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Suites numériques et TI-92

La calculatrice TI-92 en classe de 1^ère S : suite homographique, suite de Fibonacci, nombre d'or, point fixe.

Calculatrice TI-92

La TI-92 est une calculatrice graphique programmable, équipée du microprocesseur Motorola 68000, commercialisée par Texas Instruments.

Crée en 1995, c'était un modèle très novateur avec :

• un véritable clavier QWERTY équipé d'un pavé directionnel à 8 directions,
• un grand écran 240 × 128 pixels,
• un logiciel de calcul formel très performant,
• un grapheur,
• un tableur.

Les divers modules pouvant communiquer par appel de fonctions ou copier-coller.

Elle a été remplacée en 1998 par la TI-92 plus, avec mémoire flash, et en 2002 par la voyage 200, machines moins innovantes et proportionnellement de plus en plus chères.

I. MODE D'EMPLOI

La calculatrice TI-92 permet d'utiliser les suites de deux façons différentes :

a. en utilisant l'éditeur de fonctions ¨y= et le tableau de calcul ¨Table après avoir, avec la touche MODE, dans le menu GRAPH, choisir SUITE (SEQUENCE) ;

b. en mode DIRECT dans l'écran de calcul ¨Home.

Changement de variable

Pour étudier avec la calculatrice des suites récurrentes, il faut souvent faire un changement de variable.
En effet, pendant le cours de mathématiques les suites de noms u, v… sont définies par leur premier terme u₀ et le terme général est u_n+1, contrairement à la calculatrice qui utilise par défaut u₁ et u_n.
La calculatrice définit 99 suites de noms u1, u2… jusqu'à u99, le terme général de la suite u1 étant noté u1(n) et son premier terme est noté ui1, i étant fixé par défaut à 1 dans le menu et on aura souvent à y enregistrer nmin = 0 (et éventuellement initialiser à 0 plotStart — plotStrt = 0 — : c'est le numéro du premier terme de la représentation graphique).

Premier exemple

Pour étudier la suite géométrique de raison 2 définie par :
effectuer le changement de variable u_n = 2 u_n−1 pour n> 1.

a. En mode suite (sequence) : choisir la suite u1 et taper dans l'éditeur de fonctions ¨y= :

u1(n)=2* u1(n−1)
ui1=1

Étudier la suite avec ¨Table.

Vérifier que dans l'application Table Set ¨TblSet la valeur initiale est 0 ou une autre valeur entière à partir de laquelle vous voulez commencer à calculer les termes de votre suite.

Dans tous les cas choisir le pas δtbl égal à 1.

Il est possible de choisir le mode « question » avec independent : ASK pour pouvoir introduire les valeurs de n directement dans la table.

On peut aussi taper u1(5) dans ¨Home pour connaître u₅
ou ∑(u1(n), n, 0, 5) pour la sa somme S₅ = u₀ + u₁ +…+ u₅ des 6 premiers termes.

b. En mode direct : taper dans ¨Home la formule :
when(n>0, 2*u(n-1), 1) u(n)
où la formule de définition de u_n est de la forme :
when(n>0, " formule de récurrence u_n ", " premier terme u₀ ") ® u(n)

II. AVEC UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE

Voici un texte d'exercice :

On considère la suite arithmético-géométrique u_n définie par u₀ = 0
et, pour tout n>0, .

On pose v_n = u_n – 2

1. Montrer que v_n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
2. Exprimer v_n en fonction de n et en déduire u_n.
3. Calculer les limites de v_n et u_n lorsque n tend vers + ∞.
4. Calculer la somme ∑_n = v₀ + v₁ +…+ v_n et en déduire S_n = u₀ + u₁ +…+ u_n.

a. Utilisation de la TI-92 en mode suite (sequence)

	Taper dans l'éditeur de fonctions ¨y= u1(n)=u1(n-1)/2+1 ui1=0
	La calculatrice ne sait pas calculer deux suites au même niveau. Il faut donc aussi transformer la formule vn = un – 2 en vn = un−1 – 2 donc avec les suites u1 et u2 taper u2(n) = u1(n-1)-2 et penser au décalage du rang de 1 dans la lecture du tableau u2. Il est possible de faire une recherche intuitive des limites 2 et 0.

b. Utilisation de la TI-92 en mode direct ¨Home

Dans l'écran de calcul taper la formule when(n>0,u(n-1))/2+1,0) u(n)
et u(n)-2 v(n),
puis pour calculer la somme des premiers termes : ∑(u1(n),n,0,p) s(p).

