René DescartesDescartes et les Mathématiques

Le cube en seconde

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La géométrie dans l'espace en seconde avec GéoSpace : coin d'un cube - sections planes.

Sommaire

1. Longueur d'une diagonale d'un cube
2. Coin d'un cube
3. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube
4. Droite parallèle à un plan, dans un cube
5. Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube
6. Section de cube et patrons
7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
8. Section plane d'un cube par un plan passant par trois des sommets

Sections planes d'un cube

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Section de cube dans l'ancienne 1S
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Pauvre Pythagore : après les mathématiques propriétaires, les marques déposées : « Le Cube » est une marque déposée par « Art 3000 », association qui gère un espace multimédia à Issy-les-Moulinaux. À quand des royalties pour faire un cours de mathématiques ?

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GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube, cube en fil de fer

1. Comment calculer la longueur d'une diagonale d'un cube

geometrie dans l'espace - diagonale d'un cube - copyright Patrice Debart 2009
Dans le cube ABCDEFGH, de côté a, pour calculer la longueur de diagonale [AG], étudier le triangle rectangle ACG.

Dans le carré ABCD, AC2 = l2 a2, et la diagonale AC a pour longueur  arac(2).

Avec le théorème de Pythagore dans ACG on a :

AG2 = AC2 + GG2 = 2 a2 + a2 = 3 a2.

La longueur d'une diagonale, du cube de côté a, est arac(3).

 

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2.a. Coin d'un cube

geometrie dans l'espace - coin de cube dans un cube - copyright Patrice Debart 2009

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube

geometrie dans l'espace - triangle dans un coin de cube - copyright Patrice Debart 2009

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : triangle médian dans un coin de cube

geometrie dans l'espace - projection sur la face diagonale du coin de cube - copyright Patrice Debart 2009

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle ABCD formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet A, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

Soit H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Montrer que le point H est l'orthocentre du triangle BCD.

La droite (AD), perpendiculaire au plan (ABC), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, en particulier à la droite (BC). Les arêtes opposées du coin de cube sont orthogonales. Le point A est l'orthocentre de ce tétraèdre trirectangle.

BCD est un triangle équilatéral. Si I, J et K sont les milieux des côtés de triangle, IJK est aussi un triangle équilatéral et, par exemple, la droite (JK), parallèle à (BC), est orthogonale à (AD).

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2.b. Calcul de la hauteur AH

Dans la troisième figure, ABCD est un coin de cube de côté a = 4 cm et I le milieu de [BC]. (AH) est la hauteur abaissée sur la face (BCD).

Méthode 1 : calculer la longueur AH en exprimant de deux façons le volume V du tétraèdre ABCD, de base ABC et de sommet D.

L'aire de la base est égale à la moitié de celle du côté du cube, soit SABC = 1/2 a2,, et la hauteur est AD = a.
Le volume est : V = 1/3 × aire de la base × hauteur = 1/3 SABC × a = 1/6 a3.

V est aussi le volume du tétraèdre ABCD, de base BCD et de hauteur AH :
BCD est un triangle équilatéral de côté la diagonale du carré aracine de 2. La hauteur de ce triangle équilatéral est DI = BD rac(3)/2 = arac(6)/2.
SBCD = 1/2 BC × DI = 1/2 arac(2) × arac(6)/2 = a2 rac(3)/2.

V = 1/3 SBCD × AH = 1/3 × a2 rac(3)/2 × AH = 1/6 a2rac(3) × AH.

On obtient la longueur AH = arac(3)/3

Méthode 2 : calcul d'inverses de carrés

Dans le triangle ABC rectangle en A de hauteur (AI) exprimer de deux façons l'aire :
2 Aire(ABC) = AI × BC = AB × AC et BC2 = AB2 + AC2

D'où AI2 = AB².AC²/BC² et 1/AI²=1/AB²+1/AC²

De même, dans le triangle AID rectangle en A de hauteur (AH) : AH²=1/AI²+1/AD²

On trouve finalement 1/AH²=1/AB²+1/AC²+1/AD²

Dans le cas particulier AB = AC = AD = a on retrouve la longueur AH = arac(3)/3

Application : En exprimant de deux façons différentes le volume du tétraèdre montrer que :

Aire2(BCD) = Aire2(ABC) + Aire2(ABD) + Aire2(ACD).

En classe de première, il est possible de généraliser avec un coin de pavé droit.

Voir aussi orthogonalité dans un cube : géométrie dans l'espace en TS et TES

3. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube

geometrie dans l'espace - intersection avec un cube - copyright Patrice Debart 2004

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Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).

Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec la face (EFGH).

Indication

Trouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d). Lorsqu'il existe le point M, intersection des droites (d) et (IJ), est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.

Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :

Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projection de J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p).
Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).

Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH),
sinon elles se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

4. Droite parallèle à un plan, dans un cube

Exemple de résolution d'un problème en utilisant diverses méthodes :

  • Méthodes géométriques et règle d'incidence
  • Méthode vectorielle
  • Méthode analytique

Exercice

geometrie dans l'espace - droite parallele a un plan Sur les arêtes d'un cube de côté 4 cm, on place les points I et J tels que :

vec(DI) = 1/4 vec(DC) et vect(CJ) = 1/4 vect(CB).

Démontrer que la droite (HI) est parallèle au plan (EGJ).

 

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Cinq solutions

geometrie dans l'espace - droite parallele a un plan - preuve 4.a. Méthode intuitive

Pour s'en convaincre avec GéoSpace :

faire tourner la figure avec les touches CTRL + flèche droite jusqu'à ce que le plan (EGJ) soit vu parallèlement à l'axe de vision de l'observateur.

On constate que (HI) est bien parallèle à la trace de ce plan.

 

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4.b. Méthodes géométriques et règle d'incidence

geometrie dans l'espace - droite parallele a un plan - preuve par incidence

La parallèle à (HI) passant par G coupe (CD) en K. CK = CJ.
Le triangle rectangle isocèle CJK a deux côtés parallèles à ceux du triangle HEG, donc de même pour les troisièmes côtés on a (JK) // (EG), d'où (JK) est une droite du plan (EGJ). (HI) parallèle à la droite (GK) du plan (EGJ) est parallèle à ce plan.

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geometrie dans l'espace - droite parallele a un plan - preuve par incidence

Avec le point L de [AB] tel que AL = AB/4, on peut faire une démonstration analogue plus difficile :
  – en montrant que la droite (HI) est parallèle à la droite (EL)
  – en utilisant le triangle rectangle isocèle BLJ égal aux trois quarts du triangle FEG,
  – avec le parallélisme des bases, on vérifie que EGJL est un trapèze contenu dans le plan (EGJ).

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4.c. Méthode vectorielle

Utilisons comme dans la première méthode le point K tel que vect(CK) = vec(DI) = 1/4 vec(DC).

vect(HI) = vect(HD) + vec(DI) = vect(GK) = vect(GC) + vect(CK).

Faire une introduction symbolique de vect(CJ) pour trouver vect(CJ) puis vec(JK) = −1/4 vect(CA) :

vect(HI) = vect(GC) + (vect(CJ) - vect(CJ)) + vect(CK) = vect(GC) + vect(CJ) - 1/4 vect(CB) + 1/4 vect(DC)

vect(HI) = vect(GJ) - 1/4 (vect(CB) + vect(CD)) = vect(GJ) - 1/4 vect(CA) = vect(CJ) - 1/4 vect(GE)

vect(HI) est parallèle au plan comme combinaison linéaire de deux vecteurs de ce plan ; la droite (HI) est bien parallèle au plan (EGJ).

4.d. Méthode analytique

Dans le repère (G, vect(GE), vect(GJ)) soit le point P de coordonnées (1/4, 0).

Le vecteur vect(PJ) a pour coordonnées (- 1/4, 1) ; il est donc égal au vecteur vect(GK) donc à vect(HI). On a donc vect(HI) = −1/4 vect(GE) + vect(GJ) et on conclut comme ci-dessus.

5.a. Cube et droites parallèles

geometrie dans l'espace - paralleles dans un cube - copyright Patrice Debart 2004

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].

La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

 

Les points I et J sont placés sur les segments [EF] et [FG] de telle façon que EI = JG.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont encore parallèles.

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GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cube et droites parallèles

 

Remarque : le triangle BIJ est la section plane du cube par le plan (BIJ).

5.b. Droite parallèle à un plan, dans un cube

geometrie dans l'espace - paralleles dans un cube - copyright Patrice Debart 2004

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].

Montrer que le quadrilatère AIGK est un parallélogramme.

Montrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HIJ) :

Démontrer que le vecteur vect(IG) est combinaison linéaire de vect(IJ) et vect(IH), puis avec le parallélogramme, montrer que la droite (AK) est parallèle à (IG), qui est incluse dans le plan (HIJ).

 

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Voir : activités

6. Section de cube et patrons

Coupe d'un cube par un plan

Un point I est placé sur l'arête [AB] d'un cube ABCDEFGH. Par exemple tel que AI = 3/4 AB.
Sur les arêtes parallèles [DC] et [EF], on place les points J et K tels DJ = EK = 1/3 AI.

