René DescartesDescartes et les Mathématiques

Polyèdres avec GéoSpace

Les cinq solides de Platon : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre, icosaèdre ; et sept autres solides archimédiens.

Sommaire

1. Prisme de base triangulaire
2. Prisme dont la base est un parallélogramme
3. Cube
4. Une maison avec GéoSpace
5. Cube tronqué
6. Tétraèdre
7. Pyramide

Solides de Platon

8. Octaèdre
9. Dodécaèdre
10. Icosaèdre
11. Dualité – Cinq solides de Platon

Solides d'Archimède

12. Rhombododecaèdre
13. Cuboctaèdre
14. Icosaèdre tronqué
15. Petit rhombicuboctaèdre

Icône GéoSpaceavec
GéoSpace

Icône GéoSpace GéoSpace en 6e
Parallélépipède rectangle

Icône GéoSpace GéoSpace en 4e
Pyramide

Icône GéoSpace Sections planes :
cube, pyramide en 3e

Icône GéoSpace Tétraèdre,
Cube en 2nde

Classe de sixième

1. Prisme

polyedre de l'espace - prisme de base triangulaire - copyright Patrice Debart 2007Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

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GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : prisme vertical de base triangulaire, prisme horizontal de base triangulaire

Volume d'un prisme droit : Aire de la base × hauteur = B × h.

2. Parallélépipède rectangle

polyedre de l'espace - solide a 6 faces rectangulaires - copyright Patrice Debart 2007Définitions

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces rectangulaires. C'est un prisme droit dont la base est un rectangle.

g3w Télécharger la figure GéoSpace prisme_h.g3w
GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pavé droit

Volume du parallélépipède rectangle

Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur
      = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

3. Cube

polyedre de l'espace - solide a 6 faces carrees - copyright Patrice Debart 2007

Le cube est un solide de Platon.

Volume du cube de côté a : V = a3.

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GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube, cube en fil de fer

4. Une maison avec GéoSpace

polyedre de l'espace - maison - copyright Patrice Debart 2007La reproduction d'une maison a la forme d'un parallélépipède rectangle, surmonté d'un prisme droit.
La longueur du parallélépipède est de 7 cm, sa largeur de 5 cm et sa hauteur de 4 cm.
La hauteur totale de cette maison est de 6 cm.

Le volume v est alors de 175 cm3.

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5. Cube coupé ou tronqué

Classe de cinquième

Cube aux « coins coupés » ; cube aux « angles coupés ».

Rallye Mathématiques Poitou-Charentes - 2007

Cube coupé

Solide à 7 faces.

On a coupé un « coin » du cube au tiers des arêtes par un plan perpendiculaire à une diagonale.

geometrie dans l'espace - cube tronque - copyright Patrice Debart 2007

Représenter en perspective le solide obtenu en coupant, de même manière, les huit « coins » : cf. figure ci-contre à droite.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : cube au coin coupé, cube au coin coupé opaque

Voir : « coin du cube » ; « cube fortement tronqué » lorsque les côtés du « cube coupé » sont trois des diagonales faces du cube.
Voir aussi les arts conceptuels de Sol LeWitt : wall drawings

Cube aux huit « coins coupés »

Les côtés des triangles sont de longueur inférieure à la moitié de la longueur d'une diagonale du cube.

polyedre de l'espace - cube tronque - copyright Patrice Debart 2007

Polyèdre a 14 faces : 8 triangles équilatéraux et 6 octogones, 24 sommets et 36 arêtes.

Ce solide est un cube tronqué ou hexaèdre tronqué lorsque les faces octogonales sont régulières.

Le cube tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

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Voir aussi : cuboctaèdre

6. Tétraèdre régulier

Classe de troisième

polyedre de l'espace - solide a 4 faces equilatereales - copyright Patrice Debart 2007

Le tétraèdre régulier est un des cinq solides de Platon.
Les quatre faces sont des triangles équilatéraux.
Toutes les arêtes sont de même longueur.
Les quatre hauteurs sont aussi des médianes, concourantes au centre de gravité.
Un tétraèdre régulier est orthocentrique.

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Tronc de tétraèdre

polyedre de l'espace - tronc de tetraedre - copyright Patrice Debart 2007

Le tronc de tétraèdre est un solide à 5 faces.

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Tétraèdre tronqué

polyedre de l'espace - tetraedre tronque - copyright Patrice Debart 2007

Polyèdre a 8 faces : 4 triangles et 4 Hexagones, 12 sommets et 18 arêtes.

