René DescartesDescartes et les Mathématiques

Carré d'aire cinq fois plus petite

Puzzles de 5, 9, 10 ou 20 pièces dans un carré, permettant de visualiser un petit carré central.

Sommaire

1. Deux droites orthogonales menées d'un sommet au milieu d'un côté du carré

1.b. Découpage d'aires dans un carré

2. Carré d'aire 5 fois plus petite

4. Deux droites perpendiculaires dans un carré

4.b. Carré d'aire cinq fois plus petite (figure symétrique)

5. Composer un carré avec 5 carrés

6. Multiplication par 5 de l'aire d'un carré

7. Reconstituer 5 carrés

1. Droites menées d'un sommet au milieu d'un côté

1.a. Deux droites orthogonales dans un carré

droites orthogonales menées d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - copyright Patrice Debart 2016

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD.

Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

Indication

Avant la réforme du lycée de 2008, en classe de seconde, on pouvait utiliser une rotation, quart de tour de centre O, milieu du carré :

Le point A a pour image B, I a pour image J, le segment [AI] et son image [BJ] sont orthogonaux.

En 1ère S, on peut encore montrer que le produit scalaire vect(AI).vect(BJ) est nul.

Le triangle rectangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré,
Le triangle APB et le trapèze PICJ ont même aire égale au cinquième de celle du carré,
l'aire du quadrilatère APJD est onze vingtième de celle du carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : droites orthogonales dans un carré - rotation

1.b. Découpage d'aires dans un carré

Les points I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD.

On mène quatre droites des sommets au milieux des côtés opposés, en tournant dans le même sens.

Cinq pièces de même aire - copyright Patrice Debart 2016

Cinq pièces de même aire

Un découpage de ABCD avec un petit carré central PQRS bordé par 4 quadrilatères d'aires un cinquième de l'aire du grand carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré et 4 quadrilatères dans un carré

Calcul d'aires de triangles

La droite (AI) est perpendiculaire à (BJ) :

D'après la propriété de Pythagore dans le triangle ABI, rectangle en B,
AI2 = a2 + a^2/4 = 5/4 a2, d'où l'hypoténuse AI = rac(5)/2 a.

Le triangle BPI, rectangle en P, d'hypoténuse 1/2 a, est semblable au triangle ABI dans le rapport 1/rac(5).

Aire(ABI) = 1/2 AB × BI = 1/2 a × 1/2 a = 1/4 a2,

Aire(BPI) = 1/5 × Aire(ABI) = 1/20 a2.

Le triangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré.

multiplication par cinq de l'aire d'un le carré - copyright Patrice Debart 2016

Par différences :

Aire(APB) = Aire(ABI) - Aire(BPI) = 1/4 a2 - 1/20 a2 = 1/5 a2.

Aire(PICJ) = Aire(BCJ) - Aire(BPI) = 1/4 a2 - 1/20 a2 = 1/5 a2.

Le triangle ABP et le quadrilatère PICJ ont même aire égale au cinquième de celle du carré.

Une quatrième aire : Aire (APJD) = Aire(ABCD) - Aire(APB) - Aire(PICJ) - Aire(ABI) = a2 - 1/5 a2 - 1/5 a2 - 1/20 a2 = 11/20 a2.

Évaluation d'aires sans calcul

Un puzzle de 20 triangles rectangles isométriques dans un carré.

Chaque triangle comme le triangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré
Le petit carré central PQRS est formé de 4 triangles, soit une aire égale au 4/20 donc 1/5 du carré
Le triangle ABP et le quadrilatère PICJ sont formés par 4 pièces ont même aire égale au 4/20 soit 1/5 de l'aire du carré.
L'aire de APJD est donc de 11/20.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré partagé en 20 pièces

1.c. Variante

I et J sont deux points situés respectivement sur les côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD tels que BI = CJ.
Montrer que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

1.d. Autre figure

deux paires de droites perpendiculaires menees d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - copyright Patrice Debart 2003

Les points I et J sont les milieux des côtés [BC] et [CD] d'un carré ABCD. Les droites (AB) et (IJ) se rencontrent en K.

