René DescartesDescartes et les Mathématiques

Glossaire (de géométrie)

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angle, barycentre, calculatrice, construction, construction à la règle et au compas, Descartes, Euclide, Euler, Feuerbach, géométrie, GéoPlan, GéoSpace, lieu géométrique, méthode d’Euler, nombre d’or, parabole, pentagone, plan projectif, produit scalaire, Pythagore, quadrature, rotation, section plane, suite, tangente, Thalès, ti-92, transformation, triangle, trigonométrie

Angle

de : Winkel

Un secteur angulaire est une figure plane obtenue par intersection ou réunion de deux demi-plans délimités par des droites sécantes ou confondues.
L'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire.

La somme des angles d'un triangle vaut 180° (π radians).

L'angle extérieur d'un triangle est égal à la somme des deux angles intérieurs non adjacents.

Deux angles sont complémentaires si leur somme vaut 90° (les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires).

Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut 180°.

Deux angles à côtés parallèles sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.

Deux angles à côtés perpendiculaires sont égaux s'ils sont de même nature (aigu ou obtus), ou supplémentaires si l'un est aigu, l'autre obtus.

Deux droites parallèles découpent sur une sécante des angles alternes internes, alternes externes ou correspondants de même mesure. Les angles internes du même côté ou externes du même côté sont supplémentaires. Les réciproques sont vraies.

Angle inscrit

en : inscribed angle

Antiparallèle

Deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles, s'ils ont les mêmes directions de bissectrices.

Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).

On dit que (d’) est antiparallèle à (d) par rapport à (Δ, Δ’).

Quatre points A, B, C et D tels que trois d'entre eux ne sont pas alignés sont cocycliques si et seulement si les droites (AB) et (DC) sont antiparallèles par rapport aux droites (AD) et (BC).

Si deux couples de droites (d, d’) et (Δ, Δ’) sont antiparallèles et concourants, on dit qu'ils sont isogonaux.

D'après Lalesco Trajan - La géométrie du triangle - Jacques Gabay - 2003

Droites antiparallèles aux côtés d'un triangle

Lorsqu'une droite est antiparallèle à un côté d'un triangle par rapport aux deux autres on sous-entend assez souvent les deux derniers côtés. On dira : « dans le triangle ABC la droite (d) est antiparallèle à (AB) » au lieu de : « la droite (d) est antiparallèle à (AB) par rapport à (CA) et (CB) ».

Voir : géométrie du triangle II
Wiktionnaire : antiparallèle

Apothème

Les apothèmes d'un polygone régulier relient les milieux de ses côtés à son centre.

Les apothèmes d'une pyramide relient le sommet aux milieux des côtés de la base.
L'apothème d'un cône relie le sommet au cercle au cercle de base.

Arc capable

Ensemble des points du plan d'où l'on « voit » un segment suivant un angle donné.
Autrefois on disait aussi segment capable.

Associativité du barycentre

Propriété signifiant : le barycentre d'un système de n points, affectés de leurs coefficients, ne change pas si on remplace p de ces points par leur barycentre, affecté de la somme des coefficients correspondants.
Cette propriété est aussi connue sous le nom de théorème du barycentre partiel.

Axe orthique

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle d'Euler de ce triangle. Il est perpendiculaire à la droite d'Euler.

L'axe orthique est la droite formée par les points d'intersection des côtés du triangle avec ceux du triangle orthique.

Axe radical

L'axe radical de deux cercles, de centres distincts, est l'ensemble des points ayant même puissance par rapport à ces deux cercles. C'est une droite perpendiculaire à ligne des centres. Si les cercles sont sécants, l'axe radical est la droite joignant les points d'intersection.
Les tangentes menées aux deux cercles, à partir d'un point de l'axe radical (extérieur aux deux cercles), ont même longueur.

Voir : géométrie du cercle

Barycentre

On appelle barycentre d'un système des points pondérés (A, a); (B, b); (C, c) …; (N,n) (a+b+c+…+n différent de 0) le point unique G défini par :
a vect(GA) + b vect(GB) + c vect(GC) + … + n vect(GN) = vect(0).

Voir : barycentre

Bissectrice

La bissectrice d'un angle est la droite qui, passant par le sommet de cet angle, le partage en deux angles de même mesure.
La bissectrice d'un angle est son axe de symétrie.

Les bissectrices de deux droites (d) et (d’) concourantes distinctes sont le lieu géométrique des points équidistants de ces deux droites.
Ce lieu est formé de deux droites perpendiculaires qui sont les axes de symétrie des droites (d) et (d’)
.

Théorème de la bissectrice de WikiPédia
      Si un point appartient à la bissectrice d'un angle, ce point est équidistant des côtés de cet angle et réciproquement

Les bissectrices de deux angles supplémentaires adjacents sont perpendiculaires.

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle sont concourantes en un même point, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Les points d'intersection des bissectrices d'un triangle avec le cercle circonscrit sont les milieux des arcs déterminés par les sommets.

Les bissectrices des angles d'un losange ou d'un carré sont les diagonales, axes de symétrie du quadrilatère.

