Site Descartes et les MathématiquesSite Descartes et les MathématiquesDécomposition d'un nombre en fractions égyptiennes, conjecture de Sierspinski
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TI-92 | Petits programmes | TI-92 | π et le papyrus Rhind : | |
L'œil Oudjat est un hybride d'œil humain et d'œil de faucon : il représente un œil humain fardé et souligné de deux marques colorées caractéristiques du faucon pèlerin.
Il serait œil d'Horus, fils d'Isis et d'Osiris, perdu dans un combat mené contre son oncle Seth pour venger son père.
Thot, grand guérisseur et dieu de la médecine, l'avait soigné et le lui avait rendu. C'est pourquoi « Oudjat » symbolisait la santé et la lumière. L'Oudjat incarnait aussi le cycle du jour et de la nuit.
On le retrouve comme amulette sur les momies : l'amulette représentait aussi l'attachement du fils à son père car Horus avait donné son œil à son père Osiris afin qu'il recouvre la vue.
Les « anciens Égyptiens » avaient coutume d'encastrer l'Oudjat dans les niches de leurs portes pour se préserver du mauvais œil
Les parties constituantes de l'œil Oudjat servaient à écrire les différentes fractions ayant 64 comme dénominateur qui permettaient de compter le grain, dont l'unité de mesure était le hékat (un hékat valait environ 4,785 litres).
L'œil d'Horus est décomposé en six éléments de la façon suivante :
- la petite pyramide = 
- le soleil = 
- la grande pyramide = 
- la ligne de sol = 
- le bloc poussé par l'Égyptien = 
- la ligne recourbée = 
Au cours du combat, Seth arrache œil gauche d'Horus, le coupe en six morceaux et le jette dans le Nil. À l'aide d'un
filet, Thot récupère les morceaux, mais il en manque un ! Thot le rajoute et rend à Horus son intégrité vitale. La somme des fractions de l'Oudjat ne fait que 
;
le manquant est le liant magique ajouté par Thot pour permettre à œil de fonctionner. Ce manquant pour parfaire l'unité serait toujours fourni par Thot au calculateur qui se placerait ainsi sous sa protection.
D'après S.ISMAIL
et F. Saugeon (collège de Blaye)
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Les « anciens Égyptiens » ne connaissaient, comme rationnels, que les inverses d'entiers.
Il s'agit de décomposer un rationnel de ]0 ; 1[ en une somme d'inverses d'entiers strictement croissants.
Exemples : 
= 
= + .
= 
= + 
+ 
.
Remarque : la représentation sous forme d'une somme de fraction à numérateurs unitaires n'est pas unique.
Par exemple, on a aussi = 
+ 
+
car 
.
C'est pourquoi, les Égyptiens avaient décidé d'utiliser celle contenant le moins de termes et n'en répétant aucun.
On ne sait pas très bien comment les Égyptiens procédaient pour obtenir ces décompositions.
Méthode de Taton (2000 avant J.-C.)
Dénominateur pair.
Décomposer le numérateur en somme de puissances de 2 :
= 
= 
+ 
+ 
= + + .
Numérateur égal à 2
|
Par contre, on sait que pour une fraction du type |
Remarque : pour cette fraction, ci-dessous, l'algorithme glouton de Fibonacci donne une autre décomposition : |
Méthode « Matching pair » (méthode récente du 20e siècle)
Remplacer les doubles d'inverses avec la formule .
= 
;
comme 
= 
+ 
, on a 
= 
+ 
,
d'où = + + .
Un cas particulier pour 
= + qui n'est pas un développement acceptable.
Transformer alors un des termes en double par « Matching pair » avec la formule .
Soit pour le deuxième tiers = + 
,
et l'on obtient = + + .
La méthode « Matching pair » s'utilise de même lorsque dans des développements on trouve des fractions unitaires égales.
Travail de groupes sur les mêmes fractions.
Un rapporteur écrit au tableau les résultats de son groupe.
Comparaison des résultats (unicité, « meilleure décomposition possible »…).
= + 
; 
= + ; 
= + 
; 
= + 
; …
Pour des numérateurs égaux à 4 ou 5, voir les conjectures ci-dessous.
Plus compliqué
= + + 
; …
Cela devient difficile (impossible ?) à la main pour 
; 
… D'où la nécessité d'un algorithme.
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Première phase de recherche par groupes. On espère voir sortir l'encadrement de la fraction par deux inverses d'entiers consécutifs n et n+1. Deuxième phase de recherche au terme de laquelle l'algorithme sera soit trouvé soit donné. |
En 1201, Fibonacci (Léonard de Pise 1175-1250) prouva que tout nombre rationnel, compris entre 0 et 1, pouvait s'écrire sous la forme d'une somme de fractions à numérateur unitaire et proposa la méthode suivante (pour toute fraction distincte de ) :
« Soustraire à la fraction donnée la plus grande fraction égyptienne possible, répéter l'opération avec la nouvelle fraction, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'opération donne une fraction égyptienne. »
Cet algorithme permet l'obtention des dénominateurs n de la décomposition de 
:
Il suffit, si p > 1, de calculer la partie entière n de 
+ 1,
puis de calculer - 
,
et de recommencer, avec cette dernière fraction, jusqu'à ce que le numérateur soit égal à 1.
