René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie du triangle II
Points caractéristiques

Points de Terquem, de Gergonne, de Nagel, de Bevan, de Brocard.

Sommaire

II. Points caractéristiques du triangle

1. Points de Terquem
    Céviennes
    Théorème de Céva
    Triangle pédal et cercle pédal
2. Droites antiparallèles, droites isogonales
    Quadrangle inscriptible
    Théorème de Nagel
3. Symédianes
      Point de Lemoine
4. Points isogonaux
      Triangle podaire
5. Point de Gergonne
6. Point de Nagel
7. Point de Bevan
8. Points de Brocard
    Axe et cercle de Brocard

Géométrie du triangle

I. Droites remarquables

III. Cercles - Euler - Feuerbach
IV. Lieux géométriques
 V. Relations métriques

Triangle rectangle
Triangle équilatéral

Exercices

Construction de triangles en cinquième, au lycée

Le triangle au collège
Le triangle en seconde

Recherche de triangles connaissant des droites remarquables, les pieds de droites remarquables

Droites de Simson et de Steiner (ménéliennes)

Faire de la
géométrie dynamique

Démonstrations de Pythagore

Théorème de Thalès

Triangle
orthique

Triangles
remarquables

Index
triangles

II. Points caractéristiques du triangle

Point

Droites

Cercle

Triangle

Coordonnées barycentriques

Point de Lemoine

Symédianes
Droite de Lemoine

Tücker
Lemoine

tangentiel
Grèbe

(a2, b2, c2)

Points conjugués isogonaux

 

podaire

podaire

(x ; y ; z) ; (a2/x ; b2/y ; c2/z)

Point de Gergonne

Axe de Soddy

 

Gergonne

(tanÂ/2, tanB/2, tanC/2)

Point de Nagel

Droite de Nagel

 

Nagel

(–a+b+c, a–b+c, a+b–c)

Point de Bevan

   

Bevan

 

Point de Brocard

Droites de Brocard
Axe de Brocard

Brocard

 

(ac/b, ab/c, bc/a) ; (ab/c, bc/a, ac/b)

Point de Fermat ou de Torricelli

 

Torricelli

Napoléon

 

Point de Vecten

       

I. Droites remarquables dans le triangle

Point de concours

Droites

Cercle

Triangle

 

Céviennes

Cercle pédal

pédal

Centre de gravité

Médianes

Cercle des neuf points

médian

Centre du cercle inscrit

Bissectrices

Cercle inscrit
Cercles d'Apollonius

 

Orthocentre

Hauteurs

Cercle de Taylor

orthique

Centre du cercle circonscrit

Médiatrices

Cercle circonscrit

tangentiel

III Cercles remarquables

Point

Droites

Cercle

Triangle

 

Euler

Euler

 

Points de Feuerbach
Point d'Apollonius

 

Cercle d'Apollonius

Feuerbach

Centres isodynamiques

Droite de Lemoine

Cercles d'Apollonius

 

Points remarquables du triangle

1. Points de Terquem

Giovanni Céva (1648-1734)

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes, bissectrices sont des céviennes).

Théorème de Céva

Énoncé avec des mesures algébriques

Dans un triangle ABC, soit trois céviennes, distinctes des côtés.
La première passe par A et coupe le côté (BC) en A’, la seconde passe par B et coupe le côté (AC) en B’ et la troisième passe par C et coupe le côté (AB) en C’.

Les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si :

A'B/A'C B'C/B'A C'A/C'B

geometrie du triangle - six points de Terquem sur le cercle pedal - copyright Patrice Debart 2005

Trois céviennes concourantes en un point I, coupent les côtés du triangle en A’, B’ et C’. Le cercle pédal de I recoupe les côtés en A1, B1 et C1.

Les points de Terquem sont les six points A’, B’, C’, A1, B1 et C1.

Énoncé avec des distances

À l'intérieur d'un triangle ABC, une première cévienne passe par A et coupe le côté [BC] en A’, une seconde passe par B et coupe le côté [AC] en B’ et une troisième passe par C et coupe le côté [AB] en C’.
Les trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes (ou parallèles) si et seulement si : A’B/A’C × B’C/B’A × C’A/C’B = 1.