Le tétraèdre tronqué est un des 13 solides d'Archimède.

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7. Pyramide

polyedre de l'espace - pyramide reguliere - copyright Patrice Debart 2007

Le volume de la pyramide est :
V = 1/3 × Sbase × hauteur, où Sbase est l'aire de la base ABCD et où la hauteur est la distance de S à la base.

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GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : pyramide de base carrée

Pyramide de Khéops : nombre d'or

Tronc de pyramide

polyedre de l'espace - tronc de pyramide - copyright Patrice Debart 2007

En appelant B l'aire de la grande base ABCD, b l'aire de la petite base A’B’C’D’et h la hauteur du tronc, le volume du tronc de pyramide est alors :

V = h/3 [B + b + rac(Bb) ].

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Lanterne - solide composite

Solide composite formé par un cube, coiffé par une pyramide

polyedre de l'espace - lanterne formee par un cube et une pyramide - copyright Patrice Debart 2007

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Les cinq solides de Platon

Décrire les solides obtenus : nombre de faces, nombre d'arêtes, nombre de sommets.

8. Octaèdre régulier

polyedre de l'espace - solide a 8 faces equilaterales - copyright Patrice Debart 2007

L'octaèdre est formé de deux pyramides (bipyramide) de base carrée, dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.
La hauteur de chacune des pyramides est égale à la moitié de la longueur de la diagonale de la base.

Les huit faces sont donc des triangles équilatéraux.
6 sommets et 12 arêtes de même longueur.

L'octaèdre est un des cinq solides platoniciens.

Octaèdre inscrit dans un cube

polyedre de l'espace - octaedre dans un cube - copyright Patrice Debart 2007

On peut construire un octaèdre régulier en prenant pour sommets les centres des faces d'un cube.

g3w Télécharger les figures GéoSpace octaedre.g3w et octaedre_2.g3w

 

Commande GéoSpace

Touche C : afficher/effacer le Cube.

Octaèdre inscrit dans un tétraèdre régulier

polyedre de l'espace - octaedre dans un tetraedre - copyright Patrice Debart 2007

Soit ABCD un tétraèdre régulier (toutes les arêtes ont la même longueur).

Pour chaque arête, on joint son milieu avec tous les milieux des arêtes qui ne lui sont pas opposées (par exemple [AB] et [CD] sont des arêtes opposées).

La figure obtenue par cette construction est un octaèdre régulier.

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_octa.g3w

Commande GéoSpace

Touche T : afficher/effacer le Tétraèdre.

Octaèdre tronqué

polyedre de l'espace - octaedre tronque - copyright Patrice Debart 2007

Solide d'Archimède ayant 14 faces : 8 faces hexagonales régulières, 6 faces carrées ; 24 sommets et 36 arêtes de même longueur.

Dual : tétrakihexaèdre

Octaèdre et octaèdre tronqué

polyedre de l'espace - octaedre tronque - copyright Patrice Debart 2007

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Commande GéoSpace

Touche O : afficher/effacer l'octaèdre.

Polyèdre de Lord Kelvin
    (octaèdre tronqué inscrit dans un cube)

polyedre de l'espace - octaedre de Lord Kelvin - copyright Patrice Debart 2007

À l'intérieur d'un cube, on construit le polyèdre de Lord Kelvin : ses sommets sont les milieux des segments obtenus en joignant les centres des faces aux milieux des arêtes.

g3w Télécharger la figure GéoSpace Lord_kelvin.g3w

Commande GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le cube

9. Dodécaèdre

Dodécaèdre

Douze faces, vingt sommets et trente arêtes de même longueur.

polyedre de l'espace - solide a 12 faces pentagonales - copyright Patrice Debart 2007

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Patron d'un demi-dodécaèdre

Dodécaèdre à plat
Former un grand pentagone avec six pentagones

patron d'un demi-dodecaedre avec Geoplan - copyright Patrice Debart 2007

g2w Télécharger la figure GéoPlan dodecaedre_patron.g2w

Dodécaèdre, jardin Bellini Catane Sicile

Dodécaèdre, jardin Bellini Catane Sicile - photo Patrice Debart 2014

Construction du dodécaèdre par pliage de bandes de papier

Pour la construction du dodécaèdre, il faut réaliser 12 pièces identiques composées d'un pentagone régulier et de deux languettes.
  Une construction exacte, mais un peu délicate, consiste à faire un nœud simple avec douze bandes de papier de même largeur.
  Tirer sur les extrémités afin de mettre à plat le nœud et plier les bandes qui dépassent pour former les deux languettes.

