René DescartesDescartes et les Mathématiques pour mobiles

Le nombre d'or

Nombre d'or, section d'or, rectangle d'or, triangle d'or, spirale d'or, suites de Fibonacci, puissances de φ, suites de pentagones.

Sommaire

1. Le nombre d'or

2. Éléments d'Euclide

3. Constructions classiques
        Construction de φ
        Section d'or

        Construction d'Euclide

4. Nombre d'or et trigonométrie

5. Rectangle d'or

        Tracé régulateur

        Pavage

        Spirale logarithmique

6. Triangle d'or

        Pavage

        Spirale d'or

7. Suites et nombre d'or

8. Suites de Fibonacci - puissances de φ
        Suites de pentagones

Le nombre d'or n'est presque nulle part. Certains le voient partout !

L'harmonie a le plus souvent affaire avec le 5/3 de nos écrans qu'avec le nombre d'or.

Les proportions du Parthénon résistent fortement à l'idée à quantifier le beau et le nombre d'or, qui sera explicité 200 ans plus tard, devait être très loin des préoccupations de Phidias.

1. Le Nombre d'or

Partage d'un segment en « moyenne raison »

Trois points A, B et M alignés forment une section dorée si le point M du segment [AB] est tel que : AB/AM = AM/MB,
ce qui signifie que le grand et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le petit segment (AB > AM > MB).

Le rapport MB/MA est, comme le montre les calculs ci-dessous,
égal au nombre d'or φ = nombre d'or1,618 034 : on a le partage d'un segment qu'Euclide réalise sans calcul.
Au 15e siècle, avec le régne de la religion, le moine franciscain Luca Pacioli le nomme proportion divine, il devient d'or avec la montée du capitalisme au 19e.
Ceci est bien loin des préoccupations des mathématiciens pour qui c'est un nombre irrationnel constructible comme un autre.

Calculs algébriques

Soit un segment [AB] de longueur 1 et un point M de [AB] tel que AM = x, d'où MB = AB − AM = 1 − x.
Le point M partage [AB] suivant la section d'or si on a l'égalité des rapports AB/AM et AM/MB :
de AB/AM = 1/x et AM/MB = x/(1-x), on en tire 1/x = x/(1-x).
Le produit des « extrêmes » 1 − x est égal au produit des « moyens » x2 : x2 = 1 − x, d'où l'équation x2 + x − 1 = 0.
Cette équation a pour solution positive x = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 = 1/φ = φ − 1, où φ = nombre d'or est le nombre d'or.
Le rapport MB/MA = 1/x, inverse de 1/φ, est donc égal au nombre d'or φ : le point M réalise une section dorée du segment [AB].

2. Éléments d'Euclide - Le triangle d'or dans le livre IV

La découverte du nombre d'or remonte à l'antiquité grecque.
On a cru un temps que des figures de l'Égypte antique se rattachaient au nombre d'or, mais c'était pur hasard et superstition.

Pour les « anciens Grecs », le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel, lié aux problèmes du partage d'un segment en « moyenne et extrême raison » et aux propriétés des pentagones et décagones.

L'essentiel des propriétés du nombre d'or se trouve dans les Éléments d'Euclide, qui ne lui donne pas de nom particulier, et qui était détaché de toutes les préoccupations mystiques qui entoureront ce nombre à partir du XVe siècle.

Les éléments d'Euclide - livre IV - Proposition 10

les éléments d'Euclide - Livre IV - le triangle d'or

Dans ce problème, Euclide définit l'inverse du nombre d'or 1/φ comme la longueur AC, où le point C sur un segment AB (que nous considérons comme unitaire) de telle façon que :

AC2 = AB × BC.

Pour nous x2 = 1 × (1 − x).
Cette équation x2 + x − 1 = 0
a bien pour solution positive x = 1/φ.

Le point C partage le segment [AB] en moyenne raison.

Sur le cercle de cercle A, passant par B, Euclide place le point D tel que BD =AC.

ABD est un triangle d'or.
Les angles à la base (72°) sont doubles de l'angle au sommet (36°).

Voir la construction d'Euclide du pentagone avec ce triangle d'or

3. Triangle rectangle où un des petits côtés est la moitié de l'autre

3.a. Construction de φ

Nombre d'or - construction de phi - copyright Patrice Debart 2008

Tracer un angle droit de sommet O. Un cercle (c1) de centre O, coupe les côtés de cet angle en A et C.
On choisira comme unité le rayon OA.