Remarque : cet algorithme est peu performant car on tombe facilement sur de grands nombres.
Le tester sur des types de matériels informatiques différents (calculatrices, ordinateurs…).
Comparer les difficultés rencontrées, les performances et les résultats.
Explications guidées pas à pas, sous forme d'exercice :
.
= - (sous forme de fraction irréductible).La TI-92 permet de faire les calculs directement dans le mode fractionnaire exact, la simplification des fractions se faisant automatiquement.
Il est aussi possible de rédiger l'algorithme dans l'éditeur de programmes :
EGYPT(x) Prgm Local p,q,f,n ClrIO Disp x getNum(x) → p While p>1 getDenom(x) → q |
If mod(q,p)=0 Then q/p → n Else int(q/p)+1 → n EndIf Disp 1/n x-1/n → x getNum(x) → p EndWhile Disp x EndPrgm |
Puis exécuter le programme en tapant dans la fenêtre ¨Home :
Egypt(7/17)
On obtient :
Taper sur la touche F5 ou sur ¨Home pour sortir du programme.
: en utilisant la somme des termes d'une suite
géométrique, trouver une décomposition de an en fractions égyptiennes. Comparer avec l'algorithme pour a2,
a3, a6.
: prouver que bn se décompose
en exactement deux fractions égyptiennes, et donner une décomposition.
par deux méthodes différentes.Pour tout entier n > 1 il existe trois naturels a, b et c tels que
4 |
1 |
1 |
1 |
|||
= |
+ |
+ |
||||
n |
a |
b |
c |
Remarque : contrairement aux fractions égyptiennes on n'impose pas à a, b et c d'être tous différents.
Le nombre maximum de fractions obtenues par l'algorithme de Fibonacci dans la décomposition de 
,
avec n > 4, est 4 : la suite des numérateurs p’ étant 4, 3, 2, 1.
Par exemple, étudier 4/17 : 4/17 = 1/5 + 1/29 + 1/1233 + 1/3039345, mais 4/17 = 1/6 + 1/17 + 1/102.
Deuxième exemple : décomposer 
avec l'algorithme… et pourtant :
.
Allan Swett a confirmé que la décomposition en trois fractions unitaires admet des solutions pour n jusqu'à 1012.
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Mathématicien polonais, professeur à l'université de Lvov puis de Varsovie, il consacre ses recherches à la théorie des nombres. Il est bien connu par ses travaux :
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Le triangle de Sierpinski est obtenu en partant d'un grand triangle équilatéral. On prend les milieux de chacun de ses côtés et on enlève le triangle équilatéral ainsi obtenu. On obtient alors trois nouveaux petits triangles équilatéraux. On recommence alors l'opération précédente, à chacun de ces nouveaux triangles, et ainsi de suite. On obtient alors neuf, vingt-sept, quatre-vingt-un… nouveaux triangles. Le tapis de Sierpinski est obtenu de même en découpant un grand carré en 9 petits carrés et on enlève le carré central. On applique à nouveau le même procédé à chacun des 8 petits carrés restants… et ainsi de suite. Enfin, l'hexagone de Sierpinski est obtenu de même en découpant un grand hexagone en 7 petits hexagones (partager chaque côté en trois parties égales et de part et d'autre de chaque sommet tracer les segments parallèles à la diagonale issue de ce sommet). On enlève l'hexagone central. On applique à nouveau le même procédé à chacun des 6 petits hexagones restants… et ainsi de suite. D'après Olivier Orochoir |
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Télécharger la figure GéoPlan hex_sier.g2w
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(Voir 3'33 magazine des calculatrices Casio no 40 et 41)
Pour tout entier n > 1 il existe trois naturels a, b et c tels que
5 |
1 |
1 |
1 |
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= |
+ |
+ |
||||
n |
a |
b |
c |
Remarque : contrairement aux fractions égyptiennes on n'impose pas à a, b et c d'être tous différents.
Il semble que l'on ne sache pas encore démontrer cette conjecture.
La TI-92, en une journée, sait la vérifier jusqu'à n = 1000.
Si n est multiple de 2 : n = 2p 
si n est multiple de 3 : n = 3p 
si n est multiple de 5 : n = 5p 
.
Pour les nombres n premiers de 7 à 37, en s'aidant éventuellement de l'algorithme de la deuxième partie, on a les résultats suivants :
|
|
|
On remarque :
- que la décomposition, en général, n'est pas unique,
- que l'algorithme de Fibonacci des fractions égyptiennes donne, lorsqu'il permet d'obtenir trois fractions, un nombre c en général assez grand.
Pour n fixé, choisir a égal à la partie entière de 
.
Calculer de 1 en 1 les valeurs de b jusqu'à trouver que
le nombre 
soit l'inverse
d'un entier. En cas d'échec recommencer en augmentant a de 1.
Le plus efficace est de calculer de -1 en -1 pour b à partir de la partie entière de 
jusqu'à a.
TI-92+ : version française :
Sierpin(n) |
If p=1 then |
while drap<1 |
if 3/a<x then |
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(p et q impairs) ils obtenaient par exemple :
en appliquant, avec p = 3 et q = 5, la formule : 
