René DescartesDescartes et les Mathématiques

Polyèdres avec GéoSpace

Sur tablette numérique ou smartphone, on bascule automatiquement vers la page GeoGebra 3D polyèdre

Les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre ; et sept autres solides archimédiens.

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire

2. Prisme dont la base est un parallélogramme

3. Cube

4. Une maison avec GéoSpace

5. Cube tronqué

6. Tétraèdre

7. Pyramide

Solides de Platon

8. Octaèdre

9. Dodécaèdre

10. Icosaèdre

11. Dualité – Cinq solides de Platon

Solides d'Archimède

12. Rhombododecaèdre

13. Cuboctaèdre

14. Icosaèdre tronqué

15. Petit rhombicuboctaèdre

Icône GeoGebra Ces figures avec GeoGebra 3D

Icône GeoGebra Classe de sixième

1. Prisme

polyèdre de l'espace - prisme de base triangulaire - copyright Patrice Debart 2007

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : prisme vertical de base triangulaire,

prisme horizontal de base triangulaire

Volume d'un prisme droit : Aire de la base × hauteur = B × h.

2. Parallélépipède rectangle

polyèdre de l'espace - solide à 6 faces rectangulaires - copyright Patrice Debart 2007

Définitions

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

 

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces rectangulaires. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pavé droit

Volume du parallélépipède rectangle

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

3. Cube

polyèdre de l'espace - solide à 6 faces carrées - copyright Patrice Debart 2007

Le cube est un solide de Platon.

Volume du cube de côté a : V = a3.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube,   cube en fil de fer

4. Une maison avec GéoSpace

polyèdre de l'espace - maison - copyright Patrice Debart 2007

La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm3.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : maison

5. Cube coupé ou tronqué

Classe de cinquième

Cube aux « coins coupés » ; cube aux « angles coupés ».

Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007

Cube coupé

Solide à 7 faces.

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes par un plan perpendiculaire à une diagonale du cube.

géométrie dans l'espace - cube tronqué - copyright Patrice Debart 2007

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins » : cf. figure ci-contre à droite.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube au coin coupé,   cube au coin coupé opaque

Voir : « coin du cube » ; « cube fortement tronqué » lorsque les côtés du « cube coupé » sont trois des diagonales faces du cube.
Voir aussi les arts conceptuels de Sol LeWitt : wall drawings

Cube aux huit « coins coupés »

Les côtés des triangles sont de longueur inférieure à la moitié de la longueur d'une diagonale d'une des faces du cube.

polyèdre de l'espace - cube tronqué - copyright Patrice Debart 2007

Polyèdre a 14 faces : 8 triangles équilatéraux et 6 octogones, 24 sommets et 36 arêtes.

Ce solide est un cube tronqué ou hexaèdre tronqué lorsque les faces octogonales sont régulières.

Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_tronque.g3w

Voir aussi : cuboctaèdre

6. Tétraèdre régulier

Classe de troisième

polyèdre de l'espace - solide à 4 faces équilatérales - copyright Patrice Debart 2007

Le tétraèdre régulier est un des cinq solides de Platon.
Les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
Toutes les arêtes sont de même longueur.
Les quatre hauteurs sont aussi des médianes, concourantes au centre de gravité.
Un tétraèdre régulier est orthocentrique.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre régulier

Tronc de tétraèdre

polyèdre de l'espace - tronc de tétraèdre - copyright Patrice Debart 2007

Le tronc de tétraèdre est un solide à 5 faces.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section plane et tronc d'un tétraèdre

Tétraèdre tronqué

polyèdre de l'espace - tétraèdre tronqué - copyright Patrice Debart 2007

Polyèdre a 8 faces : 4 triangles et 4 Hexagones, 12 sommets et 18 arêtes.

Le tétraèdre tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : tétraèdre tronqué

7. Pyramide

polyèdre de l'espace - pyramide régulière - copyright Patrice Debart 2007

Le volume de la pyramide est :
V = 1/3 × Sbase × hauteur, où Sbase est l'aire de la base ABCD et où la hauteur est la distance de S à la base.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée

Pyramide de Khéops : nombre d'or

Tronc de pyramide

polyèdre de l'espace - tronc de pyramide - copyright Patrice Debart 2007

En appelant B l'aire de la grande base ABCD, b l'aire de la petite base A’B’C’D’et h la hauteur du tronc, le volume du tronc de pyramide est alors :

V = h/3 [B + b + rac(Bb) ].

