René DescartesDescartes et les Mathématiques

Calculs d'aires par découpage

Calculs d'aire en seconde avec GéoPlan : lunules, découpage avec deux triangles équilatéraux.

Sommaire

1. Duplication de figures
2. Lunule
3. Cercles et triangle équilatéral
4. Un partage équitable - Olympiades 2008 de première

Calculs d'aires

Calculs d'aires dans un rectangle

Aire d'un triangle à l'intérieur d'un parallélogramme

Calcul d'aire minimum : minimum-maximum
Analyse en option 1ère L - TL

Problèmes de partage
Multiplication de l'aire d'un triangle : triangles en seconde

Taille d'une bille inscrite dans un rectangle

Calculs d'aires au collège

Aires et triangles
Aire d'un triangle inscrit dans un carré

Démonstrations avec la méthode des aires :
      théorème de Thalès
      théorème de Pythagore

La géométrie
en seconde

Collège
Calcul d'aire

Aire du
parallélogramme

Collège
Aire du triangle

Index
Aires

Faire de la
géométrie dynamique

1. Duplication de figures

Construire une figure semblable à une figure donnée, dont l'aire soit le double de celle de la figure donnée.

Duplication du carré

aire en seconde - duplication du carre

La diagonale du « petit carré » le partage en deux triangles isocèles rectangles. Le « grand carré » est formé de quatre triangles isocèles rectangles, de même aire.

L'aire du carré ACEF est le double de l'aire du carré ABCD.

Le rapport des côtés est racine de 2, et va permettre, par similitude de
rapport rac(2),les trois constructions suivantes.

g2w Télécharger la figure GéoPlan duplication_carre.g2w

Retrouver cette figure dans les pages grands problèmes de la géométrie grecque ou carré au collège

Duplication du triangle équilatéral

aire en seconde - duplication du triangle equilateral

BD = rac(2) AB.

Le rapport de similitude des triangles est rac(2).
Le rapport des aires est racine de 22 = 2.

L'aire du triangle équilatéral BDI est le double de celle du triangle équilatéral ABE.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_2tr_equi.g2w

Retrouver cette figure dans la page montrer un alignement

Duplication du rectangle

aire en seconde - duplication du rectangle

Tracer, le long du rectangle ABCD, deux carrés ayant pour côtés les longueur et largeur.

Le rectangle JIBF, ayant pour côtés les diagonales des carrés, a une aire double de celle de ABCD.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : duplication du rectangle

Duplication du triangle

aire en seconde - duplication du triangle

Tracer un rectangle BCLK contenant le triangle ABC.
Dupliquer, comme ci-contre, ce rectangle en DEBM.

La hauteur (AH) de ABC coupe [BM] en F.

Le triangle DEF, semblable à ABC, a une aire double de celui-ci ;
aires moitiés de celle des rectangles.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : duplication du triangle

Voir duplication du cercle d'Archimède

2. Lunule

Définitions : une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d'un côté et concave de l'autre.

Ici une lunule désigne aussi un segment circulaire (segment de cercle) : la portion de surface délimitée par un arc de cercle et sa corde.

aire d'une lunuleDeux cercles

AB est un quart de cercle de rayon 1 et de centre O ; OC un demi-cercle de centre A et de même rayon. Soit I le point d'intersection du quart de cercle et du demi-cercle.

2.a. Calculer l'aire de la lunule déterminée par la corde IA sur le cercle de centre O.

2.b. Calculer l'aire de la surface hachurée.

Concours EPF - 2002

Indications : 2.a. Les trois côtés de OIA sont des rayons des cercles :
OA = OI = IA = r = 1, OIA est équilatéral, son aire est rac(3)/4r2 = rac(3)/4.
Le cercle de centre O a une aire égale à πr2 = π. Le secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc arc(IA) de ce cercle et les rayons [OA] et [OI] correspond à 1/6 du cercle, son aire est pi/6.
L'aire de la lunule déterminée par la corde IA est pi/6rac(3)/4 ≈ 0,09.

