René DescartesDescartes et les Mathématiques

Partage d'un segment en trois

Le tiers d'un segment avec des parallélogrammes, ou avec les configurations du triangle.

Sommaire

1. Tracé de médianes
2. Configuration de Thalès
3. Tracé de parallèles dans un rectangle

4. Parallélogramme et milieux : partage en trois d'une diagonale

5. Partage en trois du côté d'un parallélogramme

6. Figures incomplètes et configuration : tiers d'un segment

7. Parallélogramme et homothétie

8. Règle à bords parallèles

9. Réseau de triangles équilatéraux

Voir aussi règle à bords parallèles

Pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions par pliages

Partage en trois d'une diagonale du cube

Partages du cercle en trois parties égales

Partage du demi-cercle en trois

Partage d'un segment avec la géométrie dynamique

Contrairement à Cabri, avec GéoPlan le partage d'un segment [AB] en trois peut se faire directement avec un repère (A,B) sur la droite, en plaçant les points I et J d'abscisses 1/3 et 2/3, sans passer par une construction à la règle et au compas.

GeoGebra Avec GeoGebra, utiliser les barycentres : I est le barycentre de (A, 2) et (B,1) ; saisir I = (2A + B)/3
      J est le barycentre de (A, 1) et (B,2) ; saisir J = (A + 2B)/3

Partager un segment en trois parties égales

1. Tracé de médianes

Classe de première L

Partage en trois s'appuyant sur la propriété du centre de gravité.

partage d'un segment en trois - médianes

Placer un point I à l'extérieur de (AB).

Symétrique C de B par rapport à I : sur la droite (BI) reporter la longueur BI et placer le point C tel que IC = BI.

Symétrique D de C par rapport à A : sur la droite (CA) reporter la longueur CA et placer le point D tel que AD = CA.

La droite (DI) coupe (AB) en G. Le point G est au tiers de [AB].

En effet, G, point d'intersection des médianes, est le centre de gravité du triangle BCD.

En reportant la longueur AG sur (AB), on trouve le point J milieu de [GB], situé au 2/3 de [AB] à partir de A.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tier_seg.g2w

2. Configuration de Thalès

Classes de quatrième et troisième

Couper un segment en trois avec Thalès

Cet exercice repose sur la propriété de Thalès, mais peut être utilisé avant de l'avoir justifiée.

partage d'un segment en quatre - copyright Patrice Debart 2011

Tracer sur demi-droite issue de A, 3 segments égaux [AC1], [C1C2], [C2B’].
Ce tracé se fait facilement, à la règle et au compas : placer un point C1 à l'extérieur de (AB), et sur la demi-droite [AC1), tracer le symétrique C2 de A par rapport à C1, puis le symétrique B’ de C1 par rapport à C2.

Tracer le segment [BB’] et les parallèles à (BB’) passant par C1 et C2.

En I et J, elles découpent [AB] en 3 parties égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan diviser_segment_en_3.g2w.g2w

Voir aussi : Diviser un segment en 4 parties égales,
    Diviser un segment en 5 parties égales…
    Diviser un segment en n parties égales

3. Tracé de parallèles dans un rectangle

Partager un segment en 3 en dessinant des parallèles dans un rectangle

partage d'un segment en trois - copyright Patrice Debart 2011

Sur la perpendiculaire en A à (AB) placer un point D, puis terminer le rectangle ABCD.
Tracer les milieux M de [AD] et Q de [BC], puis les symétriques N et P de M et D par rapport à A.

En I et J, les droites parallèles (NC) et (PQ) coupent [AB] en trois parties égales.

Il est possible de justifier cette construction par la propriété de Thalès : [AB] est partagé en trois parts égales par un faisceau de parallèles équidistantes.

De plus deux autres parallèles à (NC) partagent [DC] en trois parties égales en K et L.

g2w Télécharger la figure GéoPlan cons_rect_perpendiculaires.g2w

Autre figure, voir Cabri en sixième

4. Parallélogramme et milieux : partage en trois d'une diagonale

partage d'un segment en trois - parallélogramme et milieux - copyright Patrice Debart 2011

Les Éléments d'Euclide, livre III

Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales.

Solution 1

Classe de quatrième

partage d'un segment en trois - diagonale du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

ABCD est un parallélogramme de milieu O, M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [CD].

O est le milieu commun de la diagonale [BD] et de la médiane [MN].
MBND est un parallélogramme et (MD) est parallèle à (BN).

M est le milieu de [AB] donc, dans le triangle ABL, le point K est le milieu de [AL] et AK = KL,
N est le milieu de [CD] donc, dans le triangle CDK, le point L est le milieu de [KC] et KL = LC.
K et L partagent [AC] en trois segments de longueur égale.

g2w Commande GéoPlan,  figure parallelogramme_milieu.g2w :

Solution 2

partage d'un segment en trois - diagonale du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

Soit M le milieu de [AB], N le milieu de [AB] et P le milieu de [AD].
Le point O, intersection des diagonales [AC] et [BD], est le milieu de ces diagonales.
Les droites (AO), (BP) et (DM), médianes du triangle ABD, sont concourantes en K, centre de gravité de ce triangle.

