René DescartesDescartes et les Mathématiques

L'espace en cinquième

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Géométrie avec GéoSpace : prisme droit - Patron du prisme - Cylindre.

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire

      Patron d'un prisme

2. Prisme dont la base est un parallélogramme

3. Cylindre

      Patron de cylindre

4. Une maison avec GéoSpace

5. Cube tronqué

Prisme - Définition

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

1. Prisme de base triangulaire

1.a. Prisme droit ayant pour base un triangle

Prisme vertical

Géométrie dans l'espace - prisme de base triangulaire - copyright Patrice Debart 2006

ABC et DEF sont les bases du prisme droit ABCDEF.

Les faces latérales ABED, BCFE et CADF sont des rectangles.

Les arêtes [AD], [BE] et [CF] sont perpendiculaires aux plans des bases. Leur longueur est la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : prisme vertical de base triangulaire

Volume du prisme droit

Volume = Aire de la base × hauteur
      = B × h
      = Aire(ABC) × AD.

Aire de la base triangulaire

Aire(ABC) = 1/2 base × hauteur

Aire(ABC) = 1/2 AB × CH.

Calcul du volume du prisme

Volume(ABCDEF) = 1/2 AB × CH × AD.

Prisme horizontal

géométrie dans l'espace - prisme de base triangulaire - copyright Patrice Debart 2006

Base, hauteur

Il est difficile, pour les élèves, d'identifier base et hauteur, notions que l'on trouve aussi bien dans le prisme, que dans le triangle.

Dans le sens commun, comme dans la figure de gauche, la base ABC du prisme est horizontale et la hauteur [AD] est verticale.

En géométrie, ces objets sont indépendants de leur position. Par exemple, dans la figure ci-dessus la base ABC du prisme est verticale et la hauteur [AD] est horizontale.

Pour le calcul de l'aire du triangle ABC, dans la figure de gauche la hauteur [CH] est horizontale, on retrouve le langage courant, dans la figure ci-dessus, avec la base [AB] horizontale et la hauteur [CH] verticale.

Aire latérale

L'aire latérale d'un prisme droit est égale au périmètre de la base, multiplié par la hauteur :
(AB + BC + CA) × AD

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : prisme horizontal de base triangulaire

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron de prisme horizontal de base triangulaire

1.b. Technique GéoSpace – Patron d'un prisme

Pour un prisme, commencer par les sommets d'une face latérale pour obtenir un patron habituel. Le prisme ABCDEF de base triangulaire ABC sera nommé ABEDCF en commençant par la face ABED, noms des sommets écrits dans cet ordre.

Choisir l'option « Créer>Solides> Patron d'un polyèdre ».
Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le prisme.
Pour ouvrir ce patron par étapes, il suffit de piloter au clavier le coefficient d'ouverture.

géométrie dans l'espace - patron de prisme - copyright Patrice Debart 2006
géométrie dans l'espace - patron de prisme - copyright Patrice Debart 2006

Patron de prisme droit, de base un triangle

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron de prisme de base triangulaire

Voir aussi : prisme droit de base un trapèze

2. Prisme dont la base est un parallélogramme - Prisme de base rectangulaire

(Extrait de GéoSpace en 6e)

géométrie dans l'espace - parallélépipède rectangle - copyright Patrice Debart 2006

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

À l'école, le terme parallélépipède rectangle n'est pas exigible au cycle 2, on lui préférera celui de pavé droit.

Commandes GéoSpace

Faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper sur la touche A pour modifier la longueur a,
sur B pour modifier la largeur b
et sur H pour modifier la hauteur h.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

g3w Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede.g3w,
Cas particulier, côtés de longueur égale : télécharger la figure GéoSpace de base : cube.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pavé droit

Calcul du volume du parallélépipède rectangle

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Patron du prisme droit, dont la base est un parallélogramme - voir : GéoSpace en 6e

3. Cylindre

géométrie dans l'espace - cylindre - copyright Patrice Debart 2006

Pour ce cylindre, les bases sont deux cercles de centres A et B et rayon r.
L'axe (AB) du cylindre est perpendiculaire aux plans des cercles de base.

Volume du cylindre

Pour un cercle de base de rayon r, l'aire de la base est πr2 ;
la longueur h de la hauteur [AB] est égale à la distance entre les deux bases.

Volume = aire de la base × hauteur
Volume = πr2 × AB = πr2h.

Aire latérale

L'aire latérale d'un cylindre de révolution est égale au périmètre de la base multiplié par la hauteur :

r × AB = 2πrh.

 

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cylindre de révolution

Patron de cylindre

Avec GéoSpace, il n'est pas possible de créer un patron de cylindre.
Par contre, on peut créer un polyèdre qui l'approxime et en faire le patron.