Théorème (du pied) de la bissectrice dans le triangle

Une bissectrice intérieure de l'angle d'un triangle partage le côté opposé en deux segments de longueurs proportionnelles à celles des côtés adjacents.

Cathète

Ancien synonyme de ligne perpendiculaire : droite qui tombe perpendiculairement sur une autre droite ou sur une surface.

Côté de l'angle droit d'un triangle rectangle (on parle aussi de jambe du triangle).

Hauteur d'un trapèze

Axe d'une courbe chez les «anciens Grecs ».

Wiktionnaire : cathète

Cocycliques (points)

en : cocyclical, cocyclic

Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.

Centre de gravité

en : centroid or center of gravity
de : Schwerpunkt

Cercle circonscrit

Le cercle circonscrit à un polygone passe par tous les sommets du polygone.
Le polygone est alors dit inscrit dans ce cercle : c'est un polygone inscriptible. Les sommets sont alors cocycliques.
Le cercle circonscrit est unique et son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés

Cercle d'Apollonius

de : kreis des Apollonios

Le lieu des points M tels que ma/mb = k (k > 0) est le cercle d'Apollonius de diamètre [IJ] où les points I et J de (AB) partagent le segment [AB] dans le rapport k.

Voir : cercles d'Apollonius du triangle

Voir aussi : cercle d'Apollonius tangent aux cercles exinscrits d'un triangle et point d'Apollonius

Cercle d'Euler - Cercle des neuf points

Le cercle d'Euler (1707-1783) passe par les neuf points suivants :
    – les milieux des côtés du triangle,
    – les pieds des hauteurs,
    – les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] où H est l'orthocentre du triangle ABC.

Le cercle des neuf points d'Euler est l'homothétique du cercle circonscrit au triangle dans une homothétie de centre H et de rapport 1/2.

Comme son nom ne le l'indique pas le cercle d'Euler a été découvert en 1808 par Serge Brianchon (Paris, 1783 - 1864).
On dit aussi cercle de Feuerbach.

Le centre du cercle d'Euler est le point X(5) de ETC.
en : nine-point center - center of the nine-point circle

Voir : cercles remarquables du triangle

Cercle de Taylor

Les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d'un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor.

Triangle orthique

Cévienne

Dans un triangle, une cévienne est une droite issue d'un sommet (les hauteurs, médianes ou bissectrices sont des céviennes).

Wiktionnaire : cévienne

Cocyclique

Des points cocycliques sont situés sur un même cercle.

Concave

Polygone concave : polygone qui n'est pas convexe (non convexe).

Wiktionnaire : concave

Convexe

Polygone convexe : polygone plan dont les sommets sont dans un même demi-plan par rapport à n'importe quel côté du polygone.

Wiktionnaire : convexe

Conjecture de Sierpinski

Pour tout entier n > 1 il existe trois entiers naturels a, b et c tels que

5/n=1/a+1/b+1/c

Il semble que l'on ne sache pas encore démontrer cette conjecture.

Voir : http://debart.pagesperso-orange.fr/ti92/fracegypt.html

Construction à la règle et au compas

en : compass and straightedge constructions.
de : Konstruktion mit Zirkel und Lineal.

Diagonale

C'est une droite qui passe par deux sommets non consécutifs d'un polygone.
Dans un quadrilatère, une diagonale passe par deux sommets opposés.

Wiktionnaire : diagonale

Diamètre d'une parabole

Le lieu des mielleux des cordes d'une parabole, parallèles à une direction (AB), est une droite parallèle à l'axe. Cette droite est appelée diamètre de la parabole relativement à la corde [AB].
Cette droite coupe la parabole en un point C. En ce point C, la tangente à la parabole est parallèle à la corde [AB].
Le point C est le sommet de la parabole relativement à ce diamètre.

Remarque : si la direction est perpendiculaire l'axe de la parabole, sur cet axe on appelle aussi diamètre de la parabole le segment, tracé à partir du sommet, de longueur le paramètre de la parabole.

Division harmonique

Définitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes :
définition : CA/CB = − DA/DB ;

relation de Descartes : 2/AB=1/AC+1/AD ;

relation de Newton : IA2 = IB2 = vect(IC) . vect(ID) où I est le milieu de [AB] ;

relation de Mac-Laurin : vect(AC) . vect(AD) = vect(AB) . vect(AJ) où J est le milieu de [CD].

[A, B, C, D] forme une division harmonique et on note le birapport [A, B, C, D] = Birapport de quatre points alignés = −1.

Voir : plan projectif

Wiktionnaire : harmonique

Droite d'Euler

de : Eulersche Gerade

Dans un triangle, soit O le centre du cercle circonscrit, G le centre de gravité et H l'orthocentre.

Les points O, G et H sont alignés sur une droite dite droite d'Euler et GH = 2 OG (relation d'Euler : G est au tiers de [OH] ).

Voir : droite d'Euler

Droite des milieux - Théorème des milieux

Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté.
La longueur du segment joignant ces milieux est la moitié de celle du troisième côté.