D est le milieu de [OA], le cercle de centre D et de rayon DC coupe (OA) en B.

La longueur du segment [AB] est φ.

Remarque : le point O réalise une section dorée du segment [AB] :
OB = 1/φ.

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle OCD, on a :

CD2 = CO2 + OD2 = 12 + (1/2)2 = 5/4 d'où CD = rac(5)/2.

AB = AD + DB = 1/2 + rac(5)/2 = nombre d'or = φ.

Remarque

Le triangle rectangle de côtés proportionnels à 1, 1/2 et rac(5)/2 est utilisé depuis l'antiquité pour le tracé de sections dorées.

On le trouve, accolé à un triangle rectangle isocèle, dans de nombreuses constructions à la « règle et au compas »  :

rectangle d'or

« rectangle rac(5) »

triangle d'or

pentagone régulier

décagone

3.b. Section d'or

Nombre d'or - partage d'un segment en extreme et moyenne raison - copyright Patrice Debart 2008

Partage d'un segment en « extrême et moyenne raison »

À partir du segment [AB], sur la perpendiculaire en A à (AB), placer un point M tel que : AM = 1/2 AB.

Le cercle (c1) de centre M, passant par A, coupe le segment [MB] en P.

Le cercle (c2) de centre B, passant par P, coupe le segment [AB] en C.

Le point C réalise une section dorée du segment [AB] :
AB/CB = φ.

Soit D le point de la droite (AB), à l'extérieur de [AB] tel que AD = BC.

C et D partagent le segment [AB] en « moyenne et extrême raison »:
DB/AB = AB/CB = φ.

Si on choisit AB comme unité, alors DB = φ et CB = 1/phi.

Indications

En effet, d'après la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle AMB, on a :

MB2 = AM2 + AB2 = AM2 + (2AM)2 = 5 AM2 d'où MB = rac(5) AM.

AB/BC = 2AM/PB = 2AM/(MB−MP) = 2AM/(MB−AM) =
AB/BC = 2/(rac(5)-1)= nombre d'or = φ.

3.c. Construction de la section dorée

Constructions d'Euclide dans le livre VI

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c2) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c3) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

D'après le livre VI des éléments

Preuve par le calcul

nombre d'or - Euclide - construction de la section dorée - copyright Patrice Debart 2008

On vérifiera facilement, en prenant AB comme unité (AB = 1) que :
AI = 1/2 ; CA = AB = 1 ; DI = IC = rac(5)/2 ;
AM = DA = DI − AI = rac(5)/21/2 = inverse du nombre d'or (rac(5)-1)/2 = 1/φ
1/φ = φ − 1 ≈ 0,618 ;
MB = AB − AM = 1 − 1/φ = 2 − φ ≈ 0,382 ;
DB = DI + IB = rac(5)/2 + 1/2 = φ ≈ 1,618.

MA = 1/φ ; 1/MA = φ ;
MB/MA = MB × 1/MA = (1 − 1/φ) × φ = φ − 1 = 1/φ = (rac(5)-1)/2.
MB/MA = 1/φ d'où MA/MB = φ : le point M réalise la section dorée du segment [AB].

Remarque : le cercle (c3) coupe le segment [AC] en P qui réalise la section dorée de ce segment.

Construction avec deux carrés

Nombre d'or - construction d'Euclide avec deux carrés - copyright Patrice Debart 2008

Partage d'un segment [AC] en « moyenne raison » : étant donnés deux points A et C trouver un point P tel que A, C et P forment une section dorée.

Construction

On complète avec le point E le carré de côtés [AB] et [AC], et avec le point Q le carré de côtés [AD] et [AP].

La droite (QP) coupe (BE) en N.

Preuve par le calcul

Le rectangle PNEC a pour longueur CE = 1
et pour largeur CP = MB = 2 − φ.

Son aire est 2 − φ.

Le carré DAPQ a pour côté AP = AM = 1/φ.
Son aire est 1/φ^2.

Nous avons montré au chapitre 7 que 1/φ = 2 − φ.
Le rectangle PNEC et le carré CFGH ont la même aire :
CE × PC = AC × PC = AP2.

AC/AP = AP/PC : on a bien une section dorée du segment [AC].

Autre construction

3.d. Corde et tangente égales

Nombre d'or - corde et tangente égales - copyright Patrice Debart 2008

Construction du forum futura-sciences :

Soit deux points M et T du plan tels que MT = 1
Un cercle (c) est tangent en T à la droite (MT).
{Le centre O du cercle est situé sur la perpendiculaire en T à (MT)}

Étant donné un point A du cercle (c), sur la demi-droite [MA), à l'extérieur
du segment [MA] placer le point B tel que AB = 1 et tel que B soit sur (c).