Soit Q le symétrique de M par rapport à B.
On a AM = MB = BQ et (DM) // (NB) // (CQ), car MBND et BQCN sont des parallélogrammes.
Le théorème de Thalès par rapport à ces trois parallèles et aux deux sécantes (AQ) et (AC) permet de conclure :
AK = KL = LC.

5.a. Partage en trois du côté d'un parallélogramme

Construire le 1/3 d'un segment

partage d'un segment en trois - côté du parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

On considère un segment [AB] et on trace un parallélogramme ABCD.
Soit K est le milieu de [AD], L le milieu de [BC].
Les diagonales du parallélogramme ABLK se coupent en G.
Les droites (CG) et (DG) déterminent sur le côté [AB] deux points I et J qui le partagent en trois parties égales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan bary_f19.g2w

Voir alignement et concours : barycentre

Cas particulier du rectangle - pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions - pliages

Applications

5.b. Réciproque : centre de gravité d'un triangle

Le centre de gravité d'un triangle est situé aux 2/3 des médianes à partir des sommets :

partage d'un segment en trois - centre de gravité d'un triangle - copyright Patrice Debart 2011

À partir d'un triangle ABD, construire le point C, symétrique de A par rapport au milieu O de [BD], permet d'obtenir le parallélogramme de la figure ci-dessus. [AO] et [CM] sont deux médianes de ABD qui se coupent en K, centre de gravité du triangle.
AK = 1/3 AC = 2/3 AO car AO = 1/2 AC.
Le point K situé au tiers de la diagonale [AD] est aux deux tiers de la médiane [AO].

g2w Télécharger la figure GéoPlan centre_gravite_ds_parallelogramme.g2w

Voir : médianes dans géométrie du triangle

5.c.et 5.d. Deux cas particuliers :

5.c. Perpendiculaires dans un parallélogramme ou dans un rectangle

Droites perpendiculaires dans un parallélogramme particulier

partage d'un segment en 3 - droites perpendiculaires dans un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

Si le parallélogramme ABCD est tel que AB = 2 AD = 2a, MBCN est alors un losange de côté a, les diagonales (BN) et(MC) sont perpendiculaires.

Soit I et J les milieux des losanges AMND et MBCN.
Dans le triangle ABN, la droite des milieux (IJ) est parallèle à (AB) et IJ = a.
Cette droite (IJ) est une droite des milieux des triangles AMN et MBN. Elle passe par le milieu O de [MN]. Comme IO = a/2 et OJ = a/2, O est le milieu de [IJ]. Les diagonales [IJ] et [MN] de IMJN sont de même longueur a et se coupent en leur milieu O, donc IMJN est un rectangle.

[IJ], [MN] et [AC] ont même milieu O.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_milieu_rect.g2w

5.d. …dans un rectangle particulier

Classe de 2nde

Dans un rectangle ABCD, les droites (MD) et (BN) sont perpendiculaires à la diagonale (AC), si AB = racine de 2 CD.

partage d'un segment en trois - droites perpendiculaires dans un rectangle - copyright Patrice Debart 2011

Indications

Soit AD = a, AB = b.
Dans le triangle rectangle ABC : AC2 = a2 + b2,
Comme AK = AC/3 on a AK2 = (a2 + b2)/9.

K est le centre de gravité du triangle ABD situé aux 2/3 de la médiane [DM].

Dans le triangle rectangle AMD, DM2 = a2 + b2/4 ;
la hauteur AK, issue de l'angle droit est la moyenne géométrique entre les projections des petits côtés sur l'hypoténuse :
AK2 = DK × KM = 2/3 DM × DM/3 = (2/9)DM2.
Soit AK2 = (2a2 + b2/2)/9.

En identifiant 9AK2 : a2 + b2 = 2a2 + b2/2, soit a2 = b2/2, relation annoncée.

g2w Télécharger la figure GéoPlan rectangle_milieu.g2w

6. Figures incomplètes : tiers d'un segment

6.a. Trouver un alignement

ABCD est un parallélogramme, M est le milieu de [AB] et K est situé au tiers de [MD].

Que penser du point K ? Quel segment tracer pour trouver une solution ?

Solution

K est situé sur la diagonale [AC].

monter un alignement - figure incomplète - copyright Patrice Debart 2011

Indications

Point de vue des configurations : tracer les diagonales [AC] et [BD] qui se coupent en O.
K est le centre de gravité du triangle ABD, situé aux deux tiers de la médiane [AO], donc au tiers de [AC].

Géométrie analytique : tracer la diagonale [AC].
Dans le repère (A, vect(AB), vect(AB)), à partir des coordonnées des points M(1/2, 0) ; C(1, 1) et D(0, 1),
on calcule celles des vecteurs vect(AM)(1/2, 0) ; Vect(MD)(-1/2, 1) ; d'où vect(KM) = 1/3 Vect(MD), vect(MK)(-1/6, 1/3)
et comme vec(AK) = vect(AM) + vect(MK), on a vec(AK)(1/3, 1/3).