Réciproque : si une droite parallèle à un côté d'un triangle passe par le milieu d'un autre côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

Voir : triangle au collège

Droites et points remarquables du triangle

Médiane

Les médianes sont les droites joignant les sommets d'un triangle aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Le centre de gravité est le point X(2) de ETC;
en : centroid - intersection of the three medians

Hauteur

Les hauteurs sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Les trois hauteurs sont concourantes au même point H orthocentre du triangle.

L'orthocentre, point X(4) de ETC;
en : orthocenter - intersection of three altitudes

Bissectrice

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle ABC sont concourantes en un même point I, centre du cercle inscrit dans le triangle (tangent intérieurement aux trois côtés du triangle).

Le centre du cercle inscrit est le point X(1) de ETC;
en : incenter - center of the incircle

Théorème du pied de la bissectrice dans le triangle : voir bissectrice

Médiatrice

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

Le centre du cercle circonscrit est le point X(3) de ETC.
en : circumcenter - center of the circumscriebed circle

Droite remarquable du triangle

Ménélienne

Dans un triangle, une ménélienne est une droite ne passant pas par un des sommets.

Droite de Newton

Théorème de Newton : les milieux des diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton du quadrilatère complet.
Droite de Newton d'un triangle

Faisceau harmonique

(A, B, C, D) étant une division harmonique située sur une droite (d) et O un point à l'extérieur de (d), les droites (OA), (OB), (OC) et (OD) forment un faisceau harmonique.
On écrit par convention [OA, OB, OC, OD] = −1.

Polaire

Faisceaux orthogonaux

en : Apollonian circles

Fraction égyptienne

Les « anciens Égyptiens » ne connaissaient, comme fractions, que les inverses d'entiers de numérateur 1.
Ils écrivaient les rationnels de ]0 ; 1[ comme sommes d'inverses d'entiers strictement croissants.

Voir : http://debart.pagesperso-orange.fr/ti92/fracegypt.html

Gnomon

Le gnomon est un mot latin, d'origine grecque, qui désigne l'aiguille de cadran solaire, et par extension le cadran solaire.

En Géométrie, le gnomon d'une figure est la figure à ajouter pour obtenir une nouvelle figure semblable à la précédente.

Voir : Euclide,   nombre d'or

Hauteur

en : altitude

Les hauteurs d'un triangle sont les perpendiculaires abaissées d'un sommet sur le côté opposé.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point H orthocentre du triangle.

Dans un triangle isocèle, la hauteur relative à la base est axe de symétrie du triangle et les deux autres hauteurs sont de longueur égale.
Réciproquement, si dans un triangle deux hauteurs sont de même longueur, le triangle est isocèle.

Droites remarquables du triangle

Hexagone

Polygone ayant 6 côtés et 6 sommets.

Hexagone régulier

Hexagramme étoilé
Hexagramme mystique
: théorème de Pascal
Cas du cercle : hexagramme

Construction d'un hexagone régulier par pliage d'un triangle

Hexagone de Lemoine

Hexagone de Catalan

Inversion : cette transformation n'est plus enseignée, mais pourrait être citée en terminale S comme contre-exemple de linéarité.

L'inversion i(I, k) de pôle I et de rapport k est la transformation du plan qui à un point M, distinct de I, fait correspondre le point M’ de la droite (IM) tel que vect(IM).vect(IM') = k.

Entre un couple de points (M, N) et son image (M’, N’), on a : M’N’ = abs(k)MN/(IM.IN).

Une inversion de pôle I est une involution bijective du plan privé de I dans lui-même.

L'image d'une droite ou d'un cercle, éventuellement privé du pôle I, est une droite ou un cercle, éventuellement privé du point I.

Par une inversion, l'image d'une droite ne passant par le pôle est un cercle, passant par le pôle, privé du pôle.

Isogonal

« qui a des angles égaux ».

Droite isogonale

Couple de droites isogonaux

en : isogonal conjugate

Deux couples de droites concourantes (d, d’) et (Δ, Δ’) sont isogonaux s'ils sont antiparallèles ;
Ils ont les mêmes bissectrices.
Les angles de droites (d, Δ) et (Δ’, d’) sont égaux (modulo π).
On dit que (d’) est isogonale à (d) par rapport à (Δ, Δ’).

Soit (d), (Δ), (Δ’) trois droites concourantes. La droite (d’) symétrique de (d) par rapport à la bissectrice intérieure de (Δ) et (Δ’) est isogonale à (d) par rapport à (Δ, Δ’).

Wiktionnaire : isogonale

Point conjugué isogonal

de : Isogonal konjugierte Punkte

Dans un triangle, deux points sont conjugués isogonaux s'ils situés aux intersections de deux couples de droites isogonales, issues de deux sommets.
Ils sont alors situés sur un couple de droites isogonales, issues du troisième sommet.

Si un point P a pour coordonnées barycentriques (x ; y ; z), alors le conjugué isogonal de P a pour coordonnées barycentriques (a2/x ; b2/y ; c2/z).

Exemples :
Les centres des cercles inscrit et exinscrits coïncident avec leurs conjugués isogonaux.
Le centre du cercle circonscrit est le conjugué isogonal de l'orthocentre (d'où des propriétés intéressantes de la droite d'Euler et du cercle de Feuerbach).
Le point de Lemoine est le conjugué isogonal du centre de gravité.
Les deux points de Brocard sont des conjugués isogonaux.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

Lunule

Une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.

