René DescartesDescartes et les Mathématiques

Suites numériques et TI-92

La calculatrice TI-92 en classe de 1ère S : suite homographique, suite de Fibonacci, nombre d'or, point fixe.

Sommaire

I.     Mode d'emploi
II.  Avec une suite auxiliaire
III.  Avec un point fixe
IV.  Efficacité de la technique

V.  La Technique mise à l'épreuve
VI.  Suite homographique
VII. Récurrence double - Fibonacci
      Formule de Binet
      Nombre d'or, pentagones et Fibonacci

Calculatrice TI-92

La TI-92 est une calculatrice graphique programmable, équipée du microprocesseur Motorola 68000, commercialisée par Texas Instruments.

Crée en 1995, c'était un modèle très novateur avec :

  • un véritable clavier QWERTY équipé d'un pavé directionnel à 8 directions,
  • un grand écran 240 × 128 pixels,
  • un logiciel de calcul formel très performant,
  • un grapheur,
  • un tableur.

Les divers modules pouvant communiquer par appel de fonctions ou copier-coller.

Elle a été remplacée en 1998 par la TI-92 plus, avec mémoire flash, et en 2002 par la voyage 200, machines moins innovantes et proportionnellement de plus en plus chères.

I. MODE D'EMPLOI

La calculatrice TI-92 permet d'utiliser les suites de deux façons différentes :

a. en utilisant l'éditeur de fonctions ¨y= et le tableau de calcul ¨Table après avoir, avec la touche MODE, dans le menu GRAPH, choisir SUITE (SEQUENCE) ;

b. en mode DIRECT dans l'écran de calcul ¨Home.

Changement de variable

Pour étudier avec la calculatrice des suites récurrentes, il faut souvent faire un changement de variable.
En effet, pendant le cours de mathématiques les suites de noms u, v… sont définies par leur premier terme u0 et le terme général est un+1, contrairement à la calculatrice qui utilise par défaut u1 et un.
La calculatrice définit 99 suites de noms u1, u2… jusqu'à u99, le terme général de la suite u1 étant noté u1(n) et son premier terme est noté ui1, i étant fixé par défaut à 1 dans le menu Windows et on aura souvent à y enregistrer nmin = 0 (et éventuellement initialiser à 0 plotStart – plotStrt = 0 – : c'est le numéro du premier terme de la représentation graphique).

Premier exemple

Pour étudier la suite géométrique de raison 2 définie par :un+1=2un; u0=1
effectuer le changement de variable un = 2 un−1 pour n> 1.

a. En mode suite (sequence) : choisir la suite u1 et taper dans l'éditeur de fonctions ¨y= :

u1(n)=2* u1(n−1)
ui1=1

Étudier la suite avec ¨Table.

Vérifier que dans l'application Table Set ¨TblSet la valeur initiale est 0 ou une autre valeur entière à partir de laquelle vous voulez commencer à calculer les termes de votre suite.

Dans tous les cas choisir le pas δtbl égal à 1.

Il est possible de choisir le mode « question » avec independent : ASK pour pouvoir introduire les valeurs de n directement dans la table.

On peut aussi taper u1(5) dans ¨Home pour connaître u5
ou ∑(u1(n), n, 0, 5) pour la sa somme S5 = u0 + u1 +…+ u5 des 6 premiers termes.

b. En mode direct : taper dans ¨Home la formule :
when(n>0, 2*u(n-1), 1) STO u(n)
où la formule de définition de un est de la forme :
when(n>0, " formule de récurrence un ", " premier terme u0 ") → u(n)

II. AVEC UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE AUXILIAIRE

Voici un texte d'exercice :

On considère la suite arithmético-géométrique un définie par u0 = 0
et, pour tout n>0
, un+1=un/2 + 1.

On pose vn = un – 2

1. Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.
2. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
3. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers + ∞.
4. Calculer la somme ∑n = v0 + v1 +…+ vn et en déduire Sn = u0 + u1 +…+ un
.

a. Utilisation de la TI-92 en mode suite (sequence)

TI-92 en mode suite

Taper dans l'éditeur de fonctions ¨y=

u1(n)=u1(n-1)/2+1
ui1=0

Ecran TI-92 deux suites

La calculatrice ne sait pas calculer deux suites au même niveau. Il faut donc aussi transformer la formule vn = un – 2 en vn = un−1 – 2 donc avec les suites u1 et u2 taper u2(n) = u1(n-1)-2 et penser au décalage du rang de 1 dans la lecture du tableau u2.

