René DescartesDescartes et les Mathématiques

L'espace en quatrième avec GéoSpace

Pyramide : volume, patron - partition d'un cube en trois ou six pyramides.

La géométrie dans l'espace en quatrième

1. Coin de cube
2. 3 pyramides dans un cube
3. 6 pyramides dans un cube
4. Pyramide équilatérale de base carrée
5. Patrons de pyramides
6. Patron d'un cône

Pyramide

Sections planes de pyramide (troisième)
Pyramide octogonale
Intersection de plans dans une pyramide (seconde)

Icône GeoGebra Les figures de cette page avec
GeoGebra 3D

Icône GéoSpace GéoSpace en 6e
Parallélépipède rectangle

Icône GéoSpace GéoSpace en 5e
Prisme, cylindre

Icône GéoSpace GéoSpace en 3e
Sections planes : cube, pyramide

Icône GéoSpaceavec
GéoSpace

Pyramide : le cours

Une pyramide est un solide composé :
  • d'une base polygonale,
  • de faces latérales triangulaires, ayant un sommet commun, le sommet de la pyramide.

La pyramide est régulière si la base est un polygone régulier et si la hauteur, perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, a son pied au centre du polygone de base.

Au collège, les pyramides étudiées auront une base rectangulaire, souvent carrée, ou bien une base triangulaire ; dans ce dernier cas, le solide est nommé tétraèdre.

Le volume d'une pyramide (d'un tétraèdre ou d'un cône de révolution) est donné par la formule :

aire de la base × hauteur


3

Démocrite (460-370 avant J.-C.) fut le premier à formuler l'énoncé et Eudoxe (IVe siècle) le premier à en trouver la démonstration.

g3w Télécharger la figure GéoSpace pyramide.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée

Voir : tronc de pyramide

1. Coin de cube

On appelle « coin de cube » le tétraèdre trirectangle BEGF formé par trois arêtes d'un cube concourantes en un sommet F, et des diagonales des faces du cube qui joignent les autres extrémités de ces arêtes.

geometrie dans l'espace - triangle equilateral comme section de cube - copyright Patrice Debart 2005

« Figure fil de fer ».

geometrie dans l'espace - coin de cube dans un cube - copyright Patrice Debart 2005

En bleu : « coin de cube ».

geometrie dans l'espace - cube fortement tronque - copyright Patrice Debart 2005

« Cube fortement tronqué ».

En classe de quatrième, savoir visualiser le « coin de cube » à partir de la « figure fil de fer » de gauche et se représenter à droite le « cube fortement tronqué », cube auquel on a enlevé un coin de cube.

g3w Télécharger la figure GéoSpace coin_cube.g3w, la figure GéoSpace cube_tronque.g3w, la figure GéoSpace de base : cube.g3w
GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : coin de cube, Triangle équilatéral formé par trois diagonales du cube - Cube moins coin de cube - cube fortement tronqué

Voir aussi : « cube tronqué » aux huit sommets.

2. Trois pyramides inscrites dans un cube

Visualiser la partition d'un cube en 3 pyramides à bases carrées, au total ayant le même volume que le cube.

Pour cela, on va partir du cube initial ABCDEFGH, définir les trois pyramides de même sommet E et de bases respectives les trois faces ABCD ; BCGF et HDCG du cube.

geometrie dans l'espace - pyramide inscrite sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2005 geometrie dans l'espace - pyramide inscrite sur la cote d'un cube - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - pyramide inscrite sur la cote d'un cube - copyright Patrice Debart 2005 geometrie dans l'espace - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2005

On vérifie que le volume de chaque pyramide est bien V = 1/3 × a3 = 1/3 × a2 × a = 1/3 × Sbase × hauteur.

g3w Télécharger la figure GéoSpace trois_pyra.g3w
GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : trois pyramides inscrites dans un cube

3. Six pyramides dans un cube

Dans un cube de centre I, visualiser la partition 6 pyramides régulières de bases carrées les faces carrés, de sommet I.
Les six pyramides ont le même volume.

geometrie dans l'espace - pyramide sur la base d'un cube - copyright Patrice Debart 2005 geometrie dans l'espace - pyramide sur le cote d'un cube - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - pyramide sur le cote d'un cube - copyright Patrice Debart 2005 geometrie dans l'espace - 3 pyramides dans un cube - copyright Patrice Debart 2005

