Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesLes cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre ; et sept autres solides archimédiens.
Sommaire1. Prisme de base triangulaire Solides de Platon 8. Octaèdre |
Solides d'Archimède 12. Rhombododecaèdre
Page no 109, réalisée le 17/4/2007, mise à jour le 8/5/2009 | |||
GéoSpace en 6e |
GéoSpace en 4e |
Sections planes : |
||
1. Prisme
Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
|
2. Parallélépipède rectangle
Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles. Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.
Volume du parallélépipède rectangle Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur |
3. Cube
Le cube est un solide de Platon.
|
4. Une maison avec GéoSpace
Le volume v est alors de 175 cm3.
|
5. Cube tronqué |
|
Cube aux « coins coupés ». |
Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007 |
|
On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes.
Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins » : cf. figure ci-contre. Voir aussi : « coin du cube » et « cube tronqué » lorsque les côtés du « coin » sont des diagonales du cube. |
Les côtés des triangles sont de longueur inférieure à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube.
Décrire le solide obtenu : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets. Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.
|
6. Tétraèdre régulier |
|
Le tétraèdre régulier est un des cinq solides de Platon.
|
Tronc de tétraèdre
|
Tétraèdre tronqué
Le tétraèdre tronqué est un des 13 solides d'Archimède.
|
|
Le volume de la pyramide est :
Pyramide de Khéops : nombre d'or |
Tronc de pyramide
En appelant B l'aire de la grande base ABCD, b l'aire de la petite base A’B’C’D’et h la hauteur du tronc, le volume du tronc de pyramide est alors : V =
|
Lanterne
|
|
L'octaèdre est formé de deux pyramides (bipyramide) de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux. Les huit faces sont donc des triangles équilatéraux. L'octaèdre est un des cinq solides platoniciens. |
Octaèdre et Cube
On peut construire un octaèdre régulier en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube. Commande GéoSpace Touche C : afficher/effacer le Cube.
|
Octaèdre et tétraèdre régulier
Soit ABCD un tétraèdre régulier (toutes les arêtes ont la même longueur). Pour chaque arête, on joint son milieu avec tous les milieux des arêtes qui ne lui sont pas opposées (par exemple [AB] et [CD] sont des arêtes opposées). La figure obtenue par cette construction est un octaèdre régulier.
Commande GéoSpace Touche T : afficher/effacer le Tétraèdre. |
Octaèdre tronqué
Solide d'Archimède ayant 14 faces : 8 faces hexagonales régulières, 6 faces carrées ; 24 sommets et 36 arêtes de même longueur. Dual : tétrakihexaèdre Commande GéoSpace Touche O : afficher/effacer l'octaèdre.
|
Octaèdre et octaèdre tronqué
|
Polyèdre de Lord Kelvin
À l'intérieur d'un cube, on construit le polyèdre de Lord Kelvin : ses sommets sont les milieux des segments obtenus en joignant les centres des faces aux milieux des arêtes.
Commande GéoSpace |
Patron d'un demi-dodécaèdre
|
DodécaèdreDouze faces, vingt sommets.
|
Pour la construction du dodécaèdre, il faut réaliser 12 pièces identiques composées d'un pentagone régulier et de deux languettes.
Une construction exacte, mais un peu délicate, consiste à faire un nœud simple avec douze bandes de papier de même largeur.
Tirer sur les extrémités afin de mettre à plat le nœud et plier les bandes qui dépassent pour former les deux languettes.
