René DescartesDescartes et les Mathématiques

Épreuve pratique de terminale S
Sujets 2009 de géométrie plane

Correction des sujets de géométrie plane de l'épreuve pratique 2009.

Sommaire

Sujets retenus

24. Étude d'une courbe de Bézier

65. Distance minimale d'un point à une courbe

69. Intersection de tangentes

76. Recherche d'un point fixe

81. Aire variable d'un triangle

83. Optimisation en géométrie plane

91. Propriétés de la courbe représentative d'une fonction

128. Étude de la courbe représentative d'une fonction

131. Étude d'une figure du plan

 

GeoGebra Feuille de travail dynamique : figures interactives avec GeoGebra

Sujets non retenus

4. Étude d'une transformation du plan

5. Étude d'un lieu géométrique

12. Propriétés de la parabole

22. Étude d'un ensemble de points

25. Triangle inscrit de périmètre minimal
32. Étude d'une configuration plane
35. Problème d'optimisation

38. Étude d'un lieu géométrique
51. Nombres complexes et géométrie
57. Étude d'une transformation
67. Problème d'optimisation
78. Étude d'un lieu géométrique

80. Aire maximale d'un triangle

82. Recherche d'un lieu géométrique
102. Étude d'une situation géométrique avec les nombres complexes
107. Déformations dans le plan complexe
108. Étude d'une configuration dans le plan complexe
126. Étude d'un ensemble de points du plan à l'aide de deux suites
132. Étude de lieux

L'expérimentation est arrêtée et il n'y a plus d'épreuve pratique.

Attente des programmes et instructions officielles

Une « épreuve pratique au baccalauréat » a été en expérimentation de 2007 à 2009. L'un des objectifs était d’évaluer la capacité des élèves à modéliser une situation en utilisant les logiciels de mathématiques (tableurs, géométrie dynamique, grapheurs, outils de calcul formel…). Elle nécessite une formation précoce des élèves et une prise en compte effective de cet aspect par les équipes enseignantes depuis le début du collège.

Objectifs de l'épreuve de 2007 à 2009

TICE maths

L'objectif de l'épreuve est d'évaluer les compétences des élèves dans l'utilisation des calculatrices et de certains logiciels spécifiques en mathématiques, il s'agit d'évaluer chez les élèves, la capacité à mobiliser les TICE pour résoudre un problème mathématique

Les sujets proposés aux candidats sont des exercices mathématiques où l'utilisation des TICE (calculatrice graphique programmable, ordinateurs et logiciels spécifiques, logiciels libres de préférence, tableurs, grapheur tableur, géométrie dynamique, calcul formel) intervient de manière significative dans la résolution du problème posé.

Une banque de sujets est élaborée au niveau national. Chaque sujet est composé :

  • d'une « description » destinée à alimenter la liste nationale de situations d'évaluation ;
  • d'une « fiche élève » donnant l'énoncé et précisant de qui est attendu du candidat ;
  • d'une « fiche professeur » décrivant les intentions de l'auteur, des considérations sur l'environnement TICE du sujet et des commentaires sur l'évaluation ;
  • d'une « fiche évaluation » destinée à figurer dans le dossier du candidat.

L'épreuve se déroule au sein des lycées fréquentés par les élèves. Chaque établissement choisit, dans cette banque les sujets qui seront proposés aux élèves de l'établissement ; ce choix est guidé par les équipements disponibles et les enseignements assurés par le professeur.

Sujets retenus en 2009

Cette année 2009, presque plus de géométrie plane ; seulement deux sujets sur les similitudes
(tous les deux déjà traité …avec GéoPlan) :

  • une question de cours simplifiée

  • et un exercice de spécialité.
Les autres sujets concernent uniquement l'étude de fonctions par un logiciel de géométrie dynamique.

24. Étude d'une courbe de Bézier

Énoncé

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j)), on considère les points A de coordonnées (0 ; 6), B de coordonnées (2 ; 0) et C de coordonnées (4 ; 6).
Soit t un réel de l'intervalle [0 ; 1]. On définit les points :
  • G barycentre du système de points pondérés {(A; 1 - t) ; (B; t)} ;
  • H barycentre du système de points pondérés {(B; 1 - t) ; (C; t)} ;
  • M barycentre du système de points pondérés {(G; 1 - t) ; (H; t)}.

Le but de l'exercice est d'étudier le lieu des points M quand t décrit l'intervalle [0 ; 1], et la position de cet ensemble par rapport aux droites (AB) et (BC).