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section plane et tronc d'une pyramide de base carrée

Lanterne - solide composite

polyèdre de l'espace - lanterne formée par un cube et une pyramide - copyright Patrice Debart 2007

Solide composite formé par un cube, coiffé par une pyramide

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : lanterne

Les cinq solides de Platon

Décrire les solides obtenus : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

8. Octaèdre régulier

polyèdre de l'espace - solide à 8 faces équilatérales - copyright Patrice Debart 2007

L'octaèdre est formé de deux pyramides (bipyramide) de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.
La hauteur de chacune des pyramides est égale à la moitié de la longueur de la diagonale de la base.

Les huit faces sont donc des triangles équilatéraux.
6 sommets et 12 arêtes de même longueur.

L'octaèdre est un des cinq solides platoniciens.

Octaèdre inscrit dans un cube

polyèdre de l'espace - octaèdre dans un cube - copyright Patrice Debart 2007

On peut construire un octaèdre régulier en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube.

L'octaèdre est formé de deux pyramides (bipyramide), de base un carré situé dans un plan médiateur du cube.
Les faces latérales sont des triangles équilatéraux.

Les diagonales de l'octaèdre ont pour longueur le côté c du carré.
Les côtés de l'octaèdre mesurent crac(2)/2.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : octaèdre,  

octaèdre d'axe vertical,  

octaèdre inscrit dans un cube

Octaèdre inscrit dans un tétraèdre régulier

polyèdre de l'espace - octaèdre dans un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2007

Soit ABCD un tétraèdre régulier (toutes les arêtes ont la même longueur).

Pour chaque arête, on joint son milieu avec tous les milieux des arêtes qui ne lui sont pas opposées (par exemple [AB] et [CD] sont des arêtes opposées).

La figure obtenue par cette construction est un octaèdre régulier.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : octaèdre inscrit dans un tétraèdre

Commande GéoSpace

Touche T : afficher/effacer le Tétraèdre.

Octaèdre tronqué

polyèdre de l'espace - octaèdre tronqué - copyright Patrice Debart 2007

Solide d'Archimède ayant 14 faces : 8 faces hexagonales régulières, 6 faces carrées ; 24 sommets et 36 arêtes de même longueur.

Dual : tétrakihexaèdre

Octaèdre et octaèdre tronqué

polyèdre de l'espace - octaèdre tronqué - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace octaedre_tronque.g3w

Commande GéoSpace

Touche O : afficher/effacer l'octaèdre.

Polyèdre de Lord Kelvin

polyèdre de l'espace - octaèdre de Lord Kelvin - copyright Patrice Debart 2007

Octaèdre tronqué inscrit dans un cube

À l'intérieur d'un cube, on construit le polyèdre de Lord Kelvin : ses sommets sont les milieux des segments obtenus en joignant les centres des faces aux milieux des arêtes.

g3w Télécharger la figure GéoSpace Lord_kelvin.g3w

Commande GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le cube

9. Dodécaèdre

Dodécaèdre régulier

polyèdre de l'espace - solide à 12 faces pentagonales - copyright Patrice Debart 2007

Douze faces, vingt sommets et trente arêtes de même longueur.

g3w Télécharger la figure GéoSpace dodecaed.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : dodécaèdre

Patron d'un demi-dodécaèdre

patron d'un demi-dodecaèdre avec GéoPlan - copyright Patrice Debart 2007

Dodécaèdre à plat
Former un grand pentagone avec six pentagones

g2w Télécharger la figure GéoPlan dodecaedre_patron.g2w

Dodécaèdre, jardin Bellini Catane Sicile

Dodécaèdre, jardin Bellini Catane Sicile - photo Patrice Debart 2014

Dodécaèdre par pliage de bandes de papier

Pour la construction du dodécaèdre, il faut réaliser 12 pièces identiques composées d'un pentagone régulier et de deux languettes.
  Une construction exacte, mais un peu délicate, consiste à faire un nœud simple avec douze bandes de papier de même largeur.
  Tirer sur les extrémités afin de mettre à plat le nœud et plier les bandes qui dépassent pour former les deux languettes.

