René DescartesDescartes et les Mathématiques

Histoire des mathématiques

Références historiques.

On peut aborder dans toutes les classes du secondaire l'histoire des mathématiques. Il faut le faire et cela ne constitue pas une perte de temps.
La présentation de textes historiques aide à comprendre la genèse et l'évolution de certains concepts, et nous les illustrons avec la géométrie dynamique moderne.

Les programmes français d'enseignement des mathématiques ont réduit la géométrie à l'étude de quelques figures simples. De ce fait, nombre de notions, voire de mots, ne signifie plus grand-chose pour des jeunes et moins jeunes élèves et peut-être même pour des enseignants.
Polaire,   division harmonique,   faisceaux de droites,   puissance d'un point par rapport à un cercle, tout cela qui était terreau pour des modes de raisonnement logique, est devenu sorte de curiosité historique.
Nous proposons de faire revivre ces notions…

Henry Plane – Plot no 41

Voir aussi : quelle géométrie enseigner
quels contenus pour l'enseignement

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Grands mathématiciens

René Descartes

La Géométrie de Descartes

Livre premier : texte et notes pour mobiles

    Les opérations algébriques

    Le problème de Pappus

    Note sur le problème de Pappus

Livre second: texte et notes pour mobiles

    les coordonnées

    La méthode des tangentes

    Ovales de Descartes

Livre troisième : texte et notes pour mobiles

    Algèbre

    Troisième degré

Tables et notes de La Géométrie

Calcul de Mons. des Cartes

Théorème de Descartes : construire un quatrième cercle tangent à trois autres

Collège

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Seconde

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Antiquité

Calul de racine de 2 sur une tablette babylonienne

π et le papyrus Rhind : grands problèmes

Antiquité Grecque

Théorème de Thalès

Démonstrations géométriques de Pythagore

Les Éléments d'Euclide

Médiatrice : construction d'Œnopide de Chios

Les grands problèmes de la géométrie grecque

Duplication du carré

La trisection de l'angle

La trisection au CAPES

Première

Icône GeoGebra Figures classiques
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Terminale
Annales S-ES

Géométrie
du triangle

Après-bac
Capes

Transformation

Sébastien Leclerc : traité de géométrie théorique et pratique - morceaux choisis

Les nombres

Nombre d'or

TI-92 racine de 2, π : petits programmes

TI-92 : Fractions égyptiennes

Culture mathématique

Vecteurs - Complexes
Barycentres

Algorithme
TI-92

Analyse - Fonction
Optimisation

Géométrie du triangle

Cercles d'Apollonius

Cercle et droite d'Euler

Théorème de Feuerbach

Constructions

Dürer : construction approchée du pentagone

Construction au compas seul

Construction à la règle seule

    Règle à bords parallèles

Les 15 problèmes de géométrie de la règle de Lambert

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Grands mathématiciens

Abul-Wafa

Abu'l-Wafa (Abu l-Wafa ou Abul Wafa) est un mathématicien et astronome persan connu pour ses apports en trigonométrie et pour ses constructions à la règle et au compas.
Il est né en 940 à Buzjan dans la région de Khorasan. À l'âge de vingt ans, il part pour Bagdad où il restera jusqu'à sa mort en 998.
Il s'est particulièrement intéressé aux problèmes « d'inscription » ou de « circonscription » (pour construire des fresques comme dans l'Alhambra de Grenade) ce qui l'a conduit à écrire un ouvrage intitulé « Livre sur ce qui est nécessaire à l'artisan en science de la géométrie ».

Voir : problème d'Abul-Wafa - triangle équilatéral inscrit dans un carré

Tangram d'Abul Wafa - faire pivoter de deux triangles rectangles découpés au-dessus de la droite des milieux

Carré d'aire trois fois plus grande

Apollonius ou Apollonios

Astronome et mathématicien grec 262/190 avant J.-C.

C'est à Apollonius que l'on doit les appellations des sections planes du cône : parabole, ellipse et hyperbole.
Théorème d'Apollonius : formule du théorème de la médiane,

Cercle tangent aux cercles exinscrits d'un triangle et point d'Apollonius,

Faisceau de cercles d'Apollonius dans un triangle,

Apollonius Gallus : problème des trois cercles,

Un problème d'Apollonius : cercle tangent à trois cercles.