Partie A

1. Réaliser la figure avec un logiciel de géométrie dynamique.
    Tracer les droites (AB) et (BC), puis faire apparaître le lieu décrit par le point M lorsque t varie.
    Appeler l'examinateur pour lui montrer le lieu du point M.
2. Quelle semble être la position des droites (AB) et (BC) par rapport au lieu obtenu ?
3. Sur quelle courbe semble se déplacer le point M ?
    Appeler l'examinateur pour annoncer les conjectures et décrire la démarche.

Partie B

4. Déterminer en fonction de t les coordonnées des points G, H et M.
5. Valider ou invalider la conjecture émise à la question 3.
    Donner l'expression analytique du lieu du point M.

Production demandée

Épreuve pratique - courbe de Bézier - copyright Patrice Debart 2008

  • Visualisation du lieu du point M.
  • Énoncé des conjectures : courbe décrite par le point M et position des droites (AB) et (BC) par rapport à cette courbe.
  • Réponses pour les questions 4. et 5.

Indications

2. Les deux droites semblent tangentes à la courbe.

3. Le point M se déplace sur la parabole d'équation f(x) = 3/4 (x - 2)2 + 3.

4. D'après la fonction vectorielle de Leibniz vect(OG) = (1 - t) vect(OA) + t vect(OB). Soit G(2t ; 6(1 - t)).
De même vect(OH) = (1 - t) vect(OB) + t vect(OC). Soit H(2(1 + t) ; 6 t).
Enfin vect(OM) = (1 - t) vect(OG) + t vect(OH). Soit M(4t ; 12t2 - 12t + 6).

5. On a donc t = x/4 et y = 3/4x2 - 3x + 6, équation de la parabole conjecturée à la question 3.

f’(x) = 3/2x - 3.  f’(0) = -3 et f’(4) = 3. Les droites (AB) et (BC) sont respectivement tangentes en A et C à la parabole.

GeoGebra Figure dans GeoGebra Tube : Courbe de Bézier - Épreuve pratique 2009

65. Distance minimale d'un point à une courbe

Énoncé

Dans un repère orthonormal d'origine O, on considère la courbe C représentative de la fonction logarithme népérien.
On s'intéresse à la distance OM lorsque M parcourt C. Le but de l'exercice est de préciser si cette distance peut être rendue minimale et de caractériser le ou les point(s) M, s'il en existe, situé(s) sur C et rendant cette distance minimale.

Partie A

1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, faire une figure permettant d'explorer cette situation.

2. Cette distance semble-t-elle minimale pour un (ou plusieurs) point(s) particulier(s) de C ? Si oui, donner une valeur approchée à 10– 2 près de cette plus petite distance et de l'abscisse de ce(s) point(s).
Appeler le professeur pour une vérification de la figure construite et des conjectures émises.

3. Tracer la droite (OM) ainsi que la tangente en M à la courbe C. Que semble-t-il se passer
lorsque M est positionné sur la courbe C de sorte que la distance OM soit minimale ?
Appeler le professeur pour une vérification de la conjecture.

Partie B

4. Quelle relation doit vérifier l'abscisse x0 d'un point M0 en lequel la distance OM est minimale ?
Appeler le professeur pour lui présenter la méthode envisagée et une vérification de la relation éventuellement obtenue.

5. Prouver la conjecture élaborée dans la question 3.

Production demandée

    – Les différentes étapes des stratégies prévues pour répondre aux questions 4. et 5.
    – La mise en forme de l'une de ces étapes.

Épreuve pratique - figure géométrique et optimisation d'une fonction - distance minimale d'un point a une courbe - copyright Patrice Debart 2008

2. x0 ≈ 0,43

3. La droite OM0 semble perpendiculaire à la tangente (d).

4. Le produit des coefficients directeurs, ex / x pour OM et ex pour (d), est égal à -1, d'où l'équation e2x = - x et la solution approchée.

5. Pour cette démonstration, basée sur la convexité de la courbe exponentielle, s'inspirer du même exercice proposé en 2008.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra distance_point-courbe.ggb

69. Intersection de tangentes

Énoncé

On considère les fonctions f et g définies sur R par :
f (x) = (e1+x + e1-x)/2 et g(x) = (e1+x - e1-x)/2.
On note Cf la courbe représentative de f et Cg la courbe représentative de g.

Pour tout réel a, on note :
  – A le point de Cf d'abscisse a et TA la tangente à Cf au point A,
  – B le point de Cg d'abscisse a et TB la tangente à Cg au point B,
  – M(xM ; yM) le point d'intersection des tangentes TA et TB.

On souhaite étudier le lieu géométrique L du point M, lorsque a varie dans R.