Applications : le théorème de Céva permet de montrer facilement que les médianes, les hauteurs ou les bissectrices d'un triangle sont concourantes.
Il permet aussi de démontrer que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit sont concourantes au point de Gergonne.
On démontre de même que les trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits sont concourantes au point de Nagel.

Triangle pédal

en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent − en général − les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal (ou cercle de Terquem) de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian.

Cercle pédal

Le cercle pédal d'un point est le cercle circonscrit au triangle pédal correspondant.

Le cercle des neuf points d'Euler (cercle de Terquem) est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.
Le cercle pédal, du centre du cercle inscrit, passe par le point de Feuerbach du triangle.

Théorème de Terquem

Terquem Olry (1782-1862)

Soit ABC un triangle et trois céviennes du triangle concourantes en un point I.
Le cercle pédal de I par rapport à ABC, passant par les pieds de ces céviennes, détermine trois autres points sur les côtés du triangle.
Ces trois autres points sont également les pieds de céviennes concourantes (en J sur la figure ci-dessus).
Ces six points sont appelés points de Terquem.

Cas particuliers

Lorsque les céviennes sont confondues deux à deux, le cercle pédal est le cercle inscrit dans le triangle. En effet, le cercle pédal touche le triangle en trois points doubles qui sont les points de tangence.
Ces céviennes sont concourantes au point de Gergonne.

Lorsqu'un des triplés est formé par les médianes, l'autre l'est par les hauteurs ou réciproquement ; le cercle pédal est alors le cercle des neuf points d'Euler.

Démonstration

D'après le théorème de Céva, si les trois droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes on a : A'B/A'C B'C/B'A C'A/C'B

La puissance du point A par rapport au cercle circonscrit à A’B’C’ est puissance du point A,
d'où les rapports égaux : puissance du point A.
De même, la puissance de B permet d'écrire puissance du point B.
Enfin, la puissance de C permet d'écrire puissance du point C.
Le produit des rapports de gauche est égal à –1, d'où produit des rapports de droite est aussi égal à –1,
d'où : réciproque du théorème de Céva

D'après la réciproque du théorème de Céva, les trois droites (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes.

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Wikipédia : Théorème de Terquem
  he : :אולרי_טרקם

Céviennes isotomiques − Points réciproques

Avec les notations de l'article précédent, deux céviennes issues d'un même sommet (A par exemple) sont dites isotomiques lorsque leurs pieds A’ et A1 sont symétriques par rapport au milieu du côté [BC].

Lorsque trois céviennes sont concourantes, les trois céviennes isotomiques sont aussi concourantes.

Soit I le point de concours de trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’), I non situé sur les côtés du triangle,
les trois céviennes isotomiques (AA1), (BB1) et (CC1) sont concourantes en J. Les points I et J sont dits réciproques l'un de l'autre.
Si le point I a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors J, le point réciproque de I a pour coordonnées barycentriques (1/x ; 1/y ; 1/z).

Les points de Gergonne et de Nagel sont deux points réciproques.

2. Droites antiparallèles, droites isogonales

Droites antiparallèles

droites antiparalleles - copyright Patrice Debart 2005

Deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles s'ils ont les mêmes directions de bissectrices.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).
On dit que (d’) est antiparallèle à (d) par rapport à (Δ, Δ’).

Points cocycliques

points cocycliques et droites antiparalleles - copyright Patrice Debart 2005

Quatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC).

Droites isogonales

droites isogonales - copyright Patrice Debart 2005

Si deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles et concourants, on dit qu'ils sont isogonaux.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).

Avec GéoPlan, il est facile de construire un prototype qui, à partir deux droites (AB) et (AC) sécantes en A, d'un point M et d'une droite (d), trace la droite (d’) passant par M, antiparallèle à (d) par rapport à (AB) et (AC).

 

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Wikipédia : Conjugué isogonal
nl : Antiparallel
vièt : Điểm đẳng giác
wiktionnaire : antiparallèle

Quadrangle

Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet (dont les côtés ne sont pas parallèles) a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Le quadrangle est à distinguer du quadrilatère complet qui a six sommets, quatre côtés, trois diagonales et trois points diagonaux.

Dans un espace projectif, le dual d'un quadrangle est un quadrilatère complet et réciproquement.

Quadrangle inscriptible

Un quadrangle est inscriptible, si ses quatre sommets sont sur un même cercle.