Une lunule peut aussi désigner un segment circulaire (ou segment de cercle) : la portion de surface délimitée par un arc de cercle et sa corde.

Voir : les lunules d'Hippocrate

Médiane

de : Seitenhalbierende

Les médianes d'un triangle sont les segments joignant les sommets aux milieux des côtés opposés. Les trois médianes sont concourantes au centre de gravité du triangle, situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant.

Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base est axe de symétrie du triangle et les deux autres médianes sont de longueur égale.
Réciproquement, si dans un triangle deux médianes sont de même longueur, le triangle est isocèle.

Dans un triangle rectangle, la longueur de la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.
Réciproquement, si dans un triangle la longueur d'une médiane est égale à la moitié de la longueur du côté correspondant, le triangle est rectangle.

Voir : droites remarquables du triangle

Les médianes d'un quadrilatère sont les segments joignant les milieux des côtés opposés. Les deux médianes sont concourantes au centre de gravité du quadrilatère, situé au milieu de chaque médiane, car elles sont les diagonales du parallélogramme de Varignon.

Voir : Le barycentre

Les médianes d'un tétraèdre sont les segments reliant les sommets au centre de gravité de la face opposée.

Les quatre médianes sont concourantes au centre de gravité du tétraèdre, situé aux 3/4, à partir du sommet, de chaque médiane.

Voir : Le barycentre

Bimédiane
Dans un tétraèdre, on appelle bimédianes les droites passant par les milieux de deux arêtes opposées.
Les trois bimédianes sont concourantes au centre de gravité.

GeoGebra Figures 3D dans GeoGebra Tube : bimédianes d'un tétraèdre

Médiatrice

en : perpendicular bisector

La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu.
C'est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment et réciproquement.

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes au même point, centre du cercle circonscrit au triangle.

Rectangle ou carré : ces quadrilatères ont pour axes de symétrie les médiatrices (qui sont aussi les médianes) des côtés.

Le mot « médiatrice » ne date que 1925, date à laquelle il a été adopté par l'assemblée générale de l'Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Secondaire.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : construction de la médiatrice au compas
Voir : Droites remarquables du triangle

Nombre d'or

C'est la solution positive de l'équation x2x –1 = 0 ; une valeur approchée est 1,618. Ce nombre se retrouve dans le pentagone, les suites de , la botanique, l'architecture…

Voir : pentagone ; Suites et Fibonacci

Orthocentre

en : orthocenter

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes au même point H orthocentre du triangle.

Orthoptique

La courbe orthoptique d'une courbe (C) est le lieu des points d'où l'on peut mener deux tangentes, à (C), perpendiculaires entre elles, autrement dit le lieu des points d'où l'on « voit » la courbe (C) sous un angle droit.
Pour une parabole, c'est la directrice.

Pappus d'Alexandrie

Pappus est l'un des plus importants mathématiciens de la Grèce antique. Il est né à Alexandrie et a vécu au IVe siècle.

Théorème de Pappus : plan projectif
Petit théorème de Pappus
Parallélogramme de Pappus : preuve par homothétie

Démonstration par Pappus du théorème de Pythagore
Le problème de Pappus

Parallélépipède

en : parallelepiped

Parallélépipède : polyèdre à six faces qui sont toutes des parallélogrammes. Les faces opposées sont égales et parallèles.
C'est un prisme dont la base est un parallélogramme.

Parallélépipède rectangle : polyèdre à six faces qui sont toutes des rectangles. C'est un prisme droit, dont la base est un rectangle.

Parallélépipèdes particuliers où toutes les arêtes sont de la même longueur :
le cube ;
le rhomboèdre qui est un polyèdre à trois dimensions ressemblant au cube, mais avec des faces en forme de losanges.

Voir : l'espace en sixième

Plan projectif

de : Projektive Ebene

Girard Desargues (Français 1591-1661) est le créateur de la géométrie projective, étude de propriétés qui se conservent par projection centrale : alignement, point de concours et birapport.

Intuitivement la droite projective est une droite affine complétée par un point, appelé point à l'infini.
Elle est en bijection avec R ∪ {∞} (à ne pas confondre avec R ∪ {– ∞, + ∞}).

Le plan projectif est un plan affine complété par des points à l'infini de telle façon que deux droites distinctes aient un point commun.

Voir : plan projectif

Point de Gergonne

Les trois droites qui joignent les sommets d'un triangle aux points de contact du cercle inscrit avec les côtés opposés sont concourantes en un même point G, point de Gergonne (1771-1859) du triangle.

Le point de Gergonne est le point X(7) dans ETC.

Points caractéristiques du triangle

Point de Lemoine - Point symédian

Lemoine Émile, mathématicien français spécialiste de la géométrie du triangle, 1840- 1912

Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle.

Les distances de ce point aux trois côtés du triangle sont proportionnelles aux côtés.
Le point de Lemoine du triangle ABC, de côtés a = BC, b = CA et c = AB est le barycentre du système pondéré (A, a2) ; (B, b2) ; (C, c2).
Le point de Lemoine est le point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle est minimale.

