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La géométrie du triangle II
Points caractéristiques

Points de Terquem, de Gergonne, de Nagel, de Bevan, de Brocard.

II. Points caractéristiques du triangle

I. Droites remarquables dans le triangle

III Cercles remarquables

1. Points de Terquem

Giovanni Céva (1648-1734)

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

Théorème de Céva

Énoncé avec des mesures algébriques

Dans un triangle ABC, soit trois céviennes, distinctes des côtés.
La première passe par A et coupe le côté (BC) en A’, la seconde passe par B et coupe le côté (AC) en B’ et la troisième passe par C et coupe le côté (AB) en C’.

Les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si :

Énoncé avec des distances

À l'intérieur d'un triangle ABC, une première cévienne passe par A et coupe le côté [BC] en A’, une seconde passe par B et coupe le côté [AC] en B’ et une troisième passe par C et coupe le côté [AB] en C’.
Les trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si : A’B/A’C × B’C/B’A × C’A/C’B = 1.

Applications : le théorème de Céva permet de montrer facilement que les médianes, les hauteurs ou les bissectrices d'un triangle sont concourantes.
Il permet aussi de démontrer que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit sont concourantes au point de Gergonne.
On démontre de même que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits sont concourantes au point de Nagel.

Triangle pédal

en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent − en général − les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal (ou cercle de Terquem) de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian.
Le cercle des neuf points d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.

Théorème de Terquem

Terquem Olry (1782-1862)

Soit ABC un triangle et trois céviennes du triangle concourantes en un point I.
Le cercle pédal de I par rapport à ABC, passant par les pieds de ces céviennes, détermine trois autres points sur les côtés du triangle. Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes (en J sur la figure ci-dessus).
Ces six points sont appelés points de Terquem.

Cas particuliers

Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle pédal est le cercle inscrit dans le triangle. En effet, le cercle pédal touche le triangle en trois points doubles qui sont les points de tangence.
Ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.

Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement ; le cercle pédal est alors le cercle des neuf points d'Euler.

Démonstration

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes on a :

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A’B’C’ est ,
d'où les rapports égaux : .
De même, la puissance de B permet d'écrire .
Enfin, la puissance de C permet d'écrire .
Le produit des rapports de gauche est égal à –1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à –1,
d'où :

D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA₁), (BB₁) et (CC₁) sont concourantes.

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  Wikipédia : Théorème de Terquem

  Hébreu

Céviennes isotomiques − Points réciproques

Avec les notations de l'article précédent, deux céviennes issues d'un même sommet (A par exemple) sont dites isotomiques lorsque leurs pieds A’ et A₁ sont symétriques par rapport au milieu du côté [BC].

Lorsque trois céviennes sont concourantes, les trois céviennes isotomiques sont aussi concourantes.

Soit I le point de concours de trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’), I non situé sur les côtés du triangle, les trois céviennes isotomiques (AA₁), (BB₁) et (CC₁) sont concourantes en J. Les points I et J sont dits réciproques l'un de l'autre.
Si le point I a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors J, le point réciproque de I a pour coordonnées barycentriques (1/x ; 1/y ; 1/z).

Les points de Gergonne et de Nagel sont deux points réciproques.

2. Droites antiparallèles, droites isogonales

Quadrangle

Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet (dont les côtés ne sont pas parallèles) a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Le quadrangle est à distinguer du quadrilatère complet qui a six sommets, quatre côtés, trois diagonales et trois points diagonaux.

Dans un espace projectif, le dual d'un quadrangle est un quadrilatère complet et réciproquement.

Quadrangle inscriptible

Un quadrangle est inscriptible, si ses quatre sommets sont sur un même cercle.

Pour qu'un quadrangle soit inscriptible, il faut et il suffit que deux couples de côtés opposés soient antiparallèles. Le troisième couple est alors antiparallèle à chacun des deux autres.

Soit ABCD un quadrangle dont les côtés opposés (AB) et (CD) se coupent en I.

ABCD est inscriptible si et seulement si IA × IB = IC × ID.
IA × IB est la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit au quadrangle.

Les angles IÂD et ICB sont égaux. Les triangles IAD et ICB sont (inversement) semblables (les angles inscrits DCB et DAB sont supplémentaires dans la figure ci-contre ou égaux dans la figure ci-dessus).

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Wikipédia : Conjugué isogonal
Quadrangle

nl : Antiparallel

Droites antiparallèles aux côtés d'un triangle

Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB)» à la place de «la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ».

