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Le nombre d'or avec un logiciel de géométrie dynamique

Nombre d'or, section d'or, rectangle d'or, triangle d'or, spirale d'or, suites de Fibonacci, puissances de Φ, suites de pentagones.

Le nombre d'or n'est presque nulle part. Certains le voient partout ! L'harmonie a le plus souvent affaire avec le 5/3 de nos écrans qu'avec le nombre d'or.
Les proportions du Parthénon résistent fortement à l'idée à quantifier le beau et le nombre d'or, qui sera explicité 200 ans plus tard, devait être très loin des préoccupations de Phidias.

1. Le Nombre d'or

Partage d'un segment en « moyenne raison »

Trois points A, B et M alignés forment une section dorée si le point M du segment [AB] est tel que : = ,
ce qui signifie que le grand et le moyen segment sont dans le même rapport que le moyen et le petit segment (AB > AM > MB).

Le rapport est, comme le montre les calculs ci-dessous, égal au nombre d'or Φ = ≈1,618 034 : on a la proportion divine du moine franciscain Luca Pacioli.

Calculs algébriques

Soit un segment [AB] de longueur 1 et un point M de [AB] tel que AM = x, d'où MB = AB − AM = 1 − x.
Le point M partage [AB] suivant la section d'or si on a l'égalité des rapports  et :
de = et = , on en tire = .
Le produit des « extrêmes » 1 − x est égal au produit des « moyens » x² : x² = 1 − x, d'où l'équation x² + x − 1 = 0.
Cette équation a pour solution positive x = = = Φ − 1, où Φ =  est le nombre d'or.
Le rapport = , inverse de , est donc égal au nombre d'or Φ : le point M réalise une section dorée du segment [AB].

2. Éléments d'Euclide - Le triangle d'or dans le livre IV

La découverte du nombre d'or remonte à l'antiquité grecque. On a cru un temps que des figures de l'Égypte antique se rattachaient au nombre d'or, mais c'était pur hasard et superstition. Pour les « anciens Grecs », le nombre d'or apparaît comme un nombre irrationnel, lié aux problèmes du partage d'un segment en « extrême et moyenne raison » et aux propriétés des pentagones et décagones. L'essentiel des propriétés du nombre d'or se trouve dans les Éléments d'Euclide, qui ne lui donne pas de nom particulier, et qui était détaché de toutes les préoccupations mystiques qui entoureront ce nombre à partir du XVe siècle. Proposition 10 du Livre IV Dans ce problème, Euclide définit l'inverse du nombre d'or comme la longueur AC, où le point C sur un segment AB (que nous considérons comme unitaire) de telle façon que : AC2 = AB × BC. Pour nous x2 = 1 × (1 − x). Cette équation x2 + x − 1 = 0 a bien pour solution positive x = Le point C partage le segment [AB] en moyenne raison. Sur le cercle de cercle A, passant par B, Euclide place le point D tel que BD =AC. ABD est un triangle d'or. Les angles à la base (72°) sont doubles de l'angle au sommet (36°). Voir la construction d'Euclide du pentagone avec ce triangle d'or

3. Constructions classiques avec un triangle rectangle dont un des petits côtés est la moitié de l'autre

c. Construction de la section dorée

Constructions d'Euclide dans le livre VI

Partage d'un segment [AB] en « moyenne et extrême raison » : étant donné deux points A et B, trouver un point D tel que B, D et A forment une section dorée ; et trouver un point M tel que A, B et M forment une section dorée.

On considère une droite (AB) et sur la perpendiculaire à (AB) en A un point C tel que AC = AB.

On note I le milieu de [AB]. Le cercle (c₂) de centre I et de rayon IC coupe (AB) en D du côté de A.
Le cercle (c₃) de centre A et de rayon AD coupe [AB] en M.

Autre construction

d. Corde et tangente égales

Construction du forum futura-sciences :

Soit deux points M et T du plan tels que MT = 1
Un cercle (c) est tangent en T à la droite (MT).
{Le centre O du cercle est situé sur la perpendiculaire en T à (MT)}

Étant donné un point A du cercle (c), sur la demi-droite [MA), à l'extérieur
du segment [MA] placer le point B tel que AB = 1 et tel que B soit sur (c).

