René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Activités de l'espace en première

Exercices de géométrie dans l'espace au lycée :
droite parallèle à un plan, interaction de l'espace et du plan…

Sommaire

1. Intersection de plans (dans une pyramide)

2. Section plane d'une pyramide

3. Intersection d'une droite et d'un cube

4. Barycentre et tétraèdre : alignement dans l'espace

5. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

6. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan

7. Pyramide et tétraèdre

8. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

9. Intersection de deux plans - Section plane d'un parallélépipède

Programme de 1ère S (2009)

La géométrie dans l'espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l'analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d'optimisation.

Malgré cet entête, la géométrie dans l'espace a disparu du nouveau programme de 2009 !

1. Intersection de plans (autour d'une pyramide)

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD,
de côté AB = 4 cm, telle que le triangle ASC soit équilatéral.

1.a. Soit O le centre du carré ABCD. Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).
Étudier les triangles SAC et SBD en déduire que (SO) est la hauteur de la pyramide.

1.b. Calculer AC et OS.
Soit I le point de la hauteur OS équidistant de A et de S. Calculer SI.

Géométrie dans l'espace - hauteur de pyramide - copyright Patrice Debart 2004

Indications : a = AB = 4 ; AC = AS = a rac(2) ; OS = a rac(6)/2
et SI = a rac(6) /3 (le point I est le centre de gravité du triangle SAC).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée - plan diagonal
      Cocher la case triangle rectangle isocèle

Voir : plan diagonal d'une pyramide régulière

4.c. Déterminer l'intersection des plans (SAB) et (SCD).

Géométrie dans l'espace - intersection de plans dans une pyramide - copyright Patrice Debart 2004

D'après le théorème du toit, la droite (d), intersection des plans (SAB) et (SCD), est parallèle aux côtés (AB) et (CD).

2. Section plane d'une pyramide

SABCD est une pyramide de sommet S et de base le carré ABCD.
Les points I et J appartiennent aux arêtes [SA] et [SB].

Le point K appartient à l'arête [SC].
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJK).

Géométrie dans l'espace - quadrilatère comme section plane d'une pyramide - copyright Patrice Debart 2004

Soit (d) la parallèle à (AB) passant par S.
Si (IJ) n'est pas parallèle à (AB), la droite (IJ) coupe (d) en P et (AB) en M.

Éventuellement, la droite (PK) coupe (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

Le point Q appartient à la face SCD.
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJQ).

Géométrie dans l'espace - pentagone comme section plane d'une pyramide - copyright Patrice Debart 2004

Éventuellement, la droite (PQ) coupe (SC) en K, (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

3. Intersection d'une droite et d'un cube

I et K sont deux points de la face (EFGH) d'un cube et J un point de la face (ABFE).
Par K passe la droite (d) parallèle à (IJ).
Trouver une construction du point L intersection de la droite (d) et du plan (ABF).

Exercice

Géométrie dans l'espace - intersection droite et cube

Solution

Géométrie dans l'espace - intersection droite et cube - solution

Tracer le point M (s'il existe), intersection de la droite (IK) avec l'arête (EF).

Le point L est l'intersection de (d) et de (MJ).

4. Barycentre et tétraèdre : alignement dans l'espace

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de l'arête [AD],
G le centre de gravité du triangle ABC,
E le point tel que le quadrilatère BDCE soit un parallélogramme
.

Géométrie dans l'espace - tétraèdre - barycentre et alignement - copyright Patrice Debart 2004

4.a. Déterminer des nombres entiers b, c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés (B, b) ; (C, c) et (D, d).

La somme de vecteurs vect(EB) + vect(EC) est représentée par la diagonale vect(ED) du parallélogramme :
vect(EB) + vect(EC) = vect(EB) + vec(BD) = vect(ED).

vect(EB) + vect(EC)vect(ED) = vect(0),
donc, en choisissant 1 pour b, les coefficients sont :
b = 1, c = 1 et d = − 1.

