René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en seconde

GéoSpace au lycée : règle d'incidence, alignement, intersection, théorème des 3 perpendiculaires - Solides de Platon.

Sommaire

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
    Théorème du toit
    Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
    Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube
3. Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube
4. Traces d'un plan
5. Intersection de plans (dans une pyramide)
6. Section plane d'une pyramide
7. Intersection de deux plans

Cube en seconde

Coin de cube

Tétraèdre en seconde

Tétraèdre orthocentrique

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Sections planes de pyramide
Pyramide octogonale

Octaèdre régulier

Solides de Platon

    Dodécaèdre
    Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Avec GéoSpace

Sections de cube en 3e

Section plane
d'un cube

Section plane
d'un tétraèdre

GéoSpace
Activités en 1ère S

Faire de la géométrie en seconde

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions

1.a. Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.

Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.

1.b. Théorème de la porte

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.

Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p1) tourne alors normalement autour de (d).

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Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).

Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre.

geometrie dans l'espace - theoreme de la porte

1.c. Théorème du toit

geometrie dans l'espace - theoreme du toit

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Si on a :
  • deux droites parallèles d1 et d2,
  • un plan P1 contenant d1,
  • un plan P2 contenant d2,
alors la droite d d'intersection des deux plans P1 et P2 est parallèle aux droites d1 et d2.

La droite d, si elle existe, est parallèle au plan P contenant les droites parallèles d1 et d2.

Voir : intersection de plans

WikiPédia Wikipédia : théorème du toit

Prisme droit de base un trapèze

Diagonales des faces non parallèles

ABCDEFGH est un prisme droit de base le trapèze ABEF,
avec (AB)//(EF) et EF < AB.

Que peut-on dire des diagonales (DE) et (CF) des faces ADHE et BCGF non parallèles ?

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Commande GéoSpace

Taper D pour afficher l'intersection des diagonales et la solution.

Illustration du théorème du toit

CDHG est un trapèze, avec (CD)//(GH),
EFGH est un rectangle, donc (GH)//(FE),
d'où (CD)//(FE), CDEF est un trapèze.
La droite (EF) est contenue dans le plan (CDE).
Les droites (DE) et (CF) sont coplanaires et donc concourantes en K.

Soit I et J les points d'intersection des côtés non parallèles des trapèzes.
Les plans (ADHE) et (BCGF) ont pour intersection la droite (IJ).
D'après le théorème du toit, (IJ) est parallèle à (AD) et (BC).

Le point K, contenu dans ces deux plans, est situé sur (IJ).

1.d. Théorème des trois perpendiculaires

geometrie dans l'espace - 3 perpendiculaires

Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.

Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Indication

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

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2. Règle d'incidence

2.a. Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

geometrie dans l'espace - regle d'incidenceA, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés.

En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).

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2.b. Montrer un alignement

geometrie dans l'espace - prouver un alignement

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Exercice

Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d1), (d2), (d3) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A1 et B1 sur (d1) ; A2 et B2 sur (d2) ; A3 et B3 sur (d3).
Les droites (A1A2) et (B1B2) se coupent en I, (A2A3) et (B2B3) en J et (A1A3) et (B1B3) en K

Que peut-on dire des points I, J et K ?

Étudier les situations de parallélisme : (A1A2) // (B1B2) par exemple.

Indication

Considérer l'intersection des plans (A1A2A3) et (B1B2B3).

2.c. Point fixe

lieu geometrique dans l'espace - point fixe

A, B, P et P’ sont trois points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.

Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.

Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), perpendiculaire au plan (p), passant par P’, au point M’.

Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.

Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.

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2.d. Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube

geometrie dans l'espace - intersection avec un cube

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Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).

Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec la face (EFGH).

Indication

Trouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d). Lorsqu'il existe le point M, intersection des droites (d) et (IJ), est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.

Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :

Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projection de J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p).
Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).

Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH),
sinon elles se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

3. Cube et droites parallèles

geometrie dans l'espace - paralleles dans un cube

3.a. Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].

La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

 

Les points I et J sont placés sur les segments [EF] et [FG] de telle façon que EI = JG.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont encore parallèles.

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Remarque : le triangle BIJ est la section plane du cube par le plan (BIJ).

3.b. Droite parallèle à un plan, dans un cube

geometrie dans l'espace - paralleles dans un cube

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].

Montrer que le quadrilatère AIGK est un parallélogramme.

Montrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HIJ) :

Démontrer que le vecteur vect(IG) est combinaison linéaire de vect(IJ) et vect(IH), puis avec le parallélogramme, montrer que la droite (AK) est parallèle à (IG), qui est incluse dans le plan (HIJ).

 

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Voir : activités

4. Traces d'un plan

geometrie dans l'espace - plan en perspective

Tracer un plan en perspective

Comment faire un plan avec GéoSpace

Pour représenter un plan, placer trois points dans ce plan, compléter le parallélogramme formé par ces trois points et tracer trois des côtés qui représente des bords en perspective.

