René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en seconde

Sur tablette numérique ou smartphone, on bascule automatiquement vers la version GeoGebra 3D

GéoSpace au lycée : règle d'incidence, alignement, intersection, théorème des 3 perpendiculaires - Solides de Platon.

Sommaire

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
    Théorème de la porte
    Théorème du toit
    Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
3. Traces d'un plan

Octaèdre régulier

Solides de Platon

    Dodécaèdre
    Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Tétraèdre

Tétraèdre orthocentrique

Cube

Coin de cube en seconde
Section d'un cube

Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube
Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube

Intersection de deux plans - Section plane d'un parallélépipède

Pyramide

Intersection de plans (dans une pyramide)
Section plane d'une pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Sections planes de pyramide

Pyramide octogonale

Icône GeoGebra Les figures de cette page avec GeoGebra 3D

Icône GéoSpace Sections
de cube
en 3e

Icône GéoSpace Section plane
d'un cube

Icône GéoSpace Section plane
d'un tétraèdre

Icône GéoSpace GéoSpace
Activités

Icône GéoSpaceAvec GéoSpace

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions

1.a. Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.

Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.

1.b. Théorème de la porte

geometrie dans l'espace - theoreme de la porte - copyright Patrice Debart 2004Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.

Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p1) tourne alors normalement autour de (d).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème de la porte

Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).

Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre.

1.c. Théorème du toit

geometrie dans l'espace - theoreme du toit - copyright Patrice Debart 2004

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème du toit

Si on a :
  • deux droites parallèles d1 et d2,
  • un plan P1 contenant d1,
  • un plan P2 contenant d2,
alors la droite d d'intersection des deux plans P1 et P2, si elle existe, est parallèle aux droites d1 et d2.

Voir : intersection de plans

Wikipédia : théorème du toit

Prisme droit de base un trapèze

Diagonales des faces non parallèles

geospace en seconde - diagonales des faces non paralleles du prisme - copyright Patrice Debart 2004

ABCDEFGH est un prisme droit de base le trapèze ABEF,
avec (AB)//(EF) et EF < AB.

Que peut-on dire des diagonales (DE) et (CF) des faces ADHE et BCGF non parallèles ?

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : diagonales d'un prisme de base un trapèze

Illustration du théorème du toit

geospace en seconde - diagonales des faces et faitiere - copyright Patrice Debart 2004

CDHG est un trapèze, avec (CD)//(GH),
EFGH est un rectangle, donc (GH)//(FE),
d'où (CD)//(FE), CDEF est un trapèze.
La droite (EF) est contenue dans le plan (CDE).
Les droites (DE) et (CF) sont coplanaires et donc concourantes en K.

Soit I et J les points d'intersection des côtés non parallèles des trapèzes.
Les plans (ADHE) et (BCGF) ont pour intersection la droite (IJ).
D'après le théorème du toit, (IJ) est parallèle à (AD) et (BC).

Le point K, contenu dans ces deux plans, est situé sur (IJ).

1.d. Théorème des trois perpendiculaires

geometrie dans l'espace - 3 perpendiculaires - copyright Patrice Debart 2004

Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.

Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Indication

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème des trois perpendiculaires

2. Règle d'incidence

2.a. Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

geometrie dans l'espace - regle d'incidence - copyright Patrice Debart 2004A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés.

En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : règle d'incidence

2.b. Montrer un alignement

geometrie dans l'espace - prouver un alignement - copyright Patrice Debart 2004

GeoGebra 3D dans FigureGeoGebra Tube : montrer un alignement

Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d1), (d2), (d3) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A1 et B1 sur (d1) ;
A2 et B2 sur (d2) ; A3 et B3 sur (d3).

Les droites (A1A2) et (B1B2) se coupent en I, (A2A3) et (B2B3) en J et (A1A3)
et (B1B3) en K

Que peut-on dire des points I, J et K ?

Indication

Considérer l'intersection des plans (A1A2A3) et (B1B2B3).

Étudier les situations de parallélisme : (A1A2) // (B1B2) par exemple.

2.c. Lieux géométriques et point fixe

lieu geometrique dans l'espace - point fixe - copyright Patrice Debart 2004

A, B, P et P’ sont quatre points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.

Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.

Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), perpendiculaire au plan (p), passant par P’, au point M’.

Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.

Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : lieux et point fixe dans l'espace

3. Traces d'un plan

geometrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004 Tracer un plan en perspective

Comment faire un plan avec GéoSpace

Pour représenter un plan, placer trois points dans ce plan,
compléter le parallélogramme formé par ces trois points
et tracer trois des côtés qui représentent des bords en perspective.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : tracer un plan en perspective

 

geometrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004

Trois plans sécants (p1), (p2) et (p3) se coupent en O.
La droite (d1) est l'intersection des plans (p2) et (p3),
(d2) est l'intersection des plans (p1) et (p3),
(d3) est l'intersection des plans (p1) et (p2).

Trois points distincts A, B et C sont dans les plans (p1), (p2) et (p3).

Trouver les traces du plan (ABC) sur chacun des trois plans.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : traces d'un plan

geometrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004

Si (BC) est parallèle au plan (p1), la trace dans (p1) est la parallèle à (BC) passant par A, sinon la droite (BC) coupe le plan (p1) en M et la trace sur (p1) est la droite (AM).

La droite (AM) coupe éventuellement (d3) en I et (d2) en J. Les traces sont alors les droites (IB) et (JC) ; en général, la trace du plan (ABC) est le triangle IJK.

Dans les cas particuliers, utiliser des parallèles passant par des sommets du triangle ABC.

 

Table de matières

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
    Théorème de la porte
    Théorème du toit
    Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
3. Traces d'un plan

Téléchargement

doc Télécharger geospace_seconde.doc : ce document au format « .doc »
pdf Télécharger geospace_seconde.pdf : ce document au format « .pdf »

Rétrolien

Les Mathéma toqués

Moteur de recherche

Logo Google

 Statistiques Orange geospacee visite des pages « espace ».

Page no63, réalisée le 21/2/2004 - mise à jour le 4/2/2015