Partie A

1. À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique :
(a) Construire les courbes Cf  et Cg ainsi que les tangentes TA et TB.
(b) Construire le point M.
(c) En observant la situation obtenue avec plusieurs valeurs de a, dire quelle relation semble exister entre les réels a et xM.

2. Tracer le lieu L du point M. Ce point semble appartenir à la courbe représentative E d'une fonction connue, quelle est cette fonction ? Comment peut-on vérifier cette conjecture ?

Partie B

3. Démontrer que L fait effectivement partie de E. Que dire de plus ?

Production demandée

  • Courbes demandées aux questions 1 et 2.
  • Réponse à la question 3.

Indications

Épreuve pratique - intersection de tangentes- copyright Patrice Debart 2008

1. Pour l'étude des fonctions et du lieu, avec GéoPlan, on se limite à l'intervalle [-5 ; 5].

Un calcul de dérivée permet de trouver que f’(x) = g(x) et que g’(x) = f(x), d'où les coefficients directeurs g(a) et f(a) des tangentes TA et TB.

En déplaçant a, on trouve les valeurs suivantes :

a

-2

-1

0

1

xM

-1

0

1

2

yM

0,37

1

2,72

7,39

(c) En observant le tableau de valeurs de a, on trouve la relation xM = a + 1.

2. Le point M semble appartenir à la courbe représentative E de la fonction exponentielle.

On peut vérifier cette conjecture en traçant la fonction e(x) = ex.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra intersection tangentes.ggb

Commandes GéoPlan
Déplacer le point a avec la souris ou les flèches du clavier.

Touche T : Tracé point par point du graphe de P,
touche S pour Sortir du mode trace,
touche L : dessin en bloc du lieu L du point M,
touche E : dessin en bloc de l'Exponentielle ex.

3. La tangente TA a pour équation y - f(a) = f’(a)(x - a) et comme f’(a) = g(a), on a :
y - f(a) = g(a)(x - a)
De même, TB a pour équation y - g (a) = f(a)(x - a).

Résoudre ce système en éliminant y entre ces deux équations.
En simplifiant par f(a) - g(a) on trouve x = a + 1.
Puis en remplaçant cette valeur dans une des équations on a y = f(a) + g(a) = ea.

On peut dire en plus que L = E car tous les points de E sont atteints : en effet, quel que soit M dans E d'abscisse xM, M est le point d'intersection des tangentes aux points A et B d'abscisse xM - 1.

76. Recherche d'un point fixe

Situation
Dans le plan orienté, on considère un triangle et un cercle.
Il s'agit d’étudier la position de la droite (MM’), où M est un point du cercle et M’ son image par une certaine similitude.

Énoncé

similitude transformation géoométrique - alignement avec un point et son transformé - copyright Patrice Debart 2008

Dans le plan complexe orienté, on considère un triangle OO’A de sens direct, rectangle en O. On considère M un point du cercle C de centre O et passant par A. On désigne par S la similitude directe de centre A qui transforme O en O’ et on désigne par M’ le point image de M par la similitude S. On cherche à prouver que la droite (MM’) passe par un point fixe.

1. À l'aide d'un logiciel de géométrie plane, construire la figure associée à la situation décrite ci-dessus.

2. Construire l'image C’ du cercle C par la similitude S. Caractériser cet ensemble C’.

3. Quelle conjecture peut-on émettre pour la droite (MM’) lorsque M décrit le cercle C ?
Appeler l'examinateur pour une vérification de la construction faite.
On appelle A et B les points d'intersection de C et C’.

4. On pose S(B) = B’. Quelle propriété relative est vérifiée par les triangles ABB’ et AOO’ ?
Justifier.

5. Positionner le point M afin que le point B soit entre les points M et M’.

6. Donner des arguments mathématiques permettant de prouver que les points M, B et M’ sont alignés.

Production demandée

  • La figure réalisée avec le logiciel de géométrie dynamique.
  • La caractérisation de l'ensemble C’.
  • La justification de la propriété de la question 4.
  • La justification de la conjecture de la question 3. seulement dans le cas où le point B est entre les points M et M’.

Indications

2. A est le point fixe de la similitude. L'image du cercle (C) de centre O et passant par A est le cercle C’ de centre O’ et passant par A.

3. Les points M, B et M’ sont alignés.

4. Les triangles ABB’ et AOO’ sont semblables par définition de la similitude. Comme AB est le double de AO, AB est le double AO’, [AB’] est un diamètre de (C’) et (BB’), perpendiculaire au diamètre [AB] de (C), est tangente en B à ce cercle.

