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Activités dans l'espace dans l'ancienne 1S

Exercices de géométrie dans l'espace au lycée : droite parallèle à un plan, interaction de l'espace et du plan…

Programme de 1S (2009)

La géométrie dans l’espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l’analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d’optimisation.

Malgré cet entête, la géométrie dans l'espace a disparu du nouveau programme de 2009 !

1. Droite parallèle à un plan

Groupe de proximité des professeurs de mathématiques d'Aix-en-Provence.

Exemple de résolution d'un problème en utilisant diverses méthodes :

• Méthodes géométriques et règle d'incidence
• Méthode vectorielle
• Méthode analytique

Exercice

Sur les arêtes d'un cube de côté 4 cm, on place les points I et J tels que : = et = . Démontrer que la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ).   Télécharger la figure GéoSpace cube_act.g3w

Solution

Pour s'en convaincre avec GéoSpace : faire tourner la figure avec les touches CTRL + flèche droite jusqu'à ce que le plan (EGJ) soit vu parallèlement à l'axe de vision de l'observateur. On constate que (HI) est bien parallèle à la trace de ce plan.   Télécharger la figure GéoSpace cube_ac2.g3w

Méthodes géométriques et règle d'incidence

Méthode vectorielle

Utilisons comme dans la première méthode le point K tel que = = .

= + = = + .

Faire une introduction symbolique de pour trouver puis = −  :

= + ( - ) + = + - +

= - ( + ) = - = -

est parallèle au plan comme combinaison linéaire de deux vecteurs de ce plan ; la droite (HI) est bien parallèle au plan (EGJ).

Méthode analytique

Dans le repère (G, , ) soit le point P de coordonnées (, 0).

Le vecteur a pour coordonnées (- , 1) ; il est donc égal au vecteur donc à . On a donc = − + et on conclut comme ci-dessus.

2. Intersection d'une droite et d'un tétraèdre

Sur la face (ABC) d'un tétraèdre ABCD, on place un point I.
Tracer le point d'intersection J de la droite (d) passant par I, parallèle à (AD) avec la face (BCD).

Télécharger la figure GéoSpace tetra_dr.g3w

3. Intersection d'une droite et d'un cube

I et J sont deux points de la face (EFGH) d'un cube et K un point de la face (ABFE).
Par K passe la droite (d) parallèle à (IJ).
Trouver une construction du point L intersection de la droite (d) et du plan (ABF).

Télécharger la figure GéoSpace cube_dr.g3w

4. Barycentre et tétraèdre : alignement dans l'espace

ABCD est un tétraèdre.
Soit I le milieu de l'arête [AD],
G le centre de gravité du triangle ABC,
E le point tel que le quadrilatère BDCE soit un parallélogramme.

a. Déterminer des nombres entiers b, c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés (B, b); (C, c) et (D, d).

La somme de vecteurs + est représentée par la diagonale du parallélogramme :
+ = + = .

+ – = ,
donc, en choisissant 1 pour b, les coefficients sont :
b = 1, c = 1 et d = − 1.

b. Démontrer que + + – – = .

En ajoutant et en retranchant à l'égalité + – = ,
on montre que + + – – = .

c. Déduire de la question précédente que la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

G est le centre de gravité du triangle ABC on peut donc écrire l'égalité vectorielle de Leibniz :
3 = + + .

I est le milieu de l'arête [AD], donc d'après le théorème de la médiane : 2 = – .

L'égalité de la question précédente devient : 3 – 2 = ,

les points E, G et I sont alignés et la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.

d. Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

D'après l'égalité de la question précédente, E est le barycentre de (G, 3) et (I, –2), donc = − 2 .

 Télécharger la figure GéoSpace tet_alig.g3w
Centre de gravité d'un tétraèdre : barycentre de quatre points

5. Utilisation de l'espace dans la résolution d'un problème plan - perspective de centre O

Activités en première
Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Étant donné dans un plan trois droites (d₁), (d₂), (d₃) distinctes et concourantes en O et trois points A, B, C distincts n'appartenant pas à ces droites, construire un triangle MNP tel que chaque côté contienne un des trois points et que chaque sommet soit sur une des trois droites.

