Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesSections planes : cube, pyramide, solide de révolution ; solide composite.
GéoSpace en 3e
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Sections planes du cubeCube en 2nde PyramidePartition d'un cube en trois ou six pyramides Sections planes de pyramide Page no 11, réalisée le 14/3/2001, mise à jour le 23/4/2010 | |||
Faire de la géométrie |
GéoSpace en 6e |
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GéoSpace en 2nde |
« L'utilisation de l'informatique donne une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »
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Section du cube par un plan contenant une arête
Créer le point libre I, sur le segment (arête du cube) [BF]. Déplacer le point I. Quelle est la nature de la section du cube par le plan (ADI) ?
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Dessiner le profil de la section plane du cube en vraie grandeur lorsque l'arête mesure 4 cm et FI = 1 cm. Pour obtenir le segment [AI] en vraie grandeur, dans le menu vues, choisir l'option vue standard Oxy pour faire apparaître la face ABFG du cube. Touche V avec GéoSpace. Pour voir la section en vraie grandeur, dans le menu vues, valider l'option vue avec un autre plan de face et choisir le plan AIJ. Touche F avec GéoSpace. Revenir ensuite à la vue initiale avec les touches Ctrl + F1 ou la touche W. |
La section d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un carré.
Voir : la version interactive avec jMath3D.
Section plane déterminée par un sommet et deux points I, J sur les arêtes d'un cubeTrouver l'intersection du plan (EIJ) avec les faces du cube.
Indications
– Dans la face (CDHG), tracer la parallèle à (EI) qui coupe l'arête (CG) en K :
Comme les faces (ABFE) et (CDHG) du cube sont parallèles, le plan (EIJ) coupe le plan (CDH) suivant une parallèle (d) à (EI).
La droite (d) coupe (CG) en K.
– La section plane EIKJ est un trapèze.
[EJ] et [IK] sont les deux autres côtés du trapèze de bases [EI] et [JK].
Télécharger la figure GéoSpace cube_s6.g3w
Remarque : il est possible de simplifier les tracés en choisissant I et J aux milieux des côtés, K est alors au quart de [GC].
Voir aussi : section par un plan passant par A
Charger la figure GéoSpace de base : cube.g3w.
Créer les points libres I, J et K sur les segments [AB], [EF] et [HG] (arêtes du cube).
Construction automatique avec GéoSpace
Avec l'option :
créer>plan>nommé défini par trois points
appeler P le plan (IJK).
Puis définir la section avec :
créer>ligne>polygone convexe>section d'un polyèdre par un plan
Construction des autres sommets de la section « à la main »
Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD).
Tracer les segments [IJ], [JK], [KL] et [IL].
Déplacer les points I, J ou K avec le menu piloter au clavier et faire apparaître le plus explicitement possible le parallélogramme IJKL.
Dans le cas où le point L ne serait pas à l'intérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec l'autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point B est sur la droite (CD) du côté de D.
Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM.
Télécharger la figure GéoSpace cube_sec.g3w
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Refaire comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [FG]. Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? Déplacer les points I, J ou K. Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], compléter la figure avec le sommet situé sur [CD] et trouver un pentagone.
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I est le milieu de [AB], J le milieu de [AE] et K le milieu de [EH]. Trouver la section plane du cube par le plan (IJK).
Voir le problème de Bergson au lycée.
Télécharger la figure GéoSpace cube_se5.g3w,
la figure GéoSpace section.g3w
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
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Section par un plan parallèle à la face AEHD. |
Section par un plan parallèle à l'arête [AD]. |
La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.
Télécharger la figure GéoSpace secpave1.g3w
Figure 1 : pyramide régulière
Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S. Tracer les diagonales du carré de base et le milieu O. Le volume de la pyramide est V = |
Cas particulier
Pyramide régulière de base carré telle que les faces latérales soient des triangles équilatéraux. Toutes les arêtes sont de même longueur.
Autre cas : pyramide régulière de base carré telle que le plan diagonal ACS soit un triangle équilatéral, Pyramide régulière de base pentagonale : télécharger la figure GéoSpace secpyr1.g3w Ci-dessous : pyramide gauche |
Figure 2 : section plane d'une pyramide par un plan parallèle à la baseSur la hauteur [OS] placer un point libre O’. Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?  Pour visualiser au mieux la figure, déplacer la vue de la pyramide avec la souris en maintenant le bouton droit enfoncé.
Cas général : section plane d'une pyramide en seconde |
Figure 3 : Tronc de pyramide
Après avoir tracé la section carrée A’B’C’D’, Créer le solide (polyèdre convexe) tronc en le désignant par ses sommets ABCDA’B’C’D’. Commandes GéoSpace
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Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)
En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, le volume est alors :
V = 
[B + 
+ b ].
Pour le volume du tronc de pyramide de base carrée, avec a et b comme longueur des côtés des carrés, les anciens Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :
V = [a2 + ab + b2].
Exemple : problème M14 du papyrus de Moscou
h = OO’ = 6, a = AB = 4, b = A’B’ = 2.
« Si on te dit : une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet.
Calcule le carré de 4, le résultat est 16. Prends le double de 4, le résultat est 8. Prends le carré de 2, le résultat est 4. Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4, le résultat est 28. Prends 
de 6, il vient 2. Prends 2 fois 28, il vient 56.
Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct. »
V = 
[42 + 4 × 2 + 22] = [16 + 8 + 4 ] = 2 × 28 = 56.
