Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesConstructions uniquement avec une règle, non graduée, à bords parallèles.
Sommaire1. Configuration du losange: |
Page extraite des constructions à la règle seule Le point de concours de deux droites étant situé hors de la feuille, construire une droite passant par cette intersection inaccessible Construction, avec la règle à bords parallèles, d'une bissectrice d'un angle de sommet inaccessible Construction, à la règle et l'équerre, d'une perpendiculaire ou d'un carré passant par un point inaccessible Page no 171, déplacée le 13/5/2011 |
||||
Faire de la géométrie |
Problèmes de construction |
Mathématiques.net |
|||
Avec la règle à bords parallèles seule, on peut construire la parallèle à une droite donnée passant par un point donné. On a la structure affine du plan : on peut construire le milieu d'un segment.
Avec GéoPlan, nous simulerons la règle, de largeur l = 1, avec la macro « règle à bords parallèles » qui, à partir d'un des bords (d1), tracera l'autre bord une droite (d2) avec l'instruction :
d2 deuxième bord de la règle d1.
L'orientation induite par GéoPlan sur la droite (d1) déterminant le côté où la règle sera tracée.
Construction de la règle passant par deux points situés sur les deux bords
Lorsque A et B sont deux points, à placer sur les bords opposés, nous tracerons le cercle de diamètre [AB] et, par exemple, le cercle de centre A et de rayon l.
Si AB ≥ l, un des points d'intersection de ces deux cercles est situé sur le bord de la règle. L'autre bord s'obtient par parallélisme.
Si AB > l, le cercle de centre B permet d'obtenir un deuxième tracé.
L'intersection de deux bandes parallèles de même largeur est toujours un losange.
a. Bissectrice d'un angle BÂC.
Placer la règle sur chaque côté de l'angle. (AI) est donc la bissectrice de BÂC.
Voir aussi : constructions de la bissectrice |
b. Médiatrice de [AB]
Soit [AB] un segment de longueur supérieure à la largeur de la règle. Construction d'un losange de diagonale [AB] : Cette figure permet aussi de trouver le milieu de [AB] intersection des deux diagonales du losange ACBD.
|
Cette méthode, plus théorique que pratique, permet de partager un segment de longueur supérieur à n fois la largeur de la règle. Dans la pratique, pour diviser le segment [AB], utiliser n règles identiques formant un réseau de droites parallèles et faire pivoter un des bords du réseau autour de A, jusqu'à ce que l'autre bord rencontre B.
|
Avec GéoPlan, trouver B’ un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre A et de rayon n fois la largeur de la règle. Le réseau de parallèles à (BB’) partage [AB].
|
Lorsque le segment est trop petit, à partir d'un point A’, tracer un faisceau de n + 1 parallèles qui partage [A’B’], parallèle à [AB], en n parties égales.
|
a. Construction de Hilbert |
Grundlagen der Geometrie |
|
Avec une simple règle, sans compas on ne peut pas déterminer précisément le milieu d'un segment. Avec une règle à bords parallèles, comment est-il possible de construire le milieu d'un segment donné ?
Cas général : – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB) Cas particulier : – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB), et une deuxième parallèle (d2) à (d). | |
|
Construction du milieu, avec le compas seul |
|
b. Milieu d'une corde
Trouver le milieu d'une corde [AB] d'un cercle suffisamment grand, avec une règle à bords parallèles. – Avec la règle à bords parallèles tracer une parallèle (d) à (AB). J est aussi le milieu de la corde [EF]. Le centre du cercle est situé sur la droite (CK).
| 4. Retrouver le centre d'un cercleNapoléon Bonaparte est censé avoir découvert comment à l'aide exclusive d'un compas, on pouvait retrouver le centre d'un cercle. a. configuration du milieu d'une corde
Réaliser deux fois la construction ci-contre de médiatrices :
|
b. Trouver un diamètre avec la configuration du losangeComment tracer un diamètre avec une règle de largeur inférieure au diamètre du cercle ?
Solution On place la règle sur le cercle et on trace les deux parallèles (en bleu) le long de ses deux bords. Le premier bord rencontre le cercle en A, le deuxième bord à l'opposé en B. On déplace la règle et on fait pivoter le bord inférieur autour de B jusqu'à ce le bord supérieur rencontre A. On trace (en rouge) les deux parallèles le long des bords de la règle. Les points d'intersection M et N ainsi déterminés sont sur un diamètre du cercle (médiatrice de [AB]).
|
c. Retrouver le centre avec la configuration du losangeComment retrouver le centre d'un cercle en traçant des losanges avec une règle à bords parallèles ? Indication Il suffit, comme ci-contre, de tracer deux diamètres (MN), puis (M’N’), pour obtenir le centre à leur intersection.
|
À l'aide de la règle, construire un réseau de losanges identiques, une diagonale d'un des losanges ayant pour sommets A et B.