Un petit programme peut permettre d'écrire les premiers termes des suites u, v et s. Dans ce mode les calculs sont exacts. Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

III. AVEC UN POINT FIXE

On considère la suite u_n définie par u₀ = 0, et pour tout n positif par :

a. En mode suite (sequence)

b. En mode direct ¨Home

	Préparer la construction de « l'escargot » en choisissant à partir de l'écran ¨y= dans le menu F7 Axes le mode TOILE d'araignée WEB. La courbe et la droite d'équation y = x apparaît dans l'écran ¨Graph, choisir le mode F3 TRACE et afficher « l'escargot » en répétant l'appui sur la « flèche suivante ».

La limite l de cette suite est égale à 2. C'est la solution de l'équation  ; solution positive de l'équation x² = x + 2.

IV. EFFICACITÉ DE LA TECHNIQUE

d'après Terracher - 1^ère S - Hachette - 1995

On considère la suite u_n définie par u₀ = 1, et pour tout n positif par : .

	Calculer les premiers termes et pronostiquer la formule explicite de un en fonction de n :
	La démonstration n'est qu'une affaire de récurrence à faire éventuellement avec l'aide de la machine. Utiliser pour le calcul une variable un différente du nom de la suite u. Remarquer le calcul de un+1 : la machine ne fait la simplification par uniquement lorsque la condition n>0 permet d'en assurer l'existence. Sommaire Accueil Descartes et les Mathématiques

V. LA TECHNIQUE MISE À l'ÉPREUVE

Exemple 1

e base des logarithmes népériens (terminale S)

Voici un classique où la limite suggérée par la machine est différente de celle obtenue par le calcul. La suite a pour limite e = 2,1828…
Le calcul de u_p est fait pour p = 10ⁿ. Il devient faux à partir p = 10¹⁴.

Exemple 2 (d'après Terracher)

On considère la suite de terme général u_n définie par

1. Conjecture Avec la calculatrice calculer lorsque n = 10p avec p = 1, 2…, 12 ; puis calculer lorsque n = 10p avec p = 13, 14…, 17. Quelles conjectures contradictoires peut-on faire ?

2. Calcul mathématique

Montrer que (n naturel non nul).
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée puis diviser numérateur et dénominateur par n.

En déduire la limite exacte de u_n.

Remarque : ces calculs sont trop complexes pour la TI-92.
Si malgré tout, on veut vérifier avec la machine, calculer pour n > 0, multiplier le résultat par le dénominateur et enfin donner la condition n > 0 pour s'assurer la validité du domaine de définition et obtenir 0, ce qui prouve l'égalité des deux suites.

3. Explications

Lorsque n dépasse 10^p, où p est le nombre de chiffres calculés par la machine (FLOAT 12 sur la TI-92), la racine est approximée par n et le résultat est 0.
Mais pourquoi trouve-t-on u₁₃ = 1 ?

VI. SUITE HOMOGRAPHIQUE

Utilisation de la calculatrice pour résoudre un exercice de terminale S

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 0 et, pour tout n (n>0), par

1. Calculer u₁, u₂, u₃.

2. On pose . Montrer que v_n est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.

3. Exprimer v_n en fonction de n et en déduire u_n.

4. Calculer les limites de v_n et u_n lorsque n tend vers + ∞.

taper la définition de u_n en mode direct
when(n>0,(2u(n-1)+1)/(u((n-1+2),0) u(n)

Calculer u_n et v_n. En s'inspirant des calculs des premiers termes, trouver la raison 3 et le terme général de la suite géométrique.

