axe orthique du triangle de référence.

géométrie du triangle - axe orthique - copyright Patrice Debart 2016

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Perspective des triangles médian et tangentiel

5.a. Médiatrice d'un côté du triangle orthique

Géométrie du triangle - les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle - copyright Patrice Debart 2016

Dans un triangle ABC, A’, B’ et C’ sont les milieux des côtés,
hAhBhC est le triangle orthique.
I est le milieu de [hBhC].

  – Montrer que A’ est un point de la médiatrice de [hBhC].

Indication

  • Montrer que les points B, hB, hC et C sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
  • Montrer que le point A’ appartient à la médiatrice de [hBhC].
  • En déduire que la droite (A’I) est la médiatrice de [hBhC].

Géométrie du triangle - les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle - copyright Patrice Debart 2016

5. b Justification

Comme les angles BhBC et BhCC sont droits, hB et hC sont deux points du demi-cercle de diamètre [BC].

Les longueurs A’hB et A’hC, médianes des triangles rectangles BhBC et BhCC, sont égales au rayon 1/2 BC de ce cercle.

Le point A’, équidistant de hB et hC, est un point de la médiatrice de [hBhC].

Les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : médiatrice d'un côté du triangle orthique

Géométrie du triangle - Les médiatrice du triangle orthique passe par les milieux des côté du triangle - copyright Patrice Debart 2016

5.c. Centre du cercle d'Euler

Les triangles rectangles BhBC et BhCC sont inscrits dans le cercle de diamètre [BC] de centre A’.

[hBhC] est une corde de ce cercle, sa médiatrice passe par le milieu A’ de [BC].

Remarque : Le centre Ω du cercle d'Euler (cE) circonscrit au triangle orthique hAhBhC est aussi situé sur cette médiatrice.

Les médiatrices du triangle orthique passent par les milieux des côtés du triangle ABC.

Ω, centre du cercle d'Euler, est le milieu de [OH].

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : cercle d'Euler circonscrit au triangle orthique

6. Triangle médian du triangle orthique

Géométrie du triangle - triangle médian du triangle orthique - copyright Patrice Debart 2009

Soit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
A3 et A4 les symétriques de A’ par rapport à A1 et A2.

La droite (A3A4) est parallèle à (A1A2),
les points B’, C’, A3 et A4 sont alignés,
la droite (A1A2) contient les milieux Q et R des côtés [A’C’] et [A’B’] du triangle orthique du triangle ABC,
(A1A2) est un des côtés de PQR, triangle médian du triangle orthique.

A3A4 est égal au périmètre du triangle orthique A’B’C’.
Ce périmètre est égal à 8S2/(abc) où S est l'aire du triangle ABC et où a, b, c sont égaux aux longueurs des côtés du triangle ABC.

g2w Télécharger la figure GéoPlan t_orthi4.g2w

7. Cercle de Taylor

Géométrie du triangle - cercle de Taylor - copyright Patrice Debart 2009

Les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor (mathématicien anglais 1685-1731).

Soit un triangle ABC non rectangle,
soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs du triangle ABC issues respectivement de A, B et de C,
on note A1 et A2 les projections orthogonales de A’ sur (AB) et (AC),
B1 et B2 les projections orthogonales de B’, C1 et C2 les projections orthogonales de C’.


On a :
(A1A2, BC) = (AB, AC), la droite (A1A2) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC),
et des propriétés analogues pour (B1B2) et (C1C2).

(B2C1) est parallèle à (BC). De même (A1C2) //(AC) et (A2B1)//(AB).

On trouve la configuration d'un cercle de Tücker particulier, dit cercle de Taylor.
On retrouve A1A2 = B1B2 = C1C2.

L'hexagone ayant pour sommets ces six projections est l'hexagone de Catalan (mathématicien belge, 1814-1894).

Les côtés opposés de l'hexagone de Catalan A1B2C1A2B1C2 sont parallèles, deux à deux, et les diagonales [A1A2], [B1B2], [C1C2] sont de même longueur.

g2w Télécharger la figure GéoPlan c_taylor.g2w

Wikipédia ja : 六点円

8. Centre du cercle de Taylor

Géométrie du triangle - le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique - copyright Patrice Debart 2009

Centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique

Les trois droites (A1A2), (B1B2) et (C1C2) joignant ces projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ces côtés en leurs milieux P, Q et R. Ces droites déterminent les côtés du triangle PQR qui est le triangle médian du triangle orthique.

Le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique lorsque le triangle est acutangle.

Démonstration

Les points B1 et C2 sont situés sur le cercle de Taylor, la médiatrice (d) de [B1C2] contient le centre O du cercle.

Les droites (B1B’), (d) et (C2C’) étant trois parallèles équidistantes, d'après le théorème de Thalès, la droite (d) coupe [B’C’] en son milieu P.


D'après les propriétés du triangle médian du triangle orthique, le point P est à l'intersection des droites (B1B2) et (C1C2). Le triangle B1PC2 est isocèle. (d) médiatrice de [B1C2] est aussi une des bissectrices de l'angle PRQ.

Le point O est situé sur une bissectrice de l'angle PRQ.
On montre, de même, que O est situé sur les bissectrices de RPQ et de RQP.

Le point O est situé à l'intersection de trois bissectrices de PQR.
Si le triangle ABC est acutangle, les trois bissectrices sont intérieures et O est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique.

g2w Télécharger la figure GéoPlan c_taylor_centre.g2w

Cas particulier : triangle obtusangle

Géométrie du triangle - centre du cercle de Taylor - copyright Patrice Debart 2009

le centre est celui du cercle exinscrit dans l'angle de sommet P, milieu de [B’C’] (respectivement Q milieu de [C’A’], R milieu de [A’B’]) si A (respectivement B, C) est obtus.

g2w Télécharger la figure GéoPlan c_taylor_obtus.g2w

Intersection de droites

Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC et K le point de Lemoine ; le centre O du cercle de Taylor est l'intersection de (IK) et de la droite (HG) joignant l'orthocentre H du triangle ABC avec le centre de gravité G du triangle orthique A’B’C’.


Indications

Un cercle de Taylor est un cercle de Tücker, son centre est situé sur la droite (IK).

L'homothétie de centre G et de rapport − 1/2 transforme le triangle orthique A’B’C’ en PQR, triangle médian du triangle orthique.
H centre du cercle inscrit ou exinscrit dans A’B’C’ est transformé en O centre du cercle inscrit ou exinscrit dans PQR.
vect(GO) = − 1/2 vect(GH), O, G et H sont alignés. O est situé sur la droite (HG).

Quadrature no 63 Janvier-Mars 2007

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mise à jour le 2/6/2016