Démonstration « par le relief »

La figure ci-contre peut-être considérée comme la représentation d'un trièdre de sommet O et d'arêtes (d₁), (d₂), (d₃). Les points A, B, C appartenant respectivement aux plans (d₁, d₂), (d₂, d₃), (d₁, d₃). La construction demandée revient à déterminer l'intersection du plan (ABC) et du trièdre (O, d₁, d₂, d₃).

Pour cela, à partir d'un point G, on va montrer que le triangle MNP peut être considéré comme la vue en perspective d'un triangle GHK, situé dans plan (GAB), les plans de ces deux triangles ayant la droite (AB) en commun. Sur cette droite le point I est l'intersection des plans des deux triangles avec le plan (d₁, d₃).

G étant un point de (d₁), on trace (GA) qui coupe (d₂) en H, puis (HB) qui coupe (d₃) en K.
Les points A et B situés sur les droites (GH) et (KH) appartiennent au plan (GHK), ainsi que la droite (AB). Les droites (AB) et (GK) du plan (GHK) se coupent en I.
Les points G et K situés sur les droites (d₁) et (d₃) appartiennent au plan (d₁, d₃), la droite (GK) est dans ce plan et en particulier le point I. Par hypothèse C aussi un point du plan (d₁, d₃), la droite (CI) située dans ce plan coupe (d₁) en M et coupe (d₃) en P, qui sont deux des sommets du triangle cherché. Le troisième sommet N sur (d₂) s'obtient en traçant (MA) et (PB)

Télécharger la figure GéoSpace pb_plan.g3w

6. Construction dans l'espace utilisant une configuration du plan

Groupe géométrie de l'IREM de Bordeaux
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

Dans un plan (p), tracer la perpendiculaire à une droite (d) à partir d'un point A.

Solution

Dans une perspective cavalière, le plan (p) est figuré par l'image d'un rectangle sous forme d'un parallélogramme. Les côtés (Δ) et (Δ’) sont perpendiculaires.
On suppose que dans le plan (p) on connaît l'image de deux droites perpendiculaires (d₁) et (d₂), non parallèles à (Δ) et (Δ’), représentées en général par des segments non perpendiculaires.

La construction utilise les hauteurs et l'orthocentre d'un triangle.
On mène par le point A les parallèles à (Δ) et (d₁) qui coupent la droite (d) respectivement en B et C.
La parallèle à (Δ’) passant par C est une hauteur du triangle ABC, de même la parallèle à (d₂) passant par B. Ces deux hauteurs se coupent en H, orthocentre du triangle ABC. La droite (AH), troisième hauteur du triangle, est la perpendiculaire à (d) menée par A.

Télécharger la figure GéoSpace dr_perpendiculaire.g3w

7. Pyramide et tétraèdre

Travaux pratiques en première S
IREM de Strasbourg
Bulletin inter IREM 1986

Exercice

On dispose d'une pyramide à base carrée d'arêtes de longueur a et d'un tétraèdre régulier de même longueur d'arêtes. On colle ces deux solides en faisant coïncider deux de leurs faces triangulaires.
On obtient ainsi un nouveau polyèdre.

Combien a-t-il de faces ?
Quelle est la nature de ce polyèdre ?

Indications

Soit I et J les milieux des côtés [AB] et [CD] de la base (ABCD) de la pyramide SABCD de sommet S.
Montrer que le sommet O du tétraèdre OCDS appartient au plan médiateur (IJS) de la pyramide.
En déduire que le quadrilatère IJOS est un parallélogramme ; les points O, S, A et D sont coplanaires ainsi que les points O, S, B et C.

Le polyèdre a cinq faces : trois losanges et les deux triangles équilatéraux SAB et ODC. C'est un prisme oblique.

Télécharger la figure GéoSpace pyr_tet.g3w

8. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

IREM de Poitiers
Bulletin inter IREM 1986

Voir : perdu dans l'espace

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