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Géométrie dans l'espace dans l'ancienne 1S
Sections planes d'un cube

Intersection d'un plan avec les faces du cube

Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.

Avec GéoSpace, lorsque l'on s'intéresse uniquement au résultat, il est possible de créer facilement ces sections avec le menu :
Ligne>Polygone convexe>Section d'un polyèdre par un plan.
Dans ce cas, les sommets ne sont pas nommés, donc non réutilisables.

1. Sections d'un cube par un plan déterminé par les points d'intersection avec les arêtes

2. Constructions de sections par des plans variables

« L'utilisation de l'informatique permet une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »

3. Variation de la section par un plan perpendiculaire à une diagonale

Trouver l'intersection d'un cube ABCDEFGH avec le plan parallèle à (BDE) passant par un point M variable sur la diagonale (EG) du carré EFGH.

Lorsque le point M se déplace, il défile une succession de triangles, hexagones puis triangles.

En orientant différemment le plan sécant, on peut obtenir le défilement d'une succession de polygones : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, pentagone, quadrilatère, triangle.
Les métamorphoses d'un type au type suivant ayant lieu lorsqu'un sommet du cube traverse le plan variable.

Voir : GéoSpace en 3^e : sections planes d'un cube
Étude du plan BDE : produit scalaire

 Télécharger la figure GéoSpace section.g3w

4. Section déterminée par trois points I, J et K sur les arêtes (concourantes en F) d'un cube.

Trouver l'intersection du plan (IJK) avec les six faces du cube.
Sur chacune des droites d'intersection, on trouvera les quatre points d'intersection avec les côtés du carré.

Tracez les segments [IJ], [JK] et [IK] sur les faces du cube.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (ABC).

Tracez le point P intersection de (IK) et (AB) et le point Q intersection de (JK) et (BC), puis la droite (PQ), intersection de (IJK) avec le plan (ABC). La droite (PQ) coupe (DA) en R et (DC) en S. Les droites (PQ) et (IJ) sont parallèles.

Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH).

Prolongez (IJ) jusqu'à son intersection L avec la droite (HG).
Ce point L est situé dans le plan (CDH). La droite (LS) est l'intersection de (IJK) avec le plan (CDH).
Cette droite (LS) est parallèle à (IK). Elle coupe (DH) en V et (CG) en T. T est aligné avec J, K et Q.

La droite (LR) est, l'intersection de (IJK) avec le plan (ADE).

Cette droite coupe le côté (HE) en M situé sur (IJ) et coupe le côté (AE) en U situé sur (IK). Les droites (LR) et (JK) sont parallèles.

 Télécharger la figure GéoSpace cub1_tp3.g3w

5. Section déterminée par trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(les trois arêtes ne sont pas concourantes.)

– Tracer la section plane

– Trouver l'intersection de (IJK) avec le plan (EFG).

Indications

– Tracer le point N, intersection de (IJ) avec (CB), puis le point P intersection de (IJ) avec (CD).

La droite (KN) coupe le côté [BF] en L et la droite (KP) coupe le côté [DH] en M.

IJLKM est la section du cube par le plan (IJK).

– Construire le point Q intersection de (KP) avec (GH), puis le point R intersection de (KN) avec (FG).
    L'intersection de (IJK) avec le plan (EFG) est la droite (QR). Cette droite est parallèle à (IJ).

 Télécharger la figure GéoSpace cub2_tp3.g3w

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6. Section déterminée par trois points I, J et K sur 3 arêtes d'un cube

(aucune des trois arêtes ne sont concourantes.)

Trouver la section du plan (IJK) sur le cube.

Exercice assez difficile : il faut utiliser un plan auxiliaire (ICG) pour trouver le point N aligné avec I et K, situé dans le plan de base (EFG) du cube, puis terminer la construction comme pour l'exercice précédent.

Indications

Trouver l'intersection de la droite (IK) avec le plan horizontal (EFG). GéoSpace trouve facilement ce point. Pour une construction géométrique dans le plan auxiliaire vertical (ICG), tracer la parallèle (I’G) à (IC) passant par G. Le point N est à l'intersection de cette parallèle avec (IK).

Trouver ensuite le point d'intersection L de la droite (NJ) avec l'arête (FG) du cube, puis les points M et R avec les prolongements des faces latérales puis terminer comme ci-dessus en trouvant le point P intersection de (MI) et de (AE), puis le point Q sur (RK) et (CD).

La section plane IPJLKQ est un hexagone ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux.

 Télécharger la figure GéoSpace cub4_tp3.g3w

7. Section déterminée par deux points I, J sur 2 arêtes et un point K sur une des faces d'un cube

Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces du cube.

Trouvez la droite d'intersection du plan vertical contenant J et K avec la face ABCD.