Télécharger la figure GéoSpace tronc_py_M14.g3w
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Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD, trirectangle en A (figure GéoSpace pyram_d.g3w), telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide. Placer le point libre A’ sur le segment [AS] et tracer la pyramide réduite SA’B’C’D’.
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Recommencer le TP2 précédant avec un tétraèdre régulier : dans le répertoire figures de base, choisir la figure GéoSpace tetreg.g3w. À partir d'un point A’ situé sur l'arête [AD], trouver les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par A’, parallèle au plan de base (ABC). Tracer les points B’ et C’ intersections de ce plan avec les deux autres arêtes du tétraèdre. Le tétraèdre réduit est-il régulier ?
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Tracer la médiatrice d'une des faces du cube (placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »). Pour le dessin du cube, l'option du menu style ne fonctionne pas. Après la définition du cube modifier la phrase Dessin de cube: opaque Dessin de cube: opaque, non dessiné Après la définition de l, insérer : Dessin de l: opaque Exécuter le script et valider ; sauvegarder la figure pour la réutiliser.
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De même, réaliser un obélisque : solide formé par l'assemblage d'un tronc de pyramide de bases carrées (ou d'un parallélépipède), surmonté d'une pyramide : le pyramidion.
Le volume se calcule grâce à la formule citée après la figure 1.
Wikipédia :
Obélisque
Partie A
Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière SABCD à base carrée, posée sur un cube ABCDA’B’C’D’.
La hauteur SH de la lanterne est de 30 cm. Soit h, en cm, la hauteur SO de la pyramide et x, en cm, la longueur de l'arête du cube.
On admet que 0 ≤ x ≤ 30.
1. Exprimer en fonction de x la hauteur de la pyramide.
2. Exprimer en fonction de x le volume V de la lanterne.
surface de la base × hauteur |
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On rappelle que le volume d'une pyramide est : V = |
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3 |
Partie B
Étude de la fonction f(x) = 
…
Partie C
La longueur de l'arête du cube est de 24 cm. Déterminer alors :
1. le volume V de la lanterne ;
2. la hauteur h de la pyramide ;
3. la longueur SA.
Correction bac STI : parallélépipède dans une pyramide
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Cylindres dont les bases sont deux cercles de centres A et B et rayon r. Cylindre - plan horizontalSection par un plan perpendiculaire à l'axe (AB) du cylindre, passant par un point M de l'intervalle [AB].
La section est un cercle de centre M.
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Cylindre - plan verticalSection par un plan parallèle à l'axe du cylindre, passant par les points R et S, situés sur un des cercles de base.
La section est le rectangle RSTU. Indication : la translation de vecteur
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Sphère
(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan. On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note HM = r. Dans le triangle OHM, rectangle en H, de la propriété de Pythagore : Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H Si d = R, le plan est tangent à la sphère en H. Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.
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Cône de révolution
La figure représente un cône de révolution. L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
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Terminale S : Volume d'un tronc de cylindre
ÉnigmePar Serge Cecconi
Vercors
Bimestriel gratuit d'information du Vercors-Sud
Le demi-verre est deux fois plus petit que le verre.
Le rapport des volumes est de 23 = 8.
Pour remplir un verre, il faut huit verres remplis à demi-hauteur.
Le robinet fuit à raison d'un litre par 24 heures.
En attendant le plombier, vous placez sous la fuite un vieux bidon cubique de 30 cm d'arête ouvert sur le dessus.
Seulement voilà, la rouille y a fait exactement trois trous au centre de trois faces, le fond et deux parois contiguës.
Vous inclinez le récipient de manière à recueillir le maximum d'eau et oubliez l'incident (vous oubliez de vider la boîte).
Dans quel délai le plombier doit-il arriver pour éviter l'inondation ?
Solutions
Lorsque l'on incline le récipient de manière à rendre horizontal le plan des trois trous, on trouve une pyramide de base triangulaire.
La base est un triangle équilatéral de côté a = 30
.
L'aire du triangle est égale à S = 
a2 = 900
.
La hauteur de l'eau est égale au tiers de la diagonale du cube, soit h = 10
.
Le volume est donc V = S × h = 4500 cm3 ou encore 4,5 litres.
Dans cette position, on évitera l'inondation si le plombier arrive dans les trois jours.
De nombreuses lettres ont été reçues destinées à améliorer cette solution, comme celle de P. Debart et ses élèves du Caire.
Nous retiendrons particulièrement la solution de la jeune Marie-Chanel, élève de troisième au Lycée Français du Caire.
Lorsqu'on pose le cube le long d'une arête, on peut le remplir jusqu'au centre d'une face percée. Le volume d'eau qui peut séjourner dans le bidon est celui d'un prisme de base un triangle rectangle de côtés 30×15 cm et de hauteur 30 cm. Il vaut le produit de l'aire de la base (225 cm2) par la hauteur (30 cm), soit 6750 cm3, ou encore 6,75 litres.
On évitera l'inondation si le plombier arrive avant 4 jours et demi.
Élisabeth Busser et Gilles Cohen
Copyright POLE 1997
100 jeux mathématiques du Monde volume 1 - no 4, pages 42, 60 - POLE 1999
Télécharger la figure GéoSpace mon_019.g3w
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e visite des pages « espace ».
transforme le cercle de base (c) de centre A en (c’), cercle de base de centre B. Les points R et S en U et T : RSTU est un parallélogramme. Les côtés [RU] et [ST], parallèles à l'axe (AB) sont perpendiculaires à la base : un angle droit, d'où un rectangle.
.
= 
,
= 
d'où A’M = r × 