6. Calculons l'angle (vect(BM), vect(BM')) = (vect(BM), vect(BA)) + (vect(BA), vect(BM')) [mod π].

Les angles inscrits sont égaux à la moitié de l'angle au centre :
(vect(BM), vect(BA)) = 1/2 (vect(OM), vect(OA)) [mod π],
(vect(BA), vect(BM')) = 1/2 (vect(O'A), vect(O'M')) [mod π].

Dans la similitude A est point fixe, O a pour image O’, M a pour image M’, par conservation des angles on a (vect(OA), vect(OM)) = (vect(O'A), vect(O'M')) [mod π].
D'où – (vect(BM), vect(BA)) = (vect(BA), vect(BM')) et (vect(BM), vect(BM')) = 0 [mod π] ce qui prouve l'alignement.

GeoGebra Figure interactive dans GeoGebra Tube : Recherche d’un point fixe (La similitude est la composée d'une rotation de centre A suivie d'une homothétie de centre A et de rapport r2/r1. M a pour image M1 par la rotation, M1a pour image M’ par l'homothétie.)

Cet exercice était corrigé dans notre page : similitude

Compétences évaluées
  • Réaliser des constructions avec un logiciel de géométrie dynamique.
  • Visualiser le lieu d'un point.

81. Aire variable d'un triangle

Situation
À partir de la courbe représentative d'une fonction numérique, on définit un triangle variable dans le plan.
On cherche à optimiser l'aire de ce triangle.

Énoncé

Soit un repère orthonormal (O, vect(i), vect(j)) du plan et la courbe C d'équation y = ex - 1.
Soit B le point de C d'abscisse 1, et A le point de C d'abscisse a, a étant un nombre réel de l'intervalle [0 ; 1].
On s'intéresse à l'aire du triangle OAB et à la variation de cette aire en fonction de a.

Partie A

1. Construire la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

2. Afficher à l'écran l'aire du triangle OAB.
En faisant varier a, chercher une valeur approchée de la valeur de a pour laquelle l'aire du triangle OAB est maximale.
Donner une valeur approchée de cette aire maximale.

3. Pour tout a dans l'intervalle [0; 1], on note f (a) l'aire du triangle OAB. Construire l'ensemble des points S(a ; f(a)).
Retrouver les résultats de la question précédente.

Partie B

4. (a) Déterminer l'expression de f(a) en fonction de a.
(b) En étudiant la fonction f, déterminer la valeur exacte de la variable a pour laquelle la fonction f atteint son maximum et la valeur exacte de ce maximum.

Production demandée

  • Visualisation à l'écran de la figure demandée et de l'ensemble des points M de la question 3.
  • Affichage des valeurs approchées de a et de f(a) pour lesquelles l'aire du triangle est maximale.
  • Démarches et réponses argumentées à la question 4.
Épreuve pratique - figure géométrique et optimisation d'une fonction - aire variable d'un triangle - copyright Patrice Debart 2008

Indication
A.2. a ≈ 0,55

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra aire_triangle.ggb

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Utilisation d'un logiciel de géométrie pour construire une figure dans le plan ;
  • Utilisation de l'aspect dynamique du logiciel pour établir des conjectures.

Compétences mathématiques

  • Calcul de l'aire d'un triangle dont on connaît les coordonnées des sommets ;
  • Détermination du maximum d'une fonction.

83. Optimisation en géométrie plane

Situation
On propose, dans le plan muni d'un repère orthonormal, de déterminer la distance d'une courbe à une droite.
L'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique permet de formuler une conjecture qui sera ensuite démontrée.

Énoncé

Dans un repère orthonormal du plan, on considère la courbe représentative C de la fonction xex et la droite D d'équation y = 2x - 3.
On se propose de déterminer, s'il existe, un point M de C tel que la distance de M à la droite D soit minimale.

Partie A

1. Utiliser un logiciel de géométrie pour construire la droite D et la courbe C.

2. Placer un point mobile M sur C et construire le point N image de M par la projection orthogonale sur D.

3. Conjecturer, au moyen du logiciel, l'abscisse du point M0 de C dont la distance à D est minimale.
Proposer une valeur approchée de cette distance minimale.
Conjecturer une propriété de la tangente en M0 à C.

Partie B

4. Élaborer une méthode permettant de démontrer ces conjectures.

5. Calculer les coordonnées de M0 et sa distance à D.

Production demandée

  • Construction de C, D, M et N au moyen du logiciel de géométrie.
  • Conjectures relatives à l'abscisse de M0 et à la tangente en M0 à C.
  • Proposition d'une valeur approchée de la distance de M0 à D.
  • Calcul des coordonnées de M0 et de sa distance à D.
Épreuve pratique - figure géométrique et optimisation d'une fonction - distance d'une courbe à une droite- copyright Patrice Debart 2008

3. La distance minimale est obtenue pour un point d'abscisse x0 ≈ 0,69.
La distance minimale est M0N0≈1,67.
La tangente t en M0 à C est parallèle à la droite D.