Pour cela tracer les projections J’ et K’ des points J et K sur le plan horizontal.

Les droites (JK) et (J’K’) se coupent en N.

Tracer les points d'intersection de (IN) avec (BC) et (AD), et terminer la section plane.

 Télécharger la figure GéoSpace cub5_tp3.g3w

8. Section déterminée par trois points I, J et K sur 3 faces d'un cube

(ayant un point commun F.)
Trouver les intersections du plan (IJK) avec les faces (BEF), (BFG) et (EFG) du cube.

Indications

Trouvez la droite d'intersection (LN) du plan (BIJ) avec la face EFGH.

Les deux droites (LN) et (IJ) se coupant en N, point des plans (IJK) et (EFG), montrez que la droite (KN) est l'intersection de ces deux plans. Déduisez-en que sur la droite d'intersection (KN), le point P de l'arête [EF] et le point Q de l'arête [FG] sont deux points du plan (IJK).

Tracez le troisième point R sur l'arête [BE], en prolongeant les droites (PI) et (QJ).

Les droites (PR) et (RQ) sont les intersections de (BEF) et (EFG) avec le plan (IJK).

 Télécharger la figure GéoSpace cub3_tp3.g3w

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9. Problème de Bergson

I, J, K, L, M, N sont les milieux des arêtes du cube de centre O (cf. figure).
Quelle est la nature de l'hexagone IJKLMN ?

Donné au concours général de 1896 où Bergson eut le premier prix.
(d'après Bernard Destainville - Enseigner la géométrie dans l'espace - brochure APMEP n^o 99).

Il est facile de démontrer que les six segments sont égaux (à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube) et parallèle deux à deux :
par exemple (IJ) // (AC) // (EG) // (LM).

a. En géométrie dans l'espace il faut montrer que les six points sont coplanaires : ils sont dans le plan (P) passant par O parallèle au plan (ACH).
Dans le rectangle ABGH, [IL] a pour milieu O est parallèle à [AH] donc [IL] est contenu dans le plan (P). Même démonstration pour [JM] et [KN]. IJKLMN est donc contenu dans le plan (P) : c'est un hexagone régulier.

b. Une autre démonstration utilise le plan médiateur de [DF] comme plan (P) :
IF = ID comme hypoténuses de triangles rectangles ayant pour petits côtés un côté du cube et l'autre égal au demi-côté du cube. I est donc dans (P). De même pour J, K…

IJKLMN contenu dans le plan (P) est un hexagone régulier.

 Télécharger la figure GéoSpace cub_berg.g3w

c. Calcul vectoriel et analytique

ÉduSCOL – Terminale S – Banque de sujets 2007 – D'après le sujet 019 (enseignement obligatoire)

Soit ABCDEFGH un cube. On choisit le repère orthonormal (D ; , , ) avec = , = et = .
On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CG], [GH], [HE] et [EA].

Déterminer les coordonnées des points I, K, M.

Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires, dans un plan que l'on notera (P) (on donnera une équation du plan (P) dans le repère choisi).
Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (P).

Montrer que les projetés orthogonaux des points I, J, K, L, M et N sur la droite (DF) sont confondus en un même point. On appellera O ce point.
Déterminer la position du point O sur le segment [DF].

Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont on précisera le centre et le rayon et montrer que tous ses côtés ont même longueur.

On considère la pyramide ayant pour base cet hexagone et pour sommet le point F.
Quelle fraction du volume du cube représente le volume de cette pyramide ?

Indications

Les coordonnées des milieux sont I(1, , 0) ; K(0, 1, ) et M(, 0, 1).
Une équation du plan (P) est x + y + z = , ce plan est orthogonal au vecteur de coordonnées (1, 1, 1) : le vecteur .
L'hexagone régulier est situé sur un cercle de centre O, milieu de [DF], de rayon . La longueur des côtés est aussi .

L'aire de l'hexagone formé de six triangles équilatéraux de côtés est S_base = 6 × .
La hauteur de la pyramide est OF = .
Le volume de la pyramide V est = × S_base × hauteur = × (6 × ) × = .

Télécharger la figure GéoSpace pyr_berg.g3w

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Sommaire 1. Sections planes d'un cube 2. Constructions de sections par des plans variables 3. Variation de la section par un plan variable 4. Trois points sur des arêtes concourantes 5. Trois points sur des arêtes non concourantes 6. Trois points sur des arêtes disjointes 7. Deux points sur 2 arêtes et un troisième sur une face 8. Trois points sur 3 faces d'un cube 9. Problème de Bergson			Tétraèdre Sections planes d'un tétraèdre Téléchargement  Télécharger espace_1s.doc : ce document au format « .doc » (353 Ko) Télécharger espace_1s.pdf : ce document au format « .pdf » d'Adobe Acrobat(468 Ko)
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