René DescartesDescartes et les Mathématiques

TI-92 - Petits programmes

Calcul formel et programmation au lycée - Identité de Bézout - Calcul de π, de e, de racine de 2.

Sommaire

I.   PGCD Identité de Bézout
II.  Équation du troisième degré
III. Barycentre
IV. Triangle

V.  Calcul de 600 décimales de e
VI.  Calcul de 300 décimales de racine de 2
VII. Calcul de 600 décimales de π

Voici quelques algorithmes classiques pouvant faire l'objet de l'enseignement informatique. Leur écriture demande autant de compétences informatiques que mathématiques et leur programmation nécessite une grande rigueur.
Ces programmes, pour l'essentiel réalisés au Club Calculatrice du Lycée Français du Caire de 1994 à 1998, ont surtout un intérêt pédagogique au moment de leur conception. Ils peuvent aussi rendre service à l'occasion d'un cours ou d'un devoir.

I. PGCD - identité de Bézout

  • Les fonctions pgcd(a,b) et ppcm(a,b) {version anglaise gcd(a,b) et lcm(a,b)} de la calculatrice donnent directement le pgcd et le ppcm de deux nombres a et b.
  • En utilisant le fait que la calculatrice simplifie un quotient d'entiers a/b = a'/b'. On trouve b’ avec la fonction dénom (getnum en anglais) :b’ = dénom(a/b)

On a donc pgcd(a,b) = d=b/b' et ppcm(a,b) = ab/d=ab'.

Créer la fonction permettant de calculer d en divisant b par b’ et celle calculant le ppcm en multipliant b’par a.

:pgdc(a,b)
 :Func
 :b/dénom(a/b)
 :End Func
:ppmc(a,b)
 :Func
 :a*dénom(a/b)
 :End Func
Ecran TI-92 n°23

À partir de la fonction pgcd étendu de Jean-Michel Ferrand (Les programmes TI-92, Dunod 1996) voici le programme pgcd(a,b) qui, à partir des divisions de l'algorithme d'Euclide, permet de trouver le pgcd de deux nombres a et b, puis donne le résultat de l'identité de Bézout.

Ecran TI-92 n°24

Le programme bezout(a,b) reprend le programme pgcd et ajoute un deuxième écran donnant les coefficients u et v permettant d'exprimer les divers restes.

L'élève devant rédiger l'algorithme devra reprendre les égalités obtenues : (le programme reste à faire !)

6732 =6732 × 1 + 5016 × 0 ligne d'initialisation de l'algorithme pour a.
5016 = 6732 × 0 + 5016 × 1 idem pour b.
1716 = 6732 × 1+ 5106 × (–1) on commence,
1584 = 1716 × (–2) + 5016 =6732 × (–2) + 5106 × 3 on écrit le reste et on remplace à droite l'ancien reste 1716 par le résultat de la ligne précédente.
132 = 1584 × (–1) + 1716 = 6732 × 3 + 5106 × (–4) on remplace les deux restes par leurs valeurs trouvées dans les deux lignes précédentes.

On trouve enfin l'identité.

II. Équation du troisième degré

Ecran TI-92 n°26

Le programme equa3(p(x)) permet d'expliquer comment trouver les solutions d'une équation du troisième degré p(x) = 0 ayant une solution évidente égale entière dont la valeur absolue n'est pas trop grande
(la variable maxi=10 dans le programme joint permet de trouver les solutions entre –9 et 9).

Equa3 utilise le sous-programme divEucli(p(x),q(x)) qui pose la division euclidienne d'un polynôme du troisième degré par un binôme du premier degré.

Ecran TI-92 n°27
Ecran TI-92 n°28

III. Barycentre

Ces programmes calculent et tracent le barycentre G de trois points (A, α), (B, β) et (C, γ). Ils utilisent les trois barycentres partiels : A’ barycentre de (B, β) et (C, γ) ; B’ barycentre de (A,α) et (C, γ) ; enfin C’ barycentre de (A, α) et (B, β)

Cet ensemble se compose de trois modules bary1, bary2, barytxt et du sous-programmes calbary, nompoint, orthonor, wind et initwind. Les coordonnées des points sont stockées dans la matrice b et les coefficients dans la liste c.

Ecran TI-92 n°30

bary1(xa,ya,xb,yb,xa,yc,α,β,γ) utilise les six coordonnées des points A, B et C et les trois coefficients α, β et γ.

barytxt() permet ensuite de connaître les coordonnées du barycentre G et des barycentres partiels A’, B’ et C’.

Le programme bary2() permet de saisir les points directement dans l'écran graphique en se déplaçant avec les flèches de direction.

Ecran TI-92 n°31
Ecran TI-92 n°32

Application : pour trouver le centre de gravité d'un triangle choisir α = β = γ = 1.

Le barycentre

IV. Triangle

Ecran TI-92 n°33

Ce programme permet de calculer les longueurs des côtés et les angles d'un triangle.

