René Descartes Calculs et découpage d'aires - Angles avec la géométrie dynamique

Des idées de situations pour faire et enseigner des mathématiques avec un logiciel de géométrie dynamique.

Icône GéoPlanAvec GéoPlan

Calculs d'aire - Formulaire

Aire maximale d'un triangle

Collège

Icône GeoGebraavec GeoGebra

Aires au collège

Calculs d'aires par découpage

Aires et triangles

Aire du parallélogramme
      aire du losange
      aire du trapèze

Triangle rectangle

Quadrilatère orthodiagonal, cerf-volant

Multiplication de l'aire d'un parallélogramme

Aires au lycée en seconde

Calculs d'aires par découpage
      Multiplication de l'aire d'un triangle
      Aire formée par deux segments circulaires
      Calculs d'aires dans un rectangle

Calcul de π dans le papyrus de Rhind : fractions égyptiennes

Calculs d'aire dans un rectangle

Optimisation d'aires

Optimisation : aire entre deux triangles équilatéraux

Seconde

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Calculs et découpage d'aires

Première

Icône GéoSpaceavec GéoSpace

Méthode des aires : démonstration utilisant la propriété d'Euclide : « les triangles qui ont la même hauteur sont l'un relativement à l'autre comme leurs bases ».

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

Calcul de l'aire d'un quadrilatère non convexe :
      prenons de la hauteur

Transformer un quadrilatère en triangle de même aire - Olympiades 2008

Aire d'un polygone formé par l'intersection de deux carrés

Problèmes de partage

Classe de première

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1ère L - TL

Carré d'aire cinq fois plus petite : produit scalaire (olympiades)

Un partage équitable - Olympiades 2008

Terminale S : calculs d'aires et de volumes

Intégration par la méthode des rectangles ou des trapèzes

Volume maximal

Calculs du volume d'une cuve

Terminale
Annales S-ES

Icône GeoGebra Figures classiques
avec GeoGebra

Après-bac
Capes

Analyse - Fonction
Optimisation

GeoGebra Avec GeoGebra au collège

Calculs d'aire - Théorème de Pick

La planche à clous comme géoplan

GeoGebra Avec GeoGebra au lycée

Optimisation d'aires en seconde

Aire minimale d'un triangle inscrit dans un rectangle – figures interactives
Aire délimitée par un périmètre de baignade
    – figure interactive

Histoire des mathématiques

Géométrie du triangle

Angles au collège

Angle inscrit

Angles-Trigo (hors programme)

Angles Rotations
            Trigonométrie

Culture
mathématique

Descartes et les Mathématiques

Rotation (hors programme du collège)

Recherche d'un lieu de points menant à une construction par rotation : triangle équilatéral inscrit dans un carré

Rotation (hors programme du lycée)

Triangles autour du BOA
Carrés autour du BOA

Les problèmes du BOA

Algorithme
TI-92

Calculs d'aire - Formulaire

L'aire est une mesure de grandeur des figures du plan ou des surfaces de l'espace. La figure de base pour le calcul d'une aire est le carré unité, de côté 1.

Quadrature : construire, à la « règle et au compas », un carré d'aire égale à celle d'une figure donnée.

Triangle

L'aire d'un triangle a pour mesure le demi-produit d'un côté par la hauteur perpendiculaire à ce côté.

Aire(ABC) = 1/2 base × hauteur 1/2 b × h = 1/2 AC × BH avec la base BC = b et la hauteur issue de A : AH= h.

Comme h = AB sin A = c sin A, on a aussi Aire(ABC) = 1/2 bc sin A.

Formule de Héron d'Alexandrie en fonction des longueurs des trois côtés :

p = 1/2(a + b + c) désigne le demi-périmètre : Aire(ABC) = rac(p(p - a)(p - b)(p - c)).

Formule des aires : Aire(ABC) = S = pr et r = S/p = 2S/(a+b+c)r est le rayon du cercle inscrit.

GéoPlan calcule directement l'aire du triangle avec le menu : « Créer>Numérique>Calcul géométrique>Aire d'un triangle ».

Triangles particuliers : aire d'un triangle rectangle,

l'aire d'un triangle équilatéral de côté a est rac(3)/4 a2 ;
      quadrature du triangle équilatéral

Quadrilatères particuliers

Carré : l'aire du carré de côté a est a2.

Rectangle : l'aire du rectangle de longueur L et de largeur l est égale au produit Ll.
      Quadrature du rectangle

Parallélogramme : l'aire d'un parallélogramme a pour mesure le produit de la base par la hauteur,
      ou bien l'aire d'un parallélogramme est aussi égale au double de l'aire d'un des triangles, formé par une diagonale et les deux côtés consécutifs correspondants.

Losange : l'aire d'un losange a pour mesure le produit de la base par la hauteur
      ou bien l'aire est aussi égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Trapèze : l'aire d'un trapèze est le produit de la moyenne des bases par sa hauteur.