2.b. Le secteur angulaire, d'angle 120°, compris entre l'arc arc(IC) du cercle de centre A et les rayons [AI] et [AC] correspond à 1/3 du cercle,
son aire est pi/3.

La surface hachurée, formée de ce secteur auquel on enlève la lunule, a pour aire pi/3 − (pi/6rac(3)/4) = pi/6 + rac(3)/4 ≈ 0,96.

2.c. Méthode des aires

aire d'une lunule par la methode des airesEn introduisant le point D, milieu de l'arc arc(IC), on obtient un triangle équilatéral ADI d'aire rac(3)/4 et un secteur angulaire, d'angle 60°, compris entre l'arc arc(DC) du cercle de centre A et les rayons [AD] et [AC] correspondant à 1/6 du cercle, son aire est pi/6.
Les lunules déterminées par la corde IA sur le cercle de centre O et celle déterminée par la corde ID sur le cercle de centre A ont même aire, car les cordes ont même longueur et les cercles même rayon.
En enlevant au triangle équilatéral la lunule déterminée par la corde IA et en ajoutant celle déterminée par la corde ID on obtient, avec le secteur angulaire DAC, la surface hachurée d'aire pi/6 + rac(3)/4.

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Voir : lunules d'Hippocrate de Chios

Technique GéoPlan

Pour créer la surface hachurée, colorier le demi-cercle de diamètre [CO] avec le motif, colorier l'arc AB avec la couleur de fond et redessiner le demi-cercle de diamètre [CO].

Voir : arc de cercle

2.d. Aire sous une voûte

Une voûte est construite sur le segment [OA], avec deux arcs de cercle OI et AI, de centre A et O.

Avec OA = 1, vérifier que l'aire sous la voûte OAI est pi/3rac(3)/4.

Deux méthodes

a. On calcule l'aire d'un secteur angulaire ajoutée à une lunule :

Le secteur angulaire OAI, de centre A et d'angle 60°, est pi/6,
l'aire de la lunule déterminée par la corde IA est pi/6rac(3)/4 ;

l'aire totale est pi/6+ pi/6rac(3)/4 = pi/3rac(3)/4.

b. On retrouve ce résultat avec l'aire pi/6 du secteur angulaire OAI, de centre A, ajoutée à l'aire pi/6 du secteur angulaire AOI, de centre I, auxquelles on retranche rac(3)/4, aire du triangle équilatéral OAI comptée deux fois.

3. Cercles et triangle équilatéral

Classe de seconde

triangle equilateral inscrit dans un cercle, avec un deuxieme cercle de meme rayon3.a. Triangle équilatéral

Construction d'un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, avec un deuxième cercle de même rayon

Les cercles (c1) de centre O1 et (c2) de centre O2 ont même rayon R ; le centre de l'un appartient à l'autre.
Le point C est le symétrique de O1 par rapport à O2.
Les deux cercles se coupent en A et B.

  • Montrer que le triangle ABC est équilatéral de côté R rac(3).

g2w Télécharger la figure GéoPlan tri_2cer.g2w

Indications :
les triangles AO1O2 et BO1O2 sont équilatéraux (configuration d'Euclide).
L'angle au centre AO2B est égal à 120°. L'angle inscrit ACB mesure 60°.
Le triangle ABC, ayant la droite (CO1) comme axe de symétrie, est isocèle.
Un triangle isocèle ayant un angle de 60° est équilatéral.

Voir le cercle circonscrit au triangle équilatéral pour le calcul R rac(3) de la longueur du côté.

3.b. Périmètre

  • Quels sont le périmètre et l'aire de la surface hachurée formée par les deux segments circulaires (ou lunules) de part et d'autre de la corde [AB] ?

Indications : la surface hachurée est limitée par les deux arcs de cercle AO1B et AO2B, arcs de longueur égale. Sur le cercle (c2), l'arc AO1B intercepte l'angle au centre AO2B de 120°, égal au 1/3 de 360°. La longueur de l'arc est donc est égale à 1/3 du périmètre 2πR du cercle, soit 2/3πR.

Le périmètre de la surface hachurée est alors de 4/3πR.

