René DescartesDescartes et les Mathématiques

La géométrie dans l'espace en terminale S et ES

Sommaire

1.1. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
1.2. Solides définis par leurs équations
1.3. Section d'un cube par un plan

Terminale ES

2.1. Droites et plans dans l'espace
        Bac ES national 1999 - spécialité
2.2. Plan et droite dans un pavé
        Bac ES Amérique du Nord 1999

avec
GéoSpace

GéoSpace en TS
Épreuve pratique 2007-2008

GéoSpace en TS
Épreuve pratique 2009

TS
Épreuve pratique

Mathématiques
en terminale

Faire de la
géométrie dynamique

1.1. Perdu dans l'espace, les ambiguïtés de la perspective cavalière

On représente en perspective cavalière un cube ABCDEFGH et un point M selon la figure ci-contre.
Le point M est-il à gauche ou sur la droite du cube ci-contre ?

Indications

Comme dans la figure ci-dessous le point M peut représenter un point situé sur la droite (CD), à gauche.

Mais en dessinant deux cubes devant le cube initial, la figure en bas à droite montre que M peut représenter un point de la droite (GF), sur le côté droit du cube !

Si M1 est le point de l'espace situé sur (CD) et M2 est le point de l'espace situé sur (GF), le point M peut représenter n'importe quel point de la droite (M1M2).

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Voir : activités

geometrie dans l'espace - cube perdu dans l'espace
geometrie dans l'espace - 2 cubes perdus dans l'espace
geometrie dans l'espace - 3 cubes perdus dans l'espace

1.2. Solides définis par leurs équations

Exemples d'exercices pour l'articulation « première terminale » en série S

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal.

Déterminer les solides définis par les équations suivantes :

a) x2 + y2 + z2 = 4

b) x2 + y2 = 4

Voir : quadriques et GéoSpace

1.3. Distribuer une section plane déjà construite

Demander aux élèves de tracer les points « hors solide » qui ont permis d'obtenir cette section. Autrement dit, leur faire faire des exercices sur les sections dans les deux sens.

1.3.a. Section d'un cube par le plan (PQR)

geometrie dans l'espace - section plane de cube

À partir du plan (PQR), trouver la section plane.

Dans l'autre sens, à partir de la section plane, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés.

geometrie dans l'espace - section plane de cube

On peut ensuite trouver les points S, T et U situés sur les prolongements des trois autres côtés.

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Commandes GéoSpace

Touche 1 : afficher /effacer le plan (PQR)
Touche 2 : afficher /effacer le plan (STU)
Touche 3: afficher /effacer la section plane

1.3.b. Section plane triangulaire d'un cube

geometrie dans l'espace - section triangulaire de cube

Moins facile.

À partir du plan (PQR), trouver la section plane STU.

Dans l'autre sens, à partir de la section plane STU, retrouver les points P, Q et R situés sur les prolongements des côtés.

 

Voir correction dans avec GéoSpace en première

 

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Terminale ES

2.1. Droites et plans dans l'espace

Bac ES national 1999 : Exercice II Géométrie (spécialité en mathématiques)

bac S maths 1999 - geometrie analytique dans l'espace - droites et plansL'espace est muni d'un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j), vect(k)) représenté ci-après.
Le plan (R) est représenté par ses traces sur les plans de coordonnées ; il a pour équation : x + z = 2.

  • On donne les points A, B, C, définis par leurs coordonnées respectives : A(6 ; 0 ; 0) B(0 ; 3 ; 0) et C(0 ; 0 ; 6)

2.1.a. Placer les points A, B, C dans le repère (O, vect(i), vect(j), vect(k)) et tracer le triangle ABC.
2.1.b. Calculer les coordonnées des vecteurs vect(AB) et vect(AC).

2.1.c. Soit vect(n) le vecteur de coordonnées (1 ; 2 ; 1).
Montrer que le vecteur vect(n) est normal au plan (P) passant par A, B et C.

  • Vérifier que le plan (P) a pour équation x + 2y + z = 6.
  • On a placé dans le repère les points G, E, et F à coordonnées entières.

Le point G est situé sur l'axe (O,vect(j)), le point E dans le plan (O, vect(i), vect(j)) et le point F dans le plan (O, vect(j), vect(k)).
Le plan (Q) passant par les points G, E, et F est parallèle au plan (O, vect(i), vect(k)) ;

a. Donner l'équation du plan (Q).
b. Donner les coordonnées des points G, E et F.
c. Parmi les points E, F et G quels sont ceux situés sur le plan (P) ?

d. Quelle est la nature de l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y ; z) vérifient le système : système

  • Représenter cet ensemble sur la figure ci-dessous.
  • On considère le système S de trois équations à trois inconnues x, y, z :système

Quel est l'ensemble des points du plan dont les coordonnées sont solutions du système S ?

2.2. Plan et droite dans un pavé

Bac ES Amérique du Nord 1999

L'espace est rapporté au repère orthonormal (O ; vect(i), vect(j), vect(k)).
ABCDOFGH est un pavé défini par OH = 3vect(i), 0F = 4vect(j) et OA = 3 vect(k).
Soit L le milieu de [CG].

bac es maths 1999 - geometrie analytique dans l'espace - pave droit
1. On considère l'ensemble P des points dont les coordonnées x, y et z vérifient :
4x - 3y + 8z - 12 = 0.
a. Parmi les points A, B, O, G, H, L lesquels appartiennent à P ?
b. Justifier que l'ensemble P est le plan (BLH).

2. a. Donner les coordonnées d'un vecteur normal vect(n) au plan (BLH).
b. Soit D la droite passant par A et de vecteur directeur vect(n).
Montrer que D est l'ensemble des points M tels que AM.BH=0 et AM.BL=0
En déduire un système d'équations caractérisant la droite D.

c. Montrer que le point de coordonnées (-48/89,36/89,171/89) appartient à D et à P.

Indications

Les coefficients de l'équation de P permettent de trouver les coordonnées : vect(n)(4, -3, 8).

vect(n) orthogonal au plan P, est orthogonal aux deux vecteurs vect(BH) et vect(BL) non colinéaires contenus dans ce plan.
M appartient à la droite D si et seulement si vect(AM) est orthogonal à vect(BH) et vect(BL), dons si les produits scalaires vect(AM).vect(BH) et vect(AM).vect(BL) sont nuls.
vect(AM)(x, y, z-3) vect(BH)(3, -4, -3) ; vect(AM).vect(BH) = 0 conduit à l'équation 3x - 4y - 3(z-3) = 0.
vect(BL)(3, 0, -3/2) ; vect(AM).vect(BL) = 0 conduit, après simplification, à l'équation 2x - (z-3) = 0.

Le système formé par ces deux équations 3x - 4y - 3z + 9 = 0 et 2x - z + 3 = 0 caractérise la droite D, intersection des deux plans correspondant à ces deux équations.

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avec
GéoSpace

GéoSpace en TS
Produit scalaire

TS
Épreuve pratique

TS
Plan complexe

TS
Géométrie plane

La géométrie à l'épreuve pratique

Table de matières

1.1. Les ambiguïtés de la perspective cavalière
1.2. Solides définis par leurs équations
1.3. Distribuer une section de cube déjà construite

Terminale ES

2.1.Droites et plans dans l'espace
        Bac ES national 1999 - spécialité
2.2. Plan et droite dans un pavé
       Bac ES Amérique du Nord 1999

La géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan/GéoSpace.

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Page no 106, réalisée le 21/3/2007, modifiée le 9/12/2008