4. La démonstration, basée sur la convexité de la courbe exponentielle, est analogue à celle utilisée dans la page distance d'une courbe à un point.
Pour un point M sur C, le segment [MN] coupe la tangente D en M1.
MN = MM1 + M1N = MM1 + M0N0. MN est donc supérieur ou égal à M0N0, qui bien la distance minimale.

5. La pente de la tangente t est égale à 2, coefficient directeur de la droite D, donc ex = 2 soit x0 = ln(2)
et M0 a pour coordonnées (ln(2), 2).

Rappel du cours de 1ère S : la distance d'un point M(x0, y0) à la droite d'équation ax +by + c = 0 est égale à abs((ax0 +by0 + c):rtac(a^2 + b^2))).

Pour le point M0(ln(2), 2) et la droite D d'équation 2x - y - 3 = 0, on a donc une distance minimale de (5-2ln'2))/rac(5), conforme au calcul de GéoPlan.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra distance_droite_courbe.ggb

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Tracer, dans un repère orthonormal, au moyen d'un logiciel de géométrie, des courbes définies par leur équation ;
  • Construire l'image d'un point par une projection orthogonale.

Compétences mathématiques

  • Connaître la définition de la projection orthogonale sur une droite ;
  • Exprimer, en repère orthonormal, la distance d'un point à une droite ;
  • Caractériser la tangente en un point à la courbe représentative d'une fonction dérivable ;
  • Déterminer un extremum d'une fonction dérivable.

91. Propriétés de la courbe d'une fonction

Énoncé

Épreuve pratique - proprietés d'une courbe - copyright Patrice Debart 2008

Soit f  la fonction définie sur R par : f(x) = - x + rac(x² + 4).
On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal (O, vect(i), vect(j)).
Soit a un réel quelconque, M et N les points de C d'abscisses respectives a et - a.

1. Construire la figure à l'aide d'un logiciel de votre choix.

2. Faire varier a et émettre des conjectures concernant respectivement :

  • la droite (MN) ;
  • le lieu du point I intersection des tangentes à C en M et N.

3. On se propose d'étudier les conjectures émises à la question précédente.
(a) Déterminer en fonction de a les coordonnées des points M et N.
(b) Justifier les conjectures émises à la question 2.

Production demandée

  • Visualisation à l'écran du lieu du point I.
  • Réponses argumentées aux questions 3.(a) et (b).

Indications

La droite (MN) a une direction fixe (coefficient directeur -1).
Le point I décrit le segment [0, 2] sur l'axe Oy.

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra secante_2_tangentes.ggb

128. Étude de la courbe d'une fonction

Énoncé

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0; 1] par f(x) = (1 – rac(x))2.
Soit C la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal.
On se propose d'établir une propriété de la courbe C.

Épreuve pratique - étude de la courbe d'une fonction - copyright Patrice Debart 2008

1. (a) Représenter la courbe C à l'aide d'un outil de géométrie dynamique.
    (b) Tracer la courbe représentative de la fonction g définie sur [0; 1] par g = f ° f puis conjecturer une expression simple de g(x), pour tout x appartenant à [0; 1].

2. (a) Placer un point M sur la courbe C, puis construire le point M’ symétrique de M par rapport à la droite D d'équation y = x.
(b) Quel semble être le lieu du point M’ lorsque M décrit la courbe C ?
(c) Quelle propriété de la courbe C peut-on alors conjecturer ?

3. (a) Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0; 1], exprimer f ° f (x) en fonction de x.
(b) En déduire la propriété de la courbe C observée à la question 2.(c).

Production demandée

    – Réalisation du graphique et construction pour observation du lieu du point M’.
    – Démarche de démonstration pour les questions 3.(a) et 3.(b).

GeoGebra Télécharger la figure GeoGebra fonction_auto_reciproque.ggb

Indications

1. (b) Pour tout x appartenant à [0; 1], g(x) = x.

2. (b) Lorsque M décrit la courbe C, le lieu de M’ est la courbe C.
La courbe C est symétrique par rapport à la droite D : f est égale à sa fonction réciproque f– 1.

3. (a) Pour tout x appartenant à [0; 1],

f ° f(x) = (1 – rac(f(x))]2 = [1 - (1 – rac(x))]2 = [rac(x)]2 = x.

f ° f = Id ; f – 1 = f. La courbe C est symétrique par rapport à la droite D.

131. Étude d'une figure du plan

Spécialité

Situation
L'objectif de l'exercice consiste à étudier une configuration géométrique plane à l'aide de similitudes directes.

