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Tétraèdre en seconde

Géométrie dans l'espace au lycée avec GéoSpace : tétraèdre orthocentrique

Classes de seconde

1. Orthogonalité dans l'espace : définitions

Deux droites de l'espace sont perpendiculaires lorsqu'elles sont sécantes et forment un angle droit (dans le plan qui les contient toutes deux).

Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l'espace sont perpendiculaires.

Avec GéoSpace, créer une vue avec un plan de face contenant une des droites pour visualiser l'orthogonalité.

Théorème de la porte

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes distinctes de ce plan.

Truc du menuisier : la droite (d), perpendiculaire aux droites (d₁) et (d₂) sécantes en O, est perpendiculaire au plan (p). La porte (p₁) tourne alors normalement autour de (d).

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Théorème : une droite perpendiculaire à deux droites sécantes distinctes d'un plan est orthogonale à ce plan (ces deux droites sont sécantes au point d'intersection de la droite orthogonale et du plan).

Propriété : une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.

Remarque : pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer que l'une des droites appartient à un plan orthogonal à l'autre.

2. Tétraèdre ayant des hauteurs concourantes

Soit ABCD un tétraèdre non plat. On projette orthogonalement les sommets sur les faces opposées ; on obtient respectivement les points H, P, Q, R.

Technique GéoSpace : A, B et C sont trois points libres de l'espace, D est un point libre dans le plan perpendiculaire à (AB) passant par C.

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3. Tétraèdre orthocentrique

Définition : un tétraèdre qui a ses quatre hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.

Propriétés :

• Un tétraèdre orthocentrique a ses arêtes opposées orthogonales deux à deux.
• Les quatre hauteurs sont concourantes en G orthocentre du tétraèdre. Le point G est aussi le point de concours des trois perpendiculaires communes aux couples d'arêtes opposées.
• Les pieds des hauteurs sont les orthocentres des faces opposées.
• La somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est la même pour chacune des trois paires d'arêtes opposées :
Pour un tétraèdre ABCD on a : AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA².

Le but de cette activité est de montrer qu'une des quatre propriétés suivantes est suffisante pour caractériser un tétraèdre orthocentrique :

• Deux couples d'arêtes opposées sont orthogonales,
• Trois des hauteurs sont concourantes,
• Le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la face opposée,
• AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA².

Technique GéoSpace : Pour tracer un tétraèdre orthocentrique, placer trois points A, B et C libres de l'espace, et un point D libre sur la droite (d) intersection des plans orthogonaux à (AB) passant par C et à (BC) passant par A (la droite (d) est la perpendiculaire au plan (ABC) passant par l'orthocentre du triangle ABC).

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Propriété caractéristique : un tétraèdre qui a deux couples d'arêtes opposées orthogonales est orthocentrique

Soit ABCD un tétraèdre dont les arêtes opposées [AB] et [CD] soient orthogonales ainsi que [BC] et [AD].

a. La hauteur (AH) est perpendiculaire au (BCD) donc orthogonale à la droite (CD) contenue dans ce plan. La droite (CD) est orthogonale à (AB) par hypothèse. Le plan (ABH), qui contient ces droites (AB) et (AH), est perpendiculaire à (BC). La droite (BH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (CD) : c'est une hauteur du triangle BCD.

b. De même, la droite (BC) est orthogonale à la hauteur (AH) et à (AD) par hypothèse, donc perpendiculaire au plan (ADH). La droite (DH) contenue dans ce plan est perpendiculaire à (BC) : c'est une deuxième hauteur du triangle BCD.
Le point H, situé sur deux hauteurs, est l'orthocentre du triangle BCD.
Le pied H de la hauteur (AH) du tétraèdre est l'orthocentre de la face (BCD).

c. Les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes en G orthocentre du tétraèdre.

Les arêtes opposées [AB] et [CD] sont orthogonales, d'après le paragraphe a. Les hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en I, et les hauteurs (CQ) et (DR) sont concourantes en J, I et J étant sur la perpendiculaire commune (A’C').
Les arêtes opposées [BC] et [AD] sont orthogonales, les hauteurs (AH) et (DR) sont concourantes en K, le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DR), les points I et J.

La droite (A’C') n'est pas incluse dans le plan (ADH), l'intersection avec plan est réduite à un point G. Les points I et J, communs à (ADH) et à (A’C') sont confondus en G.

Première réciproque : un tétraèdre qui a trois hauteurs concourantes est orthocentrique

Les hauteurs (AH), (BP) et (CQ) d'un tétraèdre ABCD sont concourantes.
Montrer que le tétraèdre est orthocentrique.

Solution

Les deux hauteurs (AH) et (BP) sont concourantes en G, les arêtes (AB) et (CD) sont orthogonales.
Les deux hauteurs (AH) et (CQ) sont concourantes en G, les arêtes (AC) et (BD) sont orthogonales.
Deux couples d'arêtes opposées sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique.

Deuxième réciproque : le pied d'une des hauteurs est l'orthocentre de la face opposée

Soit ABCD un tétraèdre, la projection orthogonale H du sommet A sur la face (BCD) est l'orthocentre H du triangle BCD.

Montrer que la droite (BC) est orthogonale à (AH) et perpendiculaire à (HD),
en déduire que (BC) est orthogonale à (AD),
conclure que le tétraèdre est orthocentrique.