Il est possible de faire une recherche intuitive des limites 2 et 0.

b. Utilisation de la TI-92 en mode direct ¨Home

Dans l'écran de calcul taper la formule when(n>0,u(n-1))/2+1,0) STO u(n)
et u(n)-2 STO v(n),
puis pour calculer la somme des premiers termes : ∑(u1(n),n,0,p) STO s(p).

when(n>0,u(n-1))/2+1,0)
u(n)

Un petit programme peut permettre d'écrire les premiers termes des suites u, v et s.

Dans ce mode les calculs sont exacts.

premiers termes des suites u, v et s

III. AVEC UN POINT FIXE

On considère la suite un définie par u0 = 0, et pour tout n positif par : un=rac(un-1+2)

a. En mode suite (sequence)

u0 à u7
limite de un

b. En mode direct ¨Home

u(1) à u(4)
u(3); u(6)
Construction de «l'escargot»

Préparer la construction de « l'escargot » en choisissant à partir de l'écran ¨y= dans le menu F7 Axes le mode TOILE d'araignée WEB.

La courbe et la droite d'équation y = x apparaît dans l'écran ¨Graph, choisir le mode F3 TRACE et afficher « l'escargot » en répétant l'appui sur la « flèche suivante ».

La limite l de cette suite est égale à 2. C'est la solution de l'équation x=rac(x + 2) ; solution positive de l'équation x2 = x + 2.

IV. EFFICACITÉ DE LA TECHNIQUE

On considère la suite un définie par u0 = 1, et pour tout n positif par : u(n+1)=u(n)/(u(n)²+1).

Ecran TI-92 n°92

Calculer les premiers termes et pronostiquer la formule explicite de un en fonction de n :

u(n)=1/rac(n+1)=rac(n+1)/(n+1)
Ecran TI-92 n°131

La démonstration n'est qu'une affaire de récurrence à faire éventuellement avec l'aide de la machine. Utiliser pour le calcul une variable un différente du nom de la suite u.

Remarquer le calcul de un+1 :
la machine ne fait la simplification par rac(n+1) uniquement lorsque la condition n>0 permet d'en assurer l'existence.

V. LA TECHNIQUE MISE À L'ÉPREUVE

Exemple 1

e base des logarithmes népériens (terminale S)

Voici un classique où la limite suggérée par la machine est différente de celle obtenue par le calcul. La suite u(n)=(1+1/n)^n a pour limite e = 2,1828…
Le calcul de up est fait pour p = 10n. Il devient faux à partir p = 1014.

Ecran TI-92 n°117
Ecran TI-92 n°118

Exemple 2 (d'après Terracher)

On considère la suite de terme général un définie par u(n)=rac(n²+n)-n

Ecran TI-92 n°96

V.2.1. Conjecture

Avec la calculatrice calculer lorsque n = 10p avec p = 1, 2…, 12 ;
puis calculer lorsque n = 10p avec p = 13, 14…, 17.

Quelles conjectures contradictoires peut-on faire ?

Ecran TI-92 n°98
Ecran TI-92 n°99

V.2.2. Calcul mathématique

Montrer que u(n)=1/(rac(1+1/n)+1) (n naturel non nul).
Multiplier et diviser par la quantité conjuguée puis diviser numérateur et dénominateur par n.

En déduire la limite exacte de un.

Ecran TI-92 n°101
Ecran TI-92 n°102

Remarque : ces calculs sont trop complexes pour la TI-92.
Si malgré tout, on veut vérifier avec la machine, calculer rac(n²+n)-n-1/(rac(1+1/n)+1) pour n > 0, multiplier le résultat par le dénominateur rac(n+1)+rac(n) et enfin donner la condition n > 0 pour s'assurer la validité du domaine de définition et obtenir 0, ce qui prouve l'égalité des deux suites.

V.2.3. Explications

Lorsque n dépasse 10p, où p est le nombre de chiffres calculés par la machine (FLOAT 12 sur la TI-92), la racine rac(n²+n) est approximée par n et le résultat est 0.
Mais pourquoi trouve-t-on u13 = 1 ?

