René DescartesDescartes et les Mathématiques

La Géométrie dans l'espace en troisième avec GéoSpace

Sections planes : cube, pyramide, solide de révolution ; solide composite.

GéoSpace en 3e

1. Sections planes d'un cube
2. Sections de pyramide
3. Tronc de pyramide - Solide composite
            Lanterne
            bac STI (AA) 1999
4. Sections planes de solides de révolution
5. Une fuite de robinet

Sections planes du cube

Cube en 2nde
Intersection d'un plan et d'un cube

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Pyramide octogonale
Intersection de plans autour d'une pyramide

Sections planes de pyramide
Parallélépipède dans une pyramide au bac

Faire de la géométrie
avec GéoSpace

GéoSpace en 6e
Parallélépipède rectangle

GéoSpace en 5e
Prisme - cylindre

GéoSpace en 4e
Pyramide

GéoSpace en 2nde
Règle d'incidence

Travaux Pratiques 1 - A. Sections planes d'un cube

« L'utilisation de l'informatique donne une vision dynamique de la figure. GéoSpace permet de faire tourner le cube et de mettre en évidence la section cherchée. La possibilité de placer un plan isolé de face permet de voir les sections planes en “vraie grandeur”.
Les commandes “dessin en bloc” facilitent la présentation par le professeur avec un rétroprojecteur. »

Figure 1.1 : rectangle comme section plane du cube

geometrie dans l'espace - section du cube recatangulaire - copyright Patrice Debart 2001

Section du cube par un plan contenant une arête

g3w Charger la figure GéoSpace de base : cube.g3w.

Créer le point variable I, sur le segment (arête du cube) [BF].
Trouver le point J intersection du plan (ADI) avec la droite (CG).
Tracer les segments [AI], [IJ] et [JD] en tapant les noms des segments dans le menu : ligne > segment.

Déplacer le point I.

Quelle est la nature de la section du cube par le plan (ADI) ?

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se4.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : rectangle comme section d'un cube

geometrie dans l'espace - section du cube - copyright Patrice Debart 2001

Dessiner le profil de la section plane du cube en vraie grandeur lorsque l'arête mesure 4 cm et FI = 1 cm.

Pour obtenir le segment [AI] en vraie grandeur, dans le menu vues, choisir l'option vue standard Oxy pour faire apparaître la face ABFG du cube.

Touche V avec GéoSpace.

Pour voir la section en vraie grandeur, dans le menu vues, valider l'option vue avec un autre plan de face et choisir le plan AIJ.

Touche F avec GéoSpace.

Revenir ensuite à la vue initiale avec les touches Ctrl + F1 ou la touche W.

Figures 1.2 : carré - rectangle

La section d'un cube par un plan parallèle à une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un carré.

Figure 1.3 : trapèze comme section plane du cube

geometrie dans l'espace - section du cube - copyright Patrice Debart 2001 Section plane déterminée par un sommet et deux points I, J sur les arêtes d'un cube

Trouver l'intersection du plan (EIJ) avec les faces du cube.

Indications

– Dans la face (CDHG), tracer la parallèle à (EI) qui coupe l'arête (CG) en K :

Comme les faces (ABFE) et (CDHG) du cube sont parallèles, le plan (EIJ) coupe le plan (CDH) suivant une parallèle (d) à (EI).

La droite (d) coupe (CG) en K.

– La section plane EIKJ est un trapèze.

[EJ] et [IK] sont les deux autres côtés du trapèze de bases [EI] et [JK].

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_s6.g3w

Figure 1.4 : parallélogramme ou pentagone comme sections planes du cube

Remarque : il est possible de simplifier les tracés en choisissant I et J aux milieux des côtés, K est alors au quart de [GC].

Voir aussi : section par un plan passant par A

geometrie dans l'espace - parallelogramme comme section d'un cube - copyright Patrice Debart 2001geometrie dans l'espace - section d'un cube pentagonale - copyright Patrice Debart 2001g3w Charger la figure GéoSpace de base : cube.g3w.

Créer les points variables I, J et K sur les segments [AB], [EF] et [HG] (arêtes du cube).

Construction automatique avec GéoSpace

Avec l'option :
créer>plan>nommé défini par trois points
appeler P le plan (IJK).

