René DescartesDescartes et les Mathématiques

Section de tétraèdre par un plan

Sur tablette ou smartphone, on bascule automatiquement vers la version GeoGebra 3D

Intersection d'un plan avec les faces ou avec le plan de base d'un tétraèdre.

Sommaire

1. Triangle comme section d'un tétraèdre

2. Parallélogramme comme section d'un tétraèdre

3. Quadrilatère comme section d'un tétraèdre par un plan

4. Trapèze comme section d'un tétraèdre

5. Trois points sur les faces d'un tétraèdre

6. Parallélogramme et tétraèdre

7. Projection orthogonale

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Programme de 1ère S (2009)

La géométrie dans l'espace est source de situations permettant de mettre en œuvre de nouveaux outils de l'analyse ou de la géométrie plane, notamment dans des problèmes d'optimisation.

Malgré cet entête, la géométrie dans l'espace a disparu du nouveau programme !

Sections planes : En général, dans les exercices ci-dessous nous décrivons la construction point par point des sections, en explicitant les divers cas particuliers.

Avec GéoSpace, lorsque l'on s'intéresse uniquement au résultat, il est possible de créer facilement ces sections avec le menu :
Ligne>Polygone convexe>Section d'un polyèdre par un plan.
Dans ce cas, les sommets ne sont pas nommés, donc non réutilisables.

1. Triangle comme section plane d'un tétraèdre

Coupe d'un tétraèdre par un plan

Soit trois points I, J et K sur les arêtes concourantes au sommet A d'un tétraèdre

géométrie dans l'espace - triangle section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_1tp1.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : triangle comme section plane d'un tétraèdre

Plan déterminé par leurs intersections avec des arêtes concourantes

I est un point de [AB], J de [AC] et K de [AD].

a. Section plane

Créer la section du tétraèdre par le plan (IJK).
Déplacer  les points I, J et K et observer la section obtenue.

b. Trouver l'intersection du plan (IJK) avec le plan de base (BCD).

Dans la face ABC, étudier l'intersection des droites (IJ) et (BC). On suppose que ces deux droites ne sont pas parallèles, leur point L d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).
De même dans la face ACD, étudier l'intersection des droites (JK) et (CD). Si ces deux droites sont parallèles, voir le cas particulier ci-dessous, sinon leur point M d'intersection appartient aux plans (IJK) et (BCD).

On en déduit alors que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (ML).

Enfin, trouvez le point N d'intersection des droites (KI) et (BD) situé dans la face ABD.
En général ces deux droites sont sécantes en N.

Règle d'incidence : Pour prouver l'alignement de trois points dans l'espace, on peut montrer que ces trois points sont communs à deux plans sécants, ils sont alors sur la droite d'intersection de ces deux plans.

Les points L, M et N, lorsque qu'ils existent, sont alignés. Ces points appartiennent à la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).

1.b. Cas particulier : section par un plan parallèle à une arête du tétraèdre

géométrie dans l'espace - triangle section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

Par exemple : trouver l'intersection avec la base d'une section contenant une droite (JK), parallèle l'arête (CD).

On suppose que le point I n'est pas dans un plan parallèle à la base BCD.

L est le point d'intersection des droites (IJ) et (BC),
N est le point d'intersection des droites (KI) et (BD).

(LN) est la droite d'intersection des plans (IJK) et (BCD).

D'après le théorème du toit, (LN) est parallèle à (CD).

 

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_1_para.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : section du tétraèdre par un plan parallèle à une arête

2. Parallélogramme comme section par un plan parallèle à deux arêtes du tétraèdre

géométrie dans l'espace - parallélogramme comme section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

Tracer la section d'un tétraèdre par un plan parallèle à deux arêtes

Construction

ABCD est tétraèdre.
M est un point de l'arête [AC].

Construire la section du tétraèdre par le plan (P) passant par M et parallèle aux arêtes [AB] et [CD].

Montrer que la section plane MNQR est un parallélogramme.

Démonstration
(CD) est parallèle à (MN). Par le théorème du toit (QR), intersection des plans (P) et (BCD), est parallèle à (CD).
Donc (MN)//(QR).
De même (MR) //(AB) est parallèle à (NQ).

MNQR est un parallélogramme.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : parallélogramme comme section du tétraèdre

2.b. Réciproque : parallélogramme comme section d'un tétraèdre

géométrie dans l'espace - parallélogramme section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

ABCD est un tétraèdre non aplati.
Montrer que si l'intersection d'un plan et d'un tétraèdre est un parallélogramme, les côtés du parallélogramme sont parallèles à des côtés du tétraèdre
.

Si la section IJKL est un parallélogramme, les droites (IJ) et (LK) sont parallèles, la droite (IJ) est contenue dans le plan (ABC), (LK) contenue dans le plan (DBC). Ces plans se coupent selon la droite (BC), d'après le théorème du toit les droites (IJ) et (LK) sont parallèles à (BC).

De même, les droites (IL) et (JK) sont parallèles à (AD).

La section plane est parallèle à deux arêtes du tétraèdre.