Déplacer le point A de telle façon que B, intersection de [MA) et du cercle de centre A, de rayon 1, soit situé sur le cercle (c).

1. Montrer que MA × MB = MT2.
2. Montrer que le rapport MB/AB est égal au nombre d'or.

Indications

1. La puissance de M par rapport au cercle (c) est MA × MB et est égale au carré de la tangente MT.

2. AB = MT = 1. Posons MA = x, alors MB = MA + AB = x + 1; la puissance de M qui est MA × MB = MT2, s'écrit x(x + 1) = 12,
d'où l'équation x2 + x − 1 = 0 qui, comme nous l'avons vu au §1, a pour solution positive x = (-1+rac(5))/2 = 1/φ ;
MB = x + 1 = 1/φ + 1 = φ.

Les trois points M, A, et B forment une section dorée. Le rapport MB/AB est égal au nombre d'or φ.

4. Nombre d'or et trigonométrie

On a vu dans la page angle trigonométrie que cos pi/5 est égal à
la moitié du nombre d'or φ = 2 cos pi/5 = nombre d'or ;
cos pi/5 = − cos 4pi/5 = (rac(5)+1)/4.

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos2a − 1, on trouve :

cos 2 pi/5 = − cos 3pi/5 = sin pi/10 = 2 cos2 pi/5 − 1 = (rac(5)-1)/4 = (phi-1)/2 = 1/(2phi).

x

pi/5
2 pi/5
3pi/5
4pi/5

cos x

(rac(5)+1)/4
(rac(5)-1)/4
(1 - rac(5)/4
- (rac(5)+1)/4

L'inverse du nombre d'or est donc 1/φ = φ − 1 = (rac(5)-1)/2 inverse nombre d'or = 2 sin pi/10.

5. Rectangle d'or

Rectangle d'or - copyright Patrice Debart 2008

Dans un rectangle d'or, le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or φ = nombre d'or.

Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
  • tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
  • prendre le milieu K de [AD],
  • rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
  • terminer la construction du rectangle d'or ABFE.

En effet, en choisissant la largeur AB comme unité, on a KE = KC = rac(5)/2,
d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = 1/2 + rac(5)/2 = φ.

5.b. Diagonales des rectangles d'or

Diagonales des rectangles d'or - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

À partir d'un carré ABCD, la diagonale [AF] du grand rectangle d'or ABFE est perpendiculaire à la diagonale [CE] du petit rectangle d'or CFED.

Cette propriété se retrouve en terminale S, avec la similitude de centre O et d'angle – 90° qui transforme A en C, et F en E. Cette similitude transforme les rectangles d'or : ABFE en CFED.

La diagonale [AF] a pour image [CE] et elles sont bien perpendiculaires : leur angle est égal à la valeur absolue de l'angle de la similitude.

Le centre O et le point I, intersection de ces deux diagonales, sont les deux points d'intersection des cercles de diamètres [AC] et [FE].

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : diagonales des rectangles d'or

Perpendiculaires et rectangles d'or

diagonales des rectangles d'or - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Grâce à cette propriété est caractéristique, à partir du carré ABCD, en déplaçant le point E sur [AD) de telle façon que les diagonales [AF] et [CE] soient perpendiculaires, on peut trouver un rectangle d'or qui donne le nombre d'or φ.

Avec un logiciel de géométrie dynamique, il est en principe possible de retrouver cette configuration (j'ai un peu triché pour éditer la figure !)

Les anciens Égyptiens auraient utilisé cette propriété.
On peut se poser la question de savoir comment on peut ainsi inverser cause et conséquence sans connaître le nombre d'or ?
Des recherches minutieuses dans les pyramides n'ont pas permis de retrouver le CD de GeoGebra utilisé !

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de rectangles d'or

Commande GeoGebra : déplacer le point E

5.c. Tracé régulateur

En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.

« Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. »

Le Modulor - Le Corbusier - 1948

5.c.2. Tracé régulateur dans un rectangle d'or

nombre d'or - trace regulateur dans un rectangle d'or - copyright Patrice Debart 2008

Les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.

Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.

Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = φ.

Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = φ.

5.c.3. Tracé régulateur dans un « rectangle rac(5) »

trace regulateur dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2008

« Rectangle rac(5) » :

le rapport entre la longueur et la largeur est rac(5). Le rectangle est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur 1/φ.