Archimède (287-212 av. J.-C.)

Arbelos d'Archimède

Cercles jumeaux d'Archimède

Duplication du cercle

Parabole : quadrature d'Archimède

Ellipse : construction d'Archimède

Trisection : méthode d'Archimède
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point.

Solide d'Archimède : Polyèdre semi-régulier dont les faces sont des polygones réguliers, ceux-ci pouvant être différents, mais disposés dans le même ordre autour de chaque sommet.
Tétraèdre tronqué

Babylone

Calcul approché de racine de 2

Puzzle de Pythagore

Brahmagupta (mathématicien indien du VIIe siècle)
Théorème de Brahmagupta : si les diagonales d'un quadrilatère inscriptible sont perpendiculaires l'une à l'autre et se coupent en un point O, une droite passant par O et perpendiculaire à l'un quelconque des côtés coupe le côté opposé en son milieu.

Brocard

Catalan : mathématicien belge, 1814-1894
L'hexagone ayant pour sommets les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle est l'hexagone de Catalan.

Céva Giovanni : mathématicien italien 1648-1734
Théorème de Céva

Théodore de Cyrène
Spirale

Desargues

Girard Desargues (Lyonnais 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.
    Figure de Desargues

Descartes René

René Descartes, généralement connu pour son œuvre philosophique, fut aussi un grand mathématicien.
Son apport principal dans ce domaine est la numérisation de la géométrie.

La Géométrie

Professeur de l'ancien lycée René Descartes de Bouaké, je voulais présenter l'œuvre mathématique de cet auteur.
Je propose donc le texte et des commentaires de la géométrie à propos du théorème de Thalès, des problèmes du second ou du troisième degré.

Voir aussi, dans le problème de Pappus, les coniques comme lieux de points (niveau bac + 2).

Le café pédagogique : Il y a quelques années, nous vous avions recommandé le site de P. Debart. Depuis, il a bien évolué : nous vous incitons à aller explorer le travail relatif à Descartes. La lecture des textes mathématiques du célèbre philosophe y est accompagnée de figures interactives du meilleur effet.

Tangentes et normales

Il donne une méthode pour déterminer la normale à certaines courbes.
Pour cela, il cherche le centre du cercle osculateur touchant la courbe selon un point double. Ce cercle est tangent à la courbe et son centre placé sur la perpendiculaire à la tangente.
Il procède ainsi pour la conchoïde de Nicomède.
Il utilise également cette méthode pour ses ovales, en rapport avec la fabrication de lentilles optiques de qualité.
Il détermine également quelle est la tangente en un point de la cycloïde.

Relation de Descartes

Quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si, et seulement si, on a la relation : 2/AB=1/AC+1/AD.

Théorème de Descartes

Ce théorème, découvert par René Descartes en 1643, établit une relation entre les rayons de quatre cercles tangents entre eux.
Il peut être utilisé pour construire un quatrième cercle tangent à trois autres.

Dürer

« Albert Dürer (né à Nuremberg en 1471, mort en 1528) appartient, comme Léonard de Vinci, à cette génération de grands artistes, peintres, sculpteurs et architectes, pour lesquels la géométrie est non seulement un instrument d'analyse, mais un puissant moyen de perfectionnement. L'étude de la perspective le conduisit à la transformation des figures en d'autres figures du même genre. Et de là naquirent plusieurs méthodes géométriques, comme celle qui consiste à faire croître proportionnellement les ordonnées des points d'une figure, dans le dessin d'un profil dont on veut rendre les dimensions en hauteur plus facilement appréciables. Dürer maniait très habilement le compas pour tracer des ellipses et d'autres figures géométriques.

Le pentagone de Dürer est un pentagone, construit avec une seule ouverture de compas ; mais d'autres géomètres ont démontré depuis que ce pentagone n'a pas tous les angles égaux et que sa figure n'est qu'approximative. »

Euclide

(Alexandrie, 300 avant Jésus-Christ)

Les treize livres des Éléments d'Euclide constituent une synthèse remarquable des mathématiques grecques.
Ils ont fondé la méthode synthétique qui, à partir des propriétés géométriques établies précédemment, permet de déduire la propriété cherchée.
Toutes les constructions s'y effectuent uniquement à la règle et au compas.