Énoncé

Soit un triangle équilatéral direct ABC et soit D un point du segment [BC]. La parallèle à la droite (AC) menée par D coupe la droite (AB) en E et la parallèle à la droite (AB) menée par D coupe la droite (AC) en F. Soit le point G, centre de gravité du triangle ABC et les points H et A’, symétriques de G et A par rapport à la droite (BC). On définit les points I et J centres de gravité respectifs des triangles BDE et CDF.

On se propose d'étudier la nature du triangle HIJ quand D décrit le segment [BC].

1. (a) Représenter la figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
    (b) Quelle semble être la nature du triangle HIJ ?
    (c) Visualiser les lieux des points I et J lorsque le point D décrit le segment [BC].

Appeler l'examinateur pour une vérification de la figure réalisée.
Lui proposer les conjectures émises concernant le triangle HIJ et les lieux des points I et J
.

2. On définit les similitudes directes S1, de centre C, de rapport rac(3), d'angle pi/6 et S2, de centre B, de rapport 1/rac(3) = rac(3)/3, d'angle pi/6
et leur composée f = S2 ° S1.

(a) Déterminer les images de J et H par f.
(b) Déterminer la nature et des éléments caractéristiques de f.
(c) En déduire la nature du triangle HIJ.

Production demandée

  • Réalisation de la figure.
  • Réponse argumentée à la question 2.

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Visualiser un lieu de points et émettre une conjecture sur sa nature.
  • Utiliser des notions de géométrie élémentaire dans le plan : centre de gravité, longueur de la hauteur d'un triangle équilatéral…
  • Connaître les propriétés des similitudes (notamment, leurs composées).

Indications

épreuve pratique - problème de Napoleon dégénéré - copyright Patrice Debart 2008

Ce problème est un cas particulier du triangle de Napoléon, lorsque le triangle BCD est dégénéré.

Il était traité, grâce à une rotation, dans la page : problème du BOA.

Trouver les médianes [BG] et [CG] comme lieu de points est très élémentaire !

Le point H est le centre de gravité du triangle équilatéral A’BC.

1. (b) Le triangle HIJ semble équilatéral.

(c) Le point I situé sur la médiane issue de B du triangle équilatéral BDE est situé sur la médiane [BG] du triangle ABC. Avec GéoPlan, on visualise le lieu de I qui est le segment [BG] et celui de J le segment [CG], ce qui permet de préparer la question suivante. À l'issue de cette question 2.(a), on pourra affirmer que ces lieux, images du segment [BC] par les similitudes S1 et S2– 1, sont exactement les segments [GC] et [BG].

2. (a) D'après les propriétés métriques du centre d'un triangle équilatéral, la distance de ce centre à un sommet est égale à la longueur du côté du triangle divisé par rac(3).
L'image par S1 du centre de gravité d'un triangle équilatéral de sommet C est un deux autres sommets.
Par S2 l'image d'un des sommets d'un triangle équilatéral de sommet B est le centre de gravité de ce triangle.
Donc par S1 : J a pour image D et H a pour image A’.
Réciproquement par S2 : D a pour image I et A’ a pour image H.
Par la similitude f, l'image de J est I et H est un point fixe, f a pour centre H.

(b) La composée des similitudes S1 et S2 est une similitude de rapport le produit
rac(3) × rac(3)/3 = 1 et d'angle le somme des angles pi/6 + pi/6 = pi/3. f est donc une rotation d'angle pi/3.

(c) Par la rotation f, de centre H, [HJ] a pour image [HI], donc HJ = HI et le triangle isocèle HIJ, ayant un angle de pi/3 radians, est équilatéral.

GeoGebra La figure GeoGebra triangles_equilateraux.ggb

Sujets de 2009 non retenus

Ci-dessous la liste des descriptions de géométrie plane proposées et non retenues, avec quelques indications sur des thèmes apparentés que l'on peut trouver dans l'application « faire des maths avec GéoPlan ».

Les sujets de géométrie dans l'espace se trouvent dans la page : l'épreuve pratique avec GéoSpace.

4. Étude d'une transformation du plan

Épreuve pratique - transformation d'un triangle par homothétie - copyright Patrice Debart 2008

Situation

On définit une transformation (non affine) du plan muni d'un repère orthonormal direct. L'objectif est d’étudier l'image par cette transformation d'un ensemble donné.

Voir : homothétie

g2w Télécharger la figure GéoPlan trihomo.g2w

 

Compétences évaluées
  • Réaliser des constructions avec un logiciel de géométrie dynamique.
  • Visualiser un lieu de points et émettre une conjecture sur sa nature.
  • Utiliser les transformations géométriques usuelles.
  • Utiliser les nombres complexes en géométrie.

