Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesIsocèle, équilatéral, médian, orthique, tangentiel…
SommaireTriangle acutangle Triangle rectangle Triangle bisocèle |
Triangle médian Triangle de Bevan Page no 143, créée le 13/5/2009, mise à jour le 13/1/2010 | ||||
Démonstrations de Pythagore |
Retrouver un triangle à partir de trois droites remarquables |
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en : acute-angled
Triangle (non rectangle) dont les trois angles sont aigus.
Triangle ayant exactement un angle obtus.
Propriété : le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre d'un triangle obtusangle sont à l'extérieur du triangle.
Un triangle dégénéré dont les trois sommets sont alignés.
Un triangle d'argent est un triangle isocèle ayant un angle 108°,
les deux autres angles étant égaux à 36°.
Figure : voir triangle d'or
Pour un triangle, le triangle de Bevan a pour sommets les centres des cercles exinscrits au triangle.
Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.
Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés (soit 
radians).
Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur, égale à a
, où a est la longueur du côté du triangle.
L'aire du triangle est égale à 
a2.
Le centre de gravité du triangle équilatéral est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit.
Télécharger la figure GeoGebra triangle_equilatera.ggb
Feuille de travail dynamique : triangle équilatéral avec GeoGebra
Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle.
Dans un triangle, le triangle de Gergonne a pour sommets les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle.
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que, dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle. Elle est aussi la médiane, la hauteur et la bissectrice relative à cette base.
Un triangle qui n'est pas isocèle est scalène : tous les côtés sont inégaux.
Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.
Le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle est le triangle médian.
On l'appelle aussi triangle complémentaire ou triangle médial.
Dans un triangle, le triangle de Nagel a pour sommets les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle.
ABC est un triangle, dont tous les angles sont inférieurs à 
, bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF ayant pour centres de gravité respectifs P, Q et R.
Le triangle équilatéral PQR est le triangle extérieur de Napoléon.
Un triangle d'or est un triangle isocèle ayant un angle, au sommet, de 36° ; les deux autres angles, à la base, étant égaux à 72°.
Le triangles ACD et ABD sont d'or, BCD est d'argent.
de : Höhenfußpunktdreieck
Le triangle qui joint les pieds des hauteurs d'un triangle ABC est le triangle orthique.
Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.
Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux médiatrices du triangle ABC.
Le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre est le triangle orthique.
Triangle de lumière : les côtés du triangle orthique se réfléchissent sur les bords du triangle ABC à la façon de rayons lumineux
Télécharger la figure GéoPlan t_orthiq3.g2w
Wikipédia : triangle orthique
en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian.
Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet.
Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.
Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de I par rapport au triangle ABC.
Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle des neuf points d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.
de : Rechtwinkliges Dreieck
Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.
Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.
Cercle de Thalès du triangle rectangle : le demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse.
Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.
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« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs »
Le triangle rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité. Avec une corde à 13 nœuds ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre, entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.
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Construction
Le quadrillage de l'écran GeoGebra permet de répartir les points sur les petits côtés du triangle. Pour le partage en cinq de l'hypoténuse, on peut utiliser une configuration de Thalès à partir du segment [AI] de longueur 5, en traçant les parallèles à (IC) et leurs quatre points d'intersections avec [AC].
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« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°, de côtés (1, 1, 
), c'est le format d'un certain nombre d'équerres.
« Triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral d'angles de mesures 90°, 60° et 30° ; format d'autres équerres utilisées à l'école.
Une autre construction avec un triangle équilatéral, voir : exercices de géométrie au collège
Télécharger les figures GéoPlan demi_carre.g2w, triangle_ecolier.g2w
Un triangle scalène est un triangle :
Un triangle qui n'est pas scalène est isocèle : deux ou trois côtés sont de longueurs égales.
Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) aux sommets A, B et C forment un triangle dit tangentiel du triangle ABC.
Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.
Télécharger la figure GéoPlan symediane.g2w
Un triangle est une figure trilatère (Euclide)
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