Euler (1707-1783)

Cercle et droite d'Euler

Méthode d'Euler

Méthode de résolution numérique d'une équation différentielle où on remplace la dérivée par l'approximation au premier ordre obtenue à partir d'une valeur de la fonction et de celle au pas de temps suivant.

Quatre relations d'Euler :

Dans l'espace

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

Relation entre le nombre de faces, de sommets et d'arêtes d'un polyèdre convexe.

La formule d'Euler la plus célèbre concerne les polyèdres convexes : f + s = a + 2 où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.
C'est Euler qui démontrera cette formule, énoncée par Descartes.

Dans le triangle

Relation vectorielle d'Euler

Si O est le centre du cercle circonscrit et H l'orthocentre d'un triangle ABC, alors vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC).

Relation d'Euler

Si O est le centre du cercle circonscrit d'un triangle, H l'orthocentre et G le centre de gravité, les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler.

GH = 2 GO (relation d'Euler : G est au tiers de [OH] ).

Relation d'Euler (théorème d'Euler)

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R et le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, la relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres :

OI2 = R2 - 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Fagnano (mathématicien italien 1682-1766)

Problème de Fagnano : dans un triangle, trouver un triangle inscrit de périmètre minimum.

Fermat

Feuerbach (1800-1834)

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.
Le point de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit s'appelle le point de Feuerbach.
Théorème découvert en 1822 par Feuerbach, puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Fibonacci : suites, nombre d'or
Une histoire couple de lapins qui donnent naissance à un couple d'animaux qui à la génération suivante donne naissance à un nouveau couple et ainsi de suite… (livre de l'abaque «Liber Abaci» de Léonard de Pise dit Fibonacci paru en 1202).

Fraction égyptienne

Les « anciens Égyptiens » ne connaissaient, comme fractions, que les inverses d'entiers de numérateur 1.
Ils écrivaient les rationnels de ] 0 ; 1 [ comme sommes d'inverses d'entiers strictement croissants.

Gergonne Joseph (mathématicien français 1771-1859)

Théorème de Gergonne (Coordonnées barycentriques d'un point dans un plan)
Point et triangle de Gergonne (Points de contact des côtés d'un triangle avec le cercle inscrit)

Grands problèmes de la géométrie grecque :

Points et nombres constructibles

Quadrature du cercle : π et le papyrus Rhind

Duplication du carré et du cube

Trisection de l'angle : la quadratrice de Dinostrate

Héron d'Alexandrie (Ier siècle)
relations métriques du triangle

Calcul approché de racine de 2

Hippocrate de Chios vers 450 avant J.-C. (- 470 ?, - 410 ?)

ABC étant un triangle rectangle en C, les lunules d'Hippocrate sont les deux croissants compris entre les demi-cercles de diamètres [AC] et [CB] (construits extérieurement au triangle) et les arcs AC et CB du demi-cercle de diamètre [AB] circonscrit au triangle.
Au Ve siècle avant J.-C., Hippocrate de Chios prouva la « quadrature » des lunules : l'aire du triangle rectangle est égale à la somme des aires de deux lunules.

Hyperbole de Descartes

Lambert Jean-Henri (1728-1777)

Les 15 problèmes de géométrie de la règle

Sébastien Leclerc (1637-1714)

Pratique de la géométrie sur le papier et sur le terrain - page de garde

Traité de géométrie théorique et pratique à l'usage des artistes - 1674

Lemoine Émile

Mathématicien français, spécialiste de la géométrie du triangle, 1840 - 1912.
Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle.

Liu Hui

Chine, époque Han, IIIe siècle

Preuves du théorème de Pythagore : puzzle de Gougu,

puzzle de Bhaskara

Marolois Samuel

La quadrature du rectangle (1617)

Construction du carré à partir d'un côté

Ménélaüs d'Alexandrie

Mathématicien grec de la fin du Ier siècle, auteur de trois livres,dont les sphériques consacrées aux triangles sur une sphère.