Deux parallélogrammes, sections d'un tétraèdre, parallèles à deux arêtes

Soit I un point de l'arête[AB] d'un tétraèdre ABCD.
Par I on peut tracer deux couples de droites d1 et d2 parallèles aux arêtes opposées (BC) et (AD), ou d3 et d4 parallèles aux arêtes opposées (AC) et (BD).
Les plans passants par I, contenant les droites d1et d2 d'une part (cas de la figure), ou d3 et d4 d'autre part, coupent le tétraèdre suivant des parallélogrammes de sommet I.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : 2 parallélogrammes sections planes du tétraèdre

géométrie dans l'espace - trois parallelogrammes sections planes d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

2.c. Trois parallélogrammes, sections planes d'un tétraèdre, passant par un point

Par un point M d'une face non situé sur une arête du tétraèdre, on peut faire passer trois droites parallèles aux côtés de cette face. Les sections des trois plans contenant ces droites et parallèles aux arêtes opposées sont des parallélogrammes contenant M.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : trois parallélogrammes sections planes du tétraèdre

Pour un point M de l'espace non situé sur les arêtes du tétraèdre, il existe trois plans, passant par M, coupant le tétraèdre suivant des parallélogrammes.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : 3 parallélogrammes comme sections du tétraèdre

3. Quadrilatère comme section d'un tétraèdre par un plan

Section d'un tétraèdre par un plan déterminé par deux points sur deux arêtes concourantes et un troisième point sur une autre arête

géométrie dans l'espace - quadrilatère comme section de tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

Quadrilatère comme section d'un tétraèdre.

g3w Télécharger la figure GéoSpace tetra_s2.g3w

3.b. Construction d'un quadrilatère comme section d'un tétraèdre

géométrie dans l'espace - quadrilatre section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

I est un point de [AB], J de [AC] et K de [CD].

Section plane par le plan (IJK)

Si (IJ) n'est pas parallèle à (BC), ces deux droites se coupent en M.

La droite (MK) coupe [BD] en L.

Le quadrilatère IJKL est la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Voir ci-dessus le cas particulier du parallélogramme.

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube :quadrilatère comme section plane d'un tétraèdre

GeoGebra Section d'un tétraèdre par un plan déterminé par deux points sur deux arêtes concourantes et un troisième point sur la quatrième face ne contenant pas ces arêtes.
Figures 3D dans GeoGebra Tube
Figure de base : trois points sur un tétraèdre - Correction

Réalisation : construction de la section plane d'un tétraèdre

4. Trapèze comme section d'un tétraèdre

géométrie dans l'espace - trapèze section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_3tp1.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : trapèze comme section plane d'un tétraèdre

Cette activité est extraite du logiciel INTERESP, qui accompagne GéoSpace.

Sur un tétraèdre ABCD, soit I le milieu du segment [AD], J le milieu du segment [BD] et K un point de la face (ABC).

Construire la section du tétraèdre par le plan (IJK).

Solution :

(IJ) droite des milieux du triangle ABD est parallèle à (AB). Par le théorème du toit, l'intersection du plan (IJK) et du plan (ABC) est la droite parallèle à (AB) passant par K. Cette droite rencontre (BC) en L et (AC) en M.

La section plane est le trapèze IJLM.

5. Section plane passant par trois points I, J et K situés sur les faces d'un tétraèdre

géométrie dans l'espace - section triangulaire d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_2tp1.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube section déterminée par 3 points sur 3 faces d'un tétraèdre

Si le plan (IJK) est parallèle au plan de base (BCD), la section est un triangle aux côtés parallèles à ceux du triangle ABC, contenant les trois points I, J K.

Sinon :

a. Trouver l'intersection du plan (IJK) avec la base (BCD).

Utilisez les plans (AIK) et (AJK).

Montrez que le plan (IJK) coupe le plan horizontal (BCD) suivant la droite (QR).

b. Trouver l'intersection de la section plane avec les autres faces du tétraèdre.

Tracez le point d'intersection S de la droite (QR) avec (BC) et déduisez-en l'intersection du plan (IJK) avec la face (ABC).

Si le point S est entre B et C, la section est un quadrilatère, sinon lorsque S est à l'extérieur de [BC], on obtient une section triangulaire.

6. Parallélogramme et tétraèdre

géométrie dans l'espace - parallélohgramme section plane d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_3tp2.g3w

GeoGebra Figure 3D dans GeoGebra Tube : parallélogramme dans un tétraèdre

ABCD est un tétraèdre, I et J sont les milieux respectifs de [AC] et [BD]

8.a. Montrer l'égalité vectorielle vec(AD) + vec(CB) = 2 vec(IJ)

8.b. Soit k un réel donné dans l'intervalle ]0, 1[.
On définit les points M, N, P, Q par :
vec(AM) = k vec(AB) ; vec(AN) = k vec(AD) ; vec(CP) = k vec(CD) ; vec(CQ) = k vec(CB).

Montrer que MNPQ est un parallélogramme. Soit K son centre.

Montrer vec(IK) = k vec(IJ), donc que K appartient au segment [IJ].

Pour k = 1/2, on trouve que K, centre de gravité du tétraèdre, est le milieu des trois segments dont les extrémités sont les milieux des arêtes opposées.

8.c. Démontrer qu'étant donné un point K du segment [IJ], il existe un unique point N de [AD] et un unique point Q de [BC] tels que K soit le milieu de [NQ].

7. Projection orthogonale

géométrie dans l'espace - projection d'un tétraèdre - copyright Patrice Debart 2006

Montrer qu'un tétraèdre se projette orthogonalement sur un plan suivant un parallélogramme si et seulement s'il admet deux arêtes opposées dont les milieux sont sur une même perpendiculaire au plan de projection.

Indications

Les projections des deux arêtes opposées sont les diagonales du parallélogramme. Le point K, projection des milieux des arêtes, est le milieu des diagonales. Les diagonales se coupent en leur milieu, d'où parallélogramme.

Réciproquement, si la projection est un parallélogramme, la perpendiculaire au plan de projection passant par le milieu des diagonales intercepte les milieux des arêtes.

g3w Télécharger la figure GéoSpace tet_4tp2.g3w


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