René DescartesDescartes et les Mathématiques

Calul d'intégrales avec la méthode des trapèzes

Géométrie plane en terminale S : deux exercices et le calcul approché d'intégrales avec GéoPlan.

Sommaire

1. Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

f(x) = 1/(1+x2)

2. Encadrement

2.1. f(x) = x2
2.2. f(x) = 1/x

3. Méthode des trapèzes f(x) = 1/(1+x2)

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Intégration

1. Intégrale de f entre a et b par la méthode des rectangles

    f(x) = 1/(1+x2)

    Avec le menu : créer>numérique>fonction numérique>une variable, modifier la fonction f.

géométrie terminale - calcul de l'integrale de 1/(1+ x^2) par la methode des rectangles

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géométrie terminale - calcul de l'integrale de 1/(1+x^2) par la methode des rectangles

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Calcul d'une valeur approchée d'intégrale

On décompose le segment [a, b] en n segment de même longueur h = (b−a)/n et on note u0 = a, u1, u2, u3…, un = b, la suite des extrémités de ces intervalles.

Pour une valeur x0 égale à un des ui on trace deux extrémités A(x0, 0) et A’(x0+h, 0) sur l'axe (Ox),
Les points M(x0, f’(x0)) et M’(x0+h, f’(x0)) permettent de tracer le rectangle AA’M’M nommé R.
Les points N(x0, f’(x0+h)) et N’(x0+h, f’(x0+h)) permettent de tracer le rectangle AA’N’N nommé R’.

Technique GéoPlan

Après le tracé du premier rectangle de côté A(a, 0)A’(a+h, 0), on répète, avec la commande S, n−1 fois le tracé des rectangles en activant le mode Trace.
La commande Cm2 itère le calcul de I, avec l'astuce que le calcul se fait avant l'affectation de x0+h à x0, la hauteur du rectangle R est donc
f’(x0+h) et celle du rectangle R’ est f’(x0+ 2h).

2. Encadrement

Comme en mode trace, un rectangle AA’N’N efface le rectangle AA’M’M précédent, il faut deux programmes distincts pour les fonctions croissantes sur [a, b] et pour les décroissantes où les rôles de R et R’ sont échangés.

2.1. Fonction croissante : f(x) = x2 sur R+

géométrie terminale - encadrement de l'integrale de x^2 par la methode des rectangles - copyright Patrice Debart 2007

2.2. Fonction décroissante : f(x) = 1/x

géométrie terminale - encadrement de l'integrale de 1/x par la methode des rectangles - copyright Patrice Debart 2007

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3. Méthode des trapèzes

géométrie terminale - encadrement de l'integrale de 1/(1+x^2) par la méthode des trapèzes - copyright Patrice Debart 2007

Une valeur approchée de l'intégrale se trouve en faisant la somme des aires des trapèzes AA’M’M de sommets, pour une valeur x0,
les points A(x0, 0) et A’(x0+h, 0) sur l'axe (Ox)
et les points M(x0, f’(x0)) et M’(x0+h, f’(x0+h)).

 

Pour la fonction f(x) = 1/(1+x2), étudiée ci-contre sur [0, 1],
on a une excellente approximation sachant que pi/4 ≈ 0,7853.

 

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Table des matières

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