5. Étude d'un lieu géométrique

Épreuve pratique - intersection de deux cercles - copyright Patrice Debart 2008

Situation
Dans le plan orienté, il s'agit de déterminer le lieu géométrique d'un point appartenant à une configuration simple, en utilisant des transformations.

Voir : lieux géométriques

Compétences évaluées
  • Construire une figure avec un logiciel.
  • Visualiser un lieu géométrique.
  • Utiliser une transformation pour démontrer qu'un triangle est rectangle isocèle et exploiter cette configuration.
  • Déterminer l'image d'un segment par une transformation du plan.

12. Propriétés de la parabole

Épreuve pratique - corde focale d'une parabole - copyright Patrice Debart 2008

Situation
On se propose d’étudier une propriété géométrique de la parabole.

Voir : parabole

Tangente à une parabole : épreuve pratique 2007

Points équidistants d'une droite et d'un point : épreuve pratique 2008

Cercles et paraboles : épreuve pratique 2008

Compétences évaluées
  • Réaliser des constructions avec un logiciel de géométrie dynamique.
  • Émettre des conjectures.
  • Étudier les propriétés d'une figure plane.
  • Effectuer des calculs en géométrie analytique dans le plan.

22. Étude d'un ensemble de points

Situation
La configuration de départ est un carré ABCD.
Il s'agit de décrire le lieu d'un point lié au point M lorsque ce dernier décrit la diagonale [BD].

Voir : M décrit un côté du carré

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Tester les conjectures émises.
  • Visualiser un lieu de points.
  • Maîtriser les notions de la géométrie élémentaire : parallélogramme, projection orthogonale, angles orientés…

25. Triangle inscrit de périmètre minimal

Épreuve pratique - perimètre minimum - copyright Patrice Debart 2008

Situation
Il s'agit d'inscrire dans un triangle ABC donné un triangle de périmètre minimal.

Solution
Problème classique : voir solution dans programme de troisième

Ce sujet est trop simple, on le retrouve pourtant pour la troisième année consécutive dans les bases ? Voir, la géométrie à l'épreuve pratique de terminale S avec GéoPlan et GéoSpace.

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Émettre des conjectures.
  • Utiliser des relations trigonométriques du triangle.
  • Déterminer un extremum de fonction.

32. Étude d'une configuration plane

Situation
Étant donné un point M du plan, on construit ses projetés orthogonaux sur deux droites sécantes. Il s'agit de conjecturer la nature d'un triangle défini à partir de cette situation et de démontrer cette conjecture.

Compétences évaluées
  • Réaliser des constructions géométriques à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Réaliser des mesures à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Choisir et mettre en œuvre une démarche en géométrie plane.

35. Problème d'optimisation

Épreuve pratique - rectangle inscrit dans un triangle rectangle - copyright Patrice Debart 2008

Situation
L'objectif du problème est de déterminer, dans une configuration plane, la position des objets qui maximise l'aire d'un rectangle donné.

Voir en classe de seconde : rectangle variable inscrit dans un triangle rectangle

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Émettre une conjecture.

Compétences mathématiques
  • Utiliser la trigonométrie.
  • Déterminer un extremum de fonction.

38, 138. Étude d'un lieu géométrique

Épreuve pratique - lieu géométrique - copyright Patrice Debart 2008

Situation
Dans le plan orienté, un point M décrit un cercle. Une configuration géométrique varie avec le point M. À l'aide de transformations bien choisies, on recherche le lieu de points associés à M dans la configuration.

Voir : lieu d'un projeté orthogonal

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Construire une figure plane à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Visualiser le lieu d'un point.

Compétences mathématiques

  • Reconnaître des transformations usuelles dans une configuration ;
  • Connaître les propriétés des translations et des rotations.

51. Nombres complexes et géométrie

Situation
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O, vect(i), vect(j)), on désigne par M un point du cercle trigonométrique et par z l'affixe de M. On note R le point d'affixe z2, et U le point d'affixe P(z) où P est un polynôme donné.
L'objectif de l'exercice est l'étude des positions relatives des points O, R et U lorsque M varie.

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Réaliser des constructions avec un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Émettre des conjectures.

Compétences mathématiques

  • Reconnaître une transformation et l'utiliser dans la construction d'une figure ;
  • Utiliser l'aspect géométrique des nombres complexes pour caractériser des configurations.

57. Étude d'une transformation

Situation
Il s'agit d'étudier les effets d'une transformation géométrique donnée sur les objets de la géométrie usuelle tels que droites et cercles.

