Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesConstruire géométriquement les nombres rationnels et les racines de naturels sur la droite des réels.
Sommaire1. a. Nombre rationnel a/b Racine d'un naturel2. Naturel égal à une somme de carrés |
GéoPlan en secondeConfigurations fondamentales : triangles
Page no 75, réalisée le 15/9/2004, mise à jour le 11/11/2008 | ||||
|
Faire de la géométrie |
Droites remarquables |
Seconde |
GéoPlan 2nde |
Faire de la géométrie en seconde | |
Sur la droite des réels, on peut construire les nombres rationnels et les racines de naturels.
|
Soit a un relatif et b un naturel non nul. Placer un point J à l'extérieur de la droite (OI); La parallèle à (BI) passant par A coupe (OI) en C. Comme les droites (AC) et (BI) sont parallèles, les triangles OCB et OIA sont semblables et on a l'égalité
des rapports :
|
Rationnel compris entre 0 et 1 |
|
Rationnel plus grand que 1 |
Rationnel négatif |
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Construction à la règle et au compas de la somme, du produit et du quotient de deux nombres. (Les résultats de ces opérations sont constructibles.)
D'après une introduction géométrique du nombre i - Xavier Gauchard - Plot no 18
Figures interactives pilotées avec les touches W ou X : fichiers_geoplan.zip
Sur la droite (OI), muni du repère (O, I) placer les points A et B d'abscisses a et b.
Placer un point C à l'extérieur de la droite (OI).
Le point D complétant le parallélogramme COBD permet de construire le vecteur 
= 
.
Le point S complétant le parallélogramme ACDS est l'image de A par la translation de vecteur .
L'abscisse s de S est égale à a + b.
Télécharger la figure GéoPlan somme.g2w
a et b sont deux nombres réels positifs.
Produit
Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OICB’ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire. La diagonale (OC) rencontre la droite d'équation y = a en L. Xavier Gauchard donne une démonstration par découpage d'aire.
|
Quotient
Dans un repère orthonormé (O, I, J), tracer le rectangle OBLJ de longueur b et de largeur 1, son aire est b unités d'aire. La diagonale (OL) rencontre la droite d'équation y = a en L. A et C sont les images de B et A, par l'homothétie de centre O et de rapport Le rectangle OACQ’ a une aire de b(
|
ProduitLa figure ci-dessus est un cas particulier de la figure suivante :
Dans un repère (O, I, J), placer les points A et B d'abscisses a et b. La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’, Le point P a pour abscisse p = ab. Se démontre avec Thalès ou avec l'homothétie de centre O de rapport b. L'homothétie qui transforme I en B, transforme J en B’, la droite (JA) en (B’P) donc A en P.
|
Quotient
b ≠ 0 La parallèle à (IJ) passant par B coupe (OJ) en B’, Le point P a pour abscisse q = Preuves : Thalès ou l'homothétie de centre O, de rapport
|
Utilisation de la propriété de Pythagore : construction de l'hypoténuse d'un triangle rectangle.
Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 + b2.
Dans un repère (O, I, J) (orthonormé) placer les points A(a, 0) et B(a, b).
Le triangle OAB est rectangle en A et l'hypoténuse OB = c.
Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse 
.
Télécharger la figure GéoPlan racine_1.g2w
Utilisation de la propriété
de Pythagore : construction d'un des petits côtés d'un triangle rectangle.
Soit un naturel c tel qu'il existe deux naturels a et b tels que c = a2 - b2.
Soit A le point abscisse a sur la droite munie du repère (O, I). Soit B un des points d'intersection du cercle
de diamètre [OA] et du cercle de centre A et de rayon b.
Le triangle OAB est rectangle en B et le côté OB = c.
Le cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [OI] au point C d'abscisse .
Télécharger la figure GéoPlan racine_2.g2w
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Moyenne géométrique
Le carré de la hauteur issue de l'angle droit d'un triangle rectangle est égal au produit des longueurs des segments découpés sur l'hypoténuse.
Dans un repère orthonormé placer sur l'axe des ordonnées les points J et A de part et d'autre de O tels que OJ = 1 et OA = a.
