René DescartesDescartes et les Mathématiques

Construction de triangles

Résolution d'un triangle par la donnée de trois des éléments (côté, hauteur, médiane, rayon du cercle circonscrit…).

Sommaire

Construire un triangle connaissant :

1. un côté et le rayon du cercle circonscrit

2. deux côtés et le rayon du cercle circonscrit

3. un côté et l'angle opposé

4. un côté et deux médianes

5. un côté et deux hauteurs

Programme de quatrième

Constructions dans d'autres pages du site

Index triangles

Retrouver un triangle à partir de trois droites remarquables du triangle

Un triangle a été effacé. Il n'en reste que trois droites :
    tracer un triangle dont on connaît les trois médianes,

    tracer un triangle dont on connaît les trois hauteurs,

    tracer un triangle dont on connaît les trois bissectrices,

    tracer un triangle dont on connaît les trois médiatrices.

Retrouver un triangle à partir de centres ou de pieds

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Géométrie en cinquième avec la géométrie dynamique

En cinquième, construire un triangle connaissant :
    – les trois côtés

    – deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

    – un côté et deux angles adjacents

Exercices résolus en 1ère S par produit scalaire

Produit scalaire - Construire un triangle connaissant :
    – deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés

    – la longueur d'un côté et deux angles adjacents

Problèmes de construction « à la règle et au compas »

Construire un triangle connaissant :
    – un angle, un côté adjacent et la somme des deux autres

    – un angle, la somme des côtés adjacents et le côté opposé

    – deux sommets et le centre de gravité

Résolution d'un triangle rectangle

Construire un triangle rectangle connaissant :
    – un angle aigu et le rayon du cercle inscrit

    – l'hypoténuse et la somme des côtés de l'angle droit

    – la médiane et la hauteur relative à l'hypoténuse

    – l'hypoténuse et la somme des deux autres côtés

    – un côté et la différence des deux autres : calcul de Mons. des Cartes

    – un angle, un côté et la somme des deux autres : calcul de Mons. des Cartes

Résolution d'un triangle

Classe de première L

En géométrie, la résolution d'un triangle consiste en la détermination des différents éléments d'un triangle (longueurs des côtés, mesure des angles…) à partir de certains autres.

Historiquement, la résolution des triangles fut motivée

  • chez les Grecs en géométrie euclidienne, pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie ;
  • en cartographie, pour la mesure des distances par triangulation ;
  • pour le point en navigation, qui utilise des calculs de coordonnées terrestres et astronomiques (trigonométrie sphérique).

La donnée de trois des éléments du triangle (côté, hauteur, médiane, rayon du cercle circonscrit…), dont au moins un côté, est nécessaire et, en général, suffisante à la résolution du triangle. On se pose en particulier le problème de l'unicité, les cas de résolution pouvant admettre plusieurs solutions.

Ces casse-tête géométriques sont en principe toujours solubles, parfois au prix de calculs ardus qui font intervenir les relations classiques dans le triangle comme le théorème d'Al-Kashi, la loi des sinus, la somme des angles et la trigonométrie.

1. Construire un triangle connaissant un côté et le rayon du cercle circonscrit

triangle connaissant un côté et le rayon du cercle circonscrit - copyright Patrice Debart 2008

Construire un triangle connaissant le côté [AB] et le rayon r du cercle circonscrit.

Tracer les cercles de centres A et B de rayon r.

Soit O et O’ les points d'intersection de ces deux cercles lorsqu'ils existent (2r > AB).

Les cercles circonscrits sont les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ passant par A.

En choisissant n'importe quel point C sur un de ces deux cercles (sauf les points A et B) on obtient une solution.

 

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2. Construire un triangle connaissant deux côtés et le rayon du cercle circonscrit

triangle connaissant 2 côtés et le rayon du cercle circonscrit - copyright Patrice Debart 2008

Construire un triangle connaissant le côté [AB], la longueur b du côté [AC] et le rayon r du cercle circonscrit.

Tracer les cercles de centres A et B de rayon r.

Soit O et O’ les points d'intersection de ces deux cercles,
lorsqu'ils existent (2r > AB).

Les cercles circonscrits sont les cercles (c) et (c’) de centres O et O’ passant par A.

Le cercle, de centre A et de rayon b, peut couper les cercles circonscrits aux points C, C1, C2 et C3, permettant de trouver jusqu'à quatre triangles solutions, symétriques par rapport à (AB).

 

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3. Construire un triangle connaissant un côté et l'angle opposé

triangle connaissant un côté et l'angle opposé

Construire un triangle connaissant le côté [BC] et l'angle BÂC = xÎy.

Reporter l'angle xÎy le long de [BC) et on trouve une tangente au cercle circonscrit.

La perpendiculaire en B à cette tangente rencontre la médiatrice de [BC] en O, centre du cercle circonscrit.

Le point A appartient aux arcs capables,
d'où l'on « voit » le segment [BC] suivant l'angle xÎy.

 

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4. Construire un triangle connaissant un côté et deux médianes

Triangle connaissant un côté et deux médianes

Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et b des deux médianes issues de A et B.

Le centre de gravité G du triangle ABC est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, des cercles de centre A, de rayon 2/3a et de centre B, de rayon 2/3b.

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Triangle connaissant un côté et deux médianes

Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et c des deux médianes issues de A et C.

Le centre de gravité G du triangle ABC est un des points d'intersection des cercles de centre A, de rayon 2/3a et de centre C’, milieu de [AB], de rayon 1/3c.

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5. Construire un triangle connaissant un côté et deux hauteurs

Triangle connaissant un côté et deux hauteurs

Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs a et b des deux hauteurs issues de A et B.

Le pied H de la hauteur issue de A est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre A et de rayon a.
De même, le pied K de la hauteur issue de B est une des intersections du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre B et de rayon b.

Le sommet C est l'intersection des côtés (AK) et (BH). Il y a jusqu'à quatre solutions symétriques, deux à deux, par rapport à (AB).

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Triangle connaissant un côté et deux hauteurs

Construire un triangle connaissant un côté [AB] et les longueurs b et c des deux hauteurs issues de B et C.

Le pied H de la hauteur issue de B est un des points d'intersection, lorsqu'il existe, du cercle de diamètre [AB] et du cercle de centre B et de rayon b.

Le sommet C est l'intersection du côté (AH) et d'une des parallèles à (AB) située à une distance c de (AB).

Il y a jusqu'à quatre solutions symétriques, deux à deux, par rapport à (AB).

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Extrait de l'ancien programme de quatrième (2007)

Connaissances

Capacités

Exemples d'activités, commentaires

Construction de triangles et inégalité triangulaire.

Connaître et utiliser l'inégalité triangulaire.

Construire un triangle connaissant :
  • la longueur d'un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,

  • les longueurs de deux côtés et l'angle compris entre ces deux côtés,

  • les longueurs des trois côtés.

Sur papier uni, reproduire un angle au compas.

Dans chaque cas où la construction est possible, les élèves sont invités à remarquer que lorsqu'un côté est tracé, on peut construire plusieurs triangles, deux à deux symétriques par rapport à ce côté, à sa médiatrice et à son milieu.

L'inégalité triangulaire est mise en évidence à cette occasion et son énoncé est admis : AB + BC ≥ AC.

Le cas de l'égalité AB + BC = AC est reconnu comme caractéristique de l'appartenance du point B au segment [AC].

Ces constructions permettent un premier contact (implicite) avec les trois cas d'isométrie des triangles (théorèmes rencontrés en classe de seconde).

Table des matières

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Page no 118, créée le 31/3/2008