Le point de Lemoine est le point X(6) dans ETC.

Voir : géométrie du triangle - ponts caractéristiques

Point de Miquel

Les quatre cercles circonscrits aux triangles formés par les sommets d'un quadrilatère complet, pris trois à trois, sont concourants en un point nommé point de Miquel du quadrilatère complet.

Plan projectif

Point de Fermat - Point de Torricelli

ABC est un triangle, dont tous les angles sont inférieurs à 2pi/3, bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF ayant pour centres de gravité respectifs P, Q et R.

  • Le triangle PQR est équilatéral (triangle extérieur de Napoléon),
  • Les segments [AD], [BE] et [CF] sont concourants en I, point de Torricelli du triangle ABC (dit aussi point de Fermat),
  • Les cercles, appelés cercles de Torricelli, circonscrits aux triangles BCD, ACE et ABF sont concourants en I (application du théorème du pivot de Forder démontré par Miquel en 1838),
  • Le point I réalise le minimum de la somme MA+MB+MC lorsque M décrit le plan (Théorème de Torricelli ou de Schruttka), les segments [IA], [IB] et [IC] forment entre eux des angles de 2pi/3.

Problèmes du BOA

Polaire d'un point par rapport à deux droites

Étant donné deux droites (d) et (d’) distinctes et concourantes en un point I du plan affine et un point M non situé sur ces droites, l'ensemble des conjugués harmoniques du point M par rapport à (d) et (d’) est une droite passant par I. On l'appelle la polaire de M par rapport à (d) et (d’).

Polaire d'un point M par rapport à un cercle (ou resp. à une conique)

Droite définie comme l'ensemble des points conjugués harmoniques de M par rapport au cercle (resp. à la conique).

Réciprocité polaire : si la polaire de M passe par N, alors la polaire de N passe par M.

Wiktionnaire : polaire

Polygone régulier

Un polygone régulier a tous ses côtés de même longueur et tous ses angles de même mesure.

Un polygone régulier est soit convexe, soit étoilé.

Tous les polygones réguliers convexes d'un même nombre de côtés sont semblables.

Prisme - Prisme droit

Un prisme est un solide ayant deux bases qui sont des polygones. Ces polygones situés dans des plans parallèles sont isométriques.
Les arêtes du prisme sont des droites parallèles. Les faces latérales sont des parallélogrammes.

Pour un prisme droit, les arêtes sont perpendiculaires aux plans des bases et les faces latérales sont des rectangles.
Leur longueur est alors la hauteur du prisme, égale à la distance entre les deux bases.

Voir : GeoGebra 3D en cinquième

Produit scalaire

en : dot product
de : Skalarprodukt

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs vec(AB) et vec(CD) colinéaires est égal à AB × CD s'ils sont de même sens, et à – AB × CD s'ils sont de sens contraires.
Pour calculer le produit scalaire vec(AB).vec(CD), on peut remplacer le vecteur vec(CD) par sa projection orthogonale sur le vecteur vec(AB).

Expression trigonométrique :

vec(u).vec(v) = ||vec(u)|| × ||vec(v)|| × cos θ, où θ est l'angle (vec(u), vec(v)) formé par les directions des vecteurs.

Expression analytique dans le plan :

Si dans un repère orthonormal vec(u) et vec(v) ont pour coordonnées respectives (x, y) et (x’, y’), alors vec(u).vec(v) = xx’ + yy’.

Propriété du trapèze

Deux triangles qui ont une même base et des sommets sur une parallèle à la base sont d'aires égales.

Voir : aire du triangle

Puzzle

Casse-tête demandant de rassembler plusieurs pièces pour reconstituer une figure.

Configurations de base

Puzzle de Pythagore - Puzzle pythagoricien

Construction géométrique, permettant d'illustrer le théorème de Pythagore, où les pièces obtenues par le découpage d'un grand carré permettent de reconstituer deux petits carrés.

Pythagore

Quadrangle (complet)

Un quadrangle est la figure formée par quatre points A, B, C, D tels que trois quelconques d'entre eux ne soient pas alignés : ce sont les sommets du quadrangle.
Les six droites joignant ces points deux à deux sont les côtés du quadrangle.
Deux côtés qui n'ont pas de sommet en commun sont dits opposés.
Deux côtés opposés (non parallèles) ont un point commun appelé point diagonal du quadrangle.
Un quadrangle complet (dont les côtés ne sont pas parallèles) a quatre sommets, six côtés et trois points diagonaux.

Un quadrangle est inscriptible si ses quatre sommets sont sur un même cercle.

Voir : points caractéristiques du triangle
Wiktionnaire : quadrangle

Quadrangle orthocentrique

Si H est l'orthocentre du triangle ABC,
A est l'orthocentre de BCH, B de ACH, C de ABH.

ABCH est un quadrangle orthocentrique.

Quadrilatère convexe, concave, croisé

en : quadrilateral
de : Viereck

Un quadrilatère ABCD est un polygone qui a quatre côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
Les points A et C d'une part ; B et D d'autre part, sont les sommets opposés du quadrilatère.
Les diagonales [AC] et [BD] sont les segments qui joignent deux sommets opposés.