3.c. Aire comme réunion de deux segments circulaires

La surface hachurée est la réunion de deux segments circulaires, de même aire, délimités par la corde [AB] et les deux arcs de cercle.
L'aire du segment circulaire AO1B est égale à l'aire du secteur angulaire AO2B diminué de l'aire du triangle AO2B.
L'aire du secteur angulaire AO2B est égale à 1/3 de l'aire πR2 du cercle, soit 1/3 πR2.
Le point O2 est le centre du triangle équilatéral ABC, de côté AB = Rrac(3), de hauteur HC = 3/2R et d'aire 1/2 AB × HC = 1/2 R rac(3) × 3/2R = 3rac(3)/4R2.
Les triangles AO2B, BO2C et CO2A, d'aire égale, partagent le triangle ABC en trois. L'aire du triangle AO2B est donc 1/3 × 3rac(3)/4R2 soit rac(3)/4R2.
L'aire du segment circulaire AO1B est : 1/3πR2rac(3)/4R2 = (pi/3rac(3)/4)R2.
L'aire de la surface hachurée est égale à (2pi/3rac(3)/2)R2.

3.d. Calcul de l'aire entre les deux cercles :
découpage avec deux triangles équilatéraux et quatre segments circulaires

Découpage avec deux triangles équilatérauxLa surface est la réunion des deux triangles équilatéraux AO1O2 et BO1O2 et quatre segments circulaires O1A, AO2, O1B et BO2.

Les triangles équilatéraux de côté R et de hauteur h = Rrac(3)/2 ont pour aire :
1/2 O1O2× h = 1/2 R × R rac(3)/2 = rac(3)/4R2.

Le secteur angulaire O1O2A a une aire égale au sixième de l'aire du cercle (c2),
soit 1/6 πR2.
L'aire du segment circulaire O1A est égale à l'aire du secteur angulaire moins l'aire du triangle équilatéral, soit 1/6 πR2rac(3)/4R2.

L'aire de la surface totale, comprise entre les deux cercles, est alors 4 (1/6πR2rac(3)/4R2) + 2 rac(3)/4R2 = (2pi/3rac(3)/2)R2.

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4. Un partage équitable - Olympiades 2008 de première

Sujets nationaux - Exercice no2 (toutes sections)

1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-dessus.

Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?

partage equitable - partage en trois d'un carr&e

L'aire du triangle rectangle de petits côtés 1 et x est x/2.
La solution est x = 2/3.

 

g2w Télécharger la figure GéoPlancarre_olymp.g2w

2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne trouvant pas élégante sa construction,il décide de supprimer la zone triangulaire hachurée.
Ainsi, les trois parties restantes sont triangulaires.
Peuvent-elles avoir la même aire ?

partage equitable - partage en trois d'un carr&e

L'aire du triangle CIJ est (1 - x)2/2.
D'où l'équation 1 - (1 - x)2/2 = 3 x/2 qui a pour solution positive l'inverse du nombre d'or
x = 1/φ = (rac(5)-1)/2.

 

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3. Et Léonard est mathématicien.
Ayant réalisé grossièrement (ci-dessous) la construction de la question 2, il mène du point J la perpendiculaire (IH) à la droite (CD).
Il a l'impression que les droites (JH), (AI) et (BD) sont concourantes. Qu'en est-il ?

partage equitable - partage en trois d'un carr&e

Dans le repère (D,vec(DC),vec(DA)) le point K d'intersection des droites (JH) et (BD) a pour coordonnées
((rac(5)-1)/2, (rac(5)-1)/2). Vérifier que ces coordonnées satisfont à l'équation de la droite (AI) :
y - 1 = - (rac(5)-1)/2 x.

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Calculs d'aire en 1ère S
Olympiades

Cercle - Angle inscrit

Construction au compas

Démonstrations de Pythagore

Théorème de Thalès

Construction du
pentagone régulier

Table des matières

1. Duplication de figures
2. Lunule
3. Cercles et triangle équilatéral
4. Un partage équitable - Olympiades 2008 de première

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