Dodécaèdre tronqué

Il est possible de tronquer le dodécaèdre en transformant les pentagones en 12 décagones réguliers, en coupant par 20 triangles équilatéraux. On obtient 60 sommets et 90 arêtes.

10. Icosaèdre

Vingt faces, douze sommets.

polyèdre de l'espace - solide à 20 faces équilatérales - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace icosaedr.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : icosaèdre

Skwish

polyèdre de l'espace - Skwish avec Geospace - copyright Patrice Debart 2007

Le hochet ci-contre est un icosaèdre avec des arêtes souples en élastique, 6 diagonales rigides, deux à deux parallèles, reliant les 12 sommets, il n'y a que quatre arêtes par sommet.

Skwish de Manhattan toy

polyèdre de l'espace - Skwish de Manhattan toy

Pour des raisons techniques, afin de n'utiliser qu'un seul fil élastique, il manque les arêtes reliant les sommets situés sur les diagonales parallèles.

g3w Télécharger la figure GéoSpace skwish.g3w

Le Skwish - Merveille du monde

L'enfant est né. Les siens, généreux et touchés, l'accueillent avec le meilleur, avec le plus beau, avec le fleuron.

Ainsi, le Skwish : un ténor des cadeaux de naissance. Remarquable jouet à structure moléculaire, évocation quadrichromique du big bang et de corps célestes, le Skwish s'est hissé au rang de merveille du monde des jouets.

Le Skwish est sorti, dans les années 1980, de l'imagination de Tom Flemons, Canadien de la côte Ouest, sculpteur et designer. Un mordu acquis au principe de la tenségrité. Tenségrité : combinaison des mots tension et intégrité, traduisant la faculté d'une structure à se stabiliser par le jeu des forces de tension et de compression qui s'y répartissent et s'y équilibrent.

Le Skwish est un système mécanique, auquel Tom Flemons ajoutera des caractères géométriques.

polyèdre de l'espace - Skwish

Cinq solides de Platon

Depuis l'Antiquité, les solides de Platon fascinent.

11. Dualité

Platon

Le cube a six faces et huit sommets et l'octaèdre huit faces et six sommets.
En marquant les centres des faces d'un octaèdre régulier, nous obtenons un cube.
Cube et octaèdre sont en relation de dualité et cette relation est réciproque.

Le tétraèdre régulier, avec ses quatre faces, quatre sommets et six arêtes, est son propre dual.

Le dodécaèdre a 20 sommets et les 12 faces sont des pentagones réguliers.
L'icosaèdre a 12 sommets et les 20 faces sont des triangles équilatéraux.
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux l'un de l'autre.

Platon, philosophe grec (428 à 348 avant J.-C.), est le premier à démontrer qu'il n'existe pas d'autres solides réguliers dont les faces sont des figures équiangles et équilatères que ces cinq polyèdres (sous-entendu solide convexe, avec même répartition des faces en chaque sommet).

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Pour un polyèdre convexe, on a la formule f + s = a + 2, où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.

Vérifier cette formule, énoncée par Descartes, sur les cinq solides de Platon, sur une « lanterne », sur le tétraèdre tronqué.

Voir : quatre relations d'Euler

La version de Descartes

Un article de Wikipédia

Dans un mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
« L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2 » 

L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est portant rigoureusement équivalente et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.

Preuve de l'équivalence :

Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut 2(n - 2) droits. La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc 4a - 4f droits (en effet, la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
L'égalité de Descartes s'écrit donc 4a - 4f = 2(s - 2). Rigoureusement équivalente à s + f = a + 2.

Solides d'Archimède

Les plus beaux polyèdres

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet.