AFGD et EBCH sont des rectangles d'or de longueur φ et de largeur 1.

Construction à partir d'un carré de côté [EF] tel que EF = 1.
Soit O le milieu de [EF].
Le cercle de centre O, passant par H, coupe (EF) en A et B. Compléter le rectangle avec C et D sur (GH).

ABCD est un « rectangle rac(5) » de longueur 1 et de largeur rac(5).

Voir : inscrire un carré dans un demi-cercle

5.c.4. La Présentation de la Vierge au Temple

Titien - presentation de la vierge au temple

Titien 1488-1576, Académie de Venise

L'escalier est parallèle à une des diagonales du rectangle d'or de droite.

Plus contestable : il comporte 8 et 5 marches, une suite de Fibonacci.

Le centre est dans la lumière, deux rectangles d'or de chaque côté sont dans l'ombre.

La petite fille, à l'intersection des diagonales du rectangle d'or de droite, est la vierge ; la femme à la coiffe drapée blanche c'est sa mère, sainte Anne.

Tout cela c'est bien beau, mais les dimensions du tableau ne respectent pas la divine proportion et le tracé régulateur n'a rien à voir avec le rectangle d'or !

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : tracé régulateur - Présentation de la Vierge

5.c.5. Carré inscrit dans un demi-cercle

Raphael - trace regulateur

L'École d'Athènes
− Raphaël, vers 1510 −
Musée du Vatican

Le côté du carré jaune est égal au diamètre du cercle, divisé par rac(5). Cette construction classique est habituellement réalisée en 1ère S avec les homothéties, mais peut être résolue par le calcul en classe de seconde.

5.d. Pavage non périodique du plan avec des rectangles d'or

pavage de rectangles d'or - copyright Patrice Debart 2008

Pavage de rectangles d'or

Il est possible de paver le plan à partir de rectangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de rectangles de plus en plus grands.

Ces rectangles sont obtenus en ajoutant au rectangle un carré qui est le gnomon de ce rectangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau rectangle semblable au précédent.

Une bonne occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan : voir ci-dessous.

Joconde et spirale d'or

Joconde et nombre d'or

Le nombre d’or a fasciné mais il n'existe pas de loi mathématique de l’esthétisme.

Dans les années 30, avec Matila Ghyka, les adeptes du nombre d’or ont disséqué les œuvres d’art pour y déceler ce nombre.

Par exemple sur la Joconde ci-contre, on trouve une approximation du nombre d’or, mais le rectangle d'or contenant la spirale est bien éloigné du format du tableau !

5.d.2. Spirale logarithmique

Nombre d'or - spirale logarithmique - copyright Patrice Debart 2008

La spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aφ(2q/p) dans un repère d'origine I point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).

C'est la spirale miraculeuse (spira mirabilis) de Jacob Bernouilli.

Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.

6.a. Nombre d'or dans le triangle égyptien

nombre d'or dans le triangle égyptien - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2008

Dans le triangle rectangle égyptien 3 ; 4 ; 5, on trace le cercle inscrit de centre O, de rayon 1, tangent en E, F et R aux côtés du triangle.

Dans le triangle rectangle AEO de petits côtés 2 et 1, l'hypoténuse mesure rac(5).
La bissectrice (AO) coupe le cercle inscrit en P,
tel que AP = rac(5) + 1.

En divisant AP par 2, on trouve le nombre d'or φ = nombre d'or.

Les anciens Égyptiens ne savaient pas le théorème de Pythagore, ni le calcul sur les racines.
Il semble difficile qu'il puissent utiliser une telle figure pour trouver le partage en moyenne raison  ?

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : triangle égyptien

6.b. Triangle d'or, triangle d'argent

triangles d'or et d'argent - copyright Patrice Debart 2008

Le triangle d'or (ou triangle sublime, ou triangle d'Euclide) ACD est un triangle isocèle en C d'angle pi/5, les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à 2pi/5.

Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or : AC/AD = nombre d'or = φ.

Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
Q = AC/BC = φ, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle ADC.
Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.

Le triangle BCD est un triangle d'argent, isocèle en B d'angle 3pi/5, les deux autres angles, en C et D, étant égaux à pi/5.
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or : CD/CB = φ.

6.c. Pentagone régulier

Un triangle d'or et deux triangles d'argent

Un triangle d'or et deux triangles d'argent dans le pentagone régulier - copyright Patrice Debart 2008

Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.