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Solution

La droite (AH), orthogonale au plan (BCD), est orthogonale à toutes les droites de ce plan donc à la droite (BC).
H étant l'orthocentre du triangle BCD, (DH) hauteur issue de D est perpendiculaire au côté (BC).

Le plan (ADH) contient les droites (AH) et (DH). Ces deux droites distinctes et sécantes en H ne sont pas parallèles ; elles sont orthogonales à la droite (BC), donc la droite (BC) est orthogonale au plan (ADH).
Cette droite (BC), orthogonale au plan (ADH), est orthogonale à toutes les droites de ce plan, donc à la droite (AD).

Les droites (BC) et (AD) sont orthogonales.

Une démonstration identique montrerait que (CD) et (AB) sont orthogonales. Le tétraèdre ABCD est orthocentrique ; les arêtes (BD) et (AC) sont aussi orthogonales.

Avec GéoSpace, créer une vue avec le plan BCD de face pour visualiser ces orthogonalités.

Groupe orthocentrique

Les quatre sommets A, B, C, D, d'un tétraèdre orthocentrique, et l'orthocentre H forment un groupe orthocentrique de cinq points A, B, C, D, H, tels que la droite qui joint deux quelconques d'entre eux est orthogonale au plan formé par les trois autres.

Voir : groupe orthocentrique dans le plan

Relations métriques

On considère un tétraèdre orthocentrique ABCD.

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD].

a. Déterminer la nature du quadrilatère IKJL.
b. Démontrer que les trois segments ayant pour extrémités les milieux des arêtes opposées ont même longueur a.
c. Démontrer que la somme des carrés des longueurs de deux arêtes opposées est égale à 4a².

Indications

a. IKJL est un rectangle.
b. Les diagonales d'un rectangle sont égales : IJ = KL = MN = a ; a est aussi la distance entre deux arêtes opposées.
c. Calculer par différence comme au paragraphe 2. « tétraèdre ayant des hauteurs concourantes », on trouve :
AB² + CD² = CA² + DB² = CB² + DA² = 4a².

Voir réciproque en terminale S : produit scalaire dans l'espace

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Relation vectorielle

ABCD est un tétraèdre. On appelle I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD].

Démontrer que + = + = 2 .

4. Cas particulier : tétraèdre régulier

ABCD est un tétraèdre, dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux.
On appelle I et J les milieux respectifs des arêtes [AB] et [CD].
Démontrer que les arêtes opposées (celles qui ne se coupent pas) sont orthogonales.
Montrer que la droite (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

Solution

Le fait que toutes les faces soient des triangles équilatéraux devant être utilisé, considérons le milieu J de [CD].
BCD est un triangle équilatéral, la médiane (BJ) est aussi hauteur, donc (BJ) est perpendiculaire à (CD).
De même, puisque le triangle ACD est équilatéral, la médiane (AJ) est perpendiculaire à (CD).
Le plan (ABJ) contient donc deux droites sécantes perpendiculaires à (CD) ; la droite (CD) est par conséquent orthogonale au plan (ABJ).
La droite (CD) est alors orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ). Elle est en particulier
orthogonale à la droite (AB), contenue dans ce plan.

Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
Une démonstration identique montrerait que (AD) et (BC), ainsi que (AC) et (BD) sont orthogonales.

Par ailleurs, la droite (CD), orthogonale à toutes les droites du plan (ABJ), est orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (CD) est perpendiculaire à (IJ).
Une étude analogue montrerait que la droite (AB) est orthogonale au plan (CDI) et quelle est donc orthogonale à la droite (IJ) contenue dans ce plan : (AB) est perpendiculaire à (IJ).
La droite (IJ) est la perpendiculaire commune aux droites (AB) et (CD).

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Sommaire
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5. Tétraèdre et orthogonalité

Dans un plan (p) on considère le triangle ABC rectangle en A.
Soit (d) la droite passant par B et orthogonale à (p).
On considère un point D de (d) distinct de B.

1. Montrer que les faces du tétraèdre ABCD sont des triangles rectangles.

2. Montrer que les sommets du tétraèdre sont équidistants du milieu I de [CD].

Indications

[AI] est la médiane issue du l'angle droit dans le triangle rectangle ADC, donc AI = CD/2,
de même, pour la médiane [BI] du triangle rectangle BDC on a BI = CD/2.
Le tétraèdre est inscrit dans la sphère de diamètre [CD].

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6. Tétraèdre tronqué

Sur chaque arête d'un tétraèdre régulier, placer les deux points situés au tiers et aux deux tiers du côté.
Le solide ayant pour sommets ces douze points est un tétraèdre tronqué.
C'est un polyèdre semi-régulier dont quatre des huit faces sont des triangles équilatéraux, les autres faces étant quatre hexagones réguliers.
Le tétraèdre tronqué est un des13 solides d'Archimède.

Commande GéoSpace
Taper T pour afficher le tétraèdre

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Sommaire 1. Orthogonalité : définitions 2. Tétraèdre ayant des hauteurs concourantes 3. Tétraèdre orthocentrique 4. Cas particulier : tétraèdre régulier 5. Tétraèdre et orthogonalité 6. Tétraèdre tronqué			Outils pour l'espace GéoSpace en seconde Cube
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