Puis définir la section avec :
créer>ligne>polygone convexe>section d'un polyèdre par un plan

Construction des autres sommets de la section « à la main »

Trouver le point L intersection du plan (IJK) avec la droite (CD).
Tracer les segments [IJ], [JK], [KL] et [IL].

Déplacer les points I, J ou K avec le menu piloter au clavier et faire apparaître le plus explicitement possible le parallélogramme IJKL.

Dans le cas où le point L ne serait pas à l'intérieur du segment [CD], trouver l'intersection du plan (IJK) avec l'autre face du cube, par exemple avec la face ADHE si le point B est sur la droite (CD) du côté de D.

Trouver l'intersection M du plan (IJK) avec [AD] et N avec [DH]. Tracer le pentagone IJKNM.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_sec.g3w

Figure 1.5 : trapèze ou pentagone comme sections planes du cube

geometrie dans l'espace - trapeze comme section d'un cube - copyright Patrice Debart 2001Refaire comme pour la figure précédente, mais avec le point K sur [FG].

Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], quelle est la nature du quadrilatère IJKL ?

Déplacer les points I, J ou K.

Lorsque L est à l'extérieur du segment [BC], compléter la figure avec le sommet situé sur [CD] et trouver un pentagone.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se1.g3w

Figure 1.6 : pentagone - problème de Bergson

geometrie dans l'espace - hexagone regulier comme section plane du cube - copyright Patrice Debart 2001 I est le milieu de [AB], J le milieu de [AE] et K le milieu de [EH]. Trouver la section plane du cube par le plan (IJK).

Voir le problème de Bergson au lycée.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_se5.g3w,
      la figure GéoSpace section.g3w

B. Sections planes d'un parallélépipède rectangle

geometrie dans l'espace - rectangle comme section du parallelepipede - copyright Patrice Debart 2001

Section du parallélépipède par un plan parallèle à la face AEHD.

geometrie dans l'espace - rectangle comme section du parallelepipede - copyright Patrice Debart 2001

Section par un plan parallèle à l'arête [AD].

g3w Télécharger la figure GéoSpace secpave1.g3w

La section d'un parallélépipède rectangle par un plan parallèle à une face ou une arête est un rectangle,
dans le cas où le plan est parallèle à une face, la section est un rectangle ayant les mêmes dimensions que cette face.

Travaux Pratiques 2 - Sections de pyramide

Pyramide régulière

Définition : une pyramide est régulière si sa hauteur passe par le centre de la base.

Cas particuliers

Toutes les arêtes sont de même longueur. :
  • base triangulaire : le tétraèdre régulier,
  • base carrée : la pyramide équilatérale où les faces latérales sont des triangles équilatéraux ; le triangle ACS dans le plan diagonal est rectangle isocèle.

Autre cas particulier de pyramide régulière de base carrée :
   • le triangle ACS du plan diagonal est équilatéral.

Formule du volume d'une pyramide

Le volume de la pyramide est V = 1/3 × Sbase × hauteur,
où Sbase est l'aire de la base et la hauteur est OS.

Volume d'une pyramide à base carrée

Si la base carrée ABCD a pour côté a, Sbase = a2.
Le volume est alors : V = 1/3 × a2 × hauteur = 1/3 × a2 × OS.

Patron de pyramide régulière :
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : patron de pyramide de base carrée

Figure 2.1 : pyramide régulière de base carrée

geometrie dans l'espace - pyramide reguliere - copyright Patrice Debart 2001

Charger la figure GéoSpace pyramide.g3w contenant la pyramide régulière de base carrée ABCD et de sommet S.

Tracer les diagonales du carré de base et le milieu O.
Tracer la hauteur [OS].

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée

Pyramide équilatérale de base carrée

geometrie dans l'espace - pyramide reguliere - copyright Patrice Debart 2001

Pyramide régulière de base carrée, telle que les faces latérales soient des triangles équilatéraux.
Toutes les arêtes sont de même longueur.

g3w Télécharger la figure GéoSpace pyramide_equi.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée - plan diagonal
      Selon le triangle ACS du plan diagonal, cocher les cases :
       • triangle rectangle isocèle,
       • ou triangle équilatéral.

Figure 2.2 : section plane d'une pyramide par un plan parallèle à la base

Sur la hauteur [OS] placer un point variable O’.
Créer le plan Q parallèle à la base de la pyramide, passant par le point O’.
Placer les intersections du plan Q avec les arêtes et les faces de la pyramide.