12. Rhombododecaèdre ou dodécaèdre rhombique

Polyèdre dont les douze faces sont des losanges identiques, mais assemblés par trois autour de certains sommets et par quatre autour de certains autres. (ce qui l'empêche d'être classé dans les polyèdres réguliers).

polyèdre de l'espace - solide dont les 12 faces sont des losanges - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace rhombododecaedre.g3w

On l'obtient à partir d'un cube :
on construit les symétriques du centre du cube par rapport à ses faces et on joint les quatorze points (les 8 sommets du cube, plus les 6 symétriques du centre).
En déduire le volume.

polyèdre de l'espace - cube inscrit dans un rhombododecaèdre - copyright Patrice Debart 2007

Commande GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le Cube.

13. Cuboctaèdre

polyèdre de l'espace - cuboctaèdre - copyright Patrice Debart 2007

Solide ayant 14 faces : 6 carrés et 8 triangles équilatéraux ;
12 sommets ; 24 arêtes de même longueur, chacune commune à un triangle et un carré.

g3w Télécharger la figure GéoSpace Cuboctaedre.g3w

Cube fortement tronqué

polyèdre de l'espace - cube tronqué - copyright Patrice Debart 2007

On a coupé les huit « coins » du cube jusqu'aux milieux des arêtes.
Des faces ne subsistent que des carrés ayant pour sommets les milieux des arêtes.

Octaèdre fortement tronqué

polyèdre de l'espace - octaèdre tronqué - copyright Patrice Debart 2007

On a coupé les six « coins » d'un octaèdre jusqu'aux milieux des arêtes.
Ne subsistent des faces que des triangles équilatéraux ayant pour sommets les milieux des arêtes.

Cube et octaèdre tronqués

polyèdre de l'espace - cube et octaèdre fortement tronqués - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace cube_octaedre.g3w

Commandes GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le Cube,
  touche O : afficher/effacer l'octaèdre.

14. Le ballon de football - Icosaèdre tronqué

polyèdre de l'espace - ballon de football - copyright Patrice Debart 2007

On coupe un icosaèdre au tiers de chaque arête, à partir des sommets.
  32 faces : 12 pentagones, 20 hexagones, 60 sommets et 90 arêtes.

polyèdre de l'espace - icosaèdre tronqué - copyright Patrice Debart 2007

Commande GéoSpace
    Touche P : afficher/effacer l'icosaèdre.

g3w Télécharger la figure GéoSpace ballon_football.g3w

15. Petit rhombicuboctaèdre

polyèdre de l'espace - petit rhombicuboctaèdre - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace rhombicuboctaedre.g3w

Le petit rhombicuboctaèdre est un solide d'Archimède avec huit faces triangulaires et dix-huit faces carrées ; 24 sommets.
Les coordonnées des sommets sont toutes les permutations de
{±1 ; ±1 ; ±(1 + rac(2)) }.

Rhombicuboctaèdre de Vinci

polyèdre de l'espace - rhombicuboctaèdre de Vinci

WikiPédia Première version imprimée d'un petit rhombicuboctaèdre, par Léonard de Vinci qui apparaît dans la Divine Proportion de Luca Pacioli (Venise, 1509)

Table des matières

Page mobile friendly Mobile friendly

Me contacter

Dans d'autres pages du site

Icône GéoSpaceavec GéoSpace

Icône GeoGebra GeoGebra en 6e : parallélépipède

Tétraèdre

Tétraèdre tronqué d'Achichimède

Tétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde

Bac S 2014 : optimisation dans un tétraèdre trirectangle

Icône GeoGebra Cube

Coin de cube et sections planes  : cube en seconde

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides

Sections planes de pyramide

Icône GéoSpace Pyramide octogonale

Icône GéoSpace Intersection de plans dans une pyramide

Moteur de recherche - Rétroliens

Logo Google

Préparation au CRPE

Lycée des arènes - Toulouse

Retrouver ces images : bibmath

Téléchargement

doc Télécharger polyedre.doc : ce document au format « .doc »

pdf Télécharger polyedre.pdf : ce document au format « .pdf »

 Statistiques Orange geospacee visite des pages « espace »

Page no 109, réalisée le 17/4/2007
mise à jour le 8/5/2009