Il s'agit de construire, en papier Canson, les deux morceaux du cube découpé par le plan (IJK).

6.a. Tracé de la section plane en perspective

Comment construire une section d'un cube par un plan

geometrie dans l'espace - figure en perspective d'un cube - copyright Patrice Debart 2009

Calcul de la position du point M. (Mise en équation utilisant le théorème de Thalès : MD = 1/2 AD), puis des points L, P et N.

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_cube2.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pentagone comme section du cube

6.b. Dessin en vraie grandeur de la section plane

Technique GéoSpace : touche F pour obtenir une vue de face du plan (IJK).

geometrie dans l'espace - section plane du cube - copyright Patrice Debart 2009

Vérifier que N et P partagent [ML] en trois segments de longueur égale.

Tracer le pentagone IJPNK. Vérifier que deux paires de côtés sont parallèles et que (NP) est parallèle à la diagonale (KJ).

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6.c. Les deux parties du cube

geometrie dans l'espace - partie de cube - copyright Patrice Debart 2009

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geometrie dans l'espace - partie de cube - copyright Patrice Debart 2009

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6.d. Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre (menu « Créer>Solides>Patron d'un polyèdre »)

Le polyèdre s1 est nommé FKNHGPBIJC afin que les trois premières lettres désignent la face FKNHG comme face principale du premier patron.
Le polyèdre s2 est nommé IJPNKADE afin que les trois premières lettres désignent la face IJPNK comme face principale du deuxième patron.

Pour ouvrir ces patrons par étapes, il suffit de piloter au clavier la variable m, coefficient d'ouverture des patrons.

6.e. Les patrons de chacune des parties

geometrie dans l'espace - patron d'une partie de cube - copyright Patrice Debart 2009

Commandes GéoSpace
touche P : effacer/afficher le patron de la première partie du cube,
touche C : afficher/effacer le cube

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geometrie dans l'espace - patron d'une partie de cube - copyright Patrice Debart 2009

Commandes GéoSpace
touche P : effacer/afficher le patron de la deuxième partie du cube,
touche C : afficher/effacer le cube

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_cube_patron2.g3w

7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière

Faire un losange à partir d'un cube.

ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [BF]
et J est le milieu de [DH].

geometrie dans l'espace - section du cube en forme de losange - copyright Patrice Debart 2009

Les côtés du quadrilatère AIGJ sont de même longueur.
C'est un losange.

Le dessin suggère que les angles sont droits ?

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geometrie dans l'espace - section de face d'un cube - copyright Patrice Debart 2009

Avec une vue de face du plan (IAJ), GéoSpace montre
que le losange AIGJ n'est pas un carré.

Les fervents du calcul peuvent démontrer que les diagonales du losange sont inégales : IJ = AC < AG.

8. Section plane d'un cube par un plan passant par trois des sommets du cube

Cube fortement tronqué

Section plane du cube

Dans le cube ABCDEFGH, la section plane déterminée par les trois sommets des côtés d'extrémité F, autres que F, est un triangle équilatéral BEG, formé par trois diagonales de faces du cube.

« Cube » moins « coin de cube »

Le polyèdre formé par le cube, auquel on enlève le coin de cube BEGF, est le « cube fortement tronqué » ABCDEGH.

geometrie dans l'espace - section plane du cube - copyright Patrice Debart 2009

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GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube dans un cube en fil de fer - On y trouve les trois variantes : triangle équilatéral formé par trois diagonales de faces concourantes du cube
  – cube moins coin de cube
  – cube fortement tronqué

Sol LeWitt

Arts conceptuels

cube - Sol LeWitt - copyright Patrice Debart 2009

Wall drawings

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cube fortement tronqué - Sol LeWitt

Tétraèdre inscrit dans un cube

Tétraèdre régulier BDEG inscrit dans le cube ABCDEFGH.

Les côtés du tétraèdre sont des diagonales de faces du cube.

geometrie dans l'espace - tetraedre inscrit dans un cube - copyright Patrice Debart 2009

Le tétraèdre régulier a un volume égal au tiers de celui du cube. Il est bordé de quatre coins de cube qui ont donc un volume égal au sixième de celui du cube.

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GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre inscrit dans un cube

 

Table de matières

1. Longueur d'une diagonale d'un cube
2. Coin d'un cube
3. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube
4. Droite parallèle à un plan, dans un cube
5.Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube
6. Section de cube et patrons
7. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
8. Section plane d'un cube par un plan passant par trois des sommets

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