Pour cela, placer deux points A et B de l'axe et un point A0 de la base du cylindre. Créer le translaté B0 de A0 puis deux images A1 et B1 par la rotation d'axe (AB), d'angle 2π/nn est le nombre de points à placer sur le cercle (ici n = 20).

n = 20
t = 2pi/n
A0 point de coordonnées (r,0,-h/2) dans le repère Rxyz
B0 image de A0 par la translation de vecteur vec(A,B)
A1 image de A0 par la rotation d'axe (AB) et d'angle t (radian)
B1 image de B0 par la rotation d'axe (AB) et d'angle t (radian)
Geospace - menu creation iterative

Les autres points des cercles de base s'obtiennent facilement par création itérative en appuyant 18 fois sur la touche S.

On obtient le polyèdre suivant :

géométrie dans l'espace - polyèdre approximation d'un cylindre - copyright Patrice Debart 2006

g3w Télécharger la figure GéoSpace patron_cylindre.g3w

Avec la touche F7 placer le plan yOz de face.
Le patron est pilotable au clavier : appuyez sur les flèches de déplacement pour l'ouvrir en faisant varier le coefficient d'ouverture m de 0 vers 1.

géométrie dans l'espace - patron cylindre - copyright Patrice Debart 2006

4. Solide composite : une maison avec GéoSpace

géométrie dans l'espace - maison - copyright Patrice Debart 2006

Une maison de poupée a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
Calculer le volume de cette maison
.

La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm3.

Commandes GéoSpace

Faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper sur la touche A pour modifier la longueur a,
sur B pour modifier la largeur b,
sur C pour modifier la hauteur c du parallélépipède et
sur H pour modifier la Hauteur h de la maison.

Patron d'une maison en papier

géométrie dans l'espace - patron de maison - copyright Patrice Debart 2006

Pour le patron de la maison, taper sur M pour modifier le coefficient m et développer le polyèdre.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

Calcul du volume de la maison

Calculer le volume compris entre les murs et ajouter celui du toit :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Volume(ABCDEFGH) + Volume(EFGHIJ)

Volume du parallélépipède rectangle :
Volume(ABCDEFGH)
    = Aire(ABFE) × FG = AB × AE × FG = a × c × b.


Volume du prisme :
Volume(EFGHIJ) = Aire(FEI) × FG
    = 1/2 FE × (h-c) × FG = 1/2a × (h-c) × b.

Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFE) × FG + Aire(FEI) × FG
    = [ Aire(ABFE) + Aire(FEI) ] × FG.

Volume(ABCDEFGHIJ) = a × c × b + 1/2 a × (h-c) × b = a × [ c + 1/2(h-c)] × b =1/2 a × (h+c) × b.

Effectivement, la maison est un prisme de base pentagonale ABFIE
et avec Aire(ABFE) + Aire(FEI) = Aire(ABFIE) on retrouve :
Volume(ABCDEFGHIJ) = Aire(ABFIE) × FG = Aire de la base × hauteur.

g3w Télécharger les figures GéoSpace maison.g3w,   maison_patron.g3w

5. Cube tronqué

Cube au « coin coupé »

Polyèdre à 7 faces

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes par un plan perpendiculaire à une diagonale du cube.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube au coin coupé,   cube au coin coupé opaque

géométrie dans l'espace - cube tronqué - copyright Patrice Debart 2006

Voir : « coin de cube » ; « cube fortement tronqué » lorsque les côtés du « coin » sont trois des diagonales de faces concourantes du cube.

Voir aussi les arts conceptuels de Sol LeWitt : wall drawings

Cube aux huit « coins coupés »

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins » d'un cube.

Les côtés des triangles sont de longueur inférieure à la moitié de la longueur d'une diagonale d'une face du cube.

géométrie dans l'espace - cube tronqué aux huit coins coupés - copyright Patrice Debart 2006

Il possède 6 faces octogonales, 8 faces triangulaires (triangles équilatéraux), 24 sommets et 36 arêtes.

Ce solide est un cube tronqué ou hexaèdre tronqué lorsque les faces octogonales sont régulières.

Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

Solide d'Archimède (287-212 avant J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.


Icône GeoGebra Ces figures avec
GeoGebra 3D

Icône GeoGebra Parallélépipède rectangle en 6e

Icône GeoGebra GeoGebra en 4e
Pyramide

Icône GeoGebra Sections planes :
cube, pyramide en 3e

Icône GéoSpaceavec
GéoSpace

Icône GeoGebra GeoGebra
Polyèdres

g2w Problèmes de construction dans le plan

cabri Cabri-géomètre
TP en sixième

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modifiée le 23/4/2010