Pour qu'un quadrangle soit inscriptible, il faut et il suffit que deux couples de côtés opposés soient antiparallèles. Le troisième couple est alors antiparallèle à chacun des deux autres.

Soit ABCD un quadrangle dont les côtés opposés (AB) et (CD) se coupent en I.

ABCD est inscriptible si et seulement si IA × IB = IC × ID.
IA × IB est la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit au quadrangle.

Les angles IÂD et ICB sont égaux. Les triangles IAD et ICB sont (inversement) semblables (les angles inscrits DCB et DAB sont supplémentaires dans la figure ci-contre ou égaux dans la figure ci-dessus).

Wikipédia : Quadrangle
    nl : Antiparallel

Voir : quadrangle orthocentrique

quadrangle inscriptible - copyright Patrice Debart 2005

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Droites antiparallèles aux côtés d'un triangle

Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB)» à la place de «la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ».

Trois droites (d1), (d2) et (d3) sont antiparallèles aux côtés d'un triangle ABC si :
la droite (d1) est antiparallèle à (BC) par rapport à (AB) et (AC),
la droite (d2) est antiparallèle à (AC) par rapport à (BA) et (BC),
la droite (d3) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB).

Points sur deux droites isogonales

geometrie du triangle - points sur deux droites isogonales Soit (Δ) et (Δ’) deux droites concourantes en A,
M et N deux points sur deux droites (d) et (d’) concourantes en A.

M1 et N1 sont les projections orthogonales de M et N sur (Δ), M2 et N2 sur (Δ’).

Théorème

Les deux couples de droites (Δ, Δ’) et (d, d’) sont isogonaux si et seulement si les points M1N1M2N2 sont cocycliques.

Indications

Le centre O du cercle est le milieu de [MN].

(N1N2) est orthogonale à (d), (M1M2) est orthogonale à (d’).

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Voir : Théorème de Nagel

3. Symédianes et point de Lemoine

Définition

La symédiane issue du sommet A d'un triangle ABC est la droite (d) telle que l'angle, formé par cette droite (d) et la médiane (AA’) issue de A, ait pour bissectrice la bissectrice de BÂC.
C'est l'isogonale de la médiane par rapport aux côtés de l'angle Â.

Point de Lemoine

geometrie du triangle - symedianes concourantes au point de Lemoine - copyright Patrice Debart 2005

Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes.

Leur point de concours est le point de Lemoine, ou point de Grebe ou encore point symédian du triangle (point X(6) dans ETC).

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel formé par les tangentes à son cercle circonscrit (Γ).

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Voir : construction avec trois carrés autour d'un triangle,
cercles de Tücker

Publimath Glossaire publimath

Milieu d'une antiparallèle

La symédiane coupe une antiparallèle au côté opposé en son milieu.

geometrie du triangle - La sym&ediane coupe une antiparallele au cote oppose en son milieu - copyright Patrice Debart 2005

En effet, dans le triangle ABC, soit (DE) une antiparallèle à (BC) qui coupe la symédiane de sommet A en M. L'antiparallèle (DE) est parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC.

Par la symétrie d'axe la bissectrice (AI) de BÂC, les points D, M, E ont pour images D’, M’, E’. (D’E’) est parallèle à (BC). M’, situé sur la médiane [AA’], est le milieu de [D’E’]. Par symétrie réciproque, M est le milieu de [DE].

Autre démonstration

Dans le triangle ABC, soit M le milieu de (DE) une antiparallèle à (BC). Montrons que (AM) est la symédiane passant par A :

En effet, la droite (AM) est conjuguée harmonique de la tangente en A à (Γ) par rapport à (AB, AC). La droite (AM) est donc la polaire, par rapport à (Γ) du point T, intersection de (BC) avec la tangente en A à (Γ).
Par réciprocité polaire, la droite (AM) contient le pôle T1 de (BC).
(AM) est la symédiane issue de A.

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geometrie du triangle - droite de Lemoine - copyright Patrice Debart 2005

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Wikipédia : symédiane

Lemoine Émile, mathématicien français
spécialiste de la géométrie du triangle, 1840-1912

Point de Lemoine (1873)

Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles à ses côtés.
Le point de Lemoine du triangle ABC,
de côtés a = BC, b = AC et c = AB est le barycentre du système pondéré (A, a2) ; (B, b2) ; (C, c2).
C'est le point L dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.

