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Géométrie dans l'espace en seconde

GéoSpace au lycée : règle d'incidence, alignement, intersection, théorème des trois perpendiculaires - Solides de Platon.

Théorème du toit

Si on a :

  • deux droites parallèles d₁ et d₂,
  • un plan P₁ contenant d₁,
  • un plan P₂ contenant d₂,

alors la droite d d'intersection des deux plans P₁ et P₂ est parallèle aux droites d₁ et d₂.

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Voir : intersection de plans

Wikipédia : théorème du toit

Théorème des trois perpendiculaires

Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.

Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Indication

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

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1. Règle d'incidence

Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés.

En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).

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Montrer un alignement

Exercice

Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d₁), (d₂), (d₃) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A₁ et B₁ sur (d₁) ; A₂ et B₂ sur (d₂) ; A₃ et B₃ sur (d₃).
Les droites (A₁A₂) et (B₁B₂) se coupent en I, (A₂A₃) et (B₂B₃) en J et (A₁A₃) et (B₁B₃) en K

Que peut-on dire des points I, J et K ?

Étudier les situations de parallélisme : (A₁A₂) // (B₁B₂) par exemple.

Indication

Considérer les plans (A₁A₂A₃) et (B₁B₂B₃).

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Intersection d'une droite et d'un plan

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I et J sont deux points des faces (ABFE) et (BCGF).

Trouver le point d'intersection (éventuel) de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

Indication

Trouver un plan (p) contenant la droite (IJ). Si ce plan n'est pas horizontal, il coupe le plan (EFG) selon une droite (d). Lorsqu'il existe le point M intersection des droites (d) et (IJ) est le point où la droite (IJ) rencontre le plan de la face supérieure du cube.

Par exemple, trouver un plan vertical contenant (IJ) :

Soit I’ la projection orthogonale de I sur la droite (EF) et J’ la projection de J sur (FG). (II’) et (JJ’) sont deux droites parallèles, les points I, J, I’ et J’ sont coplanaires dans un plan (p). Les plans (p) et (IJ) se coupent selon la droite (I’J’).

Si les droites (IJ) et (I’J’) sont parallèles, la droite (IJ) est parallèle à la face (EFGH), sinon les droites se coupent en M qui est le point d'intersection de la droite (IJ) avec le plan (EFG).

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Point fixe

A, B, P et P’ sont trois points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.

Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.

Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), passant par P’ perpendiculaire au plan (p), au point M’.

Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.

Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.

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2. Droites parallèles

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre, I est le milieu de [EF] et J le milieu de [FG].

La droite (BI) coupe (AE) en M et la droite (BJ) coupe (CG) en N.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont parallèles.

Les points I et J sont placés sur les segments [EF] et [FG] de telle façon que EI = JG.

Montrer que les droites (IJ) et (MN) sont encore parallèles.

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Droite parallèle à un plan

Dans le cube ABCDEFGH ci-contre I, J et K sont les milieux respectifs de [AD], [BC] et [FG].

Montrer que le quadrilatère AIGK est un parallélogramme.

Montrer que la droite (AK) est parallèle au plan (HIJ) :

Démontrer que le vecteur est combinaison linéaire de et , puis avec le parallélogramme, montrer que la droite (AK) est parallèle à (IG) qui est incluse dans le plan (HIJ).

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Voir : activités
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3. Traces d'un plan

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Intersection de plans (pour une pyramide)

SABCD est une pyramide régulière de sommet S, de base le carré ABCD, de côté AB = 4 cm, telle que le triangle ASC soit équilatéral.

a. Soit O le centre du carré ABCD. Déterminer l'intersection des plans (SAC) et (SBD).
Étudier les triangles SAC et SBD en déduire que (SO) est la hauteur de la pyramide.

b. Calculer AC et OS.
Soit I le point de la hauteur OS équidistant de A et de S. Calculer SI.

4. Intersection de deux plans

Ouvrir la figure parall.g3w
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle de côtés de longueurs a, b et h.

Avec GéoSpace
• Placer I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD],
• Construire K un point du segment [EF] tel que EK = EF,
• Construire L un point du segment [GH] tel que HL = GH,
• Construire la droite (d), intersection des plans (IJK) et (ADE).

Un travail peut s'engager sur

• justifier l'appartenance du point L au plan (IJK),
• justifier la construction,
• conjectuer ou utiliser le théorème du toit pour démontrer que (IJ) // (AD) // (MN).

Variantes

I et K sont deux points libres sur les côtés [AB] et [EF].
J est le point d'intersection du côté [CD] et de la parallèle à (AD) passant par I.
L est le point d'intersection du côté [GH] et de la parallèle à (EH) passant par K.

Si I est le milieu de [AB], montrer que J est le milieu [CD].
Si l'abscisse de K sur la droite repérée (E, F) est 1/4, montrer que l'abscisse de L sur la droite repérée (H, G) est 1/4.

Voir : sections planes d'un parallélépipède rectangle. En modifiant les longueurs a, b et h des côtés avec a = b = h, tracer un cube et examiner la section du cube par un plan parallèle à une arête.

  Télécharger les figures GéoSpace parall_section.g3w

 Commandes GéoSpace
  Taper 0, 1 ou 2 pour effacer/afficher les droites de la section,
  taper P pour effacer/afficher les plans de la section.

  Télécharger les figures GéoSpace inter2p.g3w

 

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