Déplacer le point A de telle façon que B, intersection de [MA) et du cercle de centre A, de rayon 1, soit situé sur le cercle (c).

1. Montrer que MA × MB = MT².
2. Montrer que le rapport est égal au nombre d'or.

Indications

1. La puissance de M par rapport au cercle (c) est MA × MB et est égale au carré de la tangente MT.

2. AB = MT = 1. Posons MA = x, alors MB = MA + AB = x + 1; la puissance de M qui est MA × MB = MT², s'écrit x(x + 1) = 1²,
d'où l'équation x² + x − 1 = 0 qui, comme nous l'avons vu au §1, a pour solution positive x = = ;
MB = x + 1 = + 1 = Φ.

Les trois points M, A, et B forment une section dorée. Le rapport est égal au nombre d'or Φ.

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4. Nombre d'or et trigonométrie

On a vu dans la page angle trigonométrie que cos est égal à la moitié du nombre d'or Φ = 2 cos = ;
cos = − cos = .

En appliquant la formule de duplication cos 2a = 2 cos²a − 1, on trouve :

cos = − cos = sin = 2 cos² − 1 = = = .

x
cos x				−

L'inverse du nombre d'or est donc = Φ − 1 = = 2 sin .

5. Rectangle d'or

Un rectangle d'or est un rectangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal au nombre d'or Φ = .

Depuis l'antiquité grecque, on sait construire un rectangle d'or d'une largeur donnée de la façon suivante :
  • tracer un carré ABCD ayant comme côté la largeur souhaitée,
  • prendre le milieu K de [AD],
  • rabattre le point C sur (AD) en traçant le cercle de centre K, passant par C. Ce cercle coupe [AD) en E,
  • terminer la construction du rectangle d'or ABFE.

En effet, en choisissant la largeur AB comme unité, on a KE = KC = , d'après la propriété de Pythagore dans le triangle DKC rectangle en D,
et AE = + = Φ.

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Diagonales des rectangles d'or

b. Tracé régulateur

En architecture, comme en dessin, le tracé régulateur permet de schématiser les lignes de force d'une figure.

« Le tracé régulateur n'apporte pas d'idées poétique ou lyrique ; il n'inspire nullement le thème ; il n'est pas créateur ; il est équilibreur. »

Le Modulor - Le Corbusier - 1948

Tracé régulateur dans un rectangle d'or

Les diagonales du rectangle rencontrent les diagonales des carrés selon des sections d'or.

Les diagonales des carrés ABCD et EFHG coupent en L, M, N, P les diagonales du rectangle d'or ABFE.

Section d'or sur une diagonale : AF/AP = AP/AM = Φ.

Section d'or sur un côté des carrés : CD/CN = CN/CP = Φ.

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Tracé régulateur dans un « rectangle »

« Rectangle » :
le rapport entre la longueur et la largeur est . Le rectangle est la juxtaposition d'un carré de côté 1 et deux rectangles d'or de longueur 1 et de largeur .

AFGD et EBCH sont des rectangles d'or de longueur Φ et de largeur 1.

Construction à partir d'un carré de côté [EF] tel que EF = 1.
Soit O le milieu de [EF].
Le cercle de centre O, passant par H, coupe (EF) en A et B. Compléter le rectangle avec C et D sur (GH).

ABCD est un « rectangle » de longueur 1 et de largeur .

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Voir : inscrire un carré dans un demi-cercle

Titien 1488-1576, la Présentation de la Vierge au Temple (Académie de Venise)

L'escalier est parallèle à une des diagonales du rectangle d'or de droite. Plus contestable : il comporte 8 et 5 marches, une suite de Fibonacci. Le centre est dans la lumière, deux rectangles d'or de chaque côté sont dans l'ombre. La petite fille, à l'intersection des diagonales du rectangle d'or de droite, est la vierge ; la femme à la coiffe drapée blanche c'est sa mère, sainte Anne.

