René DescartesDescartes et les Mathématiques

Immerger une bille

Situation expérimentale : immersion d'une bille dans un cylindre - étude mathématique à l'aide d'une calculatrice TI-92

Sommaire

I   Énoncé du problème

II  Solution

III Animation TI-92

IV Les programmes

Stage « Mathématiques et informatique » - Ouagadougou février 1999

APMProblème posé dans la
publication APMEP no 27 - 1979
« Pour une mathématique vivante en seconde »

I. Énoncé du problème

Un récipient en forme de cylindre circulaire droit de rayon r contient une quantité donnée de liquide. Des billes d'acier sphériques, de rayons divers, sont posées tour à tour à l'intérieur du récipient.
On cherche pour quelles valeurs a du rayon le niveau du liquide affleure exactement le sommet de la bille.

II. Solution

Pour l'étude, on suppose que les billes sont des sphères dont le rayon variable sera noté a.

Données numériques proposées pour l'étude détaillée d'une situation : rayon du tube r = 5 cm (soit une valeur de 10 cm pour le diamètre d du cylindre)
et v = 300 cm3 le volume de liquide contenu dans le tube.

Réalisons l'expérience avec des billes de divers diamètres.

Deux premières billes de diamètres 3 cm et 7cm donne les réponses que les élèves attendent : la bille est immergée lorsqu'elle est petite et émergée lorsqu'elle est plus grande.
Mais pour une dernière bille de rayon 5 cm : RUPTURE… : la nouvelle bille est à nouveau immergée lorsqu'elle est grosse…

Cet exercice est proposé dans de nombreux manuels de S. Dans l'ouvrage de TS de mon lycée, il est présenté avec un niveau d'eau insuffisant qui simplifie l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaire, mais supprime l'intérêt du paradoxe !

Cas d'immersion complète de la bille

Lorsque la bille est complètement immergée ou affleure, le niveau h atteint par le liquide est alors le même que si le récipient contenait uniquement un volume de liquide obtenu en ajoutant le volume 4pi a^3/3 de la bille de rayon a au volume v donné (300 cm3 dans la situation étudiée). Ce volume correspond à celui d'un cylindre droit de rayon r (5 cm dans la situation donnée) et de hauteur h, à savoir πr2 h.

On obtient ainsi l'égalité : 4pi a^3/3 + v = πr2 h.

On en déduit la valeur du niveau atteint h = 4a3/(3r2) + v/(pi r²). v/(pi r²) représente la hauteur du niveau d'eau dans le tube vide.

Notons que cette situation se produit lorsque le rayon de la bille est nul ou suffisamment petit.

Réponse à la question posée

La bille est tout juste recouverte lorsque le niveau atteint par le liquide est égal au diamètre de la bille, c'est-à-dire 2a.
D'après la formule obtenue pour le cas d'immersion complète (qui est ici tout juste réalisé), il vient :

2a =4a3/(3r2) + v/(pi r²).

G1: BALLONEQ

La TI-92 ne sait pas résoudre directement cette équation.

Il s'agit d'une équation qui se ramène au troisième degré, dont on s'intéresse aux solutions comprises entre O et 2r (le maximum correspond au diamètre de la bille égal à celui du cylindre).

En l'aidant un peu en simplifiant les dénominateurs, en affectant 5 → r et 300 → v ; elle sait alors la résoudre avec un message d'avertissement curieux « attention : autre solution possible ». Il y a donc, à la grande surprise de tout observateur qui ne connaît pas encore le phénomène,
deux valeurs
positives a1 = 2,19 et a2 = 4,73 pour lesquelles la bille est tout juste submergée. La troisième solution est négative et sort donc du champ qui nous intéresse.

Conclusion : il est facile de concevoir la première solution : une bille de petite taille est recouverte, puis en grossissant affleure et dépasse le niveau du liquide.
Il est moins facile de réaliser que pour la deuxième solution, une bille de grande taille occupe la majeure partie du vase : dans ce cas le liquide ne trouvant plus de place entre le cylindre et la bille, submerge à nouveau complément la bille.

III. Animation TI-92

Le programme graphique ballon(r, v) permet d'obtenir une animation du problème.

G2: BALLONI

Un premier écran texte (visible à partir de home avec la touche bascule F5) donne les diamètres des billes pour lequel a lieu l'affleurement.

