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Le cube en seconde

Géométrie dans l'espace au lycée avec GéoSpace : coin d'un cube - sections planes

Pauvre Pythagore : après les mathématiques propriétaires, les marques déposées : « Le Cube » est une marque déposée par « Art 3000 », association qui gère un espace multimédia à Issy-les-Moulinaux. À quand des royalties pour faire un cours de mathématiques ?

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1. Coin d'un cube

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle ABCD formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet A, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Montrer que le point H est l'orthocentre du triangle BCD.

La droite (AD), perpendiculaire au plan (ABC), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite (BC). Les arêtes opposées du coin de cube sont orthogonales. Le point A est l'orthocentre de ce tétraèdre orthocentrique.

BCD est un triangle équilatéral. Si I, J et K sont les milieux des côtés de triangle, IJK est aussi un triangle équilatéral et, par exemple, la droite (JK), parallèle à (BC), est orthogonale à (AD).

Calcul de la hauteur AH

Dans la troisième figure, ABCD est un coin de cube de côté a = 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD).

Méthode 1 : calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume V de la pyramide ABCD.

La pyramide de base ABC et de sommet D. La base égale à la moitié du côté du cube est a² et la hauteur AD = a.
Le volume est : V = S_ABC × a = a³.

V est aussi le volume de la pyramide de base BCD et de hauteur AH :
BCD est un triangle équilatéral de côté la diagonale du carré a. La hauteur de ce triangle équilatéral est DI = BD = a.
S_BCD = BC × DI = a × a = a² .

V = S_BCD × AH = × a² × AH = a² × AH.

On obtient la longueur AH = a

Méthode 2 : calcul d'inverses de carrés

Dans le triangle ABC rectangle en A de hauteur (AI) exprimer de deux façons l'aire :
2 Aire(ABC) = AI × BC = AB × AC et BC² = AB² + AC²

D'où AI² = et

De même, dans le triangle AID rectangle en A de hauteur (AH) :

On trouve finalement

Dans le cas particulier AB = AC = AD = a on retrouve la longueur AH = a

Application : En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre montrer que :

Aire²(BCD) = Aire²(ABC) + Aire²(ABD) + Aire²(ACD).

En classe de première, il est possible de généraliser avec un coin de pavé droit.

Télécharger les figures GéoSpace coin_cube.g3w et coin_cube_2.g3w
Voir aussi orthogonalité dans un cube : géométrie dans l'espace en TS et TES
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2. Section plane d'un cube

ABCDEFGH est un cube de côté 4 cm. I est le milieu de la face BCGF et J celui de EFGH.

a. Calculer la longueur AI.

b. Trouver les traces du plan (AIJ) sur le cube.

Section plane : trouver le point K intersection de la droite (IJ) et du plan (ABC).

U étant le centre du carré ABCD, en étudiant le plan (UIJ) on remarque que K est le symétrique de U par rapport à (BC).
La droite (AK) coupe (BC) en P sommet de la section plane. L'intersection (PI) et de (FG) est le point Q.
De même, la droite (QJ) coupe (EH) en R.

Le parallélogramme APQR est la section plane du plan (AIJ) sur le cube.

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3. Section de cube et patrons

Exemple de contenu de TP pour ce qui aurait pu être l'enseignement optionnel de mathématiques dans la nouvelle seconde

Catherine Combelles & Pascale Pombourcq - Nouvelle seconde - Bulletin APMEP n^o 480 janvier-février 2009

Un point I est placé sur l'arête [AB] d'un cube ABCDEFGH. Par exemple tel que AI = AB.
Sur les arêtes parallèles [DC] et [EF], on place les points J et K tels DJ = EK = AI.

Il s'agit de construire, en papier Canson, les deux morceaux du cube découpé par le plan (IJK).

Tracé de la figure en perspective Calcul de la position du point M. (Mise en équation utilisant le théorème de Thalès : MD = AD ), puis des points L, P et N. Télécharger la figure GéoSpace sec_cube2.g3w	Dessin en vraie grandeur de la section plane Technique GéoSpace : touche F pour obtenir une vue de face du plan (IJK). Vérifier que N et P partagent [ML] en trois segments de longueur égale. Tracer le pentagone IJPNK. Vérifier que deux paires de côtés sont parallèles et que (NP) est parallèle à la diagonale (KJ). Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_vraie.g3w
Les deux parties du cube Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_part1.g3w	Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_part2.g3w
Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre (menu « Créer>Solides>Patron d'un polyèdre ») Le polyèdre s1 est nommé FKNHGPBIJC afin que les trois premières lettres désignent la face FKNHG comme face principale du premier patron. Le polyèdre s2 est nommé IJPNKADE afin que les trois premières lettres désignent la face IJPNK comme face principale du deuxième patron. Pour ouvrir ces patrons par étapes, il suffit de piloter au clavier la variable m, coefficient d'ouverture des patrons.
Les patrons de chacune des parties Commandes GéoSpace touche P : effacer/afficher le patron de la première partie du cube, touche C : afficher/effacer le cube Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_patron1.g3w	Commandes GéoSpace touche P : effacer/afficher le patron de la deuxième partie du cube, touche C : afficher/effacer le cube Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_patron2.g3w

4. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

… avec GéoSpace	GéoSpace 2nde Intersection de plans	GéoSpace Tétraèdre	TS -TES : Géométrie dans l'espace	GéoSpace TS Paraboloïde	La géométrie en seconde
Sommaire 1. Coin d'un cube 2. Section plane d'un cube 3. Section de cube et patrons 4. Les ambiguïtés de la perspective cavalière			L'espace en seconde GéoSpace en seconde Tétraèdre
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