Tout cela c'est bien beau, mais les dimensions du tableau ne respectent pas la divine proportion et le tracé régulateur n'a rien à voir avec le rectangle d'or !   Télécharger la figure GeoGebra presentation_vierge.ggb

Carré inscrit dans un demi-cercle

L'École d'Athènes − Raphaël, vers 1510 − Musée du Vatican

Le côté du carré jaune est égal au diamètre du cercle, divisé par . Cette construction classique est habituellement réalisée en 1^ère S avec les homothéties, mais peut être résolue par le calcul en classe de seconde.

c. Pavage non périodique du plan avec des rectangles d'or

Spirale logarithmique

La spirale dorée est approchée par une spirale logarithmique d'équation en coordonnées polaires
ρ = aΦ^(2q/p) dans un repère d'origine I point d'intersection de diagonales des rectangles d'or (voir figure).

C'est la spirale miraculeuse (spira mirabilis) de Jacob Bernouilli.

Une autre spirale logarithmique passe par les sommets des rectangles d'or.

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Voir : Robert FERRÉOL, Jacques MANDONNET : spirale d'or

Sommaire

6.a. Nombre d'or dans le triangle égyptien

D'après Yvo Jacquier

Dans le triangle rectangle égyptien 3 ; 4 ; 5, on trace le cercle inscrit de centre O, de rayon 1, tangent en E, F et R aux côtés du triangle.

Dans le triangle rectangle AEO de petits côtés 2 et 1, l'hypoténuse mesure .
La bissectrice (AO) coupe le cercle inscrit en P tel que OP = + 1.

En divisant OP par 2, on trouve le nombre d'or Φ = .

Les anciens Égyptiens ne savaient pas le théorème de Pythagore. Il semble difficile qu'il puissent utiliser une telle figure pour trouver la divine proportion ?

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b. Triangle d'or, triangle d'argent

Le triangle d'or (ou triangle sublime, ou triangle d'Euclide) ACD est un triangle isocèle en C d'angle , les deux autres angles à la base en A et D étant égaux à .

Le rapport entre le grand côté et la base est égal au nombre d'or : = = Φ.

Soit B le point qui partage [AC] en une section d'or :
= = Φ, on a DA = DB = BC, (DB) est la bissectrice de l'angle . Le triangle isocèle ABD est semblable au triangle ADC avec un rapport de similitude égal à Φ. Ce triangle ABD est aussi un triangle d'or.

Le triangle BCD est un triangle d'argent, isocèle en B d'angle , les deux autres angles, en C et D, étant égaux à .
Le rapport des côtés est aussi égal au nombre d'or : = Φ.

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Pentagone régulier

Un pentagone régulier est formé par un triangle d'or et deux triangles d'argent.
C'est harmonique, Euclide n'y voyait que de l'or. L'obscurantisme de la « géométrie sacrée », aidé par les druides d'Internet, confère au pentagone un caractère divin.

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Triangle bisocèle

Voir : triangle au collège

c. Construction du triangle d'or à partir du grand côté

Si A et C sont deux sommets du triangle, soit B le point qui partage [AC] en une section d'or. Le troisième sommet D est un des points d'intersection du cercle c₃ de centre C, passant par A et du cercle c₄ de centre B, passant par C.

Soit α = l'angle au sommet du triangle d'or. α est aussi égal à l'angle du triangle d'or isométrique. = 2α car (DB) en est la bissectrice.
La somme des trois angles du triangle d'or est + + = α + 2α + 2α = 5α = π.

α = . Le triangle d'or a donc un angle au sommet de , les deux autres angles étant égaux à .

d. Construction d'un triangle d'or à partir de la longueur de la base

À partir du segment [AB] trouver un point C et tracer un triangle d'or ayant une base [DC] égale à AB.

On adapte ici le procédé de construction du rectangle d'or

Soit K le milieu de [AB] et B’ le point de la droite perpendiculaire en B situé sur le cercle c₁ de centre B passant par A (tel que le triangle ABB’ soit rectangle isocèle direct (cf. figure).

