René DescartesDescartes et les Mathématiques

Statistiques doubles en TES

Ajustements linéaires et non linéaires avec la TI-92. Droite de Mayer, droite des moindres carrés.

Sommaire

I.   Ajustements

II.  Ajustement linéaire

III. Ajustement non linéaire

I. Ajustements

Les programmes reglin et reg permettent, à la calculatrice, de réaliser la majorité des calculs d'ajustement statistique.

Ils utilisent les fonctions standards de l'éditeur de données/matrices pour les calculs des valeurs remarquables, du coefficient de corrélation et de l'équation de la droite ou de la fonction d'ajustement.

statistiques doubles - ecran calculatrice ti 92

Ils calculent la valeur des résidus pour pouvoir comparer les divers ajustements. On peut obtenir un graphique et une estimation permettant de prévoir y chapeau en fonction de x ou x chapeau à partir de y dans le cas linéaire.

Le programme reglin concerne les droites d'ajustement linéaire : il commence par faire un ajustement par la méthode des moindres carrés de Dy/x, régression de y par rapport à x, pour mettre à jour la liste des variables, puis propose l'équation de la droite de Mayer et de Dx/y pour la régression de x par rapport à y.

Le programme reg permet d'étudier les ajustements exponentiels (y = a bx), logarithmiques (y = a ln x + b), quadratiques (y = a x2 + b x + c) ou d'effectuer n'importe quel changement de variable sur x ou y (x = f(x) et/ou y = g(y)).

Les programmes utilisent deux listes de nombres lx et ly, conservées comme variables globales.

Ecran TI-92 n°39

En général, les données sont rangées dans un tableau, x dans la colonne 1 et y dans la colonne 2 du tableau data.

Lancer les programmes en tapant dans ¨Home :

reglin(data[1],data[2]) ou reg(data[1],data[2]).

Après la première exécution il est possible de taper reglin(lx,ly).

Dans le cas où le tableau s'appellerait data il est possible de taper reg(1,2).

Les courageux peuvent taper reglin({2,4…},{0.83,1.34…})

Ecran TI-92 n°40

Trois petits sous-programmes sont joints : decimal pour affecter la variable globale deci donnant le nombre de décimales avec lesquel sont arrondis les résultats. deci doit être initialisé avant la première utilisation en lançant decimal(), ou en mode direct, taper : 2 STO deci

Deux autres programmes doivent aussi se trouver dans le répertoire, nommé par exemple stat, contenant reg et reglin : errstat prévient d'une erreur de données et nompoint pour le label des points de la représentation graphique. Un certain nombre de variables sont volontairement conservées pour pouvoir utiliser les résultats après la fin du programme dans les divers modules de la calculatrice.

Remarque : tous les calculs sont à faire avec toute la précision de la machine. Seuls les résultats sont arrondis.

II. Ajustement linéaire

Droite de Mayer

On veut isoler un mur en béton par une couche de polystyrène.

On a mesuré la résistance thermique yi de ce mur, après isolation, en fonction de l'épaisseur xi en cm de la couche de polystyrène. On a obtenu le tableau suivant :

xi

2

4

6

8

10

12

15

20

yi

0,83

1,34

1,63

2,29

2,44

2,93

4,06

4,48

1. Représenter le nuage de points.

2. Calculer l'équation de la droite (d) de Mayer associée aux points G1 et G2 (G1 correspond au point moyen associé aux quatre points d'abscisses les plus petites et G2 aux quatre autres points du nuage). Lorsque le nombre de points est impair la calculatrice demande comment faire le partage des (n-1)/2 et (n+1)/2 points.

Ecran TI-92 n°41
Ecran TI-92 n°42
Ecran TI-92 n°43
droite de régression

3. Calculer les moyennes x barre et y barre.

Vérifier sur le graphique que la droite de Mayer passe par le centre de gravité G ; G est le point ayant pour coordonnées les moyennes : G(x barre,y barre).

4. Quelle résistance peut-on espérer pour un mur protégé par une épaisseur de 25 cm de polystyrène ? L'option estimation fait le calcul et place sur le graphique le point E correspondant.

5. Calculer la somme des résidus correspondante à cette droite.

Le calcul peut se vérifier en utilisant l'éditeur de données en tapant dans la case c3 l'équation de la droite et colonne c4 la différence c4 = c2-c3. Le calcul des résidus est obtenu en choisissant, après F5, la colonne c4, dans menu des statistiques à une variable. On trouve ∑x2 = 0.2865.

équation de la droite de régression

Droite de régression

6. Déterminer une équation de la droite (Δ) de régression de y en x par la méthode des moindres carrés.

Que peut-on dire de (d) par rapport à (Δ) : La droite de Mayer est ici un très bon ajustement. Les deux droites sont pratiquement confondues et les résidus équivalents.


III. Ajustement non linéaire

Le tableau suivant donne la production mondiale de sucre brut en millions de tonnes :

xi

1900

1920

1940

1960

1970

1980

1990

1995

yi

11,3

16,8

29,9

55,4

72

88

113,9

116,4

1. Représenter le nuage de points.

2. Calculer les valeurs caractéristiques de la série : moyennes, écarts-types et covariance.

3. Calculer l'équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés.

Tracer cette droite. Vérifier que la droite de régression passe par le point moyen G du nuage.

4. Calculer le coefficient de corrélation linéaire.

5. Quelle production peut-on prévoir pour l'an 2000  (faire le calcul et vérifier graphiquement, en traçant le point E correspondant) ?

Cette valeur vous semble-t-elle justifiée ? Pourquoi ?

Taper les données dans tableau nommé sucre.

Ecran TI-92 n°50
Ecran TI-92 n°49

L'ajustement linéaire ne convient pas, car bien que le coefficient de corrélation soit relativement bon (0,96 voisin de 1), la droite d'ajustement ne fait que traverser le nuage de points et la prévision de 114 millions de tonnes n'est pas compatible avec cette série croissante.

Ecran TI-92 n°52
Ecran TI-92 n°51

La forme de la courbe invite à un ajustement exponentiel

roite de régression
Ecran TI-92 n°53
Ecran TI-92 n°55
équation de la droite de régression
Ecran TI-92 n°58
Ecran TI-92 n°57

La courbe épouse mieux le nuage de point. La somme des résidus est divisée par 4 et la prévision de 145 millions de tonnes semble plus réaliste.

Après le graphique les programmes proposent d'effacer l'écran graphique et d'initialiser les paramètres, ce qui conseillé lorsque veut faire autre chose que des statistiques (F4 : validation ou dévalidation de l'option plot 1 dans l'éditeur de fonction ¨y=).

Il est aussi possible de sur imprimer un autre graphique en validant une nouvelle représentation graphique.

Ecran TI-92 n°60
Ecran TI-92 n°59

Dans les deux programmes, l'équation de la droite Dy/x est conservée dans y1.
Dans reglin la droite Dx/y a pour équation y2 = a1 x + b1,
et la droite de Mayer y3 = a2 x + b2.
Dans reg, les fonctions sont conservées dans les variables y2 à y4.
Dans l'éditeur de fonctions ¨y= valider plot1 et yi avec F4 pour obtenir le graphique par Graph.

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mise à jour le 28/8/2003