On a donc vec(AK) = 1/3 vec(AC) ; A, K et C sont alignés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_incomplet.g2w

6.b. Montrer un alignement

monter un alignement dans un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

Soit ABCD un parallélogramme, M et P les milieux respectifs de [AB] et [AD] et K le point d'intersection de(AC) et (DM).

Démontrer que les points B, K et P sont alignés.

Configuration : médianes et centre de gravité

monter un alignement dans un parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

Tracer la diagonale [BD], qui coupe la diagonale [AC] en son milieu O.
[AO] et [DM] sont les médianes du triangle ABD, leur point d'intersection K est le centre de gravité.

La troisième médiane [BP] passe par le centre de gravité K.
Les points B, K et P sont bien alignés.

g2w Télécharger la figure GéoPlan parallelogramme_alignement.g2w

Voir aussi point aligné sur une diagonale : parallélogramme de Pappus

7. Parallélogramme et homothétie

partage d'un segment en trois - parallélogramme et homothétie - copyright Patrice Debart 2011

ABCD est un parallélogramme et I le milieu [CD].
Les diagonales du parallélogramme coupent [IA] en P et [IB] en Q.

Que représente le point P dans le triangle ACD et le point Q dans le triangle BCD ?

En utilisant une homothétie de centre I,
montrer que (PQ) // (AB) et que PQ = AB/3.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan hom_par5.g2w

8. Règle à bords parallèles

partage d'un segment en trois - parallélogramme - copyright Patrice Debart 2011

Avec la règle à bords parallèles seule, on peut construire le milieu d'un segment, on peut aussi le partager en trois :

Construction du tiers avec un parallélogramme

Pour trouver le tiers d'un segment, on peut construire un parallélogramme ayant pour côté ce segment.
En traçant le tiers de la diagonale et en projetant parallèlement à l'autre côté on obtient le point T au tiers de [AB].

Dans le plan projectif, en appelant E le point de concours à l'infini des droites (AD) et (BC), on obtient la figure ci-contre à droite, où T au tiers de [AB].

La justification ci-dessous en découle.

g2w Télécharger la figure GéoPlan tiers_ds_parallelogramme.g2w

Construction du tiers avec la règle à bords parallèles

partage d'un segment en trois avec la règle à bords parallèles - copyright Patrice Debart 2011

Avec la règle à bords parallèles, tracer une parallèle à (AB) et y choisir un point D.
Sur la demi-droite [AD), à l'extérieur de [AD], placer un point E.

Avec C sur (BE), on trace le quadrilatère ABCD, ayant deux côtés parallèles.

Les diagonales se coupent en O et, par la construction d'Hilbert, I est le milieu de [AB].

Le point K est l'intersection de (AC) et (DI).

Le point T, intersection de (AB) et (EK), est au tiers de [AB].

g2w Télécharger la figure GéoPlan tiers_ds_parallelogramme.g2w

Utilisation de l'espace pour un problème plan

partage d'un segment en trois - avec une perspective - copyright Patrice Debart 2011

Démonstration « par le relief » avec une perspective

Choisir deux points A, B et leur milieu I sur la demi-droite [oY).
Tracer le quadrilatère ABCD, ci-dessus à droite, dans le plan vertical (oYZ).
Dans le plan horizontal (oXY), choisir un point D’ et construire le parallélogramme ABC’D’.
Les droites (DD’) et (CC’) se coupe en P situé la parallèle à (AD’) passant par E.

La perspective de centre P transforme ABCD en ABC’D’.
Le point K a pour image le point K’ situé au tiers de la diagonale [AC’].
La droite (EK) a pour image (K’U’) parallèle à (AD’). Ces deux droites se coupent en T qui est bien le tiers de [AB].

g3w Télécharger la figure GéoSpace tiers_perspective.g3w

partage d'un segment en trois avec la règle à bords parallèles - copyright Patrice Debart 2011

Prolongement : avec l'intersection de (BD) et (CI), on peut trouver un point L
Le point U, intersection de (AB) et (EL), est au deuxième tiers de [AB].

9. Réseau de losanges avec des triangles équilatéraux

partage d'un segment en trois - triangles équilatéraux - copyright Patrice Debart 2011

À l'aide d'un instrument, construire trois losanges dans un réseau de triangles équilatéraux, ayant des côtés de longueur AB.

Ci-contre une construction avec trois cercles de même rayon :

tracer les cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A,
construire C, un des points d'intersection des deux cercles,
terminer en traçant le cercle de centre C passant par A.

En traçant les segments [DD1] et [DD2] reliant les sommets de ces losanges, on trouve les milieux P et Q des côtés du losange ACBD, et on en déduit les points C1 et C2 partageant le segment [AB] en trois parties égales.

On retrouve le partage en trois de la diagonale du parallélogramme ACBD, par les droites (DP) et (DQ) joignant D aux milieux des côtés opposés.

Voir le cas plus général de cette méthode avec la construction de losanges grâce à la règle à bords parallèles

 

g2w Télécharger la figure GéoPlan regle_diviser_4.g2w

Table des matières

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Division d'un segment en parties égales

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