Un quadrilatère est convexe si les deux diagonales sont à l'intérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est concave si (au moins) une des diagonales est à l'extérieur du quadrilatère.
Un quadrilatère est croisé si les deux diagonales sont à l'extérieur du quadrilatère. Un papillon est concave (papillon).

L'aire d'un quadrilatère convexe se calcule, avec GéoPlan, en le partageant, par une diagonale, en deux triangles.

Voir : quadrilatère au collège
Centre de gravité d'un quadrilatère

Quadrilatère complet

Définition : un quadrilatère complet est formé de quatre droites du plan se coupant, deux à deux, en six points.

Remarques : deux des points peuvent être « à l'infini ». Le quadrilatère est alors un parallélogramme. L'étude de ce cas particulier ne présente pas d'intérêt dans le plan projectif.
Si uniquement un des points est à l'infini, on obtient un trapèze complet.

Un quadrilatère complet (strict) est formé de quatre droites se coupant, deux à deux, en six points. Deux quelconques des quatre droites n'étant pas parallèles, trois quelconques n'étant pas concourantes.

Théorème de Newton : les milieux des diagonales sont alignés sur une droite appelée droite de Newton du quadrilatère complet.

Voir : plan projectif

Relations d'Euler

Quatre relations d'Euler (1707-1783) :

Relation d'Euler ou théorème de Descartes-Euler

La formule d'Euler la plus célèbre concerne les polyèdres convexes : f + s = a + 2 où f est le nombre de faces, s le nombre de sommets et a le nombre d'arêtes.

Dans le triangle

Relation d'Euler

Dans un triangle, le centre de gravité G, l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit sont alignés sur la droite d'Euler et on a la relation :
GH = 2 OG (G est au tiers de [OH] ).
Cette égalité se démontre avec la relation vectorielle d'Euler : vect(OH) = vect(OA) + vect(OB) + vect(OC).

Relation d'Euler (théorème d'Euler)

Distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit

Si le cercle circonscrit d'un triangle a pour centre O et pour rayon R, le cercle inscrit a pour centre I et pour rayon r, une autre relation d'Euler permet de calculer le carré de la distance des deux centres : OI2 = R2 – 2Rr.

Démonstration : voir la puissance du point I par rapport au cercle circonscrit (c) et un cercle (Γ).

Segment circulaire (segment de cercle ou lunule)

La portion de surface délimitée par un arc de cercle et la corde qui le sous-tend.

Voir : aire d'un segments circulaire,   arc de cercle

Segment de parabole

La portion de surface délimitée par un arc de parabole et la corde qui le sous-tend.

Voir : analyse en 1L

Symédiane

en : symmedian
de : Symmediane

La symédiane, en un sommet A d'un triangle, est la symétrique de la médiane, par rapport à la bissectrice de l'angle Â.

La symédiane en un sommet A d'un triangle, est l'isogonale de la médiane, par rapport aux côtés de l'angle Â.

Les trois symédianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de concours est le point de Lemoine ou point symédian du triangle.

Points caractéristiques du triangle

Wiktionnaire : symédiane

Tangente à une courbe

Si une fonction numérique f est dérivable en x0, la courbe représentative de f a pour tangente au point d'abscisse x0 la droite d'équation :

y – f (x0) = f’(x0) (x – x0).

Théorème de Clifford : voir trois cercles de même rayon

Théorème d'Alasia : voir points de Brocard

Théorème de la bissectrice : voir bissectrice

Théorème de Brahmagupta : voir quadrilatère inscriptible orthodiagonal

Théorème des cinq cercles : Miquel

Théorème de Céva : cévienne

Théorème d'Euclide

Si deux droites passant par un point A coupent un cercle (c), l'une en B et C, l'autre en D et E, on a : AB × AC = AD × AE.
Ce nombre permet de définir la puissance du point A par rapport au cercle (c).

Lemme d'Euclide
Proposition 32 du Livre VII : si un nombre premier p divise le produit de deux nombres naturels a et b, alors p divise a ou p divise b

Une généralisation est :
Lemme de Gauss : si un nombre naturel p divise le produit de deux autres nombres naturels a et b, et si p est premier avec a, alors p divise b.

Livre IX, proposition 20 : il existe une infinité de nombres premiers.

Théorème fondamental de l'arithmétique : tout entier positif peut être écrit sous forme d'un produit de nombres premiers, et cette décomposition est unique, à l'ordre près des facteurs.

Théorème fondamental de l'algèbre : tout polynôme, non constant, à coefficients réels admet au moins une racine complexe.

Théorème de Feuerbach

Les bissectrices intérieures d'un triangle ABC concourent en un même point I centre du cercle inscrit.

Deux bissectrices extérieures, associées à deux sommets, et la bissectrice intérieure, associée au troisième sommet, sont concourantes en des points qui sont les centres des cercles exinscrits au triangle (cercles tangents à un des côtés du triangle et aux prolongements des deux autres côtés).

Théorème : dans un triangle, le cercle d'Euler est tangent au cercle inscrit et aux trois cercles exinscrits.