Dans le pentagone ABCDE, ACD est un triangle d'or, ABC et ADE sont des triangles d'argent

C'est harmonique, Euclide n'y voyait que de l'or.
L'obscurantisme de la « géométrie sacrée », aidé par les druides d'Internet, confère au pentagone un caractère divin.

Pentagone régulier et nombre d'or

Triangles d'or et d'argent dans le pentagone régulier - copyright Patrice Debart 2008

PE = BQ = BA.

Le rapport diagonale/côté est égal au nombre d'or : BA/BE = φ.

Le point P divise [BQ] et [BE] dans le rapport du nombre d’or :

BP/BQ = PE/BE = φ.

Les points P et E divise [BQ] en « moyenne et extrême raison ».

Triangle bisocèle : voir triangle au collège

6.d. Construction du triangle d'or à partir du grand côté

Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c3 de centre C, passant par A et du cercle c4 de centre B, passant par C.

Soit α = ACD l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle ADB du triangle d'or isométrique. ADC= 2α car (DB) en est la bissectrice.
La somme des trois angles du triangle d'or est ACD + ADC + CAD = α + 2α + 2α = 5α = π.

α = pi/5. Le triangle d'or a donc un angle au sommet de pi/5, les deux autres angles étant égaux à 2pi/5.

6.e. Construction du triangle d'or à partir de la base

construction d'un triangle d'or - copyright Patrice Debart 2008

À partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.

On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or

Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la droite perpendiculaire en B situé sur le cercle c1 de centre B passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct (cf. figure).

Le cercle c2 de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.

B est la section dorée de [AC].

En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :

AC = AK + KC = AK + KB’ = 1/2 + rac(5)/2 = φ.

Une des intersections du cercle c3 de centre A passant par C avec le premier cercle c1 de centre B est D.
ACD est un triangle d'or.

6.f. Pavage non périodique du plan avec des triangles d'or

pavage non périodique du plan avec des triangles d'or - copyright Patrice Debart 2008

Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.

À partir du triangle AnAn+1An+2 créer le point An+3 tel que An+1AnAn+3 soit une section d'or et recommencer.

Ces triangles sont obtenus en ajoutant au triangle un triangle d'or qui est le gnomon de ce triangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau triangle semblable au précédent.

Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

tracer un triangle d'or initial A0B0C0. Trouver le point A1 tel que B0C0A1 forme une section d'or. Remplacer A0 et B0 respectivement par B1, C1 pour obtenir le triangle d'or A1B1C1 de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.

6.g. Spirale d'or

spirale d'or - copyright Patrice Debart 2003

Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aφ(5q/3p) dans un repère d'origine I, intersection des droites A0A5 et A1A6 (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.

7. Suites et nombre d'or

Étudier la suite numérique un définie par u0 = 0 et pour tout n positif par : u(n)=rac(u(n-1)+1).

La limite l de cette suite est le nombre d'or φ = nombre d'or. C'est la solution de l'équation irrationnelle x= rac(x+1) ; solution positive de l'équation du second degré :

x2 = x + 1, soit x2x − 1 =  0.

Le produit des solutions de cette équation est −1, la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : β = − 1/φ. En divisant l'équation par x, non nul, on obtient :
x − 1 − 1/x = 0 soit x = 1 + 1/x,
d'où φ = 1 + 1/φ. φ et 1/φ ont donc la même partie décimale 0,618 033 988 75… On retrouve donc la définition de Luca Pacioli, donnée dans son ouvrage la divine proportion en 1509 : « Le nombre d'or est tel que si on lui ajoute l'unité et qu'on le divise par lui-même on le retrouve »

On pourra montrer que la suite vn, définie par v0 = 0 et pour tout n positif par : v(n)=1+1/v(n-1), a pour limite φ.

Remarque : au XIXe siècle on utilise la lettre grecque φ (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.

C'est suffisant pour inventer le mythe du Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or.
Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !

7.b. Mythe de la pyramide de Khéops

Pyramide

À la fin de sa construction, la hauteur h de la pyramide de Khéops était OS = 146 m.
Le côté AB  =  2 c mesure 232 m. À 1 % près, la hauteur de la pyramide est égale à la moitié du côté multiplié par rac(φ).

On a a/h = h/c = rac(φ) d'où a/c = φ.
Les trois côtés du triangle SOH forment une suite géométrique de raison rac(φ).
SOH est aussi improprement dit triangle égyptien.

