René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en sixième

Parallélépipède rectangle : perspective cavalière et patron avec GéoSpace.

Sommaire

1. Cube : perspective cavalière
2. Parallélépipède rectangle
3. Patron d'un parallélépipède rectangle

Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre

Icône GeoGebra Figures avec
GeoGebra 3D

Icône GeoGebra Figures interactives
GeoGebra 3D

Icône GéoSpace GéoSpace en 5e
Prisme, cylindre

Icône GeoGebra GeoGebra 3D
en quatrième

Icône GéoSpace ...Avec
GéoSpace

Pauvre Pythagore : après les mathématiques propriétaires, les marques déposées : « Le Cube » est une marque déposée par « Art 3000 », association qui gère un espace multimédia à Issy-les-Moulinaux. À quand des royalties pour faire un cours de mathématiques ?

1. Le cube : perspective cavalière

Exemples de dessins qui évoquent un cube

Il est possible de faire tourner la figure GéoSpace cube.g3w à la souris ou au clavier :

 

Axe vertical

Axe horizontal de l'écran

Axe horizontal perpendiculaire à l'écran

À la souris : clic droit maintenu

Gauche - droite

Bas - haut

Choisir l'option du menu « Vues » :
« plan de face maintenu de face »
(avant-dernière icône de la barre de menu)

Au clavier : touche majuscule maintenue

Flèches gauche - droite

Flèches basse - haute

Touches page up/down

Les paramètres de position se trouvent au début du texte de la figure :

Rotations de Rxyz: verticale: -20 horizontale: 25 frontale: 0

geometrie dans l'espace - projection oblique du cube - copyright Patrice Debart 2005

Projection oblique

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube1.g3w

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2005

Rotations de Rxyz: verticale: -10 horizontale: 8

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube2.g3w

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2005

Rotations de Rxyz: verticale: -40 horizontale: 5

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube3.g3w

Dans ces dessins, le contour extérieur a une forme d'hexagone avec deux bords verticaux (Rotations de Rxyz: frontale: 0). Les 12 arêtes sont bien distinguées.

En perspective cavalière l'angle BÂD est l'angle de fuite et le rapport BC/AB est appelé le rapport de réduction (il peut être plus grand que 1).

Pour GéoSpace, la représentation sur l'écran est obtenue par projection orthogonale sur le plan de l'écran, il n'est donc pas possible d'obtenir la perspective cavalière où les deux faces perpendiculaires au champ de vision sont représentées par des carrés aux côtés parallèles aux bords de la feuille (avec des faces horizontales visibles).

Avec l'option projection oblique, on obtient les deux carrés, mais les faces horizontales et latérales ne sont plus des parallélogrammes.
Les paramètres de position se trouvent au début du texte de la figure cube1.g3w :

Rotations de Rxyz: verticale: 0 horizontale: 0 frontale: 0
Projection oblique

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube, cube en fil de fer

Exemples de dessins qui n'évoquent pas bien un cube

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2005

Rotations de Rxyz: verticale: -1 horizontale: 2

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube4.g3w

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2005

Rotations de Rxyz: verticale: -43 horizontale: 2

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube5.g3w

geometrie dans l'espace - cube - copyright Patrice Debart 2005

Rotations de Rxyz: verticale: -45 horizontale: 4

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube6.g3w

Dans ces dessins, le contour extérieur évoque plus un rectangle qu'un hexagone et on distingue mal certaines arêtes.

D'après : Herrera Ruben Rodriguez et Salles - Le Gac Danielle
Du dessin perçu à la figure construite - Ellipses - 2005

2. Parallélépipède rectangle

Définition du parallélépipède

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles.

À l'école, le terme parallélépipède rectangle n'est pas exigible au cycle 2, on lui préférera celui de pavé droit.

geometrie dans l'espace - parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005

Commandes GéoSpace

Faire varier la taille du parallélépipède avec les flèches du clavier.

Taper A pour modifier la longueur a,
B pour modifier la largeur b
et H pour modifier la hauteur h.