Le cercle c₂ de centre K passant par B’ coupe la demi-droite [AB) en C.

B est la section dorée de [AC].

En effet, si la longueur AB représente l'unité, la propriété de Pythagore dans le triangle rectangle KBB’ permet de vérifier que :

AC = AK + KC = AK + KB’ = + = Φ.

Une des intersections du cercle c₃ de centre A passant par C avec le premier cercle c₁ de centre B est D.

ACD est un triangle d'or.

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e. Pavage non périodique du plan avec des triangles d'or

Il est possible de paver le plan à partir de triangles d'or. Ce pavage non régulier est formé de triangles de plus en plus grands.

À partir du triangle A_nA_n+1A_n+2 créer le point A_n+3 tel que A_n+1A_nA_n+3 soit une section d'or et recommencer.

Ces triangles sont obtenus en ajoutant au triangle un triangle d'or qui est le gnomon de ce triangle, gnomon qui permet d'obtenir un nouveau triangle semblable au précédent.

Encore une occasion d'utiliser la fonction de création itérative de GéoPlan :

tracer un triangle d'or initial A₀B₀C₀. Trouver le point A₁ tel que B₀C₀A₁ forme une section d'or. Remplacer A₀ et B₀ respectivement par B₁, C₁ pour obtenir le triangle d'or A₁B₁C₁ de niveau 1. Avec la commande d'itération (touche S), tracer les triangles suivants.

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e. Spirale d'or

Une spirale logarithmique d'équation, en coordonnées polaires,
ρ = aΦ^(5q/3p) dans un repère d'origine I, intersection des droites A₀A₅ et A₁A₆ (voir figure), passe par les sommets des triangles d'or.

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Sommaire

7. Suites et nombre d'or

Étudier la suite numérique u_n définie par u₀ = 0 et pour tout n positif par : .

La limite l de cette suite est le nombre d'or Φ = . C'est la solution de l'équation irrationnelle ; solution positive de l'équation du second degré :

x² = x + 1, soit x² − x − 1 =  0.

Le produit des solutions de cette équation est −1, la solution négative est l'opposé de l'inverse du nombre d'or : β = − . En divisant l'équation par x, non nul, on obtient :
x − 1 − = 0 soit x = 1 + ,
d'où Φ = 1 + . Φ et ont donc la même partie décimale 0,61803398875… On retrouve donc la définition de Luca Pacioli, donnée dans son ouvrage la divine proportion en 1509 : « Le nombre d'or est tel que si on lui ajoute l'unité et qu'on le divise par lui-même on le retrouve »

On pourra montrer que la suite v_n, définie par v₀ = 0 et pour tout n positif par : , a pour limite Φ.

Remarque : au XIX^e siècle on utilise la lettre grecque Φ (phi) pour le nombre d'or, en hommage au sculpteur grec Phidias.
Platon affirmait que toute la connaissance réside en ce nombre.

C'est suffisant pour inventer le mythe de la divine proportion pour le Parthénon : la façade serait inscrite dans un rectangle d'or. Même en rajoutant le fronton « triangulaire », Phidias est loin de l'or !

8. Nombre d'or et suites de Fibonacci − puissances de Φ

On a démontré ci-dessus que Φ = est la solution positive de l'équation du second degré x² = x + 1, soit Φ² = Φ + 1.

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : Φⁿ = a_nΦ + a_n−1

avec pour n > 0, a_{n + 1} = a_n + a_n−1 et a₀ = 0 ; a₁ = 1. a_n est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Suites de pentagones et nombre d'or

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A₁A₂B₂C₂C₁ est l'image du pentagone AA₁B₁C₁C par l'homothétie de centre O et de rapport Φ (nombre d'or).

Les longueurs AA₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄ sont égales aux puissances du nombre Φ.

AA₁ = 1, A₁A₂ = Φ,
A₂A₃ = Φ² = Φ + 1,
A₃A₄ = Φ³ = 2 Φ + 1…

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