Voir : cos 2pi/5 et pentagone

pyramide de Kheops

La moitié du côté de la base multipliée par le nombre d'or est égale à la hauteur des faces latérales de la pyramide. La demi-face SHA de la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de longueur SH = a et de la largeur AH = c. Les faces latérales sont donc formées de deux demi-rectangles d'or.
Cela correspond à une valeur approchée de 4/rac(φ) pour π.
Mais cette valeur 3,144 est bien loin du de la valeur 256/81 ≈ 3,16 qu'ils utilisaient pour π (papyrus de Rhind).

Cette coïncidence est d'autant plus impossible que les « anciens Égyptiens » ne connaissaient pas le nombre d'or et que les outils mathématiques nécessaires pour le calculer n'apparaîtront à Babylone que 7 siècles plus tard.

Après l'échec de la quadrature du cercle, entre contre-vérités historiques et paranoïa, les mystiques des nombres se défoulent maintenant sur le nombre d'or.

(Photo Debart)

8. Nombre d'or et suites de Fibonacci − puissances de φ

On a démontré ci-dessus que φ = nombre d'or est la solution positive de l'équation du second degré x2 = x + 1, soit φ2 = φ + 1.

Multiplions par φ, successivement les deux membres de ces égalités

En additionnant deux égalités consécutives, nous calculons les premières puissances de φ

φ2 = φ + 1

 

φ3 = φ2 + φ

φ3 = (φ + 1) + φ = 2 φ + 1.

φ4 = φ3 + φ2

φ4 = (2 φ + 1) + (φ + 1) = 3 φ + 2

φ5 = φ4 + φ3

φ5 = (3 φ + 2) + (2 φ + 1) = 5 φ + 3

φ6 = φ5 + φ4

φ6 = (5 φ + 3) + (3 φ + 2) = 8 φ + 5

φ7 = φ6 + φ5

φ7 = (8 φ + 5) + (5 φ + 3) = 13 φ + 8

φ8 = φ7 + φ6

φ8 = (13 φ + 8) + (8 φ + 5) = 21 φ + 13

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : φn = anφ + an−1

avec pour n > 0, an + 1 = an + an−1 et a0 = 0 ; a1 = 1. an est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

8.b. Suites de pentagones et nombre d'or

nombre d'or - suites de pentagones - copyright Patrice Debart 2008

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A1A2B2C2C1 est l'image du pentagone AA1B1C1C par l'homothétie de centre O et de rapport φ (nombre d'or).

Les longueurs AA1, A1A2, A2A3, A3A4 sont égales aux puissances du nombre φ.

AA1 = 1, A1A2 = φ,
A2A3 = φ2 = φ + 1,
A3A4 = φ3 = 2 φ + 1…

nombre d'or - suites de pentagones réguliers - copyright Patrice Debart 2008

AA1 = 1, A1A2 = φ– 1,
A2A3 = φ– 2, A3A4 = φ– 3

8.c. Puissances négatives de φ

On a aussi démontré ci-dessus que φ = 1 + 1/φ donc 1/φ = φ − 1 = (rac(5)-1)/2.

Calculons les puissances négatives suivantes de φ :

φ– 2 = 1/φ^2 = φ^(-1)/φ = (φ-1)/φ = 1 − 1/φ = 1 − (φ − 1) = − φ + 2.

De même, φ– 3 = 1/φ^3 = φ^(-2)/φ = (-φ+2)/φ = −1 + 2/φ = −1 + 2(φ − 1) = 2φ −3,
et φ– 4 = 1/φ^4 = φ^(-3)/φ = (2φ-3)/φ = 2 − 3/φ = 2 − 3(φ − 1) = − 3φ + 5 et ainsi de suite.

On peut enfin démontrer par récurrence que l'on a : φn = bn−1φ + bn,
avec pour n > 0, bn+1 = − bn + bn−1 et b0 = 1 ; b1 = − 1 ;

bn = (−1)nan+1 est la suite de Fibonacci alternée : 1, −1, 2, −3, 5, −8, 13, −21, 34…

Voir : récurrence double - Fibonacci

Table des matières

Sur ordinateur, cette page en grand écran

Page mobile friendly Mobile friendly

Me contacter

Dans d'autres pages du site

Histoire des mathématiques

Pentagone régulier :
    constructions exactes

    constructions approchées

Polygone régulier : décagone

 Statistiques Orange histoiree visite des pages « histoire ».

Page no 127, créée le 24/11/2008
adaptée aux mobiles le 23/11/2015