René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en seconde

GéoSpace au lycée : règle d'incidence, alignement, intersection, théorème des 3 perpendiculaires - Solides de Platon.

Sommaire

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions
    Théorème de la porte
    Théorème du toit
    Théorème des 3 perpendiculaires
2. Règle d'incidence
    Montrer un alignement
3. Traces d'un plan

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Tétraèdre

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Icône GeoGebra Cube avec GeoGebra 3D

Coin de cube en seconde
  Intersection d'une droite et d'un plan, avec un cube

Cube et droites parallèles
    Droite parallèle à un plan, dans un cube

Section d'un cube

Icône GéoSpace Intersection de deux plans - Section plane d'un parallélépipède

Pyramide

Icône GéoSpace Intersection de plans (dans une pyramide) - Section plane d'une pyramide

Icône GeoGebra Partition d'un cube en trois ou six pyramides

Icône GeoGebra Sections planes de pyramide

Icône GéoSpace Pyramide octogonale

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions

1.a. Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.

Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.

1.b. Théorème de la porte

géométrie dans l'espace - théorème de la porte avec Geogebra - copyright Patrice Debart 2016

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.

Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d1) et (d2) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p1) tourne alors normalement autour de (d).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème de la porte

Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).

Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre.

1.c. Théorème du toit

géométrie dans l'espace - théorème du toit avec Geogebra - copyright Patrice Debart 2016

Si on a :
  • deux droites parallèles d1 et d2,
  • un plan P1 contenant d1,
  • un plan P2 contenant d2,
alors la droite d d'intersection des deux plans P1 et P2, si elle existe, est parallèle aux droites d1 et d2.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème du toit

Voir : intersection de plans

WikiPédia : théorème du toit

Prisme droit de base un trapèze

Diagonales des faces non parallèles

geospace en seconde - diagonales des faces non parallèles du prisme - copyright Patrice Debart 2004

ABCDEFGH est un prisme droit de base le trapèze ABEF,
avec (AB)//(EF) et EF < AB.

Que peut-on dire des diagonales (DE) et (CF) des faces ADHE et BCGF non parallèles ?

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : diagonales d'un prisme de base un trapèze

Illustration du théorème du toit

geospace en seconde - diagonales des faces et faitiere - copyright Patrice Debart 2004

CDHG est un trapèze, avec (CD)//(GH),
EFGH est un rectangle, donc (GH)//(FE),
d'où (CD)//(FE), CDEF est un trapèze.
La droite (EF) est contenue dans le plan (CDE).
Les droites (DE) et (CF) sont coplanaires et donc concourantes en K.

Soit I et J les points d'intersection des côtés non parallèles des trapèzes.
Les plans (ADHE) et (BCGF) ont pour intersection la droite (IJ).
D'après le théorème du toit, (IJ) est parallèle à (AD) et (BC).

Le point K, contenu dans ces deux plans, est situé sur (IJ).

1.d. Théorème des trois perpendiculaires

géométrie dans l'espace - 3 perpendiculaires - copyright Patrice Debart 2004

Soit (d) est une droite contenue dans un plan (p) et M un point de l'espace.

Si H est le projeté orthogonal de M sur (p) et K est le projeté orthogonal de H sur (d), alors K est le projeté orthogonal de M sur (d).

Indication

La droite (MH) est orthogonale à (d) car elle est orthogonale au plan (p) qui contient la droite (d). (HK) est orthogonale à (d) par définition du point K. Le plan (MHK) est donc orthogonal à (d) car il contient deux droites sécantes orthogonales à (d). Par suite, (d) est orthogonale à toute droite de (MHK) et en particulier à (MK) ce qui prouve que K est le projeté orthogonal de M sur (d).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : théorème des trois perpendiculaires

2. Règle d'incidence

géométrie dans l'espace - règle d'incidence - copyright Patrice Debart 2004

2.a. Pour montrer l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

A, B et C sont trois points non alignés n'appartenant pas à un plan (p).
La droite (AB) coupe le plan (p) en C’,
la droite (AC) coupe le plan (p) en B’,
la droite (BC) coupe le plan (p) en A’.

Les points A’, B’ et C’ sont alignés.

En effet, ils appartiennent à la droite d'intersection des deux plans sécants (ABC) et (p).

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : règle d'incidence

2.b. Montrer un alignement

géométrie dans l'espace - prouver un alignement - copyright Patrice Debart 2004

Dans l'espace, soit trois demi-droites distinctes (d1), (d2), (d3) d'origine O.
Sur chaque demi-droite on place deux points : A1 et B1 sur (d1) ;
A2 et B2 sur (d2) ; A3 et B3 sur (d3).

Les droites (A1A2) et (B1B2) se coupent en I, (A2A3) et (B2B3) en J et (A1A3)
et (B1B3) en K

Que peut-on dire des points I, J et K ?

Indication

Considérer l'intersection des plans (A1A2A3) et (B1B2B3).

Étudier les situations de parallélisme : (A1A2) // (B1B2) par exemple.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : montrer un alignement

2.c. Lieux géométriques et point fixe

lieu géométrique dans l'espace - point fixe - copyright Patrice Debart 2004

A, B, P et P’ sont quatre points d'un plan (p), les droites (AP) et (BP’) n'étant pas parallèles.

Selon la figure ci-contre, sur la demi-droite (d) passant par le point P, perpendiculaire au plan (p), on place un point M variable.

Le plan (ABM) coupe la demi-droite (d’), perpendiculaire au plan (p), passant par P’, au point M’.

Les droites (AM) et (BM’) se coupent en I, et (AM’) et (BM) en J.

Lorsque l'on déplace le point M, quel est le lieu géométrique de I ? de J ?
Montrer que la droite (IJ) passe par un point fixe.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : lieux et point fixe dans l'espace

3. Traces d'un plan

Tracer un plan en perspective

géométrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004

Comment faire un plan avec GéoSpace

Pour représenter un plan, placer trois points dans ce plan,
compléter le parallélogramme formé par ces trois points
et tracer trois des côtés qui représentent des bords en perspective.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : tracer un plan en perspective

géométrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004

Trois plans sécants (p1), (p2) et (p3) se coupent en O.
La droite (d1) est l'intersection des plans (p2) et (p3),
(d2) est l'intersection des plans (p1) et (p3),
(d3) est l'intersection des plans (p1) et (p2).

Trois points distincts A, B et C sont dans les plans (p1), (p2) et (p3).

Trouver les traces du plan (ABC) sur chacun des trois plans.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : traces d'un plan

géométrie dans l'espace - plan en perspective - copyright Patrice Debart 2004

Si (BC) est parallèle au plan (p1), la trace dans (p1) est la parallèle à (BC) passant par A,
sinon la droite (BC) coupe le plan (p1) en M et la trace sur (p1) est la droite (AM).

La droite (AM) coupe éventuellement (d3) en I et (d2) en J.
Les traces sont alors les droites (IB) et (JC) ; en général, la trace du plan (ABC) est le triangle IJK.

Dans les cas particuliers, utiliser des parallèles passant par des sommets du triangle ABC.


Icône GeoGebra Les figures de cette page avec GeoGebra 3D

Icône GeoGebra Section plane
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Icône GeoGebra Section plane
d'un tétraèdre

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Page no63, réalisée le 21/2/2004
mise à jour le 4/2/2015