René DescartesDescartes et les Mathématiques

Triangles remarquables

Isocèle, équilatéral, médian, orthique, tangentiel…

Sommaire

Triangle acutangle
Triangle obtusangle
Triangle scalène

Triangle rectangle
    Triangle égyptien ou triangle des arpenteurs
    Demi-carré

Triangle isocèle
Triangle équilatéral (ou régulier)

Triangle bisocèle
Triangle pédal

Triangle d'argent
Triangle d'or

Triangle médian
Triangle orthique

Triangle tangentiel
Triangle de Bevan

Triangle de Feuerbach
Triangle de Nagel

Triangle de Napoléon

Voir aussi

Triangle de Gergonne
Triangle podaire

Triangle de Grèbe

La géométrie
du triangle

Théorème de Thalès

Démonstrations de Pythagore

Retrouver un triangle à partir de trois droites remarquables

Construction de triangles en 5e

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Triangle acutangle

geometrie du triangle - triangle quelconque - copyright Patrice Debart 2010en : acute-angled

Triangle (non rectangle) dont les trois angles sont aigus.

Triangle obtusangle

Triangle ayant exactement un angle obtus.

Propriété : le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre d'un triangle obtusangle sont à l'extérieur du triangle.

Triangle plat

Un triangle dégénéré dont les trois sommets sont alignés.

Triangle d'argent

Un triangle d'argent est un triangle isocèle ayant un angle 108°, les deux autres angles étant égaux à 36°.
Figure : voir triangle d'or

Triangle de Bevan

Pour un triangle, le triangle de Bevan a pour sommets les centres des cercles exinscrits au triangle.

Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle équilatéral

geometrie du triangle - triangle equilateral - copyright Patrice Debart 2010Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés (soit pi/3 radians).

Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur, égale à arac(3)/2, où a est la longueur du côté du triangle.
L'aire du triangle est égale à rac(3)/4a2.
Le centre de gravité du triangle équilatéral est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit.

GeoGebra Feuille de travail dynamique : triangle équilatéral avec GeoGebra

Triangle de Feuerbach

Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle.

Triangle de Gergonne

Dans un triangle, le triangle de Gergonne a pour sommets les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle.

Triangle isocèle

geometrie du triangle - triangle isocele - copyright Patrice Debart 2010Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que, dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux.
La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle. Elle est aussi la médiane, la hauteur et la bissectrice relative à cette base.

Un triangle qui n'est pas isocèle est scalène : tous les côtés sont inégaux.

Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.

Triangle médian

geometrie du triangle - triangle median

Le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle est le triangle médian.
On l'appelle aussi triangle complémentaire ou triangle médial.

Triangle de Nagel

Dans un triangle, le triangle de Nagel a pour sommets les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle.

Triangle extérieur de Napoléon

geometrie du triangle - triangle de Napoleon - copyright Patrice Debart 2010ABC est un triangle, dont tous les angles sont inférieurs à 2pi/3, bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF ayant pour centres de gravité respectifs P, Q et R.
Le triangle équilatéral PQR est le triangle extérieur de Napoléon.

Triangle d'or

Un triangle d'or est un triangle isocèle ayant un angle, au sommet, de 36° ; les deux autres angles, à la base, étant égaux à 72°.

geometrie du triangle - triangle d'or

Le triangles ACD et ABD sont d'or, BCD est d'argent.

Triangle orthique - Triangle de lumière

geometrie du triangle - triangle orthiquede : Höhenfußpunktdreieck

Le triangle qui joint les pieds des hauteurs d'un triangle ABC est le triangle orthique.

Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.

Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux médiatrices du triangle ABC.

Le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre est le triangle orthique.

Triangle de lumière : les côtés du triangle orthique se réfléchissent sur les bords du triangle ABC à la façon de rayons lumineux

g2w Télécharger la figure GéoPlan t_orthiq3.g2w

Wikipédia : triangle orthique

Triangle pédal

en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian.

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet.

Soit ABC un triangle et un point I distinct des sommets. Les céviennes (AI), (BI) et (CI) coupent - en général - les côtés opposés du triangle en trois points A’, B’ et C’.

Le triangle A’B’C’, qui joint les pieds des trois céviennes (AA’), (BB’) et (CC’) concourantes en I, est le triangle pédal du point I par rapport au triangle ABC. Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal de I par rapport au triangle ABC.

Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian. Le cercle des neuf points d'Euler est le cercle pédal de l'orthocentre et du centre de gravité.

Triangle rectangle

geometrie du triangle - triangle rectanglede : Rechtwinkliges Dreieck

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.
Cercle de Thalès du triangle rectangle : le demi-cercle dont le diamètre est l'hypoténuse.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

Triangles rectangles particuliers

« Triangle égyptien » ou « triangle des arpenteurs »

Expressions clés :

Tracer un triangle rectangle avec une ficelle !
Tracer un angle droit avec une corde à 13 nœuds !
Tracer un angle droit sans équerre !
Tracer un rectangle sans équerre !
Équerre sans équerre
.

geometrie du triangle - triangle egyptien

Le triangle rectangle de côtés (3, 4, 5), connu depuis l'Antiquité. Avec une « corde à 13 nœuds  » ou « corde égyptienne », les Anciens s'en servaient comme équerre, entre autres, pour reconstituer les champs après les crues du Nil.
Ce triangle a été utilisé de façon empirique pendant 2 000 ans, jusqu'à ce que Pythagore montre qu'il était rectangle.
Ce triangle est aussi appelé « triangle cosmique de Platon », « triangle sacré » ou encore « triangle d'Isis » nommé « triangle isiaque ».
C'est le plus petit « triangle de Pythagore » : triangles dont les longueurs des côtés sont des entiers.

Construction du triangle égyptien 

geometrie du triangle - construction du triangle egyptien

Le quadrillage de l'écran GeoGebra permet de répartir les points sur les petits côtés du triangle.

Pour le partage en cinq de l'hypoténuse, on peut utiliser une configuration de Thalès à partir du segment [AI] de longueur 5, en traçant les parallèles à (IC) et leurs quatre points d'intersections avec [AC].

 

GeoGebra Figures interactives dans GeoGebra Tube : construction du triangle égyptien

geometrie du triangle - demi-carregeometrie du triangle - triangle de l'ecolier« Demi-carré » : c'est le triangle rectangle isocèle d'angles aigus de 45°,
de côtés (1, 1, rac(2)), c'est le format d'un certain nombre d'équerres.

La longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle isocèle est égale à la longueur des petits côtés multipliée par racine de 2.

« Triangle de l'écolier » : demi-triangle équilatéral d'angles de mesures 90°, 60° et 30° ; format d'autres équerres utilisées à l'école.

GeoGebra Une autre construction avec un triangle équilatéral, voir : exercices de géométrie au collège
Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle de l'écolier

g2w Télécharger les figures GéoPlan demi_carre.g2w, triangle_ecolier.g2w

Triangle scalène

Un triangle scalène est un triangle :

  • dont les trois côtés sont de longueurs inégales ;
  • dont les trois angles sont de mesures différentes ;
  • qui n'a pas d'axe de symétrie.

Un triangle qui n'est pas scalène est isocèle : deux ou trois côtés sont de longueurs égales.

Triangle tangentiel

geometrie du triangle - triangle tangentielPour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) aux sommets A, B et C forment un triangle dit tangentiel du triangle ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.

Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

g2w Télécharger la figure GéoPlan symediane.g2w

Trilatère

Un triangle est une figure trilatère (Euclide)

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Page no 143, créée le 13/5/2009, mise à jour le 13/1/2010