Droite de Lemoine

La tangente en A au cercle circonscrit coupe le côté (BC) en P, la tangente en B coupe (AC) en Q, la tangente en C coupe (AB) en R.
Ces trois points sont alignés sur la droite de Lemoine du triangle ABC, qui est la polaire du point de Lemoine par rapport à ce cercle circonscrit au triangle.
Les points P, Q, R sont les centres des cercles d'Apollonius du triangle ABC.

L'axe de Brocard du triangle est la droite (OL) passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.
Il contient M et N, les points d'intersection des cercles d'Apollonius, et il est perpendiculaire à la droite de Lemoine (PQ).

Voir : cercles de Tücker, cercles de Lemoine, figure de Vecten

4. Points isogonaux

Triangle podaire

geometrie du triangle - triangle podaire et cercle podaire - copyright Patrice Debart 2005 en : pedal triangle ; à ne pas confondre avec le triangle pédal.

Soit P un point distinct des sommets du triangle ABC et n'appartenant pas au cercle circonscrit, P1, P2, P3 sont les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle.

P1P2P3 est le triangle podaire du point P relativement au triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle P1P2P3 est le cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC.

 

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Point conjugué isogonal

Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils sont situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets.
Ils sont alors situés sur un couple de droites isogonales, issues du troisième sommet.

Si un point P a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors Q, le conjugué isogonal de P a pour coordonnées barycentriques (a2/x ; b2/y ; c2/z).

Les triangles podaires de deux points isogonaux P et Q sont inscrits dans un même cercle de centre O, le milieu de [PQ].
Cette propriété permet la construction du point isogonal par l'intermédiaire du cercle podaire.

Wikipédia : Conjugué isogonal
    nl : Isogonale verwantschap

Exemples :
Les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux.
Le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre (une conséquence du théorème de Nagel, d'où des propriétés intéressantes de la droite d'Euler et du cercle de Feuerbach).
Le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité.
Les deux points de Brocard sont des conjugués isogonaux.

5. Point de Gergonne

Gergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859)

Le point de Gergonne est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit (point X(7) dans ETC).

geometrie du triangle - point et triangle de Gergonne - copyright Patrice Debart 2005

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en I, centre du cercle inscrit dans le triangle.
Ce cercle est tangent intérieurement aux trois côtés du triangle. Notons P, Q et R les points de contact.

Les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en un même point G, point de Gergonne du triangle ABC.
Le point G est le barycentre de (A, tanÂ/2) ; (B, tanB/2) ; (C, tanC/2).

Le triangle PQR s'appelle le triangle de Gergonne du triangle ABC.

La droite (IG) est l'axe de Soddy du triangle.

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Preuve

Pour chacun des sommets, les deux tangentes déterminent deux segments, du sommet aux points de contact, de longueurs égales :
AR = AQ, ainsi que BR = BP et CP = CQ.

On a : AR/BR × BP/CP × CQ/AQ = 1.
La relation de Céva est donc vérifiée.

Les céviennes (AP), (BQ) et (CR) sont bien concourantes en G, nommé point de Gergonne.

6. Point de Nagel

Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent aux points de contact des côtés d'un triangle avec les cercles exinscrits (Point X(8) dans ETC).

Cercles exinscrits

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes. Leur point d'intersection est à égale distance des trois côtés du triangle. Il permet de tracer un cercle exinscrit, tangent aux trois côtés du triangle.

Soit (c1), (c2) et (c3) les trois cercles exinscrits au triangle ABC. Notons I1, I2 et I3 leurs centres.

Notons A’ le point de contact de (c1) avec [BC], B’ le point de contact de (c2) avec [AC] et C’ le point de contact de (c3) avec [AB].

Le calcul des distances des sommets aux points de contact donne :
BA’ = p – c ; CA’ = p – b ; AB’ = p – c ; CB’ = p – a ; AC’ = p – b ; BC’ = p – a.

On a : AC’/BC’ × BA’/CA’ × CB’/AB’ = 1. La relation de Céva est vérifiée :
les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes ; leur point d'intersection s'appelle le point de Nagel du triangle.

Le triangle A’B’C’, qui a pour sommets les points de contact des trois cercles exinscrits avec les côtés du triangle ABC, est le triangle de Nagel du triangle ABC.

Point de Nagel

geometrie du triangle - point de Nagel - copyright Patrice Debart 2005

Les céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes au point de Nagel N.