Miquel (Théorèmes de Miquel)

Quadrilatère complet, point de Miquel et points cocycliques : plan projectif

Autres concours de cercle, démontrés par Miquel, voir : triangles de Napoléon

Théorème des cinq cercles : cercles en seconde

Nagel

Napoléon

Triangles de Napoléon : constructions avec des triangles équilatéraux
Triangles attribués à l'empereur. D'après Henri Lebesgue, Lagrange lui aurait dit : « Mon Général, nous nous attendions à tout de vous, sauf à des leçons de géométrie ».
Problème de Napoléon, retrouver le centre d'un cercle au compas seul.

Newton

Philosophe et mathématicien allemand, né à Leipzig en 1646, mort à Hanovre en 1716.

Théorème de Newton dans un quadrilatère complet : les milieux des diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton du quadrilatère.
Droite de Newton d'un triangle.
Relation de Newton pour une division harmonique : [A, B, C, D] = −1 si et seulement si IA2 = IB2 = vect(IC) . vect(ID) où I est le milieu de [AB].

Nicomède
Mathématicien grec du IIe siècle avant J.-C., avec la conchoïde, il fut le premier à réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).

Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.) : construction de la médiatrice
Eudème, cité par Proclus, attribuait à Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. »

La parabole chez les Anciens

Pappus

Théorème de Pappus : plan projectif

Petit théorème de Pappus

Parallélogramme de Pappus : preuve par homothétie

Démonstration par Pappus du théorème de Pythagore

Problème de Pappus

Étant donné quatre droites, le problème est la recherche du lieu géométrique des points dont les segments menés de ce point à chacune des droites suivant des directions données ont des produits égaux.
Le problème de Pappus a permis à Descartes d'expliciter, dans sa géométrie, ses théories sur « la nature des courbes planes ».

Note sur le problème de Pappus

Autres problèmes de Pappus
    – échelle contre un mur

    – cercles tangents en chaîne

Voir Pappus d'Alexandrie

Platon (428 à 348 avant J.-C.)

Duplication du carré

Solides de Platon,

Platon affirmait que toute la connaissance réside dans le nombre d'or.

Poncelet Mathématicien français (1788-1867)

Ptolémée (milieu du IIe siècle) : pentagone,   quadrilatère inscriptible
Inventeur de la cartographie.

Pythagore : démonstrations géométriques du théorème

Sierpinski

Socrate
Duplication du carré

Sulbasutras

Construction du carré à partir d'une médiatrice

Constructions de carrés d'aire égale à la somme ou la différence des aires de deux carrés

La quadrature du rectangle

Taylor

Terquem

Thalès

théorème de Thalès : Cabri,   GéoPlan

polygone : construction dite « de Thalès »

Thébault Victor 1882-1960

Théorème de Thébault :
quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme

deux triangles équilatéraux autour d'un carré

le théorème de Thébault − Sawayama

Evangelista Torricelli (1608-1647)

parabole

Tücker

Variable x

La lettre x est généralement utilisée pour désigner une inconnue ou une variable.

Pour Al-Khwârizmî (mathématicien persan, vers 780-858) l'inconnue est « la chose ».
Le mot persan est devenu chay en arabe et a été transcrit en xay en espagnol.
Al-Qalasadi (mathématicien andalou, 1412-1486) utilisait alors la première lettre de xay en notant l'inconnue x,
Descartes a systématisé l'utilisation des lettres de la fin de l'alphabet x, y, z pour les variables.

Varignon

Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli, est surtout connu pour avoir assis en France les idées de Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de Newton.

Vecten

Wantzel Pierre-Laurent

Mathématicien français, a montré en 1837 qu'un nombre constructible est algébrique sur Q et son degré est une puissance de 2.
La réciproque est très utile pour montrer qu'un nombre n'est pas constructible.

Viète

Apollonius Gallus : problème des trois cercles

Léonard de Vinci

Duplication du carré

Wallis

Construction d'une moyenne géométrique

Application à :
    la quadrature du rectangle

    calcul d'une racine carrée

Rétroliens

Mathématiques lycée Mangin : histoire des mathématique

Images copiées dans la petite histoire de la géométrie

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Page crée le 29/10/2007
mise à jour le 25/11/2009