	Résoudre l'équation , en fonction de vn pour trouver la fonction réciproque un en fonction de vn (utiliser des variables un et vn et non les suites u(n) et v(n)).
	Puis remplacer vn par sa valeur pour trouver et déduire que la limite est 1. La TI-92 plus donne ce résultat en utilisant la tangente hyperbolique. Pourquoi pas !
	Le calcul de un est très rapidement complexe, car la TI-92 calcule deux fois un−1, soit une minute pour les 1024 calculs de u10. On aura intérêt à transformer la formule de récurrence en éléments simples grâce à la fonction développe (expand) et modifier la définition de un.
	Les capacités de la mémoire ne permettent pas de calculer par récurrence au-delà de u23. (u31 sur la TI-92 plus). Au-delà utiliser le calcul direct de un en fonction de n. Lorsque l'on veut calculer de grandes valeurs on pourra programmer la fonction u dans l'éditeur de programmes (cf. les deux derniers écrans ci-contre).

Exemple 2

On considère la suite (u_n) définie par u₀ = 3
et, pour tout n > 0, par .
1) Calculer u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅.
2) Dans un repère orthonormé tracer les représentations graphiques des fonctions y = x et f(x) = , définies sur [0, 3] (unités 5cm)
Visualiser graphiquement les termes u₁, u₂, u₃, u₄ et u₅ de la suite (u_n).
Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de cette suite ?
3) On pose v_n = .
Montrer que (v_n) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison q.
4) Exprimer v_n en fonction de n et en déduire u_n.
5) Calculer les limites de v_n et u_n lorsque n tend vers +∞.

Indications de correction

(v_n) est une suite géométrique de premier terme v₀ = et de raison q = .

	un	vn
0	3
1		–
2
3		–
4
5		–

u_n = =

Pour n>0 les numérateurs et dénominateurs de (u_n) sont deux suites (a_n) et (b_n) telle que b_n+1 = a_n + b_n

Si n est pair a_n = b_n + 1 ; sinon a_n = b_n – 1.

VII. RÉCURRENCE DOUBLE : SUITE DE FIBONACCI

(terminale S, d'après Gérard Kuntz, Strasbourg)

Une histoire couple de lapins qui donnent naissance à un couple d'animaux qui à la génération suivante donne naissance à un nouveau couple et ainsi de suite… (livre de l'abaque «Liber Abaci» de Léonard de Pise dit Fibonacci paru en 1202)

Soit la suite de Fibonacci : avec n ≥ 0.

Pour programmer cette suite définie par la double récurrence u_n+2 = u_n + u_n+1 et les conditions initiales u₀ = 0 et u₁ = 1, faire le changement de variable : u_n = u_n−2 + u_n−1 pour n > 2.

Remarque : on peut aussi définir cette suite avec les conditions initiales u₁ = 1 et u₂ = 1 et calculer u_n+2 pour n ≥ 1.

a. En mode suite (sequence) ¨y=

Sur la première ligne taper la formule de récurrence : u1(n) = ul(n-2) + ul(n-l),
et sur la deuxième indiquer la liste des deux valeurs initiales : uil = {1, 0} (attention à l'ordre inversé des deux termes)

b. En mode direct ¨Home

Pour enregistrer la suite u il faut utiliser deux instructions when emboîtées :

when(n>1, "formule de récurrence u_n ",when(n=0, "premier terme u₀", "deuxième terme u₁ ")) ® u(n).

taper dans l'écran de calcul : when(n>1, u(n-2) + u(n-l), when(n=0, 0, 1)) u(n)

Calculer les 10 premiers termes avec la TI-92.

La limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite est égale au nombre d'or Φ.

Montrer qu'il existe deux suites géométriques de raison q qui soient de Fibonacci. q est alors solution de l'équation caractéristique x² = x + 1. Trouver avec la machine que ces solutions sont le nombre d'or Φ = α = et l'opposé de son inverse β = − .

Si a et b sont deux nombres réels, montrer que la suite de terme général u_n = a αⁿ + b βⁿ est une suite de Fibonacci.

Réciproquement montrer que le terme général d'une suite de Fibonacci peut s'écrire :
u_n = a αⁿ + b βⁿ avec les calculs de a = et b = faits sans difficulté sur la TI-92.