10. IcosaèdreVingt faces, douze sommets.
|
Skwish
Le hochet ci-contre est un icosaèdre avec des arêtes souples en élastique, 6 diagonales rigides, deux à deux parallèles, reliant les 12 sommets, il n'y a que quatre arêtes par sommet. |
Skwish de Manhattan toy
Pour des raisons techniques, afin de n'utiliser qu'un seul fil élastique, il manque les arêtes reliant les sommets situés sur les diagonales parallèles.
|
|
|
Le Skwish / Merveille du mondeL'enfant est né. Les siens, généreux et touchés, l'accueillent avec le meilleur, avec le plus beau, avec le fleuron. Ainsi, le Skwish : un ténor des cadeaux de naissance. Remarquable jouet à structure moléculaire, évocation quadrichromique du big bang et de corps célestes, le Skwish s'est hissé au rang de merveille du monde des jouets. Le Skwish est sorti, dans les années 1980, de l'imagination de Tom Flemons, canadien de la côte Ouest, sculpteur et designer. Un mordu acquis au principe de la tenségrité. Tenségrité : combinaison des mots tension et intégrité, traduisant la faculté d'une structure à se stabiliser par le jeu des forces de tension et de compression qui s'y répartissent et s'y équilibrent. Le Skwish est un système mécanique, auquel Tom Flemons ajoutera des caractères géométriques. | |
11. Dualité - Cinq solides de PlatonDepuis l'Antiquité, les solides de Platon fascinent.
Le cube a six faces et huit sommets et l'octaèdre huit faces et six sommets.
En marquant les centres des faces d'un octaèdre régulier, nous obtenons un cube.
Cube et octaèdre sont en relation de dualité et cette relation est réciproque.
Le tétraèdre avec ses quatre faces, quatre sommets et six arêtes est son propre dual.
Le dodécaèdre a 20 sommets et les 12 faces sont des pentagones réguliers.
L'icosaèdre a 12 sommets et les 20 faces sont des triangles équilatéraux.
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux l'un de l'autre.
Platon, philosophe grec (428 à 348 avant J.-C.), est le premier à démontrer qu'il n'existe pas d'autres solides réguliers dont les faces sont des figures équiangles et équilatères que ces cinq polyèdres (sous-entendu solide convexe, avec même répartition des faces en chaque sommet).
Pour un polyèdre convexe, on a la formule f + s = a + 2, où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.
Vérifier cette formule, énoncée par Descartes, sur les cinq solides de Platon, sur une « lanterne », sur le tétraèdre tronqué.
Voir : relations d'Euler
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre
Dans un mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
« L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2 »
L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est portant rigoureusement équivalente et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.
Preuve de l'équivalence :
Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut 2(n - 2) droits. La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc 4a - 4f droits (en effet, la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
L'égalité de Descartes s'écrit donc 4a - 4f = 2(s - 2). Rigoureusement équivalente à s + f = a + 2.
Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet.
|
Polyèdre dont les douze faces sont des losanges identiques, mais assemblés par trois autour de certains sommets et par quatre autour de certains autres. (ce qui l'empêche d'être classé dans les polyèdres réguliers).
|
On l'obtient à partir d'un cube :
Commande GéoSpace |
|
Solide ayant 14 faces : 6 carrés et 8 triangles équilatéraux ;
|
Cube fortement tronqué
On a coupé les huit « coins » du cube jusqu'aux milieux des arêtes. |
Octaèdre fortement tronqué
On a coupé les six « coins » d'un octaèdre jusqu'aux milieux des arêtes. |
Cube et octaèdre tronqués
Commandes GéoSpace |
On coupe un icosaèdre au tiers de chaque arête, à partir des sommets. |
Commande GéoSpace
|
|
Le petit rhombicuboctaèdre est un solide d'Archimède avec huit faces triangulaires et dix-huit faces carrées ; 24 sommets. |
|
Sommaire1. Prisme de base triangulaire Les 5 solides de Platon 8. Octaèdre Solides d'Archimède 12. Rhombododecaèdre |
TétraèdreTétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde CubeCoin de cube et sections planes : cube en seconde PyramidePartition d'un cube en trois ou six pyramides |
Moteur de recherche - LiensLycée des arènes - Toulouse | |
« Descartes et les Mathématiques »Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. |
Téléchargement
|
e visite des pages « espace »
Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Télécharger la 
Défintions
La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
× Sbase × hauteur, où Sbase est l'aire de la base ABCD et où la hauteur est la distance de S à la base.
[B + b + 
].
Télécharger la 
) }.