Taper D pour visualiser les diagonales.

Faire pivoter le solide avec la souris,
la touche W permet de revenir à la vue initiale.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pavé droit

geometrie dans l'espace - diagonales du parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005

Les diagonales sont concourantes en leur milieu

Par exemple, les diagonales [AG] et [EC] sont les diagonales du rectangle ACGE. Elles se coupent en leur milieu I.

Volume du parallélépipède rectangle

Volume(ABCDEFGH)
    = Aire de la base × hauteur
    = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE
    = a × b × c.

g3w Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : diagonales du parallélépipède rectangle

3. Patron d'un parallélépipède rectangle

geometrie dans l'espace - patron de parallelepipede rectangle - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - patron de parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - patron de parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - patron de parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - patron de parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005
geometrie dans l'espace - parallelepipede - copyright Patrice Debart 2005

Commandes GéoSpace

Le patron est pilotable au clavier :
appuyez sur les flèches de déplacement pour fermer le patron en faisant varier le coefficient d'ouverture m de 1 vers 0.

La touche F permet d'obtenir une vue de face et la touche W permet de revenir à la vue initiale.

g3w Télécharger la figure GéoSpace parallelepipede_patron.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube :patron du pavé droit

Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre

Les trois premiers sommets du polyèdre définissent la face principale du patron et le plan dans lequel sera situé le patron lorsqu'il sera complètement ouvert ; les autres faces s'articulent autour de cette face.

En pratique si le polyèdre est un cube ABCDEFGH ou une pyramide ABCDS, donner (lors de la création) en premier la liste des sommets de la future base principale ABCD dans cet ordre,
pour un prisme, commencer par les sommets d'une face latérale pour obtenir un patron habituel. Le prisme ABCDEF de base triangulaire ABC sera nommé ABEDCF en commençant par la face ABED, sommets écrits dans cet ordre.

Abus de langage de Google

Patron d'un rectangle : patron d'un parallélépipède rectangle de base rectangulaire,
Patron d'un triangle : patron d'un prisme de base triangulaire.

geometrie dans l'espace - patron de cube - copyright Patrice Debart 2005

geometrie dans l'espace - patron de cube - copyright Patrice Debart 2005

Classe de sixième

GeoGebra Patron de cube

g3w Télécharger les figures GéoSpace cube.g3w et cube_patron.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron du cube

geometrie dans l'espace - patron de prisme - copyright Patrice Debart 2005

geometrie dans l'espace - patron de prisme - copyright Patrice Debart 2005

 

Classe de cinquième

Patron de prisme droit, à base triangulaire

g3w Télécharger les figures GéoSpace prisme.g3w et prisme_patron.g3w
GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : prisme vertical de base triangulaire, patron de prisme de base triangulaire

geometrie dans l'espace - patron de pyramide - copyright Patrice Debart 2005

geometrie dans l'espace - patron de pyramide - copyright Patrice Debart 2005

Classe de quatrième
Patron de pyramide

g3w Télécharger les figures GéoSpace pyramyde.g3w et pyramide_patron.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron de pyramide de base carrée

Dans le menu « Créer>Solides », choisir l'option « Patron d'un polyèdre ». Le coefficient d'ouverture du patron est une variable réelle libre m, comprise entre 0 et 1 ; si elle est égale à 1 le patron est plan, si elle est égale à 0 le patron coïncide avec le polyèdre. Pour ouvrir un patron par étapes, il suffit de piloter ce coefficient au clavier.

 

La géométrie
au collège

g2w Faire de la
géométrie dynamique

Icône GéoSpace GéoSpace en 3e
Sections planes

cabri Cabri-géomètre
TP en sixième

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Table de matières

1. Cube : perspective cavalière
2. Parallélépipède rectangle
3. Patron d'un parallélépipède rectangle

Technique GéoSpace : patron d'un polyèdre

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Page no 84, réalisée le 27/6/2005, mise à jour le 10/1/2008