Dodécaèdre tronqué

Il est possible de tronquer le dodécaèdre en transformant les pentagones en 12 décagones réguliers, en coupant par 20 triangles équilatéraux. On obtient 60 sommets et 90 arêtes.

10. Icosaèdre

Vingt faces, douze sommets.

polyedre de l'espace - solide a 20 faces equilaterales - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace icosaedr.g3w

Skwish

polyedre de l'espace - Skwish avec Geospace - copyright Patrice Debart 2007

Le hochet ci-contre est un icosaèdre avec des arêtes souples en élastique, 6 diagonales rigides, deux à deux parallèles, reliant les 12 sommets, il n'y a que quatre arêtes par sommet.

Skwish de Manhattan toy

polyedre de l'espace - Skwish de Manhattan toy

Pour des raisons techniques, afin de n'utiliser qu'un seul fil élastique, il manque les arêtes reliant les sommets situés sur les diagonales parallèles.

g3w Télécharger la figure GéoSpace skwish.g3w

polyedre de l'espace - Skwish

Le Skwish - Merveille du monde

L'enfant est né. Les siens, généreux et touchés, l'accueillent avec le meilleur, avec le plus beau, avec le fleuron.

Ainsi, le Skwish : un ténor des cadeaux de naissance. Remarquable jouet à structure moléculaire, évocation quadrichromique du big bang et de corps célestes, le Skwish s'est hissé au rang de merveille du monde des jouets.

Le Skwish est sorti, dans les années 1980, de l'imagination de Tom Flemons, canadien de la côte Ouest, sculpteur et designer. Un mordu acquis au principe de la tenségrité. Tenségrité : combinaison des mots tension et intégrité, traduisant la faculté d'une structure à se stabiliser par le jeu des forces de tension et de compression qui s'y répartissent et s'y équilibrent.

Le Skwish est un système mécanique, auquel Tom Flemons ajoutera des caractères géométriques.

Cinq solides de Platon

Depuis l'Antiquité, les solides de Platon fascinent.

11. Dualité

 

Le cube a six faces et huit sommets et l'octaèdre huit faces et six sommets.
En marquant les centres des faces d'un octaèdre régulier, nous obtenons un cube.
Cube et octaèdre sont en relation de dualité et cette relation est réciproque.

Le tétraèdre régulier, avec ses quatre faces, quatre sommets et six arêtes, est son propre dual.

Le dodécaèdre a 20 sommets et les 12 faces sont des pentagones réguliers.
L'icosaèdre a 12 sommets et les 20 faces sont des triangles équilatéraux.
Le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux l'un de l'autre.

Platon, philosophe grec (428 à 348 avant J.-C.), est le premier à démontrer qu'il n'existe pas d'autres solides réguliers dont les faces sont des figures équiangles et équilatères que ces cinq polyèdres (sous-entendu solide convexe, avec même répartition des faces en chaque sommet).

Platon

Platon

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Pour un polyèdre convexe, on a la formule f + s = a + 2, où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.

Vérifier cette formule, énoncée par Descartes, sur les cinq solides de Platon, sur une « lanterne », sur le tétraèdre tronqué.

Voir : relations d'Euler

La version de Descartes

Un article de Wikipédia

Dans un mémoire inédit, Descartes énonce le théorème suivant :
« L'angle droit étant pris pour unité, la somme des angles de toutes les faces d'un polyèdre convexe est égale à quatre fois le nombre de sommets diminué de 2 » 

L'aspect du théorème semble fort éloigné de la relation d'Euler. Elle lui est portant rigoureusement équivalente et Descartes, dans les applications qu'il en fait, passe assez naturellement de cette forme à celle d'Euler.

Preuve de l'équivalence :

Il faut se servir de la propriété de la somme des angles d'un polygone convexe : si le polygone convexe a n côtés, la somme des angles vaut 2(n - 2) droits. La somme de tous les angles sur toutes les faces est donc 4a - 4f droits (en effet, la somme des nombres de côtés de chaque face donne deux fois le nombre d'arêtes).
L'égalité de Descartes s'écrit donc 4a - 4f = 2(s - 2). Rigoureusement équivalente à s + f = a + 2.

Solides d'Archimède

Les plus beaux polyèdres

Solide d'Archimède (287-212 av. J.-C.) : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet.