Théorème découvert en 1822 par Feuerbach (1800-1834), puis démontré par M'Clelland en 1891 et Lachlan en 1893.

Le point de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit s'appelle le point de Feuerbach, point X(11) dans etc.

Voir : géométrie du triangle

Théorème de Grèbe : voir figure de Vecten et point de Lemoine

Théorème de Johnson : voir trois cercles de même rayon

Théorèmes de la médiane

Dans un triangle ABC, soit I le milieu [BC].

Premier théorème de la médiane - Théorème d'Apollonius

AB2 + AC2 = 2AI2 + BC²/2 (formule d'Apollonius de Perge).

Deuxième théorème de la médiane : forme vectorielle du « théorème de la médiane » dans le triangle ABC :

vec(AB) + vec(AC) = 2 vec(AI),
vect(AB) . vect(AC) = AI21/4 BC2

Troisième théorème de la médiane

La relation |AB2 – AC2| = 2 BC × IH

se prouve avec le produit scalaire : AB2 – AC2 = 2 vec(BC).vec(IH), où le point H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

Voir : géométrie du triangle

Médiane

Théorème de Ménélaüs

Théorème des trois médianes : voir la géométrie du triangle

Théorème de Nagel : voir triangle orthique

Théorème de Neuberg

Théorème du papillon

Théorème de Pick

Théorème de la porte : Voir orthogonalité dans l'espace

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Théorème de Poncelet

Théorème de Ptolémée : voir quadrilatère inscriptible

Théorème de Pythagore

en : pythagorean theorem
de : Satz des Pythagoras
it : teorema di Pitagora

Dans tout triangle rectangle, la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse, et réciproquement.

Le théorème de Pythagore est très populaire et tout le monde se rappelle a2 + b2 = c2.

Voir : Pythagore

Théorème de Reim : voir cordes parallèles

Théorème de Terquem

Théorème de Thalès

en : intercept theorem
de : Strahlensatz

Nous pouvons distinguer trois versions de ce théorème :

Théorème de Thalès anglais ou allemand : un angle inscrit dans un demi-cercle est droit.

Théorème de Thalès suisse : dans un triangle rectangle, la hauteur à l'hypoténuse est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse.
Réciproque : si H est entre A et B et HC2 = HA × HB alors le triangle ABC est rectangle en C.

Voir : Thalès

Théorème de Thébault : voir quatre carrés à l'extérieur d'un parallélogramme

Théorème de Varignon

Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme.
Ce résultat est valable quel que soit le quadrilatère convexe, concave ou croisé.

En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme),
le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère,
l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.

Voir : parallélogramme au collège

Van Aubel

Théorème de Van Aubel : quatre carrés autour d'un quadrilatère

Droite de Van Aubel dans le triangle

Trapèze

Quadrilatère convexe ayant deux côtés opposés parallèles ; les deux côtés parallèles sont les bases : la grande base et la petite base.

Remarque : un trapèze est un quadrilatère, possédant au moins deux côtés opposés parallèles. Un parallélogramme est un cas particulier de trapèze.

Voir : quadrilatère au collège

Trapèze complet

Définition : Un trapèze complet est un quadrilatère complet dont un des sommets est un point à l'infini

Un trapèze complet (qui n'est pas un parallélogramme) est formé de quatre droites du plan, deux droites parallèles et deux sécantes coupant les parallèles en quatre points.
Le trapèze complet (strict) a quatre côtés, cinq sommets (les quatre sommets du trapèze et le point d'intersection des côtés non parallèles), deux diagonales et un point diagonal.

Voir : plan projectif

Théorème du trapèze

Dans un trapèze, la droite joignant le point d'intersection des côtés non parallèles au point d'intersection des diagonales, passe par les milieux des côtés non parallèles.

Voir : plan projectif

Triangle

Un triangle est une figure plane, formée par trois points appelés sommets. Les côtés sont les segments qui joignent les sommets deux à deux.

Triangle acutangle

en : acute-angled

Triangle (non rectangle) dont les trois angles sont aigus (par contre, le triangle obtusangle a un angle obtus).

Wiktionnaire : acutangle

Triangle obtusangle

Triangle ayant un angle obtus.

Triangle d'argent

Un triangle d'argent est un triangle isocèle ayant un angle 108°, les deux autres angles étant égaux à 36°

Triangle de Bevan

Le triangle formé par les bissectrices extérieures d'un triangle donné, est nommé triangle de Bevan et a pour sommets les centres des cercles exinscrits au triangle.

Triangle bisocèle

Un triangle bisocèle est un triangle isocèle qui est partagé, par l'une de ses bissectrices, en deux triangles eux-mêmes isocèles.

Triangle équilatéral

Un triangle équilatéral a ses trois côtés de même longueur,
les trois angles sont égaux et mesurent 60 degrés (soit pi/3 radians).

