Calculs et découpage d'aires - Angles avec la géométrie dynamique

Des idées de situations pour faire et enseigner des mathématiques avec un logiciel de géométrie dynamique.

Descartes et les Mathématiques	Calculs d'aire - Formulaire	Aire maximale d'un triangle	Collège
…Avec GéoPlan	Aires au collège Calculs d'aires par découpage Aires et triangles Aire du parallélogramme aire du losange aire du trapèze Triangle rectangle Quadrilatère orthodiagonal, cerf-volant Multiplication de l'aire d'un parallélogramme Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ». Démonstrations avec la méthode des aires : théorème de Thalès théorème de Pythagore Calcul de l'aire d'un quadrilatère non convexe : prenons de la hauteur Transformer un quadrilatère en triangle de même aire - Olympiades 2008 Aire d'un polygone formé par l'intersection de deux carrés Problèmes de partage Avec GeoGebra Vitre cassée Calculs d'aire - Théorème de Pick La planche à clous, comme géoplan	Aires au lycée Classe de seconde Calculs d'aires par découpage Multiplication de l'aire d'un triangle Aire formée par deux segments circulaires Calculs d'aires dans un rectangle Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes Calculs d'aire dans un rectangle Optimisation d'aires Optimisation : aire entre deux triangles équilatéraux Classe de première Calcul d'aire minimum : minimum-maximum Analyse en option 1^ère L - TL Carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire (olympiades) Un partage équitable - Olympiades 2008 Terminale S : calculs d'aires et de volumes Intégration par la méthode des rectangles ou des trapèzes Volume maximal Calculs du volume d'une cuve Avec GeoGebra Optimisation d'aires en seconde Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle Aire délimitée par un périmètre de baignade	Seconde
…avec GeoGebra			Première
…avec GéoSpace			Terminale Annales S-ES
Géométrie du triangle			Après-bac Capes
Transformation			Histoire des mathématiques
Windows XP Pages interactives avec GéoPlan			Culture mathématique
Analyse - Fonction Optimisation	Angles au collège Angle inscrit	Angles-Trigo (hors programme) Angles Rotations Trigonométrie	Algorithme TI-92
Vecteurs - Complexes Barycentres	Rotation (hors programme du collège) Recherche permettant de trouver un lieu de points menant à une construction par rotation : triangle équilatéral inscrit dans un carré	Rotation (hors programme du lycée) Triangles du BOA Carrés du BOA les problèmes du BOA	Présentation du site

Calculs d'aire - Formulaire

Triangle

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = base × hauteur b × h = AC × BH avec la base BC = b et la hauteur issue de A : AH= h.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = bc sin A.

Formule de Héron d'Alexandrie en fonction des longueurs des trois côtés :

p = (a + b + c) désigne le demi-périmètre : Aire(ABC) = .

Formule des aires : Aire(ABC) = S = pr et r = = où r est le rayon du cercle inscrit.

GéoPlan calcule directement l'aire du triangle avec le menu : « Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle ».

Cas particuliers : aire d'un triangle rectangle
l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est a².

Quadrilatères

Carré : l'aire du carré de côté a est a².

Rectangle : l'aire du rectangle de longueur L et de largeur l est égale au produit Ll.

Parallélogramme : l'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de la base par la hauteur,
ou bien l'aire d'un parallélogramme est aussi égale au double de l'aire d'un des triangles, formé par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants.

Losange : l'aire d'un losange a pour mesure le produit de la base par la hauteur
ou bien l'aire est aussi égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Trapèze : l'aire d'un trapèze est le produit de la moyenne des bases par sa hauteur.

Quadrilatère croisé : Le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des côtés.

Quadrilatère et diagonales : L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.

Cerf-volant : l'aire d'un cerf-volant est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Quadrilatère orthodiagonal : l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal, non croisé, est égale au demi-produit des longueurs des diagonales.

Quadrilatère convexe quelconque : le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales, ou bien transformer ce quadrilatère en un triangle.

Décomposition du pentagone en 3 triangles segment circulaire Pentagone : calcul de l'aire du pentagone par découpages (figure de gauche)

Polygone convexe

Pour trouver l'aire d'un polygone convexe, le découper en triangles, ou bien transformer ce polygone en triangle

Cercle

Cercle : l'aire du cercle de rayon r est πr².

Segment circulaire (segment de cercle ou lunule) : l'aire du segment circulaire AB, sur un cercle de centre O, est celle du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB.

Aire maximale d'un triangle

GéoPlan permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. Certains de ces exercices seront alors abordables au collège en classe de troisième.

Utilisation du logiciel GéoPlan pour une recherche

Dans ces exercices est utilisée la technique GéoPlan d'une seule figure avec deux cadres : un cadre pour le triangle, un cadre pour la fonction représentative de l'aire.

La recherche d'un triangle d'aire maximale se fait en deux étapes.

Dans un premier temps, en déplaçant un des sommets du triangle, on trouve en général une première condition d'optimisation du problème, assez fréquemment un triangle isocèle.
On validera cette hypothèse par une méthode analytique (maximum de fonction lu graphiquement avec GéoPlan ou calculé avec une dérivée) ou par des considérations géométriques.

Dans un deuxième moment, on reprend la figure assujettie à cette hypothèse et on recommence la recherche avec deux points fixes et un point variable. Souvent l'énoncé proposera d'emblée cette situation avec un seul point libre.

Triangle d'aire maximale

Aire maximale d'un triangle inscrit dans un carré

Triangle inscrit dans un rectangle :
pliage du coin d'une feuille, un devoir qui ne fait pas un pli !

Aire maximale d'un triangle isocèle inscrit dans un cercle

Aire maximum d'un triangle de périmètre fixé :
optimisation en troisième
aire maximale d'un triangle isocèle à l'épreuve pratique de TS

L'hypoténuse variable

Rectangle d'aire maximale

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle - démonstration par l'étude d'une parabole - démonstration géométrique

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un trapèze

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005