12. Rhombododecaèdre ou dodécaèdre rhombique

Polyèdre dont les douze faces sont des losanges identiques, mais assemblés par trois autour de certains sommets et par quatre autour de certains autres. (ce qui l'empêche d'être classé dans les polyèdres réguliers).

polyedre de l'espace - solide dont les 12 faces sont des losanges - copyright Patrice Debart 2007

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On l'obtient à partir d'un cube :
on construit les symétriques du centre du cube par rapport à ses faces et on joint les quatorze points (les 8 sommets du cube, plus les 6 symétriques du centre).
En déduire le volume.

polyedre de l'espace - cube inscrit dans un rhombododecaedre - copyright Patrice Debart 2007

Commande GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le Cube.

13. Cuboctaèdre

polyedre de l'espace - cuboctaedre - copyright Patrice Debart 2007

Solide ayant 14 faces : 6 carrés et 8 triangles équilatéraux ;
12 sommets ; 24 arêtes de même longueur, chacune commune à un triangle et un carré.

g3w Télécharger la figure GéoSpace Cuboctaedre.g3w

Cube fortement tronqué

polyedre de l'espace - cube tronque - copyright Patrice Debart 2007

On a coupé les huit « coins » du cube jusqu'aux milieux des arêtes.
Des faces ne subsistent que des carrés ayant pour sommets les milieux des arêtes.

Octaèdre fortement tronqué

polyedre de l'espace - octaedre tronque - copyright Patrice Debart 2007

On a coupé les six « coins » d'un octaèdre jusqu'aux milieux des arêtes.
Ne subsistent des faces que des triangles équilatéraux ayant pour sommets les milieux des arêtes.

Cube et octaèdre tronqués

polyedre de l'espace - cube et octaedre fortement tronques - copyright Patrice Debart 2007

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Commandes GéoSpace
  Touche C : afficher/effacer le Cube,
  touche O : afficher/effacer l'octaèdre.

14. Le ballon de football - Icosaèdre tronqué

polyedre de l'espace - ballon de football - copyright Patrice Debart 2007

On coupe un icosaèdre au tiers de chaque arête, à partir des sommets.
  32 faces : 12 pentagones, 20 hexagones, 60 sommets et 90 arêtes.

polyedre de l'espace - icosaedre tronque - copyright Patrice Debart 2007

Commande GéoSpace
    Touche P : afficher/effacer l'icosaèdre.

g3w Télécharger la figure GéoSpace ballon_football.g3w

15. Petit rhombicuboctaèdre

polyedre de l'espace - petit rhombicuboctaedre - copyright Patrice Debart 2007

g3w Télécharger la figure GéoSpace rhombicuboctaedre.g3w

Le petit rhombicuboctaèdre est un solide d'Archimède avec huit faces triangulaires et dix-huit faces carrées ; 24 sommets.
Les coordonnées des sommets sont toutes les permutations de
{±1 ; ±1 ; ±(1 + rac(2)) }.

Rhombicuboctaèdre de Vinci

polyedre de l'espace - rhombicuboctaedre de Vinci

WikiPédia Première version imprimée d'un petit rhombicuboctaèdre, par Léonard de Vinci qui apparaît dans la Divine Proportion de Luca Pacioli (Venise, 1509)

 

Table de matières

1. Prisme de base triangulaire
2. Prisme dont la base est un parallélogramme
3. Cube
4. Une maison avec GéoSpace
5. Cube tronqué
6. Tétraèdre
7. Pyramide

Les 5 solides de Platon

8. Octaèdre
9. Dodécaèdre
10. Icosaèdre
11. Dualité – Cinq solides de Platon

Solides d'Archimède

12. Rhombododecaèdre
13. Cuboctaèdre
14. Icosaèdre tronqué
15. Petit rhombicuboctaèdre

Tétraèdre

Tétraèdre tronqué d'Achichimède

Tétraèdre orthocentrique : tétraèdre en seconde
Bac S 2014 : optimisation dans un tétraèdre trirectangle

Cube

Coin de cube et sections planes  : cube en seconde

Pyramide

Partition d'un cube en trois ou six pyramides
Sections planes de pyramide
Pyramide octogonale
Intersection de plans dans une pyramide

Moteur de recherche - Rétroliens

Logo Google

Préparation au CRPE
Lycée des arènes - Toulouse

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Page no 109, réalisée le 17/4/2007, mise à jour le 8/5/2009