René DescartesDescartes et les Mathématiques

Newton (1643-1727)

Un grand mathématicien du moyen-âge

Isaac Newton

Isaac Newton est un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais, né le 4 janvier 1643, décédé le 31 mars 1727.

Il est surtout reconnu pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation universelle et la création, en concurrence avec Leibniz, du calcul infinitésimal.

En optique, il a développé une théorie de la couleur basée sur l'observation selon laquelle un prisme décompose la lumière blanche en un spectre visible.

Il a aussi inventé le télescope à réflexion composé d'un miroir primaire concave appelé télescope de Newton.

Sommaire

1. Isaac Newton

2. Le problème de Pappus

3. Ellipse tangente à 5 droites

3.1. Construction du centre de l'ellipse

3.2. Construction du point de contact avec [BC]

3.5. Ellipse passant par cinq points

4. Newton dans ce site

5. Principes mathématiques de la philosophie naturelle

2. Le problème de Pappus

Newton démontra le problème à quatre droites de Pappus, que Descartes avait déjà étudié.

Principes mathématiques de la philosophie naturelle-page 90

 

Principes mathématiques de la philosophie naturelle-figure 45

 

 

Principes mathématiques de la philosophie naturelle-page 91

Newton précise que sa solution ne consiste pas en un calcul analytique, mais une démonstration géométrique, telle que l'exigeait les Anciens.

Principes mathématiques de la philosophie naturelleb-figure 46

 

3. Conique tangente à cinq droites

Principes mathématiques de la philosophie naturelle-page 106

...

3.1. Construction du centre de l'ellipse

Les tangentes ABG, BCF, GCD, FDE et EA sont données.

Principes mathématiques de la philosophie naturelle-centre de l'ellipse

M et N sont les milieux des diagonales [AF] et [BE] du quadrilatère ABFE, formé par quatre des tangentes.
La droite (MN) menée par les milieux passe par le centre de l'ellipse.

P et Q sont les milieux des diagonales [BD] et [GF] du quadrilatère croisé BGDF, formé par quatre autres des cinq même tangentes
La droite (PQ) des milieux passera encore par le centre de l'ellipse.

Ainsi O est le point d'intersection de (MN) et (PQ).

Principes mathématiques de la philosophie naturelleb-figure 63

Figure de Newton

3.2. Construction du point de contact B1 avec [BC]

point de contact de l'ellipse à [BC]

Tirer ensuite (KL), symétrique de la tangente (BC) par rapport à O, donc (KL), parallèle à (BC),est une tangente à la conique.

L et K sont les points où cette nouvelle tangente coupe les tangentes DCG et EDF.

C, K et F, L sont les points où les tangentes parallèles rencontrent les tangentes non parallèles (CK) et (FL).
Les droites (CK) et (FL) se coupent en R.
Par le centre O, la droite (RO) coupe les deux tangentes (CF) et (KL) en B1 et B2, points de la conique.

3.3. Construction du point de contact A1 avec [AB]

point de contact de l'ellipse à [BC]

Par la même méthode, par rapport à O, tracer la tangente symétrique à (AB).
L1 et K1 sont les points où cette nouvelle tangente coupe les tangentes non parallèles (BC) et (CD).
Les droites (BK1) et (GL1) se coupent en R1.
La droite (R1O) coupe les deux tangentes parallèles (AB) et (K1L1) en A1 et A2, deux autres points de la conique.

3.4. Construction du point de contact C1 avec [CD]

point de contact de l'ellipse à [CD]

De même, tracer la tangente symétrique à (CD) par rapport au centre O..
L2 et K2 sont les points où cette nouvelle tangente coupe les tangentes non parallèles (BC) et (AE).
Les droites (CK2) et (HL2) se coupent en R2.
La droite (R2O) coupe les deux tangentes parallèles (CD) et (K2L2) en C1 et C2, deux autres points de la conique.

3.5. Ellipse passant par cinq points

Ellipse de Newton passant par cinq points

Les trois points de contact A1, B1, C1 et deux autres points A2, B2 déterminent cinq points de la conique solution, tangente aux cinq droites.

GeoGebra Figure dans GeoGebra Tube : Ellipse de Newton tangente à 5 droites

4. Newton dans ce site

Droite de Newton d'un triangle.

Relation de Newton pour une division harmonique : [A, B, C, D] = −1 si et seulement si IA2 = IB2 = vect(IC) . vect(ID) où I est le milieu de [AB].

Trident de Newton (ou parabole de Descartes)
La solution du problème de Pappus à cinq droites, où quatre droites sont parallèles et la cinquième perpendiculaire aux autres est une cubique, que Newton a nommé trident.

5. Œuvre de Newton

Philosophiae naturalis principia ... - gallica.bnf.fr [latin]

Principes mathématiques de la philosophie naturelle [traduit du latin]

Table des matières

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