La touche ENTER permet de passer au mode graphique.

(Dans l'état actuel du programme vérifier dans l'éditeur de fonctions ¨y= qu'il n'y a pas fonction active : F4 pour les dévalider.)

Voici quelques étapes de l'animation :

G3: BALLON3
G4: BALLON4
G5: BALLON7
G6: BALLON9
G7: BALLON10
G8: CALOTTE

Cette version ne donne pas la valeur exacte du niveau h lorsque a est compris entre a1 et a2.

Le programme cherche la hauteur h virtuelle si toute la bille était recouverte et enlève le volume de calotte virtuelle qui émerge. Ce calcul ne doit pas être trop loin du résultat.

Le calcul du volume se fait intégrant l'aire S(z) = π(a2/z2) du cercle de côté z dans une sphère centrée à l'origine.

Il suffit de remplacer la borne du bas par a–h pour calculer ce volume dans notre repère où l'origine est le bas de la sphère.

G9: BALLONH

Taper sur la touche ESC pour interrompre l'animation, puis touche ENTER pour sortir de la pause.

Une deuxième partie du programme a été insérée qui permet d'obtenir des images fixes (par exemple, celles capturées ci-dessus) en tapant le diamètre d'une bille.

Il est possible, par exemple, de taper 2*a1 ou 2a2 pour visualiser les affleurements.
Taper ENTER pour sortir de la pause et revenir à la saisie.
Taper 0 puis F5 ou ¨home pour terminer le programme.

IV. Les programmes

Le programme ballon appelle trois sous-programmes initwind, initcyl et balle à placer dans le même répertoire de la calculatrice.

Voici les programmes de la TI-92 plus en version française exportés par le logiciel Ti-graph-link :

ballon(r,v)
Prgm
Local h,pas,esc,rac,md2
(v+4/3*π*r^3)/(π*r^2) → h
If h<2*r Then : 2*r → h : EndIf
zéros(4*π*a^3/3+v-π*2*a*r^2,a) → rac
EffES
captMode("Afficher chiffres") → md2
défMode("Afficher chiffres","FIXE 2")
Disp "cylindre"
Disp "diamètre "&chaîne(approx(2*r))
Disp "hauteur "&chaîne(approx(h))
Disp "volume d'eau "&chaîne(approx(v))
If dim(rac) &ge 2 Then
If rac[2] ≤; 2*r Then
rac[2] → a1
Disp "hauteur du premier affleurement "&chaîne(approx(2*a1))
Else
2*r+1 → a1
EndIf
Else
2*r+1 → a1
EndIf
If dim(rac)=3 Then
If rac[3] ≥ 2*r Then
rac[3] → a2
Disp "hauteur du deuxième affleurement "&chaîne(approx(2*a2))
Else
2*r+1 → a2
EndIf
Else
2*r+1 → a2
EndIf
Disp "taper sur ENTER pour voir l'animation"
Disp "taper sur ESC, puis sur ENTER pour terminer"
Pause

Programme ballon

Un premier écran texte (visible à partir de home avec la touche bascule F5) donne les diamètres des billes pour lequel a lieu l'affleurement.

 

Calcul de la hauteur h du cylindre contenant la bille et le volume d'eau.

 

Le mode d'affichage est mémorisé dans md2, et 2 décimales seront utilisées dans le programme.

 

Résolution de l'équation du troisième degré.

rac tableau contenant les racines de l'équation du troisième degré. On teste la dimension de rac : si dim(rac) est égal à 1 il y aune seule racine négative (à démontrer ?) sinon il y a dim(rac)-1 racines réelles mémorisée dans a1 et a2.

S'il n'y a pas deux solutions réelles a1 ou a2 sont forcées à 2r + 1.

initcyl(h,r)
(ymax-ymin)/103/2 → pas
pas → old_h : 0 → esc
While esc≠264
For a,pas,r,pas
If esc≠264 Then
balle(r,v,a,pas)
codTouch() → esc
Else
Exit
EndIf
EndFor
If esc≠264 Then
balle(r,v,r,pas)
For a,r,pas,-pas
If esc≠264 Then
balle(r,v,a,-pas)
codTouch() → esc
Else
Exit
EndIf
EndFor
EndIf
EndWhile
Pause

Appel du sous-programme initcyl pour le dessin du cylindre.