	Formule de Binet Vérifier que si u0 = 0 et u1 = 1, alors a = b = et un = . Ci-contre, voir les écrans des calculs pour cette suite dite des « lapins ». Remarquer que la TI-92 sait rendre rationnel les dénominateurs de a αn et b βn, mais ne sait pas calculer leur différence.
	Par contre, le calcul de ne pose pas de problèmes et on obtient entier exact jusqu'à n = 128 et une valeur approchée au-delà ; par exemple : u4000 = 3,99 × 10835 (seul l'ordre de grandeur est fiable).
Nombre d'or et suite de Fibonacci cos	Construction du pentagone (collège) Construire un pentagone régulier (lycée)

Des divergences troublantes

Montrer que les seules suites de Fibonacci convergentes sont de la forme b βⁿ.

Pour b = 1 nous allons donc étudier avec la machine la suite de Fibonacci u_n de premiers termes u₀ = 1 et u₁ = β et la suite géométrique v_n = βⁿ = .

Nous allons vérifier que comme les ordinateurs et les autres calculatrices, la TI-92 fait des erreurs en mode approché. Par contre, elle peut évaluer exactement cette suite de Fibonacci, en mode direct.

	Mode approché Le calcul est assez rapide dans l'écran ¨Table, mais on s'aperçoit que le calcul de la suite de Fibonacci ul accumule les erreurs à partir du rang 34 les résultats sont faux et ils sont absurdes pour n plus grand que 36 (erreur de signe).
	Mode exact ¨Home Il est possible de travailler dans l'écran de calculs en mode exact en programmant les deux suites, mais le calcul de u(n) demande trop de temps, dès que n dépasse 10 puis sature la mémoire.
	Le calcul exact de u(33) est le dernier évaluable par la machine ; les calculs suivants dépassent la précision de 12 chiffres pour les calculs de réels et le résultat est 0. (attention : calculer u(34) puis approx du résultat. Le calcul direct de approx(u(34)) est un calcul approché, qui génère les mêmes erreurs que dans le mode table).

Il est possible, avec le programme fibo(n), de calculer rapidement u_n et v_n. On obtent les calculs approchés suivants :

	Ce programme sait faire le calcul exact de un, son calcul approché est une autre affaire. Il sait aussi faire le calcul exact, puis approché de vn = βn = (Ce calcul est-il fiable ?).

Nombre d'or et suites de Fibonacci - puissances de Φ

Le nombre d'or Φ = est la solution positive de l'équation du second degré x² = x + 1, soit Φ² = Φ + 1.

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : Φⁿ = a_nΦ + a_n−1

avec pour n > 0, a_{n + 1} = a_n + a_n−1 et a₀ = 0 ; a₁ = 1. a_n est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Suites de pentagones et nombre d'or

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A₁A₂B₂C₂C₁ est l'image du pentagone AA₁B₁C₁C par l'homothétie de centre O et de rapport Φ (nombre d'or).

Les longueurs AA₁, A₁A₂, A₂A₃, A₃A₄ sont égales aux puissances du nombre Φ.

AA₁ = 1, A₁A₂ = Φ,
A₂A₃ = Φ² = Φ + 1,
A₃A₄ = Φ³ = 2 Φ + 1…

Télécharger la figure GéoPlan pent_or2.g2w

En utilisant la formule de Binet ma calculatrice TI-92 permet le calcul exact de a_n = jusqu'à n = 128 :
a₁₂₈ = 251 728 825 683 549 488 150 424 261 ≈ 2,517 288 × 10²⁶,

puis approché jusqu'à n = 1960 avec, pour a₁₉₆₀, une erreur sur le dernier chiffre significatif (6 au lieu de 4) :
a₁₉₆₀ ≈ 1,846 247 326 06 × 10⁴⁰⁹ au lieu de a₁₉₆₀ ≈ 1,846 247 326 038 × 10⁴⁰⁹ (voir le calcul exact par récurrence ci-contre).

Pour n>1960 la calculatrice affiche ∞ comme résultat de la formule de Binet, mais le résultat exact se calcule par récurrence jusqu'à n = 2940 où par exemple pour les 615 chiffres de a₂₉₄₀, on trouve :
a₂₉₄₀ = 18 462 530 … 040 080 ≈ 1,846 253 × 10⁶¹⁴.
Problèmes de construction : voir pentagone

Suite de Lucas (mathématicien français, 1842-1891)

Elle est définie par la même double récurrence u_n+2 = u_n + u_n+1, mais avec les conditions initiales u₀ = 2 et u₁ = 1.

Une autre formule de Binet donne u_n = αⁿ + βⁿ

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