Trois droites (d₁), (d₂) et (d₃) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC si :
la droite (d₁) est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB) et (AC),
la droite (d₂) est antiparallèle à (AC) par rapport à (BA) et (BC),
la droite (d₃) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB).

Points sur deux droites isogonales

Soit (Δ) et (Δ’) deux droites concourantes en A,
M et N deux points sur deux droites (d) et (d’) concourantes en A.

M₁ et N₁ sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M₂ et N₂ sur (Δ’).

Théorème

Les deux couples de droites (Δ, Δ’) et (d, d’) sont isogonaux si et seulement si les points M₁N₁M₂N₂ sont cocycliques.

Indications

Le centre O du cercle est le milieu de [MN].

(N₁N₂) est orthogonale à (d), (M₁M₂) est orthogonale à (d’).

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Voir : Théorème de Nagel

Sommaire
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3. Symédianes et point de Lemoine

Définition

La symédiane issue du sommet A d'un triangle ABC est la droite (d) telle que l'angle, formé par cette droite (d) et la médiane (AA’) issue de A, ait pour bissectrice la bissectrice de BÂC.
C'est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle Â.

Lemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840-1912

Point de Lemoine (1873)

Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés.
Le point de Lemoine du triangle ABC, de côtés a = BC, b = AC et c = AB est le barycentre du système pondéré (A, a²) ; (B, b²) ; (C, c²).
C'est le point L dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.

Droite de Lemoine

La tangente en A au cercle circonscrit coupe le côté (BC) en P, la tangente en B coupe (AC) en Q, la tangente en C coupe (AB) en R.
Ces trois points sont alignés sur la droite de Lemoine du triangle ABC, qui est la polaire du point de Lemoine par rapport à ce cercle circonscrit au triangle.
Les points P, Q, R sont les centres des cercles d'Apollonius du triangle ABC.

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L'axe de Brocard du triangle est la droite (OL) passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.
Il contient M et N, les points d'intersection des cercles d'Apollonius, et il est perpendiculaire à la droite de Lemoine (PQ).

Voir : cercles de Tücker, cercles de Lemoine, figure de Vecten

Wikipédia : symédiane

4. Points isogonaux

Triangle podaire

en : pedal triangle ; à ne pas confondre avec le triangle pédal.

Soit P un point distinct des sommets du triangle ABC et n'appartenant pas au cercle circonscrit, P₁, P₂, P₃ sont les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle.

P₁P₂P₃ est le triangle podaire du point P relativement au triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle P₁P₂P₃ est le cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC.

Point conjugué isogonal

Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils sont situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets.
Ils sont alors situés sur un couple de droites isogonales, issues du troisième sommet.

Si un point P a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors Q, le conjugué isogonal de P a pour coordonnées barycentriques (a²/x ; b²/y ; c²/z).

Les triangles podaires de deux points isogonaux P et Q sont inscrits dans un même cercle de centre O, le milieu de [PQ].
Cette propriété permet la construction du point isogonal par l'intermédiaire du cercle podaire.

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Wikipédia : Conjugué isogonal

nl : Isogonale verwantschap

Exemples :
Les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux.
Le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre (une conséquence du théorème de Nagel, d'où des propriétés intéressantes de la droite d'Euler et du cercle de Feuerbach).
Le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité.
Les deux points de Brocard sont des conjugués isogonaux.

5. Point de Gergonne

Gergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859)

Le point de Gergonne est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit (point X(7) dans ETC).

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle.
Ce cercle est tangent intérieurement aux trois côtés du triangle. Notons P, Q et R les points de contact.

Les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en un même point G, point de Gergonne du triangle ABC.
Le point G est le barycentre de (A, tan) ; (B, tan) ; (C, tan).

Le triangle PQR s'appelle le triangle de Gergonne du triangle ABC.

La droite (IG) est l'axe de Soddy du triangle.

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Preuve

Pour chacun des sommets, les deux tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales : AR = AQ, ainsi que BR = BP et CP = CQ.

On a : AR/BR × BP/CP × CQ/AQ = 1.
La relation de Céva est donc vérifiée.

Les céviennes (AP), (BQ) et (CR) sont bien concourantes en G, nommé point de Gergonne.

6. Point de Nagel

Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits (Point X(8) dans ETC).

Cercles exinscrits

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes. Leur point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle. Il permet de tracer un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Soit (c₁), (c₂) et (c₃) les trois cercles exinscrits au triangle ABC. Notons I₁, I₂ et I₃ leurs centres.