Choisir les trois longueurs des côtés ou deux côtés et un angle, ou enfin un côté et deux angles.
Comme résultats, nous obtenons les trois longueurs des côtés et les trois angles en degré.

Ecran TI-92 n°34
Ecran TI-92 n°35

Nous obtenons, comme résultats, les trois longueurs des côtés et les trois angles en degré.
Les longueurs a, b, c et les angles α, β, γ sont conservés comme variables globales.

Il est possible d'effacer ces variables par programme en supprimant dans le listing l'@ de

:@DelVar a, b, c, α, β, γ

pour valider la ligne

:DelVar a, b, c, α, β, γ
(SupVar en version française)

V. Calcul de 600 décimales de e

Le calcul de e par la série an = somme 1/k! converge rapidement vers e.

On sait que cette suite an est croissante et majorée par e.

La suite bn = an + 1/(n n!) est décroissante et minorée par e,
d'où an est une valeur approchée par défaut de e à 1/(n n!) près.

Ecran TI-92 n°70

En 14 calculs le programme ci-contre donne les 11 premières décimales :

esomme 1/k!2,71828 18284 6

En effet, 14 est le premier entier tel n que 1/(n n!) < 10− 11.

Le programme calcule tant que an est différent de an−1 (au sens de la machine).

Pour accélérer les calculs, la factorielle est obtenue par récurrence.

 

La TI-92 n'utilisant « que » 12 chiffres pour les calculs sur les réels pour trouver plus de décimales, une astuce est d'utiliser des nombres entiers ce qui peut nous permettre de calculer jusqu'à 600 décimales.

En effet, avec la TI-92 les calculs sur les entiers sont exacts jusqu'à 10614.

Ecran TI-92 n°72

Pour trouver p décimales de e il suffit de multiplier par 10p et de calculer les entiers

10p esomme 10^p/k! avec n.n! > 10p.

Le calcul continue jusqu'à ce que la partie entière de 10^p/k! soit nulle.

On obtient ainsi le nombre entier de 614 chiffres :

2 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 29353 40688 510

Le calcul nécessite 299 additions d'entiers dont 296 sont des arrondis de fractions.

Les trois dernières décimales sont donc comprises entre 510 – 214 = 214 et 510 + 296 = 806.

Sachant que a299 < e < b299 les dernières décimales de e sont donc comprises entre 214 et 807.
On a donc calculé e avec 610 décimales : e ≈ 2,71828…40688.

Wiskundige constanten

VI. Calcul de 300 décimales de racine de 2. Algorithme de Babylone

Riche de quatre mille ans d'histoire, carrefour entre la géométrie, l'algèbre, l'analyse ou encore la théorie des nombres, la constante de Pythagore racine de 2 est l'un des nombres les plus extraordinaires qui soit. Constante fondamentale des mathématiques, ses multiples propriétés en font un objet de choix pour des applications de toutes sortes, de la détermination des formats de nos feuilles de papier aux considérations esthétiques d'architectes (Conférence SMF).

Tablette babylonienne - 1000 ans avant PythagoreJean Louis Maltret IREM Marseille

D'après WikiPédia et Irem de Marseille

La tablette d'argile YBC 7289 est une pièce écrite en cunéiforme.

Elle est datée des années 1700 av. J.-C. Elle provient sans doute du sud de l'Irak.

C'est la plus ancienne représentation connue d'une valeur approchée de la racine carrée de deux.

Sur le côté du carré, en haut à gauche, la mesure est 30, qui représente 1/2 en base 60.

Sur la diagonale horizontale, on peut lire 1 24 51 10, soit l'approximation en numération babylonienne base 60, de la forme :

1 + 24/60 + 51/602 + 10/603.

Cette écriture est égale à 1,141 212 9 ; elle correspond à la meilleure approximation possible de racine de 2 avec quatre chiffres significatifs en base 60.
Elle est précise au millionième près.

Sous cette inscription, la tablette donne en base 60 la forme :
42 25 35, soit 0 + 42/60 + 25/602 + 35/603 = 0,707 106 5 ;

au lieu de 0,707 106 8, approximation décimale de rc(2)/2, longueur de la diagonale.

WikiPédia File:Ybc7289-bw.jpg
WikiPédia YBC_7289_sketch

Méthode babylonienne

La « méthode de Babylone » est aussi appelée « méthode de Héron » ou « algorithme de Héron d'Alexandrie » (Ier siècle).

Ecran TI-92 n°75

Il y a 4000 ans les Sumériens connaissaient déjà un processus itératif,
qui permettait de calculer rac(c) à partir de c.

On choisit a0 (souvent 1) et on calcule la suite (an) par la formule de récurrence :

a(n+1)=(a((n)+c/a(n))/2.
Ecran TI-92 n°79

Cette suite à partir de a1 est décroissante et minorée par rac(c).