4.b. Démontrer que vec(EA) + vect(EB) + vect(EC)vect(ED)vec(EA) = vect(0).

En ajoutant et en retranchant vec(EA) à l'égalité vect(EB) + vect(EC)vect(ED) = vect(0),
on montre que vec(EA) + vect(EB) + vect(EC)vect(ED)vec(EA) = vect(0).

4.c. Déduire de la question précédente que la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

G est le centre de gravité du triangle ABC on peut donc écrire l'égalité vectorielle de Leibniz :
3vec(EG) = vec(EA) + vect(EB) + vect(EC).

I est le milieu de l'arête [AD], donc d'après le théorème de la médiane : 2 vect(EI) = vect(ED)vec(EA).

L'égalité de la question précédente devient : 3vec(EG) – 2 vect(EI) = vect(0),
les points E, G et I sont alignés et la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

4.d. Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

D'après l'égalité de la question précédente, E est le barycentre de (G, 3) et (I, –2), donc vect(GE) = − 2 GI.

Centre de gravité d'un tétraèdre, voir : isobarycentre de quatre points

5. Perspective de centre O

Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan

Exercice

Étant donné dans un plan trois droites (d1), (d2), (d3) distinctes et concourantes en O et trois points A, B, C distincts n'appartenant pas à ces droites, construire un triangle MNP tel que chaque côté contienne un des trois points et que chaque sommet soit sur une des trois droites.

Démonstration « par le relief »

Géométrie dans l'espace - solution d'un problème plan

La figure ci-contre peut-être considérée comme la représentation d'un trièdre de sommet O et d'arêtes (d1), (d2), (d3). Les points A, B, C appartenant respectivement aux plans (d1, d2), (d2, d3), (d1, d3). La construction demandée revient à déterminer l'intersection du plan (ABC) et du trièdre (O, d1, d2, d3).

Pour cela, à partir d'un point G, on va montrer que le triangle MNP peut être considéré comme la vue en perspective d'un triangle GHK, situé dans le plan (GAB), les plans de ces deux triangles ayant la droite (AB) en commun. Sur cette droite le point I est l'intersection des plans des deux triangles avec le plan (d1, d3).

G étant un point de (d1), on trace (GA) qui coupe (d2) en H, puis (HB) qui coupe (d3) en K.
Les points A et B situés sur les droites (GH) et (KH) appartiennent au plan (GHK), ainsi que la droite (AB). Les droites (AB) et (GK) du plan (GHK) se coupent en I.
Les points G et K situés sur les droites (d1) et (d3) appartiennent au plan (d1, d3), la droite (GK) est dans ce plan et en particulier le point I. Par hypothèse C aussi un point du plan (d1, d3), la droite (CI) située dans ce plan coupe (d1) en M et coupe (d3) en P, qui sont deux des sommets du triangle cherché. Le troisième sommet N sur (d2) s'obtient en traçant (MA) et (PB).

Théorème de Desargues : plan projectif

Tiers d'un segment

Théorème de Pohlke

Perspective et résolution d'un problème plan

Droite menée à partir d'un point de concours inaccessible

Joindre deux points d'une droite avec une règle trop courte

6. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan

Exercice

Dans un plan (p), tracer la perpendiculaire à une droite (d) à partir d'un point A.

Solution

Géométrie dans l'espace - utiliser une configuration du plan

Dans une perspective cavalière, le plan (p) est figuré par l'image d'un rectangle sous forme d'un parallélogramme. Les côtés (Δ) et (Δ’) sont perpendiculaires.
On suppose que dans le plan (p) on connaît l'image de deux droites perpendiculaires (d1) et (d2), non parallèles à (Δ) et (Δ’), représentées, en général, par des segments non perpendiculaires.

La construction utilise les hauteurs et l'orthocentre d'un triangle.
On mène par le point A les parallèles à (Δ) et (d1) qui coupent la droite (d) respectivement en B et C.
La parallèle à (Δ’) passant par C est une hauteur du triangle ABC, de même la parallèle à (d2) passant par B. Ces deux hauteurs se coupent en H, orthocentre du triangle ABC. La droite (AH), troisième hauteur du triangle, est la perpendiculaire à (d) menée par A.