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Droite de Nagel

geometrie du triangle - droite de Nagel - copyright Patrice Debart 2005

La droite de Nagel passe par le centre de gravité G, le centre du cercle inscrit I et le point de Nagel N. Le point G est au tiers de IN, à partir de I.

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Cercle inscrit dans le triangle médian

geometrie du triangle - cercle inscrit dans le triangle median - copyright Patrice Debart 2005

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Le point de Nagel est le barycentre de (A, – a + b + c) ; (B, a – b + c) ; (C, a + b – c).

Points de contact des cercles inscrit et exinscrit avec un côté du triangle

On a vu, dans la page cercles inscrit et exinscrit, que le point de contact R du cercle inscrit avec [AB] vérifie AR = p – a. Comme BC’ = p – a, les points R et C’ sont symétriques par rapport au milieu C1 de [AB].

 

Cercle inscrit dans le triangle médian

Le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC a son centre J situé sur la droite de Nagel. J est le milieu de [NI].

Par homothétie de centre N et de rapport 1/2, le cercle inscrit dans le triangle ABC a pour image le cercle inscrit dans le triangle médian du triangle ABC.

7. Point de Bevan

Soit A’B’C’ les points de contact des côtés d'un triangle ABC avec les cercles exinscrits de centres I1, I2, I3.

Les droites (I1A’), (I2B’) et (I3C’) sont concourantes :
leur point d'intersection J s'appelle le point de Bevan du triangle ABC (point X(40) dans ETC).

Le triangle I1I2I3 s'appelle le triangle de Bevan du triangle ABC.

Point de Bevan

geometrie du triangle - point de Bevan - copyright Patrice Debart 2005

Le point de Bevan J est le symétrique du centre I du cercle inscrit par rapport au centre O du cercle circonscrit à ABC.

Le point de Bevan est le centre du cercle circonscrit au triangle de Bevan I1I2I3.
Le rayon du cercle circonscrit au triangle de Bevan est le double de celui du cercle circonscrit au triangle ABC.

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Hauteurs du triangle de Bevan

geometrie du triangle - hauteurs du triangle de Bevan - copyright Patrice Debart 2005

Le centre I du cercle inscrit est l'orthocentre du triangle de Bevan.

Le triangle ABC est le triangle orthique du triangle de Bevan.

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geometrie du triangle - point de Bevan centre du cercle inscrit dans le triangle construit avec les tangentes communes aux cercles exinscrits - copyright Patrice Debart 2005

Le point de Bevan est le centre du cercle inscrit dans le triangle J1J2J3 construit avec les tangentes communes aux cercles exinscrits (en : extangents triangle).
Ces tangentes sont trois droites, symétriques des côtés par rapport aux lignes des centres :
    – la droite (J1J2), symétrique de (AB) par rapport à (I1I2), rencontre (AB) en K3 ;
    – (J2J3), symétrique de (BC) par rapport à (I2I3), passant par K1
    – et (J1J3), symétrique de (AC) par rapport à (I1I3), passant par K2.

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Triangles de Bevan et Gergonne

geometrie du triangle - triangle de Bevan et triangle de Gergonne - copyright Patrice Debart 2005

P, Q et R sont les points de contact du cercle inscrit dans ABC. G est le point de Gergonne de ABC.

Le triangle de Bevan I1I2I3 et le triangle de Gergonne PQR sont homothétiques.

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Triangle médian du triangle de Bevan

Les milieux A1, B1, C1des côtés du triangle I1I2I3 de Bevan sont situés sur le cercle circonscrit à ABC.

Le triangle médian A1B1C1 est homothétique au triangle de Bevan I1I2I3 et au triangle de Gergonne PQR.

geometrie du triangle - triangle median du triangle de Bevan - copyright Patrice Debart 2005

J est le point de Bevan. O est le centre du cercle circonscrit à ABC.
G est le centre de gravité du triangle de Bevan I1I2I3,
G’ est le point de Gergonne de ABC.

Le rayon du cercle circonscrit au triangle I1I2I3 est le double de celui du cercle circonscrit au triangle ABC.

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Voir aussi : problèmes d'antan

Triangle de Bevan d'un triangle rectangle

Pour un triangle rectangle, le point de Bevan est le symétrique du centre du cercle inscrit par rapport au milieu de l'hypoténuse.

geometrie du triangle - triangle de Bevan d'un triangle rectangle - copyright Patrice Debart 2005

I est le centre du cercle inscrit dans ABC,
G est le point de Gergonne de ABC.