Le cercle de diamètre [AJ] coupe la demi-droite [OI) en B.
Le point B a pour abscisse 
.
La démonstration se fait dès la classe de 3e en remarquant que le triangle ABJ, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en B. Les tangentes des angles  et B des triangles rectangles semblables OAB et OBJ sont égales.
tan  = 
; tan B = 
,
d'où l'égalité des rapports
= .
Le produit des « extrêmes » est égal au produit des « moyens » :
OB2 = OA × OJ = OA × 1 = OA = a.
OB est la moyenne géométrique de OA et OJ : OB = 
= .
Remarque : comme dans la construction de Wallis, on retrouve la puissance du point O par rapport au cercle : - OA × OJ = − OB2
Télécharger la figure GéoPlan descartes.g2w
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Étant donné une longueur-unité, comment construire à l'aide d'une règle et d'un compas, un segment de longueur 
.
Comment, inversement, étant donnée une longueur égale à , retrouver avec quelle unité elle a été mesurée ?
Moyenne géométrique : construction d'Euclide reprise par Descartes
M:A.T.H. : Mathématiques Approchées par des Textes Historiques - IREM DE PARIS VII (1990).
À partir d'une unité a, construire le segment [BC] de longueur 8a et le point H à l'intérieur tel que BH = a. Tracer un demi-cercle de diamètre [BC].
La perpendiculaire en H à (BC) coupe le demi-cercle en A.
La longueur AH est égale à a.
Réciproque
Pour retrouver l'unité à partir d'une longueur
donnée, on utilise la même figure. On reporte la longueur sur la demi-droite [HA) de sorte que :
HD = .
La parallèle à (AB) issue de D coupe la droite (BC) en E. EH est alors l'unité cherchée.
Télécharger la figure GéoPlan mon_369.g2w
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
6. L'escargot de Pythagoreou spirale de Théodore de Cyrène, géomètre grec, précepteur de Platon, de 465 à 398 av. J.-C.
Construction d'une spirale dont les longueurs des rayons forment la suite des racines des naturels. Itérer la propriété de Pythagore : Autres spirales : voir rectangle d'or |
7. Construction d'un triangle rectangle de petit côté l'unité et d'hypoténuse
|
|
Construction à la règle et au compas du triangle OAB (voir : perpendiculaire élevée d'un point à une droite). |
Réciproque : construire un triangle rectangle ABC avec une longueur OI arbitraire,
placer le point D en reportant la longueur égale à La longueur DE est l'unité cherchée. |
Sommaire
Accueil Descartes et les Mathématiques
Notion disparue de l'enseignement français au lycée.
Construction de la moyenne géométrique en utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle.
Sur une droite, munie du repère (O, I) placer le point A d'abscisse a = 7 et tracer un cercle (c) passant par I et A (le centre J est sur la médiatrice de [IA]).
Tracer une tangente à (c) issue de O : le point de contact T est une des intersections du cercle (c) et du cercle de diamètre [OJ].
La puissance d'un point O par rapport au cercle (c) est le produit OI × OA. Cette puissance est égale au carré de la longueur OT de la tangente au cercle issue de O :
OI × OA = OT2.
On a donc OI = 1 et OA = a = 7, d'où OT = = .
Le cercle de centre O passant par T coupe la demi-droite [OI] au point B d'abscisse .
Télécharger la figure GéoPlan moyen_geom.g2w
GéoPlan |
Parallélogramme - Translation - Symétries |
Construction |
Démonstrations de Pythagore |
GéoPlan en 3e |
Faire de la géométrie en seconde |
Sommaire1. Nombre rationnel a/b Racine d'un naturel2. Naturel égal à une somme de carrés | Téléchargement
« Descartes et les Mathématiques »Accueil : http://debart.pagesperso-orange.fr Suggestions, remarques, problèmes : me contacter. | ||||
Moteurs de recherche | |||||
e visite des pages « seconde ».
.
. D'où OC = 
.
.
= b 
, on vérifie que OP = |b| OA = |ba|.
qui transforme B en I, B’ en J et A en Q.