On calcule un pas égal à environ un demi-pixel.

 

Première boucle For … EndFor qui pour a allant de 0 à r, calcule les valeurs a de « pas en pas » et appelle le programme balle.

On vérifie si la touche ESC de code 264 a été frappée.

Deuxième boucle For … EndFor, qui pour a allant de r à 0, calcule les valeurs a de
« – pas en – pas » et appelle le sous-programme balle.

a1 → a
While a>0
Input "Taper un diamètre, 0 pour terminer",a
If a>0 and a≤2*r Then
a/2 → a
pas → old_h
initcyl(h,r)
balle(r,v,a,pas)
Pause
else
0 → a
EndIf
EndWhile
Disp "Home : taper la touche F5"
EffGraph
wind(-7,7,-5,5)
défGraph("Axes","AFF")
SupVar old_h,a1,a2,a
défMode("Afficher chiffres",md2)
EndPrgm

Cette deuxième partie du programme permet d'obtenir des images fixes en tapant le diamètre d'une bille.

Après « input », il est possible, par exemple, de taper 2*a1 ou 2*a2 pour visualiser les affleurements.

Taper ENTER pour sortir de la pause et revenir à la saisie.

Taper 0 puis F5 ou ¨home pour terminer le programme.

balle(r,v,a,pas)
Prgm
Local h,e
.075 → e
If a<a1 or a>a2 Then
(4*a^3/3+v/(π))/r^2 → h
Else
(4*a^3/3+v/(π))/r^2 → h
h-(4*a^3-3*a*h^2+h^3)/(3*r^2) → h
EndIf
Cercle 0,a,a
Lign -r,h,r,h
If pas<0 Then
Cercle 0,a-pas,a-pas,0
EndIf
Lign -r+e,old_h,r-e,old_h,0
Cercle 0,a,a
Lign -r,h,r,h
Lign -r,0,r,0
PtTexte "d="&chaîne(approx(2*a))&" ",xmin,1
PtTexte "h="&chaîne(approx(h))&" ",xmin,3
h → old_h
EndPrgm

Sous-programme balle

Ce sous-programme dessine la bille et le niveau d'eau.

 

Le calcul de h, lorsque la bille est découverte, est à revoir.
Je n'ai pas su résoudre l'équation du 3e degré avec la calculatrice.
Un calcul d'intégrale serait peut être souhaitable. Il doit être possible de ranger les résultats dans un tableau pour ne pas trop ralentir l'exécution de l'animation.

Les instructions Cercle et Lign se terminant par le paramètre 0 sont destinées à effacer l'animation précédente.

Le test sur le pas négatif permet de ne pas effacer les cercles et d'obtenir une coloration de la bille. Résultat discutable ; supprimer les deux lignes
if pas>0 then… et
endif
pour obtenir un simple cercle.

initcyl(h,r)
Prgm
Local e,mx,hy
0 → mx : -0.5 → ymin : h+1 → ymax
(ymax-ymin)*239/103/2 → hy
mx-hy → xmin : mx+hy → xmax
initwind(xmin,xmax,ymin,ymax)
(ymax-ymin)/103 → e
h+0.5 → h
Line -r,0,r,0 : Line -r,0,-r,h : Line r,0,r,h
Line -r-e,-e,r+e,-e : Line -r-e,0,-r-e,h
Line r+e,0,r+e,h
Line -r,-2*e,r,-2*e : Line -r-2*e,0,-r-2*e,h
Line r+2*e,0,r+2*e,h
EndPrgm

G10: BALLON2

Sous-programme initcyl

Initcyl est le sous-programme de dessin du cylindre.

En fonction de la hauteur h il calcule les coordonnées d'une fenêtre orthonormée centrée sur le bas du cylindre puis dessine le cylindre avec trois traits.

initwind(xx1,xx2,yy1,yy2)
Prgm
setMode("graph","fonction")
ClrDraw : ClrGraph
xx1 → xmin : xx2 → xmax : 0 → xscl
yy1 → ymin : yy2 → ymax
0 → yscl : 2 → xres
setGraph("Axes","NAFF")
@défGraph("Grille","NAFF")
EndPrgm

Sous-programme initwind

Initwind est un sous-programme d'initialisation du mode graphique

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