Quadrilatère croisé : le décomposer en deux triangles de part et d'autre du point d'intersection des côtés.

Quadrilatère et diagonales : L'aire d'un quadrilatère convexe est égale au demi-produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu'elles forment.

Cerf-volant : l'aire d'un cerf-volant (géométrie) est égale à la moitié du produit des longueurs des diagonales.

Quadrilatère orthodiagonal : l'aire d'un quadrilatère orthodiagonal, non croisé, est égale au demi-produit des longueurs des diagonales.

Quadrilatère convexe quelconque : le décomposer en deux triangles le long d'une des diagonales, ou bien transformer ce quadrilatère en un triangle.

Polygone convexe

trois triangles dans le pentagone

Pour calculer l'aire d'un polygone convexe, le découper en triangles, ou bien transformer ce polygone en triangle.

 

Pentagone :
calcul de l'aire du pentagone par découpage : faire la somme des aires des trois triangles ci-contre.

Voir la quadrature du pentagone

Cercle

Cercle : l'aire du disque de rayon r est πr2.aire et segment circulaire

Secteur circulaire : surface du disque comprise entre deux rayons.
Calcul de l'aire d'un secteur circulaire : multiplier la moitié de l'angle (exprimé en radian) par le carré du rayon :

si OAB = α, l'aire du secteur est geometrie du triangle - aire d'un secteur circulaire.

Segment circulaire (segment de cercle, parfois appelé lunule) : figure mixtiligne comprise entre l'arc de cercle AB et la corde [AB] qui le sous-tend.

Calcul de l'aire d'un segment de cercle :
l'aire du segment circulaire AB, sur un cercle de centre O, est celle du secteur circulaire compris entre les demi-droites [OA), [OB) et l'arc AB à laquelle selon les cas, on ajoute ou on retranche l'aire du triangle OAB.

Quadrature du cercle

Quadrature de la parabole par la méthode d'Archimède

Aire maximale d'un triangle

GéoPlan permet la mise en place de situations qui pourraient paraître complexes, mais auxquelles la dynamique de la figure permet de donner du sens. Certains de ces exercices seront alors abordables au collège en classe de troisième.

Utilisation du logiciel gratuit GéoPlan pour une recherche

Dans ces exercices est utilisée la technique GéoPlan d'une seule figure avec deux cadres : un cadre pour le triangle, un cadre pour la fonction représentative de l'aire.

La recherche d'un triangle d'aire maximale se fait en deux étapes.

Dans un premier temps, en déplaçant un des sommets du triangle, on trouve en général une première condition d'optimisation du problème, assez fréquemment un triangle isocèle.
On validera cette hypothèse par une méthode analytique (maximum de fonction lu graphiquement avec GéoPlan ou calculé avec une dérivée) ou par des considérations géométriques.

Dans un deuxième moment, on reprend la figure assujettie à cette hypothèse et on recommence la recherche avec deux points fixes et un point variable. Souvent l'énoncé proposera d'emblée cette situation avec un seul point libre.

Triangle d'aire maximale

Aire maximale d'un triangle inscrit dans un carré

Triangle inscrit dans un rectangle :
    pliage du coin d'une feuille, un devoir qui ne fait pas un pli !

Aire maximale d'un triangle isocèle inscrit dans un cercle

Aire maximum d'un triangle de périmètre fixé :
      optimisation en troisième
      aire maximale d'un triangle isocèle à l'épreuve pratique de TS

L'hypoténuse variable

Rectangle d'aire maximale

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un triangle rectangle - démonstration par l'étude d'une parabole - démonstration géométrique

Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un trapèze

Le plus grand rectangle inscrit dans un triangle isocèle

Carré d'aire maximale, voir : olympiades Versailles 2005

Calculs de volume de polyèdres

Le volume d'un solide de l'espace est sa mesure. L'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité.

Cubature : transformation d'un solide en un cube de même volume.

Volume du cube de côté a : V = a3.

Volume d'un parallélépipède rectangle : Volume(ABCDEFGH) = Aire de la base × hauteur = Aire(ABCD) × AE = AB × AD × AE.

Volume d'un prisme droit : Aire de la base × hauteur = B × h.

Volume d'un cylindre : Aire de la base × hauteur = B × h.

Volume d'une pyramide (d'un tétraèdre ou d'un cône) : V = 1/3 × aire de la base × hauteur = 1/3 × Abase × h.

Volume d'un tétraèdre régulier : V = 1/3 × Abase× h = 1/3 a2 × rac(2/3) a = 1/12 a3.

Volume d'un tronc de pyramide (ou d'un tronc de cône) : un tronc de grande base B, de petite base b et de hauteur h, a pour volume V = h/3 [B + b + rac(Bb) ].

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Page créée le 9/10/2009, modifiée le 12/5/2010
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