 

geometrie dans l'espace - plan en perspective

Trois plans sécants (p1), (p2) et (p3) se coupent en O.
La droite (d1) est l'intersection des plans (p2) et (p3),
(d2) est l'intersection des plans (p1) et (p3),
(d3) est l'intersection des plans (p1) et (p2).

Trois points distincts A, B et C sont dans les plans (p1), (p2) et (p3).

Trouver les traces du plan (ABC) sur chacun des trois plans.

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geometrie dans l'espace - plan en perspective

Si (BC) est parallèle au plan (p1), la trace dans (p1) est la parallèle à (BC) passant par A, sinon la droite (BC) coupe le plan (p1) en M et la trace sur (p1) est la droite (AM).

La droite (AM) coupe éventuellement (d3) en I et (d2) en J. Les traces sont alors les droites (IB) et (JC) ; en général la trace du plan (ABC) est le triangle IJK.

Dans les cas particuliers, utiliser des parallèles passant par des sommets du triangle ABC.

5. Intersection de plans (autour d'une pyramide)

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD, de côté AB = 4 cm, telle que le triangle ASC soit équilatéral.

5.a. Soit O le centre du carré ABCD. Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).
Étudier les triangles SAC et SBD en déduire que (SO) est la hauteur de la pyramide.

5.b. Calculer AC et OS.
Soit I le point de la hauteur OS équidistant de A et de S. Calculer SI.

geometrie dans l'espace - hauteur de pyramide

Indications : a = AB = 4 ; AC = AS = a rac(2) ; OS = a rac(6)/2
et SI = a rac(6) /3 (le point I est le centre de gravité du triangle SAC).

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5.c. Déterminer l'intersection des plans (SAB) et (SCD).

geometrie dans l'espace - intersection de plans dans une pyramide

D'après le théorème du toit, la droite (d), intersection des plans (SAB) et (SCD), est parallèle aux côtés (AB) et (CD).

g3w Télécharger la figure GéoSpace pyramide_inter_plan.g3w

6. Section plane d'une pyramide

SABCD est une pyramide de sommet S et de base le carré ABCD.
Les points I et J appartiennent aux arêtes [SA] et [SB].

Le point K appartient à l'arête [SC].
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJK).

geometrie dans l'espace - quadrilatere comme section plane d'une pyramide

Soit (d) la parallèle à (AB) passant par S.
Si (IJ) n'est pas parallèle à (AB), la droite (IJ) coupe (d) en P et (AB) en M.

Éventuellement, la droite (PK) coupe (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

g3w Télécharger la figure GéoSpace pyramide_section_plane.g3w

Le point Q appartient à la face SCD.
Étudier la section de la pyramide par le plan (IJQ).

geometrie dans l'espace - pentagone comme section plane d'une pyramide

Éventuellement, la droite (PQ) coupe (SC) en K, (SD) en L et (CD) en N.

Sur cette figure la section est le quadrilatère IJKL.

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7. Intersection de deux plans - Section plane d'un parallélépipède

geometrie dans l'espace - parallelepipede rectangleOuvrir la figure GéoSpace parall.g3w
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle de côtés de longueurs a, b et h.

Avec GéoSpace
  • Placer I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD],
  • Construire K un point du segment [EF] tel que EK = 1/4 EF,
  • Construire L un point du segment [GH] tel que HL = 1/4 GH,
  • Construire la droite (d), intersection des plans (IJK) et (ADE).

Un travail peut s'engager sur :

  • justifier l'appartenance du point L au plan (IJK),
  • justifier la construction,
  • conjecturer ou utiliser le théorème du toit pour démontrer que (IJ) // (AD) // (MN).

Variantes

I et K sont deux points variables sur les côtés [AB] et [EF].
J est le point d'intersection du côté [CD] et de la parallèle à (AD) passant par I.
L est le point d'intersection du côté [GH] et de la parallèle à (EH) passant par K.

Si I est le milieu de [AB], montrer que J est le milieu [CD].
Si l'abscisse de K sur la droite repérée (E, F) est 1/4, montrer que l'abscisse de L sur la droite repérée (H, G) est 1/4.

Voir : sections planes d'un parallélépipède rectangle. En modifiant les longueurs a, b et h des côtés avec a = b = h, tracer un cube et examiner la section du cube par un plan parallèle à une arête.

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geometrie dans l'espace - intersection de deux plans
geometrie dans l'espace - intersection de deux plans

Commandes GéoSpace
  Taper 0, 1 ou 2 pour effacer/afficher les droites de la section,
  taper P pour effacer/afficher les plans de la section.

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avec
GéoSpace

GéoSpace 2nde
Tétraèdre

GéoSpace 2nde
Coin de cube

GéoSpace
Pyramide octogonale

GéoSpace TS
Paraboloïde

Faire de la géométrie
en seconde

Table de matières

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
    Théorème du toit
    Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
    Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube
3. Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube
4. Traces d'un plan
5. Intersection de plans (dans une pyramide)
6. Section plane d'une pyramide
7. Intersection de deux plans

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