7. Pyramide et tétraèdre

Solide composite : prisme oblique

Géométrie dans l'espace - prisme oblique - copyright Patrice Debart 2004

On dispose d'une pyramide à base carrée d'arêtes de longueur a

et d'un tétraèdre régulier de même longueur d'arêtes. On colle ces deux solides en faisant coïncider deux de leurs faces triangulaires.
On obtient ainsi un nouveau polyèdre.

Combien a-t-il de faces ?
Quelle est la nature de ce polyèdre ?

Indications

Soit I et J les milieux des côtés [AB] et [CD] de la base (ABCD) de la pyramide SABCD de sommet S.
Montrer que le sommet O du tétraèdre OCDS appartient au plan médiateur (IJS) de la pyramide.
En déduire que le quadrilatère IJOS est un parallélogramme ; les points O, S, A et D sont coplanaires ainsi que les points O, S, B et C.

Le polyèdre a cinq faces : un carré, deux losanges et les deux triangles équilatéraux SAB et ODC. C'est un prisme oblique. Toutes les arêtes sont de même longueur a.

8.b. Un quadrilatère dans un cube

Géométrie dans l'espace - quadrilatère dans un un cube - copyright Patrice Debart 2004

Que dire du quadrilatère IJKL ?

Rien, c'est une figure gauche non située dans un plan. Surtout pas un parallélogramme.

8.c. Incidence fausse de deux droites et deux plans

Géométrie dans l'espace - incidence fausse de 2 droites et 2 plans - copyright Patrice Debart 2004

Les droites (d1) et (d2), sécantes en A, coupent le plan (p) en B et C, et le plan (p’) en B’ et C’.
Ce dessin n'est pas exact. Le point C’, par exemple, est mal placé.

Retrouver sa position sur (d2) à partir du point I intersection de la droite (BC) et de la droite frontière de (p) et (p’).

8.d. Vertical ou horizontal ?

Géométrie dans l'espace - vertical ou horizontal - copyright Patrice Debart 2004

Dans le plan (ABF), la droite (LM) est-elle horizontale ?
La droite (PQ) est-elle verticale ?

Tracer une droite horizontale de ce plan.
Peut-on trouver une droite verticale dans ce plan ?

Voir : perdu dans l'espace

9. Intersection de deux plans

Section plane d'un parallélépipède

Géométrie dans l'espace - parallélépipède rectangle - copyright Patrice Debart 2004

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle de côtés de longueurs a, b et h.

  • Placer I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD],
  • Construire K un point du segment [EF] tel que EK = 1/4 EF,
  • Construire L un point du segment [GH] tel que HL = 1/4 GH,
  • Construire la droite (d), intersection des plans (IJK) et (ADE).

Un travail peut s'engager sur :

  • justifier l'appartenance du point L au plan (IJK),
  • justifier la construction,
  • conjecturer ou utiliser le théorème du toit pour démontrer que (IJ) // (AD) // (MN).

Variantes

I et K sont deux points variables sur les côtés [AB] et [EF].
J est le point d'intersection du côté [CD] et de la parallèle à (AD) passant par I.
L est le point d'intersection du côté [GH] et de la parallèle à (EH) passant par K.

Si I est le milieu de [AB], montrer que J est le milieu [CD].
Si l'abscisse de K sur la droite repérée (E, F) est 1/4, montrer que l'abscisse de L sur la droite repérée (H, G) est 1/4.

Voir : sections planes d'un parallélépipède rectangle. En modifiant les longueurs a, b et h des côtés avec a = b = h, tracer un cube et examiner la section du cube par un plan parallèle à une arête.

Géométrie dans l'espace - intersection de deux plans - copyright Patrice Debart 2004
Géométrie dans l'espace - intersection de deux plans - copyright Patrice Debart 2004

Table des matières

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