VI. SUITE HOMOGRAPHIQUE

Utilisation de la calculatrice pour résoudre un exercice de terminale S

On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et, pour tout n (n>0), par U(n+1)=(2u(n)+1)/(u(n)+2)

1. Calculer u1, u2, u3.

2. On pose V(n)=(1+u(n))/(2-u(n)). Montrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison q.

3. Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.

4. Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers + ∞.

Ecran TI-92 n°108
Ecran TI-92 n°109

taper la définition de un en mode direct
when(n>0,(2u(n-1)+1)/(u((n-1+2),0) STO u(n)

Calculer un et vn. En s'inspirant des calculs des premiers termes, trouver la raison 3 et le terme général v(n)=3^n/2 de la suite géométrique.

Ecran TI-92 n°112

Résoudre l'équation v(n)=(1+u(n))/(2-2u(n)), en fonction de vn pour trouver la fonction réciproque un en fonction de vn (utiliser des variables un et vn et non les suites u(n) et v(n)).

Ecran TI-92 n°113

Puis remplacer vn par sa valeur pour trouver u(n)=(3^n-1)/(3^n+1) et déduire que la limite est 1.

La TI-92 plus donne ce résultat en utilisant la tangente hyperbolique. Pourquoi pas !

Ecran TI-92 n°114

Le calcul de un est très rapidement complexe, car la TI-92 calcule deux fois un−1, soit une minute pour les 1024 calculs de u10.

On aura intérêt à transformer la formule de récurrence en éléments simples grâce à la fonction développe (expand) et modifier la définition de un.

Ecran TI-92 n°115

Les capacités de la mémoire ne permettent pas de calculer par récurrence au-delà de u23. (u31 sur la TI-92 plus). Au-delà utiliser le calcul direct de un en fonction de n.

Lorsque l'on veut calculer de grandes valeurs on pourra programmer la fonction u dans l'éditeur de programmes (cf. les deux derniers écrans ci-contre).

Exemple 2

On considère la suite (un) définie par u0 = 3
et, pour tout n > 0, par u(n+1)=2/(u(n)+1).
1) Calculer u1, u2, u3, u4 et u5.
2) Dans un repère orthonormé tracer les représentations graphiques des fonctions y = x et f(x) = 2/(x+1), définies sur [0, 3] (unités 5cm)
Visualiser graphiquement les termes u1, u2, u3, u4 et u5 de la suite (un).
Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de cette suite ?
3) On pose vn = (u(n)-1)/(u(n)+2).
Montrer que (vn) est une suite géométrique, dont on précisera le premier terme et la raison q.
4) Exprimer vn en fonction de n et en déduire un.
5) Calculer les limites de vn et un lorsque n tend vers +∞.

Indications de correction

(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 2/5 et de raison q = -1/2.

 

un

vn

0

3

2/5

1

1/2

-1/5

2

4/3
1/10

3

6/7
-1/20

4

14/13
1/40

5

26/27
-1/80

un = (1+2v(n))/(1-v(n)) = a(n)/b(n)

Pour n>0 les numérateurs et dénominateurs de (un) sont deux suites (an) et (bn) telle que bn+1 = an + bn

Si n est pair an = bn + 1 ; sinon an = bn – 1.

VII. RÉCURRENCE DOUBLE : SUITE DE FIBONACCI

(terminale S, d'après Gérard Kuntz, Strasbourg)

Une histoire couple de lapins qui donnent naissance à un couple d'animaux qui à la génération suivante donne naissance à un nouveau couple et ainsi de suite… (livre de l'abaque «Liber Abaci» de Léonard de Pise dit Fibonacci paru en 1202)

Soit la suite de Fibonacci : u(n+2)=u(n)+u(n+1); u(0)=0; u(1)=1 avec n ≥ 0.

Pour programmer cette suite définie par la double récurrence un+2 = un + un+1 et les conditions initiales u0 = 0 et u1 = 1, faire le changement de variable : un = un−2 + un−1 pour n > 2.