Montrer que la droite (AC) est orthogonale à (IJ) et en déduire que (AI) est orthogonale à (CK).

Montrer que BKCJ est un parallélogramme et en déduire que les droites (AI) et (BJ) sont orthogonales.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_4.g2w

1.e. Hauteurs du triangle AIJ

droites menees d'un sommet au milieu d'un côté d'un carré - Médiane de l'un, hauteur de l'autre - copyright Patrice Debart 2003

Les points I, J et K sont les milieux des côtés [BC], [CD] et [AD] d'un carré ABCD.

Les droites (DI) et (BJ) sont les hauteurs du triangle AIJ.

Médiane de l'un, hauteur de l'autre

La droite (DI) est la hauteur du triangle ADJ et la médiane du triangle CDK.

g2w Télécharger la figure GéoPlan carre_5.g2w

Voir : calculs d'angles (avec le produit scalaire)

2. Carré d'aire cinq fois plus petite

multiplication par cinq de l'aire d'un le carré - copyright Patrice Debart 2016

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD

Justification par une rotation

La figure est invariante par une rotation d'angle 90° autour du centre du carré ABCD.

Le quadrilatère PQRS est aussi invariant par cette rotation. c'est donc un carré.

Cinq pièces de même aire

Un découpage de ABCD avec un petit carré central PQRS bordé par 4 triangles rectangles d'aires un cinquième de l'aire du grand carré.

La droite (AJ) est perpendiculaire à (BK),
calculer PQ en fonction de a,
l'aire de PQRS est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré cinq fois plus petit - 5 pièces

3. Quadrilatère PJCM

decoupage d'aires dans un carré - copyright Patrice Debart 2016
Si M est le point d'intersection de (BK) et (AC),
quelle est l'aire du quadrilatère PJCM ?

Triangle BPI

Les droites (BK) et (AJ) sont perpendiculaires Le triangle rectangle BPI a une aire égale au vingtième de celle du carré.

Étude du triangle KCM :

Dans le carré ABCD, les droites (ID) et (BK), joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et les points M et M' partagent la diagonale [AC] en trois parties égales :
voir parallélogramme et milieux.

Si H est la projection de M sur (CD), MH = 1/3 a et
Aire(KCM) = 1/2 × KC × MH = 1/2 × 1/2 a × 1/3 a = 1/12 a2.

Étude du quadrilatère PJCM

Par différence :
Aire(PJCM) = Aire(PJCK) - Aire(KCM)
    = 1/5 a2 - 1/12 a2 = 7/60 a2.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Triangles et quadrilatère dans un carré

4. Deux droites perpendiculaires dans un carré

Indications avec le produit scalaire

droites perpendiculaires dans un carré - copyright Patrice Debart 2016

Montrer que le produit scalaire vect(IC).vect(LB) est nul :
Méthode 1 : faire le calcul dans un repère en choisissant le repère canonique (A, vec(i), vec(j)) ou le repère (A, vec(AB), vec(AD)).
Méthode 2 : avec des relations de Chasles et la bilinéarité du produit scalaire, calculer
(vect(IB) + vec(BC)).(vect(LA) + vec(AB)) en remarquant les deux produits scalaires nuls.

 

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : deux droites perpendiculaires dans un carré

4.b. Carré d'aire 5 fois plus petite (figure symétrique)

multiplication par cinq de l'aire d'un le carré - copyright Patrice Debart 2016

I, J, K et L sont les milieux des côtés d'un carré ABCD (longueur du côté AB = a).

Montrer que la droite (IC) est perpendiculaire à (LB),
calculer PQ en fonction de a,

Calculer la longueur PQ à l'aide du produit scalaire vect(IC).vect(BJ) en remarquant que vect(PQ) est le projeté orthogonal de vect(BJ) sur vect(IC).

justifier que PQRS est un carré,
montrer que son aire est égale à 1/5 de l'aire de ABCD.