Quelle est la nature du solide SA’B’C’D’ ?
Le solide ABCDA’B’C’D’ est un tronc de pyramide.

geometrie dans l'espace - section de pyramide - copyright Patrice Debart 2001

Pour visualiser au mieux la figure, déplacer la vue de la pyramide avec la souris en maintenant le bouton droit enfoncé.
Éventuellement, la recentrer en appuyant en plus sur la touche contrôle
.

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr.g3w

Cas général : section plane d'une pyramide en seconde

Figure 2.3 : Tronc de pyramide

geometrie dans l'espace - tronc de pyramide

Après avoir tracé la section carrée A’B’C’D’,
effacer la grande pyramide :
avec le menu style, choisir non dessiné et montrer la pyramide SABCD.

Créer le solide (polyèdre convexe) tronc en le désignant par ses sommets ABCDA’B’C’D’.

Commandes GéoSpace
Déplacer le point A’ avec les souris ou avec les flèches du clavier
Touche P : dessiner /effacer le haut de la Pyramide
Touche F : plan (ABS) de Face
Touche W : vue initiale

g3w Télécharger la figure GéoSpace tronc_py.g3w

 

g3w Pyramide régulière de base pentagonale : télécharger la figure GéoSpace secpyr1.g3w

 

Ci-dessous : section plane d'une pyramide gauche

Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) (hors programme)

Calculez le volume de la pyramide non tronquée,
puis en déduire le volume de la partie tronquée (qui est aussi une pyramide)
 :

En appelant B l'aire de la grande base ABCD et b l'aire de la petite base A’B’C’D’ et h la hauteur du tronc, la formule du volume du tronc est alors :

V = h/3 [B + rac(Bb) + b ].

Pour calculer le volume du tronc de pyramide de base carrée, avec a et b comme longueur des côtés des carrés, les anciens Égyptiens utilisaient une méthode revenant à l'emploi de la formule :

V = h/3 [a2 + ab + b2].

Exemple : problème M14 du papyrus de Moscou

geometrie dans l'espace - figure Geospace du tronc de la pyramide du papyrus de Moscou - copyright Patrice Debart 2001 Papyrus de Moscou - WikiPédiah = OO’ = 6, a = AB = 4, b = A’B’ = 2.

« Si on te dit : une pyramide de 6 pour la hauteur par 4 sur la base, par 2 sur le sommet.

Calcule le carré de 4, le résultat est 16.
Prends le double de 4, le résultat est 8.
Prends le carré de 2, le résultat est 4.
Tu dois additionner le 16, le 8 et le 4, le résultat est 28.
Prends 1/3 de 6, il vient 2.
Prends 2 fois 28, il vient 56.

Le résultat est 56. Tu trouveras cela correct. »

V = 6/3 [42 + 4 × 2 + 22] = 6/3 [16 + 8 + 4] = 2 × 28 = 56.

g3w Télécharger la figure GéoSpace tronc_py_M14.g3w

Figure 2.4 : pyramide gauche

geometrie dans l'espace - pyramide gauche - copyright Patrice Debart 2001 Recommencer avec une pyramide ABCDS de base carrée ABCD, trirectangle en A (figure GéoSpace pyram_d.g3w), telle que l'arête [AS] soit une hauteur de la pyramide.

Placer le point variable A’ sur le segment [AS] et tracer la pyramide réduite SA’B’C’D’.

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace sec_pyr2.g3w

Travaux Pratiques 3

Section et tronc de tétraèdre - Solide composite

Figure 3.1 : section plane et tronc de tétraèdre

geometrie dans l'espace - section plane de tetraedre - copyright Patrice Debart 2001 Recommencer le TP2 précédant avec un tétraèdre régulier : dans le répertoire figures de base, choisir la figure GéoSpace tetreg.g3w.

À partir d'un point A’ situé sur l'arête [AD], trouver les traces (sur le tétraèdre) du plan passant par A’, parallèle au plan de base (ABC).

Tracer les points B’ et C’ intersections de ce plan avec les deux autres arêtes du tétraèdre.

 

Le tronc de tétraèdre ABCA’B’C’ est un polyèdre à 5 faces.