La fonction itérative de Newton, correspondant à cette suite,
est f(x) = (x+c:x)/2 qui admet comme point fixe rac(c).

On remarque que la suite bn = c:a(n) est une suite croissante à partir de b1 et majorée parrac(c).

Ecran TI-92 n°83

Le calcul par récurrence de bn donne :

b(n+1)=2c b(n)/(b(n)²+c).

La fonction itérative correspondant à cette suite est
g(x) = 2cx/(x²+c) qui admet comme point fixe rac(c).

Ecran TI-92 n°85

Or b1 < b2 < … < bn < rac(c) < an < … < a1

avec b(n+1)-a(n+1)<….

La convergence est donc très rapide.

Les calculs se font facilement dans l'écran ¨Table ou avec les fonctions racine en simple ou multiprécision.

Ecran TI-92 n°79
Ecran TI-92 n°87

Toutes les décimales sont exactes et on obtient les résultats suivants pour racine de 2.

Ecran TI-92 n°89
Ecran TI-92 n°88

Calcul de la rapidité de convergence

Ecran TI-92 n°67

La représentation géométrique permet d'expliquer la convergence vers racine de 2 a été faite pour les triangles A1B1C1 et A2B2C2 avec a1=2, d'où a2 = 1,5 et b1 =1. La différence de taille de ces triangles donne une idée de la convergence.

Soit Ai et Bi les points d'abscisses ai et bi sachant que aibi = c. Le cercle de diamètre AiBi est centré en Ai+1 d'abscisses bi+1. Une des tangentes à ce cercle, issue de O, coupe le cercle en Ci. Dans le triangle rectangle OAi+1Ci le pied de la Hauteur H issue de Ci est tel que :

OH × OAi+1 = OCi2.

or OCi2 = OAi × OBi = aibi = c ; puissance d'un point par rapport à un cercle, se calcule aussi avec le théorème de Pythagore.

On a donc OH . ai+1 = c ; OH est donc égal à bi+1. Le pied de la hauteur est donc le point Bi+1.

Les triangles rectangles OAi+1Ci et Ai+1Bi+1Ci sont semblables donc :

AiBi/AiCi d'où AiBien remplaçant le rayon Ai+1Ci par le diamètre AiBi.
Or OAi+1 < rac(c), on en déduit AiBi

Pour c > 1 on a a(i+1)-b(i+1)<….

Si à un étape du calcul on a une valeur approchée à 10n près, à l'étape suivante on aura un encadrement inférieur à 10− 2n.
Ainsi, à chaque itération on double le nombre de décimales justes. La convergence est donc très rapide : le calcul de 100 décimales de racine de 2 se fait avec 8 itérations à partir de a1 = 2 et en seulement 3 itérations si l'on part de la valeur approchée a1 = 1,414 213 562 37 calculée par la machine.

Problème connexe avec les travaux de l'ingénieur allemand Walter Porstmann, qui a établi en 1922 le rapport de la longueur à la largeur de la feuille A4 à racine de 2) :
un devoir qui ne fait pas un pli ! (pliage du coin d'une feuille)

VII. Calcul de 600 décimales de π

Calculs de pi

Les anciens Hébreu utilisaient la valeur 3 dans la Bible : … Elle avait dix coudées d'un bord à l'autre, une forme entièrement ronde … et une circonférence que mesurait un cordon de 30 coudées. (Premier livre des rois VII, 23).

Dans l'ancienne Égypte, le papyrus de Rhind notait la valeur 256/81.

Arc tan

avec GéoPlan - arctan 1/2 + arctang 1/3 - copyright Patrice Debart 2000

Au XVIIIe, de nombreux calculs utilisent la fonction Arc tan, réciproque de tangente, sachant que :

Arc tan 1 = PI/4 et que arc tan x = ….

En 1776 l'écossais James Hutton a découvert la formule :

PI/4 = Arc tan 1/2 + Arc tan 1/3

comme la figure ci-contre montre l'angle PI/4 avec OA = 2, AB = 1, OC = 3 et CD = 1.

g2w Télécharger la figure GéoPlan arctan45.g2w

La formule de John Machin

PI/4 = Arc tan 1/5 + Arc tan1/239

permit dès 1706 le calcul de 100 décimales sans calculatrice.

Sur TI-92 il suffit de programmer la fonction permettant de calculer Arc tan :

Ecran TI-92 n°94
Ecran TI-92 n°95
Ecran TI-92 n°96

On obtient alors 607 décimales de π exactes (en 25 minutes de calculs).

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81

Bibliographie : Mathématiques élémentaires d'un point de vue algorithmique - Arthur Engel - Cedic 1979
Numéro spécial π - le petit Archimède - Association pour le Développement de la Culture Scientifique (ADCS) - 1980 (réédité en 1992)
Le fascinant nombre π - Jean-Paul Delahaye - Pour la science, 1997

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Tice et mathématiques au lycée Léonard de Vinci à Soissons

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