Remarque : on peut aussi définir cette suite avec les conditions initiales u1 = 1 et u2 = 1 et calculer un+2 pour n ≥ 1.

a. En mode suite (sequence) ¨y=

Sur la première ligne taper la formule de récurrence : u1(n) = ul(n-2) + ul(n-l),
et sur la deuxième indiquer la liste des deux valeurs initiales : uil = {1, 0} (attention à l'ordre inversé des deux termes)

b. En mode direct ¨Home

Pour enregistrer la suite u il faut utiliser deux instructions when emboîtées :

when(n>1, "formule de récurrence un ",when(n=0, "premier terme u0", "deuxième terme u1 ")) → u(n).

taper dans l'écran de calcul : when(n>1, u(n-2) + u(n-l), when(n=0, 0, 1)) STO u(n)

Calculer les 10 premiers termes avec la TI-92.

La limite du quotient de deux nombres consécutifs de la suite est égale au nombre d'or φ.

Montrer qu'il existe deux suites géométriques de raison q qui soient de Fibonacci. q est alors solution de l'équation caractéristique x2 = x + 1. Trouver avec la machine que ces solutions sont le nombre d'or φ = α = (rac(5)+1)/2 et l'opposé de son inverse β = − (rac(5)-1)/2.

Si a et b sont deux nombres réels, montrer que la suite de terme général un = a αn + b βn est une suite de Fibonacci.

Réciproquement montrer que le terme général d'une suite de Fibonacci peut s'écrire :
un = a αn + b βn avec les calculs de a = (u0 β - u1)/(β-α)et b = (u1 - u0 α)/(β-α) faits sans difficulté sur la TI-92.

Ecran TI-92 n°148

Formule de Binet

Vérifier que si u0 = 0 et u1 = 1, alors a = b = 1/rac(5) et un = (α^n-β^n)/rac(5).

Ci-contre, voir les écrans des calculs pour cette suite dite des « lapins ».
Remarquer que la TI-92 sait rendre rationnel les dénominateurs de a αn et b βn, mais ne sait pas calculer leur différence.

Ecran TI-92 n°172

Par contre, le calcul de (α^n-β^n)/rac(5) ne pose pas de problèmes
et on obtient entier exact jusqu'à n = 128 et une valeur approchée au-delà ; par exemple :
u4000 = 3,99 × 10835 (seul l'ordre de grandeur est fiable).

Nombre d'or et suite de Fibonacci

cos 2pi/5

Construction du pentagone (collège)

Construire un pentagone régulier (lycée)

Des divergences troublantes

Montrer que les seules suites de Fibonacci convergentes sont de la forme b βn.

Pour b = 1 nous allons donc étudier avec la machine la suite de Fibonacci un de premiers termes u0 = 1 et u1 = β et la suite géométrique vn = βn = ((1-rac(5))/2)^n.

Nous allons vérifier que comme les ordinateurs et les autres calculatrices, la TI-92 fait des erreurs en mode approché. Par contre, elle peut évaluer exactement cette suite de Fibonacci, en mode direct.

Ecran TI-92 n°126

Mode approché

Le calcul est assez rapide dans l'écran ¨Table, mais on s'aperçoit que le calcul de la suite de Fibonacci ul accumule les erreurs à partir du rang 34 les résultats sont faux et ils sont absurdes pour n plus grand que 36 (erreur de signe).

Ecran TI-92 n°127

Mode exact ¨Home

Il est possible de travailler dans l'écran de calculs en mode exact en programmant les deux suites, mais le calcul de u(n) demande trop de temps, dès que n dépasse 10 puis sature la mémoire.

Ecran TI-92 n°128

Le calcul exact de u(33) est le dernier évaluable par la machine ; les calculs suivants dépassent la précision de 12 chiffres pour les calculs de réels et le résultat est 0. (attention : calculer u(34) puis approx du résultat. Le calcul direct de approx(u(34)) est un calcul approché, qui génère les mêmes erreurs que dans le mode table).

Il est possible, avec le programme fibo(n), de calculer rapidement un et vn. On obtient les calculs approchés suivants :

Ecran TI-92 n°129
Ecran TI-92 n°130
Ecran TI-92 n°135

Ce programme sait faire le calcul exact de un, son calcul approché est une autre affaire.

Il sait aussi faire le calcul exact, puis approché de
vn = βn = ((1-rac(5))/2)^n (Ce calcul est-il fiable ?).

Nombre d'or et suites de Fibonacci - puissances de φ

Le nombre d'or φ = nombre d'or est la solution positive de l'équation du second degré x2 = x + 1, soit φ2 = φ + 1.