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8. Points de Brocard

geometrie du triangle - points de Brocard - copyright Patrice Debart 2005

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Retrouver cette image sur WikiPédia :
    Points de Brocard
    nl : Punten van Brocard
    km : Kmer

Ces points tirent leur nom du mathématicien français Henri Brocard (1845-1922).
Ils ont été trouvés, en réalité par Jacobi et, en 1816, par Crelle.

Le premier point de Brocard d'un triangle ABC est le point Ω, tel que les angles ΩAB, ΩBC et ΩCA orientés positivement soient égaux.

Le second point de Brocard du triangle est le point Ω’, tel que les angles Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC orientés positivement soient égaux.

Les segments joignant les points Ω et Ω’ aux sommets du triangle constituent des isogonales du triangle ABC.
Les angles ΩAB, ΩBC,ΩCA ; Ω’BA, Ω’CB et Ω’AC quelles définissent avec les côtés du triangle sont tous égaux à l'angle de Brocard du triangle, noté ω.

Cet angle ω peut être calculé au moyen de sa cotangente par la formule :
cotan ω = cotan angle A + cotan angle B + cotan angle C = a^2 + b^2 + c^2)/(4S)S désigne l'aire du triangle,
tan ω = 4S/(a^2 + b^2 + c^2).

Enfin, on appelle droite de Brocard l'une quelconque des droites joignant un sommet du triangle à l'un des points de Brocard.

Le premier point de Brocard est le barycentre
de (A, ac/b) ; (B, ab/c) ; (B, bc/a)
et le second point de Brocard est le barycentre
de (A, ab/c) ; (B,bc/a) ; (B, ac/b).

Construction géométrique

geometrie du triangle - premier point de Brocard - copyright Patrice Debart 2005

Étant donné un triangle ABC,
tracer le cercle passant par A et B et tangent à (BC),
le cercle passant par B et C et tangent à (CA)
et le cercle passant par C et A et tangent à (AB).

Ces trois cercles sont sécants en Ω, premier point de Brocard du triangle ABC.

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geometrie du triangle - second point de Brocard - copyright Patrice Debart 2005

De même, tracer le cercle passant par A et B et tangent à (AC),
le cercle passant par B et C et tangent à (BA)
et le cercle passant par C et A et tangent à (CB).

Ces trois cercles sont sécants en Ω’, second point de Brocard du triangle.

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Axe et cercle de Brocard

geometrie du triangle - cercle et droite de Brocard - copyright Patrice Debart 2005

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L'axe de Brocard du triangle est la droite passant par le centre du cercle circonscrit et par le point de Lemoine.

Les points de Brocard, le point de Lemoine L et le centre O du cercle circonscrit sont sur un même cercle, cercle de Brocard du triangle. [OL] est un diamètre de ce cercle.
Les points de Brocard sont symétriques par rapport à l'axe de Brocard (OL).

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Les deux points de Brocard sont conjugués isogonaux l'un de l'autre. La médiane, issue d'un sommet du triangle ; la symédiane, issue d'un second sommet ; et une des droites de Brocard, issue d'un troisième sommet, sont concourantes.

Remarque : ne pas confondre les droites de Brocard (AΩ), (AΩ’), (BΩ’)… et l'axe de Brocard (OL).

Théorème d'Alasia

Cristoforo Alasia mathématicien italien 1869-1918

Théorème d'Alasia :
Le triangle ABC est isocèle en C si, et seulement si, la droite (ΩΩ’) est parallèle à la base (AB).

 

Collège
Calcul d'aires

Exercices
de-ci, de-là

Collège
Cercle

Paraboles en 1ère S

Paraboles en 1ère L

Construction
du pentagone régulier

II. Points caractéristiques du triangle

1. Points de Terquem
    Céviennes
    Théorème de Céva
    Triangle pédal et cercle pédal
2. Droites antiparallèles, droites isogonales
    Quadrangle inscriptible
3. Symédianes
      Point de Lemoine
4. Points isogonaux
      Triangle podaire
5. Point de Gergonne
6. Point de Nagel
7. Point de Bevan
8. Points de Brocard
    Axe et cercle de Brocard

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