Dans un triangle équilatéral, toutes les droites remarquables (médiane, hauteur, bissectrice, médiatrice) relatives à un même côté sont confondues.
Elles ont même longueur, égale à arac(3)/2, où a est la longueur du côté du triangle.
L'aire du triangle est égale à rac(3)/4a2.
Le centre de gravité est confondu avec l'orthocentre et les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Voir : triangle équilatéral

Triangle de Feuerbach

Les quatre points de contact entre le cercle d'Euler et le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits s'appellent les points de Feuerbach.
Les trois points de tangence des cercles exinscrits forment le triangle de Feuerbach du triangle.

Triangle de Gergonne

Dans un triangle, le triangle de Gergonne a pour sommets les points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle.

Triangle de Nagel

Dans un triangle, le triangle de Nagel a pour sommets les points de contact des cercles exinscrits avec les côtés du triangle.

Le point de Nagel est le point de concours des trois céviennes qui aboutissent à ces points de contact (Point X(8) dans ETC).

Triangle extérieur de Napoléon

ABC est un triangle, dont tous les angles sont inférieurs à 2pi/3, bordé extérieurement par trois triangles équilatéraux BCD, ACE et ABF ayant pour centres de gravité respectifs P, Q et R.
Le triangle équilatéral PQR est le triangle extérieur de Napoléon.

Problèmes du BOA

Triangle isocèle

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le troisième côté s'appelle la base.
Thalès a découvert que dans un triangle isocèle les angles à la base sont égaux.
La médiatrice de la base est axe de symétrie du triangle.

Un triangle qui n'est pas isocèle est scalène : tous les côtés sont inégaux.

Figure : triangle au collège
Wiktionnaire : isocèle

Triangle médian

Le triangle qui joint les milieux des côtés d'un triangle est le triangle médian.
On dit aussi triangle médial ou triangle complémentaire.

Voir : géométrie du triangle

Triangle d'or

Un triangle d'or est un triangle isocèle ayant un angle de 36°, les deux autres angles étant égaux à 72°

Triangle orthique

de : Höhenfußpunktdreieck

Le triangle qui joint les pieds des hauteurs d'un triangle ABC est le triangle orthique.

Dans un triangle ABC acutangle (non rectangle dont les trois angles sont aigus), les hauteurs (AA’), (BB’) et (CC’), concourantes en son orthocentre H, sont les bissectrices (A’H), (B’H) et (C’H) du triangle orthique A’B’C’.
Les côtés du triangle orthique sont perpendiculaires aux médiatrices du triangle ABC.
Le triangle inscrit dans un triangle qui a le plus petit périmètre est le triangle orthique.

Triangle pédal, cercle pédal

en : cevian triangle ; le triangle pédal est parfois appelé triangle cévian.

C'est le triangle qui joint les pieds de trois céviennes concourantes d'un triangle.
Son cercle circonscrit est appelé cercle pédal.
Le triangle pédal correspondant aux hauteurs est le triangle orthique, celui correspondant aux médianes est le triangle médian.

Triangle plat

Un triangle plat est un triangle dégénéré dont les sommets sont alignés.

Dans cette page, nous considérons des triangles non plats.

Triangle podaire, cercle podaire

en : pedal triangle ; à ne pas confondre avec le triangle pédal.

Soit un point P n'appartenant pas au cercle circonscrit d'un triangle ABC. Le triangle podaire du point P relativement au triangle ABC a pour sommets les projections orthogonales de P sur les côtés du triangle ABC. Le cercle circonscrit au triangle podaire est le cercle podaire du point P par rapport au triangle ABC.

Triangle quelconque

Par nature, un triangle est quelconque.

Un triangle est dit « triangle quelconque » s'il n'est ni rectangle, ni isocèle (ce qui exclut également le cas équilatéral).

Un triangle peut posséder ou non des propriétés de triangles particuliers. Si on précise triangle quelconque, on peut penser que les côtés sont inégaux et qu'il n'y a pas d'angle droit.

Triangle rectangle

de : Rechtwinkliges Dreieck

Un des angles est droit, les deux autres angles sont aigus et complémentaires.
Le plus grand côté est l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit.

Thalès : un triangle rectangle s'inscrit dans un demi-cercle et réciproquement.

Pythagore : la somme des carrés des longueurs des côtés de l'angle droit est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse et réciproquement.

Voir : triangle rectangle

Triangle scalène

Un triangle scalène est un triangle :

Un triangle scalène peut aussi être rectangle.

Un triangle qui n'est pas scalène est isocèle : deux ou trois côtés sont de longueurs égales.

Wiktionnaire : scalène

Triangle tangentiel

Pour un triangle ABC, de cercle circonscrit (c), les tangentes à (c) en A, B, C forment un triangle dit tangentiel du triangle ABC.

Les symédianes joignent les sommets du triangle aux sommets du triangle tangentiel.
Elles sont concourantes et leur point de concours est le point de Lemoine.

Voir : géométrie du triangle - points caractéristiques

Polygone tangentiel : les côtés du polygone sont tangents à un même cercle, inscrit dans le polygone.

Quadrilatère tangentiel (ou circonscriptible) : Les quatre côtés sont tangents à un même cercle, inscrit dans le quadrilatère.

Trilatère

Un triangle est une figure trilatère (Euclide)

Wiktionnaire : trilatère

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Page no 87, créée le 28/10/2005
mise à jour le 13/4/2009