Multiplions par φ, successivement
les deux membres de ces égalités

En additionnant deux égalités consécutives,
nous calculons les premières puissances de φ

φ2 = φ + 1

 

φ3 = φ2 + φ

φ3 = (φ + 1) + φ = 2 φ + 1.

φ4 = φ3 + φ2

φ4 = (2 φ + 1) + (φ + 1) = 3 φ + 2

φ5 = φ4 + φ3

φ5 = (3 φ + 2) + (2 φ + 1) = 5 φ + 3

φ6 = φ5 + φ4

φ6 = (5 φ + 3) + (3 φ + 2) = 8 φ + 5

φ7 = φ6 + φ5

φ7 = (8 φ + 5) + (5 φ + 3) = 13 φ + 8

φ8 = φ7 + φ6

φ8 = (13 φ + 8) + (8 φ + 5) = 21 φ + 13

On peut facilement démontrer par récurrence que l'on a : φn = anφ + an−1

avec pour n > 0, an + 1 = an + an−1 et a0 = 0 ; a1 = 1. an est la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Suites de pentagones et nombre d'or

nombre d'or - suites de pentagones - copyright Patrice Debart 2008

Tous les pentagones réguliers sont semblables.

Le pentagone A1A2B2C2C1 est l'image du pentagone AA1B1C1C par l'homothétie de centre O et de rapport φ (nombre d'or).

Les longueurs AA1, A1A2, A2A3, A3A4 sont égales aux puissances du nombre φ.

AA1 = 1, A1A2 = φ,
A2A3 = φ2 = φ + 1,
A3A4 = φ3 = 2 φ + 1…

g2w Télécharger la figure GéoPlan pent_or2.g2w

nombre d'or - suites de pentagones réguliers - copyright Patrice Debart 2008

AA1 = 1, A1A2 = φ– 1,
A2A3 = φ– 2, A3A4 = φ– 3

g2w Télécharger la figure GéoPlan penta_or.g2w

Puissances négatives de φ

On a aussi démontré que φ = 1 + 1/φ donc 1/φ = φ – 1 = (rac(5)-1)/2.

Calculons les puissances négatives suivantes de φ :

φ– 2 = 1/φ^2 = φ^(-1)/φ = (φ-1)/φ = 1 – 1/φ = 1 – (φ – 1) = − φ + 2.

De même, φ– 3 = 1/φ^3 = φ^(-2)/φ = (-φ+2)/φ = − 1 + 2/φ = − 1 + 2(φ – 1) = 2φ – 3,
et φ– 4 = 1/φ^4 = φ^(-3)/φ= (2φ-3)/φ = 2 – 3/φ = 2 – 3(φ – 1) = −3φ + 5 et ainsi de suite.

On peut enfin démontrer par récurrence que l'on a : φn = bn−1φ + bn
avec pour n>0 bn+1 = −bn + bn−1 et b0 = 1 ; b1 = − 1.

bn = (–1)nan+1 est la suite de Fibonacci alternée : 1, –1, 2, –3, 5, –8, 13…

Voir : pentagone et nombre d'or

Ecran TI-92 n°128

En utilisant la formule de Binet ma calculatrice TI-92 permet le calcul exact de an = (φ^n-(-1/φ)^n)/rac(5) jusqu'à n = 128 :
a128 = 251 728 825 683 549 488 150 424 261 ≈ 2,517 288 × 1026,

Ecran TI-92 n=1960

puis le calcul approché jusqu'à n = 1960 avec, pour a1960, une erreur sur le dernier chiffre significatif (6 au lieu de 4) :
a1960 ≈ 1,846 247 326 06 × 10409 au lieu de a1960 ≈ 1,846 247 326 038 × 10409 (voir le calcul exact par récurrence ci-contre).

Pour n>1960 la calculatrice affiche ∞ comme résultat de la formule de Binet, mais le résultat exact se calcule par récurrence jusqu'à n = 2940 où par exemple pour les 615 chiffres de a2940, on trouve :
a2940 = 18 462 530 … 040 080 ≈ 1,846 253 × 10614.
Problèmes de construction : voir pentagone

Suite de Lucas (mathématicien français, 1842-1891)

Elle est définie par la même double récurrence un+2 = un + un+1, mais avec les conditions initiales u0 = 2 et u1 = 1.

Une autre formule de Binet donne un = αn + βn.

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mise à jour le 16/5/2004