En traçant les segments [DD1] et [DD2] reliant les sommets de ce réseau, on trouve les milieux P et Q des côtés du losange ACBD, et on en déduit les points C1 et C2 partageant le segment [AB] en trois parties égales.
On retrouve le partage en trois de la diagonale du parallélogramme ACBD par les droites (DD1) et (DD2) joignant D aux milieux des côtés opposés.
Télécharger la figure GéoPlan regle_diviser_3.g2w
Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages en troisième
Tiers d'un segment avec la règle à bords parallèlles
Pour tracer la parallèle à la droite (AB) passant par un point P il suffit de tracer un faisceau de trois droites parallèles à (AP) qui coupent (AB) en A, C et E.
P, A et E sont les trois premiers sommets d'un parallélogramme de centre O intersection de la deuxième parallèle et de (PE).
La droite (AO) coupe la troisième parallèle en Q, quatrième sommet du parallélogramme.
La droite (PQ) est la parallèle à (AB) cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan regle_parallele.g2w
Voir : construction à la règle seule d'une parallèle à deux droites parallèles
On donne une droite (d), un point A non situé sur (d),
construire le point A’ symétrique de A par rapport à (d), en utilisant la règle à bords parallèles.
Solution
Le point A sur un des bords de la règle, on trouve les points B et C intersections des bords de la règle avec (d). On retourne la règle de telle façon que B et C soient situés chacun sur l'autre bord de la règle. On obtient un tracé symétrique des deux positions de la règle en rouge avec un losange de diagonale [BC].
On recommence avec deux autres points D et E et obtient deux autres tracés en bleu où ces deux points sont sur les bords de la règle, en traçant le losange de diagonale [DE].
A’ est le symétrique de A : c'est l'intersection des droites (BA’) et (DA’) symétriques de (BA) et (DA) par rapport à (d).
Remarque : cette construction permet aussi de trouver la perpendiculaire abaissée du point A sur la droite (d) : la droite (AH).
Télécharger la figure GéoPlan regle_sym_point.g2w
Voir aussi : symétrique d'un point par rapport à une droite
a. Construction d'un triangle ayant pour côté, la largeur de la bande
Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de largeur a = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle. Plier l'angle en B en rabattant le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en C. C est équidistant de A et B, soit BC = AC = a. Avec GéoPlan, construire le point C intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
Retrouver ces paragraphes dans : constructions par pliages |
b. Construction d'un triangle ayant pour hauteur, la hauteur de la bande
Plier une bande rectangulaire ABB’A’ de hauteur h = AB suivant la médiatrice (A1B1) du rectangle. Plier l'angle en B pour amener le coin A, sur la médiatrice (A1B1), en H. On obtient le pied H de la hauteur [BH] du triangle. Le pli marque le côté [BC]. Marquer enfin le pli (CH) pour obtenir le côté [CD]. H est équidistant de A et B. Par le pliage BH = BA = h. H est le milieu de [CD] du triangle équilatéral BCD de hauteur h. Avec GéoPlan, construire le point H intersection de [A1B1] et du cercle de centre A passant par B.
|
|
c. Règle à bords parallèlesSur une bande rectangulaire de largeur AB = 2l, placer A sur un bord de la règle et B sur l'autre bord, ce deuxième bord coupe le rectangle en C, reporter deux fois la règle pour obtenir le point D. BCD est équilatéral.
|
d. Patron du tétraèdre régulierPour construire un tétraèdre régulier avec cette bande, compléter la construction par quatre triangles équilatéraux.
|
|
La règle à bords parallèles de largeur l permet de tracer un triangle équilatéral de hauteur AB = 2 l. Avec GéoPlan, tracer deux cercles de rayon l ; l'un de diamètre [AB] et l'autre de centre A. Ces deux cercles se coupent en E et F. AE/AB = l/2l = Les droites (BE) et (BF) et leurs parallèles passant par A forment un losange AIBJ. En plaçant un bord de la règle sur [IJ], l'autre passe par A ou B. Pour A on obtient la perpendiculaire à (AB) qui coupe (BE) en C et (BF) en D. BCD, ayant (AB) comme axe de symétrie et l'angle au sommet CBD de 60°, est un triangle équilatéral.
|
La règle à bords parallèles de largeur l permet la construction complète d'un triangle équilatéral d'axe (AB’). Première étape : construction de la médiatrice (KL) de [AB’]. Deuxième étape : construction de (AN) parallèle à (KL) passant par A. Troisième étape : avec les bords de la règle construire les parallèles à (AN). Sur [AB’) on obtient les points P puis B tels que AP = l et PB = l. Quatrième étape : terminer comme ci-contre.
|
« Descartes et les Mathématiques »Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. |
e visite des pages « histoire ».
![Médiatrice de [AB]](../geoplan/construc_clg/regle_losange.gif)
Pour construire le milieu, lorsque le segment est trop court, à défaut de la 
Wikipédia : 
; c'est le sinus de l'angle ABE = 30°. L'angle EBF vaut 60°.