Notons A’ le point de contact de (c₁) avec [BC], B’ le point de contact de (c₂) avec [AC] et C’ le point de contact de (c₃) avec [AB].

Le calcul des distances des sommets aux points de contact donne :
BA’ = p – c ; CA’ = p – b ; AB’ = p – c ; CB’ = p – a ; AC’ = p – b ; BC’ = p – a.

On a : AC’/BC’ × BA’/CA’ × CB’/AB’ = 1. La relation de Céva est vérifiée :
les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes ; leur point d'intersection s'appelle le point de Nagel du triangle.

Le triangle A’B’C’, qui a pour sommets les points de contact des trois cercles exinscrits avec les côtés du triangle ABC, est le triangle de Nagel du triangle ABC.

Point de Nagel Les céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes au point de Nagel N. Télécharger la figure GéoPlan nagel.g2w

Droite de Nagel La droite de Nagel passe par le centre de gravité G, le centre du cercle inscrit I et le point de Nagel N. Le point G est au tiers de IN, à partir de I. Télécharger la figure GéoPlan nagel2.g2w

Cercle inscrit dans le triangle médian Télécharger la figure GéoPlan nagel3.g2w

Le point de Nagel est le barycentre de (A, – a + b + c) ; (B, a – b + c) ; (C, a + b – c). Points de contact des cercles inscrit et exinscrit avec un côté du triangle On a vu, dans la page cercles inscrit et exinscrit, que le point de contact R du cercle inscrit avec [AB] vérifie AR = p – a. Comme BC’ = p – a, les points R et C’ sont symétriques par rapport au milieu C1 de [AB].   Cercle inscrit dans le triangle médian Le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC a son centre J situé sur la droite de Nagel. J est le milieu de [NI]. Par homothétie de centre N et de rapport , le cercle inscrit dans le triangle ABC a pour image le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC.

7. Point de Bevan

Soit A’B’C’ les points de contact des côtés d'un triangle ABC avec les cercles exinscrits de centres I₁, I₂, I₃.

Les droites (I₁A’), (I₂B’) et (I₃C’) sont concourantes : leur point d'intersection J s'appelle le point de Bevan du triangle ABC (point X(40) dans ETC).
Le triangle I₁I₂I₃ s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

8. Points de Brocard

Ces points tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard (1845-1922). Ils ont été trouvés, en réalité par Jacobi et, en 1816, par Crelle.

Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω, tel que les angles ΩAB, ΩBC et ΩCA orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point Ω’, tel que les angles Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC orientés positivement soient égaux.

Les segments joignant les points Ω et Ω’ aux sommets du triangle constituent des isogonales du triangle ABC.
Les angles ΩAB, ΩBC,ΩCA ; Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC quelles définissent avec les côtés du triangle sont tous égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω.

Cet angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente par la formule :
cotan ω = cotan + cotan + cotan = où S désigne l'aire du triangle,
tan ω = .

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Le premier point de Brocard est le barycentre de (A, ) ; (B, ) ; (B, )
et le second point de Brocard est le barycentre de (A, ) ; (B,) ; (B, ).

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Points de Brocard
Punten van Brocard
Kmer

Construction géométrique

Axe et cercle de Brocard

L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.

Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle, cercle de Brocard du triangle. [OL] est un diamètre de ce cercle.
Les points de Brocard sont symétriques par rapport à l'axe de Brocard (OL).

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Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre. La médiane, issue d'un sommet du triangle ; la symédiane, issue d'un second sommet ; et une des droites de Brocard, issue d'un troisième sommet, sont concourantes.

Remarque : ne pas confondre les droites de Brocard (AΩ), (AΩ’), (BΩ’)... et l'axe de Brocard (OL).

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Théorème d'Alasia

Cristoforo Alasia mathématicien italien 1869-1918

Le triangle ABC est isocèle en C si, et seulement si, la droite (ΩΩ’) est parallèle à (AB).

Collège Calcul d'aires	Exercices de-ci, de-là	Collège Cercle	Paraboles en 1ère S	Paraboles en 1ère L	Construction du pentagone régulier
Sommaire II. Points caractéristiques 1. Points de Terquem     Céviennes     Théorème de Céva     Triangle pédal et cercle pédal 2. Droites antiparallèles, droites isogonales     Quadrangle inscriptible 3. Symédianes       Point de Lemoine 4. Points isogonaux       Triangle podaire 5. Point de Gergonne 6. Point de Nagel 7. Point de Bevan 8. Points de Brocard     Axe et cercle de Brocard			Moteur de recherche
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