Le tétraèdre réduit A’B’C’D est-il régulier ?

g3w Télécharger la figure GéoSpace tetreg1.g3w

Figure 3.2. solide formé par l'assemblage d'un cube et d'une pyramide

Lanterne : solide composite

geometrie dans l'espace - cube surmonte d'une pyramide - copyright Patrice Debart 2001

g3w Télécharger la figure GéoSpace lanterne.g3w

Dessin d'une pyramide de base carrée posée sur un cube.

g3w Charger la figure GéoSpace de base : cube.g3w.

Tracer la médiatrice d'une des faces du cube (placer les points O au milieu de la face ABCD et H au milieu de la face A’B’C’D’, O et H sont les « milieux de diagonales »).
Placer le point S sur cette médiatrice (HO) et créer le solide l : A’B’C’D’ABCDS.

Pour le dessin du cube, l'option du menu style ne fonctionne pas.
Choisir dans le menu éditer, l'option éditer texte figure.

Après la définition du cube modifier la phrase Dessin de cube: opaque
Rajouter « , non dessiné »

Dessin de cube: opaque, non dessiné

Après la définition de l, insérer :

Dessin de l: opaque

Exécuter le script et valider ; sauvegarder la figure pour la réutiliser.

Obélisque

De même, réaliser un obélisque : solide formé par l'assemblage d'un tronc de pyramide de bases carrées (ou d'un parallélépipède), surmonté d'une pyramide : le pyramidion.

Le volume se calcule grâce à la formule citée après la figure 1.

Wikipédia : Obélisque

Problème bac STI (AA) 1999

Partie A

Une lanterne a la forme d'une pyramide régulière SABCD à base carrée, posée sur un cube ABCDA’B’C’D’.
La hauteur SH de la lanterne est de 30 cm. Soit h, en cm, la hauteur SO de la pyramide et x, en cm, la longueur de l'arête du cube.
On admet que 0 ≤ x ≤ 30.

1. Exprimer en fonction de x la hauteur de la pyramide.
2. Exprimer en fonction de x le volume V de la lanterne.

 

surface de la base × hauteur

On rappelle que le volume d'une pyramide est : V


 

3

Partie B

Étude de la fonction f(x) = (30 x^2 + 2 x^3)/3

Partie C

La longueur de l'arête du cube est de 24 cm. Déterminer alors :

1. le volume V de la lanterne ;
2. la hauteur h de la pyramide ;
3. la longueur SA.

Correction bac STI : parallélépipède dans une pyramide

4. Sections planes de solides de révolution

Cylindres dont les bases sont deux cercles de centres A et B et rayon r.
L'axe (AB) des cylindres est perpendiculaire aux plans des cercles de base.

Cylindre - plan horizontal

Section par un plan perpendiculaire à l'axe (AB) du cylindre, passant par un point M de l'intervalle [AB].

geometrie dans l'espace - section plane de cylindre - copyright Patrice Debart 2001

La section est un cercle de centre M.

g3w Télécharger la figure GéoSpace seccyl1.g3w (touche 1)

Terminale S : Volume d'un tronc de cylindre couché

Cylindre - plan vertical

Section par un plan parallèle à l'axe du cylindre, passant par les points R et S, situés sur un des cercles de base.

geometrie dans l'espace - section verticale de cylindre - copyright Patrice Debart 2001

La section est le rectangle RSTU.

Indication : la translation de vecteur vect(AB) transforme le cercle de base (c) de centre A en (c’), cercle de base de centre B. Les points R et S en U et T : RSTU est un parallélogramme. Les côtés [RU] et [ST], parallèles à l'axe (AB) sont perpendiculaires à la base : un angle droit, d'où un rectangle.

g3w figure GéoSpace seccyl1.g3w (touche 2)

Sphère

geometrie dans l'espace - sphere - copyright Patrice Debart 2001

(S) est une sphère de centre O et de rayon R, (P) un plan.
H est le pied de la perpendiculaire à (P) menée par O.
OH est la distance de O à P, notée d.

On suppose que M est un point commun au plan et à la sphère et on note HM = r.

Dans le triangle OHM, rectangle en H, de la propriété de Pythagore :
HM2 + OH2 = OM2,
on déduit r2 = R2 - d2.