Par symétrie on peut compléter ces trois pyramides pour obtenir une partition du cube en six pyramides de même volume.
On retrouve encore le volume de la pyramide V = 1/6 × a3 = 1/3 × a2 × 1/2 a = 1/3 × Sbase × hauteur.

g3w Télécharger la figure GéoSpace six_pyra.g3w
GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : six pyramides inscrites dans un cube

4. Pyramide équilatérale de base carrée

Dessiner une pyramide à base carrée.

geometrie dans l'espace - pyramide equilaterale de base carre - copyright Patrice Debart 2005

SABCD est une pyramide régulière de face carrée ABCD.
Les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.

Quel est l'angle des arêtes (SA) et (SC) ?

Construction avec GéoSpace

Construire un carré de côté a. Ses diagonales [AC] et [BD] se coupent en H. La hauteur (d) est la droite issue de H, perpendiculaire au plan ABC. S est un des points d'intersection de la hauteur (d) et de la sphère de centre A et de rayon a.

CHS est un triangle rectangle isocèle d'hypoténuse a : la hauteur SH est alors égale à arac(2)/2.

Plan diagonal

geometrie dans l'espace - pyramide equilaterale - copyright Patrice Debart 2005

Une vue de face du triangle ACS dans le plan diagonal (touche F avec GéoSpace) permet de conjecturer que l'angle ASC est droit.

En effet, si a est la longueur d'une des arêtes de la pyramide, on remarque que ABC est un triangle rectangle isocèle de petits côtés a et d'hypoténuse AC.

Le triangle ASB a deux côtés de longueur a et un troisième côté AC.
Il est isométrique à ABC : ASB est rectangle en S.

g3w Télécharger le fichier GéoSpace pyramyde_equi.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée - plan diagonal
      Cocher la case triangle rectangle isocèle.

5. Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre

Les trois premiers sommets appartenant à une même face du polyèdre définissent la face principale du patron et le plan dans lequel sera situé le patron lorsqu'il sera complètement ouvert ; les autres faces s'articulent autour de cette face.

En pratique si le polyèdre est une pyramide ABCDS, donner (lors de la création) en premier la liste des sommets de la future base principale ABCD dans cet ordre.

Patron d'une pyramide de base carrée

geometrie dans l'espace - pliage du patron d'une pyramide de base carre - copyright Patrice Debart 2005

geometrie dans l'espace - patron d'une pyramide de base carre - copyright Patrice Debart 2005

g3w Télécharger les figures GéoSpace pyramyde.g3w et pyramide_patron.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron de pyramide de base carrée

Patron d'un tétraèdre ABCS

geometrie dans l'espace - pliage du patron de tetraedre - copyright Patrice Debart 2005

geometrie dans l'espace - patron de tetraedre - copyright Patrice Debart 2005

g3w Télécharger les fichiers GéoSpace tetraedre.g3w et tetra_patron.g3w
GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre de base un triangle équilatéral, patron d'un tétraèdre

Dans le menu « Créer>Solides », choisir l'option « Patron d'un polyèdre ». Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre, m dans mes exemples, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre.
Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter cette variable au clavier, en faisant varier m de 0 à 1.

6. Patron d'un cône

Avec GéoSpace, il n'est pas possible de créer un patron de cône.
La même méthode que celle du cylindre, vue en cinquième, permet de l'approximer.

On obtient le polyèdre suivant :

geometrie dans l'espace - approximation d'un cone - copyright Patrice Debart 2005

g3w Télécharger la figure GéoSpace cone_patron.g3w

Commandes GéoSpace
touche C : effacer/afficher le cône,
touche P : afficher/effacer le patron du cône.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cône de révolution

Avec la touche F7 placer le plan (yOz) de face.
La figure est pilotable au clavier : appuyez sur les flèches de déplacement pour ouvrir le patron en faisant varier le coefficient d'ouverture m de 0 vers 1.

geometrie dans l'espace - patron d'un cone - copyright Patrice Debart 2005

 

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Polyèdres

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Thalès

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Table de matières

1. Coin de cube
2. Trois pyramides dans un cube
3. Six pyramides dans un cube
4. Pyramide équilatérale de base carrée
5. Patrons de pyramides
6. Patron d'un cône

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