Découpage du carré

Le grand carré est la réunion de neuf pièces : le petit carré, quatre triangles dans les coins d'aire s et quatre trapèzes. Ces pièces sont isométriques par la rotation citée ci-dessus.

Le triangle ABS est un agrandissement double du triangle IBP. Son aire est dons 4s.

Par soustraction, on a : Aire(IPSA) = Aire(ABS) - Aire(IBP) = 4s - s = 3s

Le triangle ABL est formé par deux triangles d'aire s et un trapèze d'aire 3s, soit 5s.

Aire(ABL) = 1/2 AB ×AL = 1/2 a × 1/2 a = 1/4 a2 = 5s.

On a donc s = 1/20 a2 et Aire(ABS) = 4s = 1/5 a2.

L'aire du carré central est donc l'aire totale moins quatre fois l'aire de ces triangles : Aire(PQRS) = a2 - 4 ×1/5 a2 = 1/5 a2..

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré d'aire cinq fois plus petite - 9 pièces

Figure symétrique dans GeoGebra Tube : carré d'aire cinq fois plus petite - 9 pièces

5. Composer un carré avec cinq carrés

Problème du carreleur :
avec cinq carreaux de céramique, paver un grand carré.

avec cinq carreaux, paver un grand carré - copyright Patrice Debart 2016

Disposer les cinq carrés autour du carré central PQRS en forme de croix suisse.

Joindre A à B, B à C, C à D et D à A, on obtient un carré ABCD .

ultiplication par cinq de l'aire d'un le carré - copyright Patrice Debart 2016

En découpant les quatre triangles extérieurs et en les portant, par symétries de centres L, I, J et K, on obtient quatre triangles rectangles ASL, BPI, CQJ et DRK isométriques.
Ils permettent de reconstituer le carré ABCD, formé par 20 triangles rectangles isométriques, d'aire égale à 5 fois l'aire de PQRS.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Carré et croix du carreleur

Puzzle :

On reprend la figure avec 9 pièces.

Avec les dix fragments issus de cinq carrés découpés comme le carré central partagé en trapèze et triangle rectangle, on reconstitue le grand carré.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : carré d'aire cinq fois plus petite - 10 pièces

6. Multiplication par cinq de l'aire d'un carré

Rotation hors programme

le carré au collège - multiplication par 5 de la surface d'un carré - copyright Patrice Debart 2007

6.a. ABCD est un carré, P est le symétrique de A par rapport à B, Q est le symétrique de B par rapport à C, R est le symétrique de C par rapport à D et S est le symétrique de D par rapport à A.
Montrer que PQRS est un carré d'aire cinq fois plus grande.

La rotation de centre O et d'angle 90° transforme [AP] en [BQ], [BQ] en [CR]…

P a pour image Q, Q a pour image R, R a pour S et S a pour image P. Le quadrilatère PQRS globalement invariant par la rotation a ses quatre côtés de même longueur, deux côtés consécutifs forment un angle de 90°, égal à l'angle de la rotation. ADCD est un carré.

Si le côté du petit carré AB = a, la propriété de Pythagore dans le triangle BPQ permet de calculer PQ = arac(5). PQRS a une aire égale à 5a2.

g2w Télécharger la figure GéoPlan mul_carres.g2w

Multiplication par 5 de l'aire d'un parallélogramme

7. Reconstituer cinq carrés

Figure de Patrick Clément

Un découpage de ABCD permet de reconstituer 5 petits carrés en collant aux 4 trapèzes adjacents au carré central PQRS, les 4 triangles rectangles : faire pivoter ces triangles par des rotations de 180° autour des milieux des côtés du grand carré.

Chacun des quadrilatères BJQI, CKRJ… a donc une aire de 1/5 a2

le carré au collège - multiplication par 5 de la surface d'un carré - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2007
le carré au collège - multiplication par 5 de la surface d'un carré - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2007
le carré au collège - multiplication par 5 de la surface d'un carré - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2007
le carré au collège - multiplication par 5 de la surface d'un carré - figure Geogebra - copyright Patrice Debart 2007

Table des matières

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Page no 206, créée le 19/7/2016