René DescartesDescartes et les Mathématiques

Construction géométrique des nombres réels

Construire géométriquement les nombres rationnels et les racines de naturels sur la droite des réels.

Sommaire

1. a. Nombre rationnel a/b

    b. Opérations : somme - produit - quotient

Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés

3. Naturel égal à une différence de carrés

4. Construction de Descartes

5. Racine de 7

6. Moyenne géométrique : puissance d'un point par rapport à un cercle

7. L'escargot de Pythagore

8. Construction d'un triangle rectangle d'un côté l'unité et d'hypoténuse racine(8)

Construction de réels

Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels.

1. Nombre rationnel a/b

nombre rationnel a/b - copyright Patrice Debart 2008

Soit a un relatif et b un naturel non nul.
Sur une droite munie d'un repère (O, I), placer un point d'abscisse a/b.
Si a/b n'est pas un décimal, réaliser la construction géométrique suivante :

Placer un point J à l'extérieur de la droite (OI) ;
sur la droite (OJ), muni du repère (O, J) placer les points A et B d'abscisses a et b.

La parallèle à (BI) passant par A coupe (OI) en C.

Comme les droites (AC) et (BI) sont parallèles, les triangles OCB et OIA sont semblables et on a l'égalité des rapports : OC/OI=OA/OB. D'où OC = abs(a)/b.
Suivant le signe de a, on en déduit que C a pour abscisse a/b.

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Figure rationnel compris entre 0 et 1

Rationnel plus grand que 1

Rationnel plus grand que 1

Rationnel négatif

Rationnel négatif

1.b. Opérations : somme - produit - quotient

Construction à la règle et au compas de la somme, du produit et du quotient de deux nombres. (Les résultats de ces opérations sont constructibles.)

D'après une introduction géométrique du nombre i - Xavier Gauchard - Plot no 18

g2w zip Figures dynamiques pilotées avec les touches W ou X : fichiers_geoplan.zip

Somme

Sommme

Sur la droite (OI), muni du repère (O, I) placer les points A et B d'abscisses a et b.

Placer un point C à l'extérieur de la droite (OI).

Le point D complétant le parallélogramme COBD permet de construire le vecteur vect(CD) = vect(OB).

Le point S complétant le parallélogramme ACDS est l'image de A par la translation de vecteur vect(CD).

L'abscisse s de S est égale à a + b.

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Thalès et construction de rectangles semblables

a et b sont deux nombres réels positifs.

Produit

produit et rectangles semblables - copyright Patrice Debart

Approche assez rare : le produit est construit comme une longueur et non comme une aire

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OICB’ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire.

La diagonale (OC) rencontre la droite d'équation y = a en L.
A et L sont les images de I et C, par l'homothétie de centre O et de rapport a.
Le rectangle OALP, image de OICB’ par l'homothétie, est d'aire égale à b multiplié par a2, le carré du rapport d'homothétie, soit a2b.
Sa largeur est a, sa longueur est ab.

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Quotient

quotient et rectangles semblables - copyright Patrice Debart 2008

Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OBLJ de longueur OB = b et de largeur OJ = 1, son aire est b unités d'aire.

La diagonale (OL) rencontre la droite d'équation y = a en L.

A et C sont les images de B et A, par l'homothétie de centre O et de rapport a/b.

Le rectangle OACQ’ a une aire de b(a/b)2 = a^2/b.
Sa longueur OA est a, sa largeur OQ’ est donc a/b.

 

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Voir : théorème de Thalès dans la Géométrie de Descartes

Autres triangles semblables

Produit

Produit et Triangles semblables

La figure ci-dessus est un cas particulier de la figure suivante :

Dans un repère (O, I, J), placer les points A et B d'abscisses a et b.

La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’,
la parallèle à (AJ) passant par B’ coupe (OI) en P.

Le point P a pour abscisse p = ab.

Se démontre avec Thalès ou avec l'homothétie de centre O de rapport b.

L'homothétie qui transforme I en B, transforme J en B’, la droite (JA) en (B’P) donc A en P.
De la relation vectorielle de l'homothétie vect(OP) = b vect(OA),
on vérifie que OP = |b| OA = |ba|.

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Quotient

Quotient et Triangles semblables

b ≠ 0

La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’,
la parallèle à (B’A) passant par J coupe (OI) en Q.

Le point P a pour abscisse q = a/b.

Preuves : Thalès ou l'homothétie de centre O, de rapport 1/b qui transforme B en I, B’ en J et A en Q.

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Racine d'un naturel

2. Naturel égal à une somme de carrés

Naturel égal à une somme de carrés

Utilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 + b2.

Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b).
Le triangle OAB est rectangle en A et l'hypoténuse OB = c.

Le cercle de centre O, passant par B, coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse rac(c).

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3. Naturel égal à une différence de carrés

naturel égal à une difference de carrés - copyright Patrice Debart

Utilisation de la propriété de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle.

Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2b2.

Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b.
Le triangle OAB est rectangle en B et le côté OB = c.

Le cercle de centre O, passant par B, coupe la demi-droite [OI] au point C, d'abscisse rac(c).

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4. Construction d'Euclide

construction d'Euclide reprise par Descartes - copyright Patrice Debart

Voici quatre figures montrant que la racine d'un naturel est constructible.

Moyenne géométrique - théorème de Thalès suisse :

Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.

Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a.
Le cercle de diamètre [AJ] coupe la demi-droite [OI) en B.

Le point B a pour abscisse rac(a).

La démonstration se fait dès la classe de 3e en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales.

tan  = OB/OA ; tan B = OJ/OB, d'où l'égalité des rapports OB/OA = OJ/OB.

Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
OB2 = OA × OJ = OA × 1 = OA = a.
OB est la moyenne géométrique de OA et OJ : OB = rac(OA) = rac(a).

Remarque : comme dans la construction de Wallis ci-dessous, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle :
− OA × OJ = − OB2.

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5. Racine de sept

moyenne géométrique : construction d'Euclide - copyright Patrice Debart

Étant donné une longueur-unité, comment construire à l'aide d'une règle et d'un compas, un segment de longueur racine(7).
Comment, inversement, étant donnée une longueur égale à racine(7), retrouver avec quelle unité elle a été mesurée ?

Moyenne géométrique : construction d'Euclide reprise par Descartes

M:A.T.H. : Mathématiques Approchées par des Textes Historiques
IREM DE PARIS VII (1990).

À partir d'une unité a, construire le segment [BC] de longueur 7a et le point H à l'intérieur tel que BH = a. Tracer un demi-cercle de diamètre [BC].
La perpendiculaire en H à (BC) coupe le demi-cercle en A.
La longueur AH est égale à aracine(7).

Réciproque

Pour retrouver l'unité à partir d'une longueur racine(7) donnée, on utilise la même figure. On reporte la longueur racine(7) sur la demi-droite [HA) de sorte que :
HD = racine(7).
La parallèle à (AB) issue de D coupe la droite (BC) en E.
EH est alors l'unité cherchée.

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6. Moyenne géométrique

Construction géométrique de la moyenne

6.a. Carré d'un petit côté d'un triangle rectangle

construction géométrique de la moyenne - copyright Patrice Debart

Dans un triangle rectangle, un côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle entre l'hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse.

Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7.
Tracer le cercle (c) de diamètre [OA] et la perpendiculaire en I à (OA).

Ce cercle et cette droite ont B comme point d'intersection.
[BI] et la hauteur du triangle rectangle ABO.

On a : OB2 = OI × OA = a, d'où OB = rac(a) = racine(7).

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6.b. Construction de Wallis - Puissance d'un point par rapport à un cercle

Moyenne géométrique : construction de Wallis - copyright Patrice Debart

Notion disparue de l'enseignement français au lycée.

Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.

Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]).

Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est une des intersections du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ].

La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O :
OI × OA = OT2.

On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = rac(a) = racine(7).
Le cercle de centre O, passant par T, coupe la demi-droite [OI] au point B, d'abscisse rac(a).

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7. L'escargot de Pythagore

escargot de Pythagore - copyright Patrice Debart

ou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C.

Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels.

Itérer la propriété de Pythagore :
on construit un triangle rectangle isocèle de petit côté égal à l'unité, puis une suite de triangles rectangles tels qu'un côté de l'angle droit est l'hypoténuse du précédent, l'autre petit côté étant de longueur égale à l'unité.
Le sixième triangle rectangle a une hypoténuse de longueur racine(7).

Nous avons dessiné 16 triangles.
Au 17e triangle, l'escargot de Cyrène fait un tour sur lui-même, en dépassant les 360°.

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Autres spirales : voir rectangle d'or

Image exportée dans WikiPédia : Théodore de Cyrène

8. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8)

construction d'un triangle rectangle - copyright Patrice Debart

Construction d'un triangle rectangle ABC de petit côté l'unité et d'hypoténuse racine(8) :

OI étant l'unité, construire le triangle rectangle isocèle OAB de petits côtés 2 unités.

C est un des points d'intersection du cercle de diamètre [AB] et du cercle unité de centre A.

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construction d'un triangle rectangle OAB - copyright Patrice Debart

Construction à la règle et au compas du triangle OAB (voir : perpendiculaire élevée d'un point à une droite).

Réciproque

construction d'un triangle rectangle - copyright Patrice Debart

Construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire, placer le point D en reportant la longueur égale à racine(7) sur la demi-droite [BC). La perpendiculaire élevée en D à (BC) coupe (AB) en E.

La longueur DE est l'unité cherchée.

Table des matières

Dans d'autres pages du site

Points et nombres constructibles

La géométrie en seconde

Configurations fondamentales :

triangles

triangles rectangles

triangles équilatéraux

cercles

parallélogrammes

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