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Réaliser une construction avec un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Émettre des conjectures.

Compétences mathématiques
  • Caractériser le parallélisme et l'orthogonalité dans le plan éventuellement complexe.

67. Problème d'optimisation

Situation
Quatre hameaux A, B, C et D sont situés aux sommets d'un carré.
On se propose de relier ces quatre hameaux par un réseau routier le plus court possible.
On s'intéresse à deux cas particuliers.

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Utilisation d'un logiciel de géométrie pour construire une figure dans le plan ;
  • Utilisation de l'aspect dynamique du logiciel pour établir des conjectures.

Compétences mathématiques
  • Élaboration d'une stratégie permettant de déterminer le minimum d'une fonction définie géométriquement.

78. Étude d'un lieu géométrique

Situation
L'énoncé propose un programme de construction d'un triangle dont l'un des sommets est un point mobile d'un ensemble donné. Le problème consiste à étudier le lieu de certains points liés à la configuration.

Voir lieux des centres : orthocentre ;

      gravité, centre du cercle inscrit

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
  • Émettre et tester des conjectures.
  • Utiliser les transformations géométriques usuelles.
  • Exploiter les propriétés du triangle rectangle.

80. Aire maximale d'un triangle

Situation
On cherche à optimiser l'aire d'un triangle dont les sommets sont des points d'une courbe plane particulière.

Voir : triangle inscrit dans un carré

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique ;
  • Émettre des conjectures.

Compétences mathématiques

  • Calculer une aire ;
  • Étudier les variations d'une fonction.

82. Recherche d'un lieu géométrique

lieu géométrique - conchoïde - copyright Patrice Debart 2008

Situation
Le but de ce sujet est la détermination d'une courbe définie comme lieu d'un point.

Voir : conchoïde

Compétences évaluées
Compétences TICE

  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.

Compétences mathématiques
  • Médiatrice d'un segment ;
  • Distance de deux points.

102. Étude d'une situation géométrique avec les nombres complexes

Situation
Des logiciels adaptés permettent d'une part d’émettre des conjectures concernant une configuration géométrique et, d'autre part, de les prouver en effectuant des calculs sur des nombres complexes.

Compétences évaluées
  • Réaliser une construction avec un logiciel de géométrie dynamique.
  • Établir l'expression complexe d'une rotation ou d'une similitude directe.
  • Exploiter des relations entre nombres complexes pour obtenir des propriétés d'une configuration géométrique.
  • Utiliser un logiciel de calcul formel.

107. Déformations dans le plan complexe

Situation
Dans le plan complexe, il s'agit d’étudier une famille de quadrilatères dont les sommets sont définis comme des barycentres.

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel.
  • Mener des calculs portant sur des affixes de points du plan.
  • Utiliser des barycentres.
  • Calculer des arguments à l'aide d'un logiciel de calcul formel.
  • Utiliser différentes simplifications d’écriture fournies par le logiciel pour comparer deux nombres.
  • Montrer par un calcul que deux droites sont perpendiculaires.

108. Étude d'une configuration dans le plan complexe

Situation
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal, on construit une figure à partir d'un point variable du cercle trigonométrique et on détermine le lieu d'un point de cette figure.

Compétences évaluées
  • Construire une figure à l'aide d'un logiciel.
  • Visualiser le lieu d'un point.
  • Traduire des propriétés géométriques avec des affixes.
  • Utiliser des similitudes du plan.

126, 137. Ensemble de points construit à l'aide de deux suites

Situation
Deux suites (xn) et (yn) sont définies par des conditions initiales et par des relations de récurrence. Dans un repère orthonormal, on considère le point Mn de coordonnées (xn, yn).
L'objectif est d'observer et d’étudier le nuage des points Mn obtenus.

Compétences évaluées
  • Représenter des points, donnés par leurs coordonnées, à l'aide d'un logiciel de géométrie, d'un tableur ou de tout autre logiciel adapté.
  • Déterminer des éléments caractéristiques d'une similitude plane directe.
  • Mener des calculs algébriques sur les nombres complexes.

132. Étude de lieux

Situation
Dans le plan complexe, on considère un triangle rectangle isocèle et son cercle circonscrit.
On considère deux points définis à partir d'un point variable sur le cercle.
L'objectif est d’établir le lieu de ces points et d’étudier certains éléments de cette figure.

Compétences évaluées
  • Construire une figure avec un logiciel.
  • Visualiser un lieu et émettre une conjecture sur sa nature.
  • Reconnaître et utiliser une similitude.
  • Calculer l'aire d'un triangle.

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Corrigé 2007

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mise à jour le 16/9/2009