Si d < R, l'ensemble des points d'intersection entre la sphère (S) et un plan (P) situé à une distance d de O est le cercle, du plan (P), de centre H
et de rayon r = rac(R²-d²).

Si d = R, le plan est tangent à la sphère en H.

Si d > R, le plan ne coupe pas la sphère.

g3wTélécharger la figure GéoSpace sphere.g3w

Cône de révolution

geometrie dans l'espace - cone - copyright Patrice Debart 2001

La figure représente un cône de révolution. L'axe du cône est (OS). Sa hauteur OS sera notée h.
O est le centre du cercle de base (c)
et A un point de ce cercle de rayon r = OA.
Soit M un point de [OS] situé à distance h’ de S. On coupe ce cône par un plan (P) perpendiculaire à son axe en M.
Soit A’ le point du plan qui se trouve sur la génératrice [SA].
La propriété de Thalès dans le triangle SOA permet d'écrire A’M/AO = SM/SO,
soit A’M/r = h’/h d'où A’M = r × h’/h.
L'ensemble des points qui sont à la fois dans le plan et sur la surface latérale du cône est un cercle (c’) de centre M et de rayon r’, rayon donné par la formule :
r’ = r × h’/h = rk, où k = h’/h est le rapport de réduction du cône de base le cercle (c’), de hauteur h’ avec le cône de base (c), de hauteur h.

g3w Télécharger la figure GéoSpace secone1.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : cône de révolution

geometrie dans l'espace - verre a moitie pleinÉnigme

Par Serge Cecconi
Vercors
Bimestriel gratuit d'information du Vercors-Sud

Le demi-verre est deux fois plus petit que le verre.

Le rapport des volumes est de 23 = 8.

Pour remplir un verre, il faut huit verres remplis à demi-hauteur.

5. Une fuite de robinet — Le Monde 27 mai-3 juin 1997

geometrie dans l'espace - cube perce - copyright Patrice Debart 2001Le robinet fuit à raison d'un litre par 24 heures.
En attendant le plombier, vous placez sous la fuite un vieux bidon cubique de 30 cm d'arête ouvert sur le dessus.
Seulement voilà, la rouille y a fait exactement trois trous au centre de trois faces, le fond et deux parois contiguës.
Vous inclinez le récipient de manière à recueillir le maximum d'eau et oubliez l'incident (vous oubliez de vider la boîte).

Dans quel délai le plombier doit-il arriver pour éviter l'inondation ?

geometrie dans l'espace - cube perce - copyright Patrice Debart 2001Solutions

Lorsque l'on incline le récipient de manière à rendre horizontal le plan des trois trous, on trouve une pyramide de base triangulaire.
La base est un triangle équilatéral de côté a = 30rac(2).
L'aire du triangle est égale à S = rac(3)/4a2 = 900rac(3)/2.
La hauteur de l'eau est égale au tiers de la diagonale du cube, soit h = 10rac(3).

Le volume est donc V = 1/3 S × h = 4500 cm3 ou encore 4,5 litres.

Dans cette position, on évitera l'inondation si le plombier arrive dans les trois jours.

geometrie dans l'espace - prisme dans un cube - copyright Patrice Debart 2001De nombreuses lettres ont été reçues destinées à améliorer cette solution, comme celle de P. Debart et ses élèves du Caire.
Nous retiendrons particulièrement la solution de la jeune Marie-Chanel, élève de troisième au Lycée Français du Caire
.

Lorsqu'on pose le cube le long d'une arête, on peut le remplir jusqu'au centre d'une face percée. Le volume d'eau qui peut séjourner dans le bidon est celui d'un prisme de base un triangle rectangle de côtés 30×15 cm et de hauteur 30 cm. Il vaut le produit de l'aire de la base (225 cm2) par la hauteur (30 cm), soit 6750 cm3, ou encore 6,75 litres.

On évitera l'inondation si le plombier arrive avant 4 jours et demi.

Élisabeth Busser et Gilles Cohen
Copyright POLE 1997
100 jeux mathématiques du Monde volume 1 - POLE 1999

g3w Télécharger la figure GéoSpace mon_019.g3w

 

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Table de matières

1. Sections planes d'un cube
2. Sections de pyramide
3. Tronc de pyramide - Solide composite
4. Sections planes de solides de révolution
5. Une fuite de robinet

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